Построение и исследование информационных моделей

Построение и исследование информационных моделей
Построение формальной модели движения тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим процесс построения и исследования модели на конкретном примере движения
тела, брошенного под углом к горизонту.
Содержательная постановка задачи «Бросание мячика в стенку». В процессе тренировок
теннисистов используются автоматы по бросанию мячика. Необходимо задать автомату
необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в стенку определенной высоты,
находящуюся на известном расстоянии.
Описательная модель. Сначала построим описательную модель процесса движения тела с
использованием объектов, понятий и законов физики, т. е. в данном случае идеализированную
модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные
допущения:
• мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;
• изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать
постоянной величиной g=9,8 м/с , следовательно, движение по оси y можно считать
равноускоренным;
• скорость бросания мячика мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь,
следовательно, движение по оси X можно считать равномерным.
Формальная модель. Для формализации модели обозначим величины:
•
•
•
•
начальную скорость мячика – V0 ,
угол бросания мячика –  ;
высоту стенки – h;
расстояние до стенки – S.
Используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного
движения для определения координат мячика. Дальность х и высоту у при заданной начальной
скорости V и угле бросания  для любого момента времени t можно вычислить по формулам:
x  v0 * cos  * t
y  v0 * sin  * t  g * t 2 / 2
t  s / v0 * cos 
l  s * tg  g * s 2 * v0 * cos 2 
0l h
Формализуем теперь условие попадание мячика в ми шень. Попадание произойдет, если
значение высоты мячика / будет удовлетворять условию в форме неравенства:
Если L < О, то это означает «недолет», а если l > h, то это означает «перелет».
Проект «Бросание мячика в стенку» в электронных таблицах
Построение траектории движения мячика
Для ввода начальной скорости бросания мячика Vo будем использовать ячейку В1, а для
ввода угла бросания — ячейку В2.
Введем в ячейки А5:А18 значения времени t с интервалом в 0,2 с и вычислим по формулам
значения координат тела х и у для заданных значений времени.
В электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются в радианах, поэтому
необходимо преобразовать значений углов из градусов в радианы с помощью функции
1
РАДИАНЫ().
1.
Ввести:
•
в ячейку В5 формулу:
=$В$1*СОS(РАДИАНЫ($В$2))*А5;
•
в ячейку С5 формулу:
=$В$1*SIN(РАДИАНЫ($В$2))*А5-4,9*А5*А5
2.
Скопировать
введенные формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно.
Получим в столбце В значения координаты мячика по оси X, а в столбце С – координаты мячика
по оси У, вычисленные для определенных моментов времени. Визуализируем модель,
построив график зависимости координаты у от координаты х (траекторию движения тела).
Для построения траектории движения мячика используем диаграмму типа График.
3.
При построении графика в качестве категорий использовать диапазон ячеек В5:В18,
а в качестве значений – диапазон ячеек С5:С18.
Компьютерный эксперимент. Исследуем модель и определим с заданной точностью
(например, 0,1°) диапазон углов бросания, которые обеспечивают попадание мячика в стенку.
В качестве начальных условий бросания мячика выберем, например, следующие: скорость
бросания v0 – 18 м/с, высота стенки h = 1 м, расстояние до стенки S = 30 м.
4.
Ввести :
• в ячейку В21 – значение расстояния до стенки;
• в ячейку В22 – значение начальной скорости;
• в ячейку В23 – значение угла;
• в ячейку В25 – формулу для вычисления высоты мячика в момент попадания в
стенку для заданных начальных условий:
=В21*ТАN(РАДИАНЫ(В23))-(9,81*В21*В21)/(2*В22^2*СОS(РАДИАНЫ(В23))
*СОS(РАДИАНЫ(В23)))
Для заданных начальных условий (скорости бросания и расстояния до стенки) проведем
поиск углов, которые дают попадание в стенку на высотах 0 и 1 м. Используем для этого метод
Подбор параметра.
Методом Подбор параметра будем сначала искать значение угла бросания, которое
обеспечит попадание мячика в стенку на минимальной высоте О метров. В данном случае
значение функции (высота мячика при попадании в стенку) хранится в ячейке В25, а значение
аргумента (угла бросания) – в ячейке В23. Значит, необходимо установить в ячейке В25 значение
0 и методом Подбор параметра найти соответствующее значение аргумента в ячейке В23.
5.
Выделить ячейку В25, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду
[Сервис-Подбор параметра...].
6.
В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наименьшую высоту
попадания в стенку (т. е. 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$23,
содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.
В ячейке В23 появится значение 32,6, т. е. минимальное значение угла бросания мячика,
которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях.
Методом Подбор параметра найдем теперь угол бросания, который обеспечит попадание
мячика в стенку на максимальной высоте 1 метр.
7.
Выделить ячейку В25, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду
[Сервис – Подбор параметра...].
8.
В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наибольшую высоту
попадания в стенку (т. е. 1).
9.
В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$23, содержащей значение
угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.
В ячейке В23 появится значение 36,1, т. е. максимальное значение угла бросания мячика,
которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях.
Анализ результатов. Таким образом, исследование компьютерной модели в электронных
таблицах показало, что существует диапазон значений угла бросания мячика от 32,6° до 36,1°,
при котором обеспечивается попадание в стенку высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м,
мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с.
2