ВАРИАНТ – 3 1

ВАРИАНТ – 3
На двух костях выпал разный результат. Какова вероятность того, что хотя
бы на одной выпала пятерка?
Решение:
Введем обозначения:
А1 – первый кубик
А2 – второй кубик
Тогда возможно всего выпадений (учитывая А1(n1=6), а для A2(n2=5)):
n1*n2=6*5=30=n. Далее рассмотрим, чтобы выпала 5 на первом кубике - всего 5 вариантов
и если выпадет 5 на втором кубике - всего 5 вариантов (тогда 5+5=10=m – всего вариантов
выпадений пятерки, учитывая разное выпадение очков). Тогда:
m 1
Р(А)= 
n 3
1
1
3
2 Мастерская получила 2 сверлильных и 3 токарных станка. Найти вероятность
того, что все они проработают полгода без поломок, если для сверлильного
станка вероятность поломки в течение полугода равна 0,4, а для токарного —
0,2 .
Решение:
Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
Р(А)-вероятность, что сверлильные станки проработают без поломок.
Р(В)- вероятность, что токарные станки проработают без поломок
Вероятность, что сломается сверлильный станок равна 0,4, вероятность, что он будет
работать без поломок 1-0,4=0,6.
Вероятность, что токарный станок будет работать без поломок 1-0,2=0,8
Р(А)=0,62=0,36
Р(В)=0,83=0,512
Р(АВ)=0,36*0,512=0,18432  0,18
Ответ: Р(АВ)  0,18
3 Из урны, содержащей 3 красных, 5 синих и 2 белых шара, извлекли
одновременно два шара. Какова вероятность того, что они - разного цвета
Решение:
Введем событие А – «два извлеченных шара разного цвета». Противоположным к
этому событию будет событие А -« два извлеченных шара одинакового цвета».
К1 – «Первый извлеченный шар красного цвета»
К2 – «Второй извлеченный шар красного цвета»
С1 – «Первый извлеченный шар синего цвета»
С2 – «Второй извлеченный шар синего цвета»
Б1 – «Первый извлеченный шар белого цвета»
Б2 – «Второй извлеченный шар белого цвета»
Тогда: А =К1К2+С1С2+Б1Б2
Следовательно:
Р(А)=1-Р( А )=1-Р(К1К2+С1С2+Б1Б2)
3 2 1
Р(К1К2)= * =
10 9 15
Ответ: P( A) 
Р(С1С2)=
5 4 2
* =
10 9 9
2 1 1
* =
10 9 45
 1 2 1  31
Р(А)=1-     
 15 9 45  45
Р(Б1Б2)=
31
45
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины X, заданной рядом
распределения
Ответ: Р(А)=
4
Xi Рi
0,8 0,1
1.2 0,1
1.6 0,2
2,0 0,4
2.4 02
Решение:
Составим таблицу:
Xi
Рi
Xi*Рi
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
Сумма:
0,1
0,1
0,2
0,4
0,2
0,08
0,12
0,32
0,8
0,48
1,8
Xi2
Xi2* Рi
0,64
1,44
2,56
4
5,76
0,064
0,144
0,512
1,6
1,152
3,472
М(Х)=1,8; Д(Х)=3,472-1,82=0,232; ( X )  0,48
Ответ: М(Х)=1,8; Д(Х)=0,232; ( X )  0,48
5 Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения
0, х  1
 2x  1
,1 x  2
F(X) = 
 2
1,2 x
Найти дифференциальную функцию f(x), математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X, построить графики f(x) и F(X),
Решение:
Найдем f(x):
0, x  1
 2x  1
,1 x  2
f(x)= f ( x )  
2

0,2 x
Найдем М(Х):

2
2
2
1
1
x3
M ( X )   x * f ( x )dx   x * ( 2x  1)dx   x 2 dx   xdx 
21
21
3

1
2
1
x2

4
2

1

D(X)=  x 2 * f ( x )dx  M( X)
2


2
2
2
1 2
1 2
x4
3
 x * f (x)dx  2 1 x * (2x  1)dx  1 x dx  2 1 x dx  4

2
2
1
x3

6
2

1
2
D(X)=
31  19 
    0,076
12  12 
(X)  D(X)  0,276
Графики:
f(x)
Ответ: М(Х)=1,58; D(X)=0,076; ( X )  0,276
F(X)
31
12
19
12