7 класс, летняя серия 1 – задачки на инварианты

7 класс, летняя серия 1 – задачки на инварианты
7 класс, летняя серия 1 – задачки на инварианты
1.
На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой — до Палкино. Боря заметил, что на
каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?
2.
Ракушки. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из
нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну
ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек?
3.
Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k имеют форму
уголка, а остальные (12 – k) — прямоугольника. При каких k это возможно?
4.
В таблице 3 × 3 одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все
остальные - белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов
нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием
строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце.
5.
В таблице 8 × 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом, все
остальные - белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов
нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием
строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце.
1.
На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой — до Палкино. Боря заметил, что на
каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?
2.
Ракушки. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из
нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну
ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек?
3.
Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k имеют форму
уголка, а остальные (12 – k) — прямоугольника. При каких k это возможно?
4.
В таблице 3 × 3 одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все
остальные - белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов
нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием
строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце.
5.
В таблице 8 × 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом, все
остальные - белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов
нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием
строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце.
6.
Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом
поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?
6.
Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом
поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?
7.
а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых
чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно
перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по
часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на
одном дереве. б) Та же задача, только чижей на каждом дереве по n. Словом,
обобщите.
7.
а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых
чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно
перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по
часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на
одном дереве. б) Та же задача, только чижей на каждом дереве по n. Словом,
обобщите.
7 класс, летняя серия 1+1=2 – варианты на инварианты
7 класс, летняя серия 1+1=2 – варианты на инварианты
8.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа +1 и -1 так, что
во всех вершинах, кроме одной, стоят +1. Разрешается изменять знак в любых k
подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы
единственное число -1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k =
3; б) k = 4; в) k = 6;
9.
В угловой клетке таблицы 5х5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций получить все знаки плюсами?
10.
В клетках квадрата 5x 5 изначально были записаны нули. Каждую минуту
Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось,
что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через четное число минут.
11.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из
прямого угла) на два других. Докажите, что после любого
количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
12.
У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то
из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и
раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть.
Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7
раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.
8.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа +1 и -1 так, что
во всех вершинах, кроме одной, стоят +1. Разрешается изменять знак в любых k
подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы
единственное число -1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k =
3; б) k = 4; в) k = 6;
9.
В угловой клетке таблицы 5х5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций получить все знаки плюсами?
10.
В клетках квадрата 5x 5 изначально были записаны нули. Каждую минуту
Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось,
что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через четное число минут.
11.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из
прямого угла) на два других. Докажите, что после любого
количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
12.
У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то
из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и
раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть.
Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7
раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.
7 класс, летняя серия 3 – сдадим ЕГЭ
досрочно!
7 класс, летняя серия 3 – сдадим
ЕГЭ досрочно!
13.
Группа учеников посетила театр и кино,
причем каждый что-то посетил (кто-то мог посетить и кино и театр). Известно,
что в театре мальчиков было не более 2/11 от числа посетивших театр. В кино
мальчиков было не более 2/5 от числа посетивших кино. а) Может ли мальчиков
быть 9, если всего в группе 20 человек? (б) Какое наибольшее число мальчиков
возможно при численности группы в 20 человек? в) Какая наибольшая часть девочек от всей группы возможна, если не принимать во внимание условия пунктов а) и б) ?
13.
Группа учеников посетила театр и кино, причем каждый что-то посетил (кто-то
мог посетить и кино и театр). Известно, что в театре мальчиков было не более
2/11 от числа посетивших театр. В кино мальчиков было не более 2/5 от числа
посетивших кино. а) Может ли мальчиков быть 9, если всего в группе 20 человек? (б) Какое наибольшее число мальчиков возможно при численности группы
в 20 человек? в) Какая наибольшая часть девочек от всей группы возможна, если
не принимать во внимание условия пунктов а) и б) ?
14.
Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но
не больше 120 см. (назовем такие куски стандартными). a) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было
бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число l , что
любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
14.
Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но
не больше 120 см. (назовем такие куски стандартными). a) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было
бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число l , что
любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
15.
По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой
16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем
на 6 и среди любых четырех подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно
положительное. а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных. б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных
15.
По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой
16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем
на 6 и среди любых четырех подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно
положительное. а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных. б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных
16.
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из
которых, по крайней мере, есть два числа. Для каждой группы находят сумму
чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее возможное значение результата?
16.
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из
которых, по крайней мере, есть два числа. Для каждой группы находят сумму
чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее возможное значение результата?
17.
На бумажке учитель записал несколько чисел, после чего дал Ване задание выписать на доску ВСЕ возможные ЗНАЧЕНИЯ сумм нескольких (возможно,
одного, возможно, всех) из этих чисел. Например, если написано 2, 2, 7, 2013, то
Ваня запишет 2, 4, 7, 9, 11, 2013, 2015, 2017, 2020, 2022, 2024. А) Может ли на
доске появиться натуральный ряд от 1 до 14? Б) Может ли появиться запись 7, 8,
13, 14, 27, 28, 65? в)
17.
На бумажке учитель записал несколько чисел, после чего дал Ване задание выписать на доску ВСЕ возможные ЗНАЧЕНИЯ сумм нескольких (возможно,
одного, возможно, всех) из этих чисел. Например, если написано 2, 2, 7, 2013, то
Ваня запишет 2, 4, 7, 9, 11, 2013, 2015, 2017, 2020, 2022, 2024. А) Может ли на
доске появиться натуральный ряд от 1 до 14? Б) Может ли появиться запись 7, 8,
13, 14, 27, 28, 65? в) ЗДЕСЬ ЕЩЕ БУДЕТ ЗАДАЧА!
7 класс, серия 4 , графские
7 класс, серия 4 , графские
18. В двух классах вместе 47 учеников.
Известно, что для любых двух девочек-одноклассниц количества их
друзей среди мальчиков из другого
класса
не
совпадают.
Какое
наибольшее число девочек может
быть в этих классах?
19. В выпуклом четырехугольнике
ABCD AC = CD и ACD = 2BAC. Докажите, что 2BC  AD.
20. В государстве 1000 городов, и из каждого выходит не меньше шести дорог.
Однажды в государстве произошла революция, и оно разделилось на 143
республики. Каждая республика выбрала свою столицу. Докажите, что из какой-то столицы можно добраться хотя бы до одной из оставшихся.
18. В двух классах вместе 47 учеников.
Известно, что для любых двух девочек-одноклассниц количества их
друзей среди мальчиков из другого
класса
не
совпадают.
Какое
наибольшее число девочек может
быть в этих классах?
19. В выпуклом четырехугольнике
ABCD AC = CD и ACD = 2BAC. Докажите, что 2BC  AD.
20. В государстве 1000 городов, и из каждого выходит не меньше шести дорог.
Однажды в государстве произошла революция, и оно разделилось на 143
республики. Каждая республика выбрала свою столицу. Докажите, что из какой-то столицы можно добраться хотя бы до одной из оставшихся.
21. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L таким образом, что
ALB = 60, 2AL = BC и LC = AB. Найдите углы треугольника.
21. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L таким образом, что
ALB = 60, 2AL = BC и LC = AB. Найдите углы треугольника.
22. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих ребер равны. Докажите, что двигаясь
по стрелкам, можно добраться от любой вершины до любой другой.
22. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих ребер равны. Докажите, что двигаясь
по стрелкам, можно добраться от любой вершины до любой другой.
23. ABCD – выпуклый четырехугольник, K, M, N – середины сторон CD, AB и BC
соответственно. Докажите, что а) SABK = ½(SABC+SABD); б) Пусть SABCD= 1.
Найдите SABC+SDMC+SAND.
23. ABCD – выпуклый четырехугольник, K, M, N – середины сторон CD, AB и BC
соответственно. Докажите, что а) SABK = ½(SABC+SABD); б) Пусть SABCD= 1.
Найдите SABC+SDMC+SAND.
24. 38 попугаев передрались, измеряя рост удава. Каждый из них сумел выдрать
одно перо из чьего-то хвоста, и у каждого попугая было выдрано одно перо.
Кроме того, для любых трех попугаев можно указать четвертого, выдравшего
перо у одного из них. Доказать, что для наведения порядка удав может проглотить не более 6 попугаев, а остальных рассадить поровну в две клетки так,
чтобы ни один попугай не попал в одну группу со своим обидчиком.
24. 38 попугаев передрались, измеряя рост удава. Каждый из них сумел выдрать
одно перо из чьего-то хвоста, и у каждого попугая было выдрано одно перо.
Кроме того, для любых трех попугаев можно указать четвертого, выдравшего
перо у одного из них. Доказать, что для наведения порядка удав может проглотить не более 6 попугаев, а остальных рассадить поровну в две клетки так,
чтобы ни один попугай не попал в одну группу со своим обидчиком.
25. В каждой строке и в каждом столбце шахматной доски стоят по три ладьи.
Докажите, что можно выбрать 8 ладей, не бьющих друг друга.
25. В каждой строке и в каждом столбце шахматной доски стоят по три ладьи.
Докажите, что можно выбрать 8 ладей, не бьющих друг друга.
7 класс, серия 5 , и опять к геометрии
26.Из шахматной доски вырезали 7 клеток. Докажите, что на оставшиеся клетки
можно поставить 8 не бьющих друг
друга ладей.
27.30 школьников сели по двое за 15 парт
14 раз. Д окажите, что они могут сесть
и в пятнадцатый раз так, чтобы каждый сидел рядом с человеком, с которым не сидел еще ни разу.
28.Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из любого города можно проехать в любой
(возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил N билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города
A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом
городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в
городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X это либо A, либо B.
29.Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону в
отношении прилежащих сторон. Докажите то же самое и для биссектрисы
внешнего угла.
30.Чему равна максимальная разность между соседними числами среди тех,
сумма цифр которых делится на 7?
31.В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а
на стороне AC – точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL ≥1/2BC.
32.Точка D – середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана такая точка E, что BEA =  CED. Найдите отношение длин отрезков AE и DE.
33. Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел таких, что произведение любых 5 из них – четно, а сумма всех чисел – нечетна.
34.На стороне BC остроугольного треугольника ABC построен квадрат BCDE вершинами наружу. AN — высота треугольника ABC, точка M на луче AN такова,
что AM = BC. Через точку B провели прямую l  DM, а через точку C — прямую
s  EM. Докажите, что прямые l и s пересекаются на прямой AN.
7 класс, серия 5 , и опять к геометрии
26.Из шахматной доски вырезали 7 клеток. Докажите, что на оставшиеся клетки
можно поставить 8 не бьющих друг
друга ладей.
27.30 школьников сели по двое за 15 парт
14 раз. Д окажите, что они могут сесть
и в пятнадцатый раз так, чтобы каждый сидел рядом с человеком, с которым не сидел еще ни разу.
28.Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из любого города можно проехать в любой
(возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил N билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города
A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом
городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в
городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X это либо A, либо B.
29.Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону в
отношении прилежащих сторон. Докажите то же самое и для биссектрисы
внешнего угла.
30.Чему равна максимальная разность между соседними числами среди тех,
сумма цифр которых делится на 7?
31.В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а
на стороне AC – точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL ≥1/2BC.
32.Точка D – середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана такая точка E, что BEA =  CED. Найдите отношение длин отрезков AE и DE.
33. Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел таких, что произведение любых 5 из них – четно, а сумма всех чисел – нечетна.
34.На стороне BC остроугольного треугольника ABC построен квадрат BCDE вершинами наружу. AN — высота треугольника ABC, точка M на луче AN такова,
что AM = BC. Через точку B провели прямую l  DM, а через точку C — прямую
s  EM. Докажите, что прямые l и s пересекаются на прямой AN.
7 класс, серия 6 , сплошное неравенство
35.Внутри четырехугольника ABCD дана точка P.
Оказалось, что сумма расстояний от P до A и C
равна диагонали BD, а сумма расстояний от P
до B и D равна диагонали AC. Докажите, что
AC = BD.
36. Из картона сделан равнобедренный прямоугольный треугольник. Можно ли от него последовательно отрезать прямолинейными разрезами 8 равных кусочков?
37.По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ..., 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10
сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?
38.Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но
меньше 99) фальшивых монет. Все фальшивые монеты весят одинаково, все
настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.
39.Периметр выпуклого семиугольника равен 1 см. Может ли сумма длин всех его
диагоналей быть равной 7 см?
40.Из картона вырезано несколько прямоугольников. На плоскости нарисован
квадрат, сторона которого не меньше любой стороны любого из прямоугольников, а периметр не меньше суммы периметров прямоугольников. Докажите,
что все прямоугольники можно без наложений разместить в квадрате.
41.Существует ли выпуклый пятиугольник ABCDE, у которого все углы ABD, BCE,
CDA, DEB, EAC – тупые? Пятиугольник называется выпуклым, если все его внутренние углы меньше 180.
42.В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что
каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
7 класс, серия 7 , геом и дирихле
43.Точки M и N лежат на стороне AB, точка P – на стороне BC и точка Q – на стороне CA равностороннего треугольника ABC. Найдите угол между прямыми MP
и NQ, если известно, что MA+AQ = NB+BP = AB.
44.В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите, что A < 120
45.Дан прямоугольник ABCD, у которого AB > BC. На стороне AB отмечены точки K
и L такие, что K лежит между A и L и KL = BC. Докажите, что KD+LC < 0,5 P (периметр). рапеции ABCD (AD || BC) отмечена точка E такая, что BC = DE,
EAD = 70, BEC = 50. Докажите, что AD+CE > AE.
46. Бильярд имеет форму прямоугольника со сторонами 3 м и 1 м, луза находится
в одном из его углов. Шар расположен у длинной стороны прямоугольника в
двух метрах от лузы. Как надо его направить, чтобы он попал в лузу, предварительно отразившись от сторон бильярда а) 1 раз; б) 3 раза; в) 2n–1 раз г) 2 раза?
47.У любых двух из 20 детей в одной сельской школе
есть общий дед. Докажите, что у какого-то человека в этой школе учатся не менее 14 внуков и внучек.
48.Каждый из семи мальчиков в воскресенье три раза
подходил к киоску с мороженым. Известно, что
каждые двое встречались около киоска. Докажите, что в какой-то момент около
киоска одновременно встретились по крайней мере три мальчика.
49.В одной из школ 20 раз проводился кружок по астрономии. На каждом занятии
присутствовало ровно 6 школьников, причем никакие два из них не встречались на
кружке более одного раза. Доказать, что всего на кружке побывало не менее 25
школьников.
50.В съезде юных писателей участвуют 22 школьника. Любой из них перед съездом
прочитал произведения трех других участников съезда. Доказать, что можно составить комиссию из 4 человек, чтобы никто из членов этой комиссии не читал
произведения других?