МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «МНОГОЧЛЕНЫ» ДЛЯ ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ
ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Одной из ключевых задач российского образования на современном этапе
является его ориентация на формирование познавательных и созидательных
способностей учащихся, необходимых для успешной социализации в обществе.
Согласно Концепции профильного обучения на предварительном этапе его
введения осуществляется переход на предпрофильное обучение в последнем
классе основной ступени общего образования. Целью обучения выпускников
основной школы
становится подготовка школьников к совершению
осознанного выбора – предварительного самоопределения в отношении
профилирующего
направления
собственной
деятельности.
Создание
образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся
основной школы, возможно через организацию курсов по выбору.
Настоящая программа предназначена для организации предпрофильной
подготовки в 9 классе общеобразовательной школы и рассчитана на 12 часов
(1 час в неделю).
Цели данного курса:
 расширение знания школьников о многочленах;
 показ различных применений теории многочленов;
 знакомство с приложением этой теории при решении олимпиадных
задач;
 воспитание математической культуры школьников;
 развитие устойчивого интереса к математике, мыслительных и
творческих способностей;
 повышение математической культуры учащихся в рамках школьной
программы по математике.
2
Теория многочленов является одной из самых содержательных теорий
современной алгебры. Её методы интересны, не трудоёмки для изложения и
приводят к глубоким результатам, имеющим многочисленные приложения.
Важность теории многочленов состоит ещё в том, что с помощью многочленов
можно получить хорошие приближения различных функций, что позволяет
применять теорию многочленов во многих вычислительных методах. Изучение
теории многочленов поможет ученику с единых позиций взглянуть на многие
задачи математики, успешно решать сложные уравнения и неравенства,
почувствовать связь между чистой и прикладной математикой. В предлагаемом
курсе каждое положение теории многочленов сопровождается примерами.
Кроме того, показываются различные применения теории многочленов.
Первые занятия по этому курсу предполагают повторение уже известных
школьнику фактов на новом уровне. Далее сложность излагаемых вопросов
постепенно нарастает, однако, она такова, что к изучению рассматриваемых
разделов теории можно привлечь сравнительно большое число учащихся, не
обязательно ориентированных на математику. Материал этого курса интересен,
доступен и не требует специальной предшествующей подготовки. Часть
предлагаемых к изучению вопросов находит своё место и в обычных учебниках
для общеобразовательной школы (пока, как правило, в виде дополнительного
материала).
Изучение курса предполагается построить в виде лекций, практических
занятий. На всех типах занятий предполагается активный диалог с учащимися.
Форма итогового контроля – самостоятельная работа.
В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как
путём использования задач различного уровня сложности, так и на основе
различной
степени
самостоятельности
осваивания
нового
материала.
Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников, в
том числе и не имеющих хорошей подготовки.
Предложенные методические рекомендации включают в себя:
3
 указания к каждой теме основных теоретических вопросов, которые
должен усвоить учащийся;
 Задачи, в которых показано применение теоретических сведений на
практике;
 задания для самостоятельной работы учащихся, большинство из них
с решениями, для всех заданий имеются ответы;
 самостоятельную работу с решениями и ответами.
Элективный
совершенствованию
курс
и
«Многочлены»
развитию
будет
математических
способствовать
знаний
и
умений,
формированию интереса к предмету, поможет учащимся оценить свои
способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор
профиля дальнейшего обучения.
Школьники, изучившие данный материал, смогут применять его при
решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.
Учебно- тематический план
№
Количество
занятия
1
Тема занятия
часов
Основные понятия теории многочленов. Действия с 1
многочленами.
2-3
4
5-6
Значения и корни многочленов. Схема Горнера.
2
Целые и дробные корни многочленов.
1
Делимость многочленов. Деление многочленов с
2
остатком.
7-8
Корни и линейные множители многочленов.
2
Теорема Безу.
9
Разложение многочленов на множители.
1
10
Наибольший общий делитель и наименьшее общее
1
4
кратное многочленов.
11
Кратные корни многочлена
1
12
Самостоятельная работа по курсу.
1
Итого:
12 часов
Содержание
Тема 1. Основные понятия теории многочленов.
Стандартный вид многочлена. Действия с многочленами. Степень многочлена.
Тема 2. Значения и корни многочленов. Схема Горнера.
Корень многочлена. Значение многочлена. Нахождение значений многочлена
по схеме Горнера.
Тема 3. Целые и дробные корни многочленов.
Теорема о целых корнях. Теорема о рациональных корнях.
Тема 4. . Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком.
Делимость многочленов. Деление многочленов нацело. Делимость многочленов
с остатком.
Тема 5. Корни и линейные множители многочленов.
Теорема Безу. Деление многочлена на линейный двучлен.
Тема 6. Разложение многочленов на множители.
Приводимые и неприводимые многочлены. Биквадратный трёхчлен.
Разложение многочленов на множители.
Тема 7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
многочленов.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов.
Основная теорема о делимости многочленов. Следствия теоремы о делимости
многочленов.
Тема 8. Кратные корни многочлена.
Кратные корни многочлена. Нахождение кратности корня многочлена по схеме
Горнера.
Занятие 1
5
Тема занятия: Основные понятия теории многочленов. Действия с
многочленами.
Цели занятия:
1. Формирование более общего понятия многочлена, актуализация
имеющихся знаний о
степени многочлена, значениях и корнях
многочлена; знакомство учащихся с понятием равенства многочленов в
алгебраическом смысле, а также формирование у учащихся умения решать
задачи на нахождение степени многочлена, свободного члена многочлена и
суммы коэффициентов многочленов;
2. Развитие памяти, мышления, внимания.
3. Привитие интереса к предмету математики, воспитание активной позиции
ученика на уроке.
Ход урока:
1) Актуализация знаний.
Выполнить устные задания:
а) Какие из выражений являются одночленами: 3х5у, х2у – 2,1ах, -abc3,
1,2(x – х3)?
б) Какова степень многочлена: х4 - 2х2 + 1,3х - 1,
3 – x2y6 – 1/3 xy8 + 0,5 x7y6z,
2ab2 – 0,1x15,
3х2 - 4х2y3 + 7х5 .
в) Повторить правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»
или знак «минус», распределительный закон умножения, формулы
сокращенного умножения.
2) Изучение нового материала.
Для
введения
определение одночлена.
понятия
многочлена
необходимо
повторить
6
Определение 1. Одночленом называется выражение, которое содержит
числа, натуральные степени переменных, и их произведения и не содержит
никаких других действий над числами.
Например, выражения 5х30,4у, -3ab2 2/3xy5, -1,7х3у5а являются
одночленами, а выражения 3с – а, 2ху/с одночленами не являются.
Введем понятие многочлена через алгебраическую сумму.
Определение 2. Алгебраическая сумма одночленов называется
многочленом.
Например, 3х2 +4х - 7, 5ma + 2x3 + 18 являются многочленами, тогда как
выражения
ху
,
х2 + 3у4 – 8
a+b
многочленами не являются.
3(x + y)
Введём следующие определения.
Определение 3. Подобными членами многочленов называются слагаемые,
имеющие одинаковую буквенную часть.
Если в многочлене все одночлены записаны в стандартном виде и приведены
подобные члены, то полученный многочлен называется многочленом
стандартного вида.
А теперь дадим более широкое определение многочлена.
Определение 4. Многочлен с одной переменной х – это выражение вида
a0xn + a1xn-1+… an-1x + an , где n – любое натуральное число или 0,
коэффициенты a0, a1, … an-1 , an – любые действительные числа. Выражения
a0xn, a1xn-1, an-1x , an называют членами многочлена. Число n называется
степенью многочлена. Коэффициент при наибольшем показателе степени х
многочлена называется старшим коэффициентом многочлена f(x), а
слагаемое, не содержащее х, называется свободным членом.
Определение 5. Степенью многочлена стандартного вида называется
наибольшая степень одночлена, входящего в состав данного многочлена.
Степень многочлена f часто обозначается через deg f (от английского
слова degree – степень). Например, deg (2х – 1 + 3х2) = 2, deg х5 = 5, deg(3) = 0.
7
Последний пример показывает, что число, отличное от нуля, считается
многочленом нулевой степени. Будем также считать многочленом константу,
равную нулю.
Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется
нулевым многочленом или просто нулём. В отличие от всех других
многочленов нулевой многочлен не имеет степени.
Многочлен, старший член которого равен 1 , называется приведенным.
Отметим одно из свойств операций над многочленами: Если f(x) b g(x) – два
многочлена, то
deg(f(x) g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x));
deg(f(x)  g(x))  max  deg(f(x)), deg(g(x)).
Многочлены,
как
и
любые
алгебраические
выражения,
можно
складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и
приведения подобных.
Из правила перемножения двух многочленов следует, что старший
коэффициент произведения двух ненулевых многочленов равен произведению
их старших коэффициентов. Из этого правила следуют еще два важных
теоретических утверждения:
1.Произведение двух ненулевых многочленов является ненулевым
многочленом.
2.Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней
этих многочленов.
Оба эти утверждения считаются верными и для любого числа многочленов.
Из правила умножения двух многочленов также следует утверждение:
свободный член произведения двух многочленов равен произведению их
свободных членов.
3) Закрепление полученных знаний.
Выполним
упражнения
следующие
вместе
с
оформления данных задач.)
упражнения.
учащимися,
(Учитель
уделяя
выполняет
внимание
данные
правильности
8
Пример 1 . Найдите степень многочлена
(х – 1)2 (х + 1)2 - (х2 + 1)2;
Решение. Приводим многочлен к стандартному виду:
(х – 1)2 (х + 1)2 - (х2 + 1)2 =((х – 1)(х + 1))2 – (х4 + 2х2 + 1) =
= (х2 – 1)2 - (х4 + 2х2 + 1) = (х4 - 2х2 + 1) - (х4 + 2х2 + 1) =
х4 - 2х2 + 1 - х4 - 2х2 - 1 = - 4х2;
Ответ: deg ((х – 1)2 (х + 1)2 - (х2 + 1)2) = 2.
Пример 2. Найти свободный член и сумму коэффициентов многочлена
f(x) = (2x2 - 3x + 1)1990 + (2x2 + 3x - 4)1991 .
Решение. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в
выражении (2x2 - 3x + 1)1990 + (2x2 + 3x - 4)1991 получится многочлен со
свободным членом f(0) = 1 - 41991 и суммой коэффициентов f(1) = 1.
Ответ: 1 - 41991; 1.
Задания для самостоятельной работы
1) Составить многочлен, если даны его коэффициенты:
а) 1; -4; 7; 0; 0; 1.
б) 3; -3; 5; 0; 6; -1/2; 0.
в) 6; 0; 7; 0; 4.
2) Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень:
а) (2х + 3)(3х – 4) – 2(2х2 – х – 3);
б) (х +1)(х + 2) – 2(х – 2)(х – 3) + (х – 1)(х + 4);
в) (1 + х)(х2 + 2х – 3) = (х2 + 1)(3 – х);
г) (х + 2)2 + (х - 2)2 – 2(х2 + 2);
д) (х + 1)4 - (х - 1)4 ;
е) (1 + х2)2 – (1 – х)2 ∙ х2;
ж) (х + 2)3 - (2 – х )3 ;
з) (х + 1)4 - 4 (х + 1)3 + 6(х + 1)2 - 4 (х + 1) + 1.
Ответ:
а) 2х2 + 3х – 6;
б) 16х – 14;
9
в) 6х2 – 2х;
е) - 2х3 + х2 + 1;
г) 4;
ж) 2х3 + 24х;
д) 8х3 + 8х ;
з) х4 .
3) Найдите свободные члены и суммы коэффициентов многочленов:
а) (3х2 – 4х + 2)10;
б) (х2 + х - 1)1998.
Ответ: а) 210; 1.
б) -1; 1.
После изучения этой темы учащиеся должны :

уметь выписывать строку коэффициентов и определять степень
многочлена по его стандартному виду, называть старший коэффициент и
свободный член многочлена; знать, что число коэффициентов многочлена на
единицу больше его степени;

уметь приводить многочлен к стандартному виду, выполняя действия
сложения, вычитания и умножения многочленов;

знать, что старший коэффициент произведения двух ненулевых
многочленов равен произведению их старших коэффициентов;

знать, что степень произведения двух ненулевых многочленов равна
сумме степеней этих многочленов;

знать, что произведение двух ненулевых многочленов является
ненулевым многочленом; если произведение двух многочленов равно нулю, то
хотя бы один из этих многочленов нулевой.
Занятие 2 - 3
Тема занятия: Значения и корни многочленов. Схема Горнера
Цели занятия:
1. Введение понятий «корень многочлена», «значение многочлена»; знакомство
с приемом нахождения значения многочлена по схеме Горнера.
2. Развитие вычислительных навыков, памяти, мышления, внимания.
3. Привитие интереса к предмету математики, воспитание культуры речи.
10
Ход урока:
1) Актуализация знаний.
Устно:
а) Для многочлена f(x) = 2x3+3x2 – 2x + 5 найдите f(0), f(1), f(-1), f(2).
б) Найдите корни многочлена: (х – 3)(х + 5)х, x2 + 4, x4 – 81, 2х – 18,
x2 – 7x + 12.
2) Изучение нового материала:
Занятие посвящено повторению понятия корня многочлена, а также
обсуждению понятия равенства многочленов и знакомству со схемой
Горнера. Введем несколько определений, которые пригодятся нам при
решении задач.
Пусть у нас дан многочлен a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an.
Определение. Число с называется корнем многочлена f(х), если значение
многочлена при х = с равно нулю.
Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени. Для
любого натурального числа п можно указать многочлены степени n,
имеющие ровно n корней.
Например, многочлен f(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)…(x – n) имеет n корней,
которыми будут являться числа 1, 2, 3, ... , n.
В тоже время существуют многочлены, число корней которых меньше их
степени. Так многочлен (х2 + 1 ) , степень которого равна 2, вообще не имеет
корней из множества действительных чисел.
Обсудим теперь понятие равенства многочленов. Если мы смотрим на
многочлен как на формальное выражение с переменной х, то естественно
считать, что два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и
соответствующие их коэффициенты равны. Такое равенство многочленов
называется равенством в алгебраическом смысле, то есть если:
f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an
и
11
g(x) = a0xm + a1xm-1+ … + am-1x + am , и многочлены f(x) и g(x) равны, то m = n и
a0 = b0, …, an = bn.
Однако на многочлен
f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an
можно смотреть, как на функцию. Но тогда можно говорить о равенстве двух
многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции
называются равными, если они имеют одну и ту же область определения и
каждому числу из этой области определения обе функции ставят в соответствие
одно и то же число. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем
называть равенством в функциональном смысле. Если многочлены f(x) и g(x)
равны, то для любого c  R имеем f(с) = g(с).
Итак, мы располагаем двумя понятиями о равенстве на множестве
многочленов. Эти определения понятия равенства многочленов эквивалентны.
Иначе говоря, если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они
равны и в функциональном смысле, и обратно.
Для решения задач важно запомнить:
1. Значение f (0) равно свободному члену многочлена;
2. f (1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Нахождение значений многочлена в соответствии с определением не
представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при
этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений
существует прием, называемой схемой Горнера – по имени английского
математика 16 века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из
двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена f = 2x4 – 9x3 – 32x2 – 57
при х = 7, строка его коэффициентов записывается первой, старший
коэффициент «дублируется» во второй строке, а перед ним ставится значение
переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается
таблица, пустые клетки которой нужно заполнить.
12
2
7
-9
- 32
0
- 57
2
Это делается по единому правилу: стоящее слева от заполняемой клетки
число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над ней. Поэтому в
первой пустой клетке получится 2 ∙ 7 + (-9) = 5, во второй - 5 ∙ 7 + (-32) = 3, в
третьей 3 ∙ 7 + 0 = 21 и в последней -
21 ∙ 7 + (-57) = 90. Полностью
заполненная схема Горнера выглядит так:
7
2
-9
- 32
0
- 57
2
5
3
21
90
Такие «непонятные» вычисления приводят к ответу: f (7) = 90 – это
последнее число второй строки.
Задача вычисления значений многочлена является абсолютно
алгоритмической, но не всегда лёгкой: непосредственная подстановка требует
обычно большого объёма вычислений и промежуточных записей. Эти
вычислительные трудности целесообразно использовать в качестве проблемной
ситуации, приводящей к основному рабочему приёму – схеме Горнера.
При изложении схемы Горнера следует особо обратить внимание на
правильность записи первой строки для многочленов, у которых имеются
нулевые коэффициенты. При записи схемы полезно проводить полужирную
или двойную черту для отделения числа с от первого числа во второй строке и
для отделения значения f(с) от предыдущих чисел. В первом случае эта черта
подчеркивает, что с не входит во вторую строку, во втором случае мы не только
графически отделяем нужный результат, но и показываем учащимся, что между
этими черточками стоят коэффициенты частного от деления f на (х – с) с
остатком.
Применяя схему Горнера, полезно обращать внимание на развитие
вычислительной культуры учащихся. Следует обратить внимание на
13
упражнения, связанные с восстановлением схемы Горнера по её фрагментам.
Эти упражнения представляются несколько искусственными, но то из них, где
требуется восстановить верхнюю строчку по нижней, полезно чисто
практически: оно может быть использовано для быстрого и компактного
умножения многочлена на линейный двучлен.
Так, для умножения многочлена 2x4 - 9x3 - 3x2 – 5 на х + 2 его можно
рассмотреть как частное и записать его коэффициенты в нижней строке, т.е.
начать вычисления с таблицы:
-2
2
-9
-3
0
-5
0
Далее идёт заполнение. В первой клетке первой строки стоит 2; затем, чтобы
получить – 9 после сложения с 2  (-2) = - 4, во вторую клетку ставим - 5 и ,
рассуждая аналогично, получаем схему:
-2
2
-5
- 21
-6
-5
- 10
2
-9
-3
0
-5
0
Таким образом, (2x4 - 9x3 - 3x2 – 5)( х + 2) = 2x5 – 5x4 - 21x3 – 6х2 - 5х – 10.
Можно сформулировать и правило умножения по схеме Горнера: для
получения «верхнего» числа (кроме первого) надо из «нижнего» вычесть
произведение предыдущего на число, стоящее слева вне строки
коэффициентов.
Можно также отметить, что именно схема Горнера как более экономная
используется при вычислениях на компьютерах и что она может
использоваться как один из наиболее простых примеров алгоритма,
содержащего цикл, при обучении программированию.
Для выработки навыков нахождения значения многочлена по схеме
Горнера можно предложить учащимся следующие задания:
1. Используя схему Горнера, вычислите значение f (c):
а) f = x3 – 5x2 + 3x – 4, если с = - 1; - 2; - 3; 4, 5, 6.
14
б) f = x4 + 3x2 + 2x + 1, если с = 1; 2; 3; - 2;
в) f = x5 – 3x4 + 5x3 – 7х2 + 4х – 6, если с = 2; 3; - 2; - 3;
Решение:
а) Составляем таблицу и заполняем её, используя правило. Числа,
записанные в последнем столбике, и есть значения многочлена f при заданных
значениях с.
1
-5
3
-4
-1
1
-6
9
- 13
-2
1
-7
17
- 38
-3
1
-8
27
- 85
4
1
-1
-1
-8
5
1
0
3
11
6
1
1
9
50
б) и в) аналогично.
2. Какие из чисел 1; - 1; 2; - 2; 3; - 3 являются корнями уравнения:
а) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0;
б) 3x5 – 2x4 – 19x3 – 5х2 – х – 6 = 0;
в) x6 + 3x5 – 11x4 – 21х3 + 40х2 + 36х – 48 = 0?
Решение:
б) Составляем схему Горнера и находим значения многочлена при
х =  1; х =  2; х =  3.
3
-2
- 19
-5
-1
-6
1
3
1
- 18
- 23
- 24
- 30
2
3
4
- 11
- 27
- 55
- 116
3
3
7
2
1
2
0
-1
3
-5
- 12
7
- 13
7
-2
3
-8
-3
1
-3
0
-3
3
- 11
11
- 38
113
- 345
15
При х = 3 и х = - 2 значения многочлена равны нулю. Значит, числа 3 и – 2
являются корнями данного уравнения.
Ответы: а) 1; 2; 3.
в) 1; 2; - 2.
3. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:
а)
1
1
б)
в)
2
1
3
-1
0
- 12
-2
11
-7
12
- 19
-1
-3
9
-4
2
а0
а1
а2
а3
а4
1
2
-1
-2
-3
- 13
Решение:
а)
1
Последовательно находим: а0 = 1;
2 = 1  1 + а1, а1= 1;
- 1 = 2  1 + а2, а2= - 3;
- 2 = - 1  1 + а3, а3= - 1;
- 3 = - 2  1 + а4, а4= - 1.
б)
1
1
0
11
-7
12
- 19
9
Для определения с решаем уравнение 12с – 7 = - 19
12с = - 12
с = - 1.
После определения с схема Горнера заполняется обычным образом.
16
Ответ:
-1
1
0
11
-7
9
1
-1
12
- 19
28
в)
3
- 12
-1
-4
2
- 13
Для нахождения с решаем уравнение 3с2 – 12с – 1 = - 13,
3с2 – 12с – 1 + 13 = 0,
3с2 – 12с + 12 = 0,
3(с2 – 4с + 4) = 0,
3(с – 2)2 = 0,
(с – 2)2 = 0.
с=2
Ответ:
2
3
- 12
-1
-4
2
3
-6
- 13 - 30 - 58
После изучения материала этого занятия учащиеся должны уметь
применять схему Горнера для вычисления значений многочлена и нахождения
корней многочленов и целых алгебраических уравнений.
Занятие 4
Тема занятия: Целые и дробные корни многочленов
Цели занятия:
1. Ознакомление учащихся с теоремой о целых корнях, с теоремой о
рациональных корнях; применение этих теорем к выполнению заданий.
17
2. Развитие вычислительных навыков учащихся, памяти внимания.
3. Воспитание самостоятельности и взаимопомощи.
Ход урока:
Мы очень часто сталкиваемся с многочленами, коэффициентами
которого являются целые числа. Вопрос заключается в том, как отыскать
рациональные корни многочленов.
В случае многочленов с целыми коэффициентами всегда можно
отыскать его рациональные, в частности, целые корни, если конечно, они есть.
Теорема ( о целых корнях ). Если целое число k – корень многочлена с
целыми коэффициентами, то k – делитель его свободного члена.
На этой теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с
целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и
поочерёдно вычислить значение многочлена от всех этих чисел. Однако этот
алгоритм может быть существенно упрощен, если применить дополнительное
утверждение, основанное на одной из формул сокращённого умножения.
Именно: из тождества
хn - yn = ( x – y )( хn – 1 + хn – 2y +x yn – 2 + yn – 1) вытекает, что для целых
чисел b и c число bn - cn делится на b – c.
Теорема( дополнительная теорема о целых корнях ). Если целое число
k – корень многочлена f с целыми коэффициентами, то k - 1 – делитель числа
f(1), k + 1 – делитель числа f( -1).
Доказательство: При с = 1 f (k) – f (1) делится на k – 1, и если f (k) = 0, то
-f (1), а значит, и f (1) делится на k – 1. Что и требовалось доказать.
В связи с теоремой о целых корнях необходимо поставить и решить с
учащимися вопрос об обратном утверждении. Естественно, что это
утверждение неверно, хотя учащиеся часто полагают противное. Опровергнуть
его можно двумя способами – привести простой контрпример ( х2 – 4 = 0 или
2х – 1 = 0) и «привести к абсурду» саму мысль о его справедливости: в этом
случае квадратное уравнение имело бы не максимум два корня, а столько
корней, притом целых, сколько делителей у его свободного члена.
18
Дополнительную теорему о целых корнях можно не рассматривать, хотя
её доказательство применяется при решении задач. Применяя эту теорему,
учащиеся вычисляют значения многочлена.
Рассмотрение алгоритма поиска целых корней многочленов связано с
комбинаторной задачей о числе делителей натурального числа. Эта задача
может быть предложена учащимся для самостоятельного решения. Например,
для числа 1568 = 25  72 все делители можно записать в виде таблицы:
1
2
4
8
16
32
7
14
28
56
112
224
49
98
196
392
784
1568
В первой строке записаны все степени числа 2 (от нулевой до пятой), вторая
строка получается умножением первой на 7, а третья – умножением второй на
7. Такая запись делает почти очевидным утверждение, что число делителей
числа вида pk  gl , где p и g – простые числа, равно
(k + 1)(l + 1). Эта формула легко переносится и на общий случай – на любое
число простых делителей числа. Так, число 27 53 7 132 имеет
8  4  2  3 = 192 делителя.
Способ
отыскания
рациональных
корней
многочленов
с
целыми
коэффициентами дается следующей теоремой.
Теорема ( о рациональных корнях ). Пусть рациональное число p/q – корень
многочлена с целыми коэффициентами, причём дробь p/q несократима. Тогда
числитель дроби p – делитель свободного, а знаменатель q – делитель
старшего коэффициента многочлена.
Доказательство:
Пусть f(х) = а0хn+а1xn-1 + а2хn-2+... + аn-1х + аn,(а0,а1,...,аn  Z).
Запишем
условие
того, что х 0 =p/q является корнем многочлена f(x) , числа р , q являются
взаимно простыми. Поэтому дробь p/q несократима.
Так как p/q - корень многочлена, то имеем
f( p/q ) = 0 или
а0(p/q)n+а1(p/q)n-1 + а2(p/q)n-2+... + аn = 0.
19
Умножая обе части этого равенства на q n , получим:
а0p n+а1p n-1 q + а2p n-2 q2+... + аnq n = 0.
Оставляя слагаемое а0p n в левой части равенства и перенося все
остальные слагаемые в правую часть с противоположным знаком,
получим:
а0p n = -( а1p n-1 + …+ аn-1p q n-2 + аnq n-1)q.
Из этого равенства следует, что произведение а0p n делится на q. Но поскольку p n
и q не имеют общих множителей, то на q делится а0.
Аналогично, исходя из равенства
аnp n = -( а0p n-1 + а1p n-2q + …+ аn-1p q n-1 )p
получим, что аn делится на p. Теорема доказана.
Важным следствием теоремы о рациональных корнях является
следующее утверждение:
Теорема. Если старший коэффициент многочлена с целыми
коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является
целым числом.
Эта теорема даёт алгоритм поиска рациональных корней многочлена с
целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и все
положительные делители старшего коэффициента и поочерёдно вычислять
значения многочлена от этих чисел.
Данная теорема может быть сформулирована и другими способами,
полезными для решения задач:
 Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не
может иметь дробных корней.
 Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим
коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные.
Пример 1. Найти все рациональные корни многочлена
2x3 - 7x2 + 5х – 1.
Решение: Пусть p/q – корень уравнения, тогда p нужно искать среди
делителей свободного члена, а q – среди делителей старшего коэффициента,
20
т.е. p =  1, q =  1,  2. Таким образом, рациональные корни уравнения 2x3
- 7x2 + 5х – 1 = 0 нужно искать среди чисел  1,  ½. Подставляя поочерёдно
данные числа в уравнение, получаем, что корнем является только число ½.
Ответ: ½.
Пример 2. Найти целые корни многочлена
f(х) = 2x3 + 2/3x2 – 1/2 x + 5/6.
Решение: Не все коэффициенты данного многочлена f(х) целые, поэтому
сразу применить теорему о целых корнях нельзя. Рассмотрим многочлен
f1(х) = 6  f(х) = 12x3 + 4x2 – 3 x + 5.
Корни многочлена f1(х) и f(х) совпадают. Ищем целые корни многочлена
f1(х) среди делителей его свободного члена:  1,  5. Имеем f1(1) = 18, f1(- 1)
= 0, f1(5) = 1590, f1(- 5) = 1380. Значит, f (х) имеет один целый корень х = - 1.
Ответ: - 1.
Для усвоения этой темы можно предложить учащимся следующие
задания:
1. Для чисел 5, 11, 17 выпишите все:
а) натуральные делители;
б) целые делители.
Сколько натуральных делителей имеет простое число?
Ответ: Простое число p имеет два делителя: 1 и p и четыре целых делителя  1,
 p.
2. Перечислите натуральные делители каждого из чисел:
а) 4; 9; 25; 49; 121;
б) 8; 27; 125;
в) 25; 36; 54; 73.
Ответ: Если p – простое число, то
а) p2 имеет делители 1, p, p2.
б) p3 имеет делители 1, p, p2, p3.
в) 25 имеет делители 1, 2, 22, 23, 24, 25. Остальные аналогично.
3. Какие из чисел 1; 2; - 3; - 5 являются корнями многочлена:
21
а) x3 – 38x2 + 37;
б) x3 + 3x2 + 50;
в) 2х4 – 5x3 + 11x2 –16x – 4?
Ответ: а) х = 1;
б) х = - 5;
в) х = 2.
4. Найдите все рациональные числа, которые являются корнями уравнения
при каком-либо целом а: х4 + 3x2 + 5 = 7x3 + аx + 13.
Ответ: Перепишем уравнение в виде х4 + 3x2 + 5 - 7x3 - аx – 13 = 0. Получаем х4
- 7x3 + 3x2 - аx – 8 = 0. Старший коэффициент уравнения равен 1, так что все
его рациональные корни целые и являются делителями числа 8. С другой
стороны, если с – целый корень уравнения, то после подстановки его в
уравнение получается верное равенство, которое можно рассматривать как
уравнение относительно а. Это уравнение всегда имеет решение, поскольку с 
0. Поэтому всякий делитель числа 8 при некотором а является корнем
уравнения. Значит, корнями являются числа  1,  2,  4,  8.
5. Найдите целые корни многочленов:
а) f(х) = x3 - x2 – 29х + 45;
б) f(х) = x3 - 6x2 + 11х - 6;
в) f(х) = х4 + x3 - 11x2 – 5х + 30.
Ответ: а) 5;
б) 1; 2; 3;
в) 2; - 3.
После изучения этой темы учащиеся должны:
 уметь решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета;
 уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений
любых степеней с целыми коэффициентами;
 знать формулировки теорем о целых и дробных корнях;
 уметь перечислять делители небольших целых чисел.
22
Занятие 5 – 6
Тема занятия: Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком
Цели занятия:
1) Знакомство учащихся с делением многочленов «уголком»; знакомство с
приёмом деления многочлена на линейный двучлен с помощью схемы
Горнера.
2) Развитие умения обобщать, конкретизировать; развитие вычислительных
навыков.
3) Воспитание активности и самостоятельности.
Ход урока:
Начать объяснение нового материала с введения определения.
Определение. Если многочлен f(x) делится на многочлен g(x) без остатка,
то g(x) называют делителем многочлена f(x).
Теорема. Для того, чтобы многочлен g(x) был делителем многочлена
f(x), необходимо и достаточно, чтобы f(x) можно было представить в виде
f(x) = g(x)q(x).
(1)
Доказательство:
Необходимость: Пусть g(x) делитель f(x): f(x) = g(x)q(x) + r(x), где r(x) –
остаток и он равен нулю. таким образом выполняется равенство из теоремы.
Достаточность: Пусть f(x) = g(x)q(x). Следовательно, остаток от деления
многочлена f(x) на g(x) равен нулю, то g(x) делитель f(x). Теорема доказана.
В дальнейшем вместо
фразы «многочлен f(х) делится на многочлен
g(х)» будем писать: f(х) : g(х). В этой записи символ
:
заменяет слово
«делиться на».
Например, x2 – 1 делится на х – 1, т.к. x2 – 1 = (х – 1) ( х + 1), x2 + 1 не
делится на х – 1.
Многочлен q(x) в равенстве (1) называется частным от деления f(x) на
g(x).
23
Заметим, что многочлен q(x) в равенстве (1) определяется однозначно:
если бы существовал ещё один многочлен q1(x), удовлетворяющий равенству
(1), то мы получили бы, что
f(x) = g(x)q(x) = g(x)q1(x),
откуда
g(x)(q(x) - q1(x)) = 0.
Но многочлен g(x) по условию ненулевой, и, значит, нулевым является
многочлен
q(x) - q1(x), т.е. q(x) = q1(x)).
Делимость многочленов обладает теми же свойствами, что и делимость
целых чисел. Рассмотрим эти свойства, причем доказательства в этом случае
учащимся даются в виде лекции.
Свойства делимости многочленов
1.Если f(х):g(х), g(х):h(х),то f(х):h(х) (свойство транзитивности)
Доказательство:
Деление f(х):h(х) означает следующее :  (х) : f(х) = g(х)   (х).
Деление g(х):h(х) означает, что  (х) : f(х) = g(х)   (х) . Следовательно,
f(x) = ( (х)   (х))h(х) т.е. h(х) - делитель f(х) .
2. Если f(х):g(х), g(х):h(х), то[f(х) ± g(х)]:h(х).
Доказательство:
Деление f(х):g(х) означает следующее:
f(х) = h(х)   (х). , а g(х) h(х) означает, что g(х) = h(х)   (х).
Следовательно, f(х) ± g(х) = h(х)  ((х) ± (х)), т.е. h(х) - делитель суммы или
разности.
3. Если f(х):h(х), то для любого g(х) имеем [f(х)  g(х)]:h(х).
Доказательство:
Так как f(х):h(х), то f(х) = h(х)  (х). Рассмотрим произведение
f(x)  g(x) = h(x)   (х)  g(х)].
Отсюда следует, что h(x) – делитель произведения.
24
4. Всякий многочлен f(x) делится на многочлен нулевой степени.
Доказательство:
Пусть с  Р, с – многочлен нулевой степени (с  0). Многочлен f(x) можно
представить в виде
f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + aт-1х + an = c (a0 xn/с + a1xn-1/с + … + an/с).
таким образом, с – делитель многочлена f(x).
5. Если f(х):g(x) , то f(х) : (с  g(x)), (с  0).
Доказательство:
Пусть f(x):g(х), это означает, что
f(x) = g(x)  h(x) = c  ((g(x)  h(x))/с) = c  g(x)  1/с  h(x). Следовательно, c  g(x) –
делитель многочлена f(x).
6. Многочлены f(x) и g(х) одновременно делятся
друг на друга тогда и
только тогда, когда g(x) = c  f(x), (с  0).
Доказательство.
1. Пусть f(x):g(х) и g(х):f(x), тогда
а) f(х) = g(х)   (х) и deg f(х) = deg g(х) + deg  (х);
б) g(х) = f(х)   (х) и deg g(х) = deg f(х) + deg  (х).
Складывая данные равенства, получим
deg f(х) + deg g(х) = deg f(х) + deg g(х) + deg  (х) + deg  (х). Отсюда имеем
deg  (х) + deg  (х) = 0. Так как степени неотрицательны, то deg  (х) = 0 и deg
 (х) = 0. Тогда g(x) = f(x)   (х) = c  f(x).
2. Пусть g(x) = c  f(x), то это означает, что g(x) : f(x). Но f(x) = 1/с  g(x) означает,
что f(x) : g(x). Что и требовалось доказать.
7. Делители многочлена f(х) являются также делителями многочлена
c  f(x).
Доказательство:
25
Пусть h(х) – делитель многочлена f(х), т.е. f(х) = h(х)   (х). Умножая обе части
равенства на с , получаем c  f(х) = h(х)  [с   (х)] .
Таким образом, h(х) является делителем многочлена с   (х). Что и требовалось
доказать.
Причем, можно допустить и возможность доказательства учащимися нескольких
свойств самостоятельно.
До сих пор мы говорили, что если деление многочлена на многочлен возможно, то
частное существует, но как его найти, мы еще не знаем. Существует несколько
способов
нахождения
частного.
Один
из
них:
метод
неопределенных
коэффициентов.
Рассмотрим пример 1 .
Методом неопределенных коэффициентов найти частное от деления многочлена
f(х) = х4 + 5х3 + 5х2 - 1 на многочлен g(х) = х + 1 .
Решение. По определению делимости многочленов и по свойству степени
произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 1 = 3 . Следовательно, q(x)
можно искать в виде q(x) = aх3 + bх2 + сх + d . Значит
х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = (х + 1)( aх3 + bх2 + сх + d);
х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = aх4 + (b + a)х3 + (с + b)х2 + (d + c)x –d .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (равенство многочленов в
алгебраическом смысле), получим систему для определения коэффициентов :
a = 1,
b + a = 5,
c + b = 5,
d + c =0,
d = -1.
Откуда а = 1, b = 4, с = 1, d = -1.
Ответ: искомое частное q(х) = х3 + 4х2 + х - 1 .
26
Делимость многочленов имеет большое значение для решения
уравнений: если многочлен f делится на многочлен q, т.е. представляется в виде
f = q h, то уравнение f (x) = 0 равносильно уравнению q (x) h(x) = 0. Поэтому
дальше надо решить уравнение q (x) = 0 и h(x) = 0, каждое из которых имеет
степень, меньшую степени многочлена f, т.е. существенно проще.
Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать
многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для её решения
полезным оказывается деление многочленов с остатком.
Сначала учащиеся вспоминают основные свойства делимости целых чисел
и замечают, что эти свойства похожи на свойства делимости многочленов.
Учитель указывает на еще одну важную аналогию, что при делении целого
числа n на целое число m  0 однозначно определяется частное и остаток.
Иначе говоря, для всякой пары целых чисел n и m  0 существует и при том
единственная пара целых чисел
q(частное) и г(остаток), которые
удовлетворяют двум соотношениям: n = mq + r, 0  r  m. Например, при
делении n = 73 на m = 13 имеем частное q = 5, остаток r = 8, так как 73 =
13  5 + 8, 0  8  13. При делении 19 на (- 5) получаем частноеq = - 3 и
остаток r = 4, так как 19 = (- 5)  (- 3) + 4, 0  4  - 5.
Аналогичный факт имеет место и для многочленов.
Остатком от деления многочлена f(х) на многочлен g(х) ≠ 0 называется
такой многочлен r(х), что:
1. разность f(х) – r(х) делится на g(х);
2. многочлен r(х) либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень
многочлена g(х).
Т.е. многочлен f(х) можно представить в виде f(х) = g(х)q(х) + r(х), где q(х) –
некоторый многочлен.
Теорема (о делении с остатком). Для любого многочлена f(х) и любого
ненулевого многочлена g(х) существует единственная пара многочленов q(х) и
r(х), для которой выполняется равенство
f(х) = g(х)q(х) + r(х),
27
где многочлен r(х) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую, чем степень
g(х).
На практике для нахождения частного и остатка обычно применяют
метод вычисления, названный «деление углом». Этим приёмом можно любой
многочлен f разделить с остатком на любой многочлен g ≠ 0.
Пример 1.
f
=
g q1 =
f1
4x5 – 3x3 + х – 1
2х2 – 3
=g
4x5 – 6x3
2х3 + 1,5х
= q1 + q2
3x3 + х – 1
=
3x3 – 4,5х
g q2 =
f2 =
5,5х –1
=r
Ответ: q = 2x3 + 1,5x r = 5,5x – 1.
Рассмотрим пример, когда остаток равен нулю.
Пример 2. Найти частное и остаток при делении многочлена
f(х) = х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2 на многочлен g(х) = х2 + 3х + 2.
Решение:
х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2
х4 + 3х3 + 2х2
х2 + 3х + 2
х2 - х - 1
- х3 - 4х2 – 5х – 2
- х3 - 3х2 – 2х
- х2 – 3х – 2
- х2 – 3х – 2
0
Итак, частное равно х2 - х – 1, остаток равен нулю. Значит,
х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2 = (х2 + 3х + 2) (х2 - х – 1), то есть (х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2) : (х2 + 3х + 2).
Ответ: q(х) = х2 - х – 1, r(х) = 0.
При выполнении заданий необходимо запомнить следующее: при
умножении многочлена f на число частное и остаток умножаются на это число,
а при умножении многочлена q на это число частное делится на это число, а
остаток не меняется.
28
После изучения метода деления многочленов с остатком полезно явным
образом обратить внимание учащихся на его очень существенные недостатки.
Так, из него совершенно неясно, всегда ли существует остаток от деления
одного многочлена на другой, и даже остается логическая возможность
существования нескольких остатков.
Схему деления уголком учащиеся должны освоить, однако чрезмерного
внимания ей уделять не следует, т.к. в задачах «разумной» трудности
непосредственно делить с остатком на многочлен, степени, большей 1,
приходится редко, а на линейные многочлены следует делить по схеме Горнера.
Задания для самостоятельной работы
1. Верны ли следующие утверждения:
а) (х4+16):(х2+4);
б) (х4 -16):(х2 -4);
в) (х4 -16):(х + 2);
г) (х2+4):(х4-16);
д) (х2+2х-3):(х + 1);
е) (х 2+2х-3):(х - 1).
Ответ: а) нет; б) да; с) да; д) нет; е) нет; е) да.
2. Методом неопределенных коэффициентов найдите частное от
деления f(x) на g(x):
а) f(x) = x4 – 5x3 + 5х2 – 1, g(x)= х – 1;
Решение: По определению делимости многочленов и по свойству степени
произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 1 = 3 . Следовательно,
q(x) можно искать в виде q(x) = aх3 + bх2 + сх + d . Значит
х4 - 5х3 + 5х2 - 1 = (х - 1)( aх3 + bх2 + сх + d);
х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = aх4 + (b - a)х3 + (с - b)х2 + (d - c)x –d .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для
определения коэффициентов :
29
a = 1,
b - a = -5,
c - b = 5,
d - c =0,
d = 1.
Откуда получаем: а = 1, b = -4, с = 1, d = 1.
Ответ: х3 - 4х2 + х + 1 .
б) f(x) = 3x4 – 4x3 + 1, g(x)= (х – 1)2;
Решение: По определению делимости многочленов и по свойству степени
произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 2 = 2 . Следовательно, q(x)
можно искать в виде q(x) = aх2 + bх + с . Значит
3x4 – 4x3 + 1 = (х - 1)2( aх2 + bх + с);
3x4 – 4x3 + 1 = aх4 + (b - 2a)х3 + (с - 2b +а)х2 + (b - 2c)x+ c .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для
определения коэффициентов :
a = 3,
b - 2a = -4,
с - 2b +а = 0,
b - 2c =0,
Откуда а = 3, b = 2, с = 1.
Ответ: 3х2 + 2х + 1 .
в) f(x) = 2x3 + x2 + 2х2 +3, g(x)= х + 1;
Ответ: 2х2 - х + 3.
3. Выполните деление «уголком»:
а) f = x3 – 5x2 + 7x – 2, q = х2 – 3х + 1;
б) f = x3 + 5x2 + 8x + 6, q = х2 + 2х + 2;
в) f = x4 – 4x3 + 9х2 – 10х + 6, q = х2 – 2х + 3;
30
г) f = x4 + 4x3 + 9х2 + 10х + 6, q = х2 + 2х + 2;
д) f = x5 + х2 – 4х – 2, q = х3 + 2х + 1;
е) f = x5 + 5x3 –х2 + 6х – 2, q = х3 + 3х – 1;
ж) f = 2x5 + 4x4 + 8x3 + 5х2 + 8х + 3, q = х2 + 2х + 3;
Ответ: 1) а) g = х – 2; б) g = х + 3; в) g = х2 – 2 х + 2; г) g = х2 + 2 х + 3;
д) g = х2 – 2; е) g = х2 + 2; ж) g = 2х3 + 2 х + 1.
4. Какие из многочленов
а) f1 = x2 + 3x + 2;
б) f2 = x3 – 3x2 + 2;
в) f3 = x4 – 3x2 + 2;
г) f4 = x4 – 2x3 + 2х2 – 9х + 8;
д) f5 = x4 + x3 + 3х2 + 4х + 1;
е) f6 = 2x5 – 5x3 – 8х + 10
делятся на: а) х –1;
б) х + 1?
Ответ: а) f2 , f3 , f4 ; б) f1 , f3 , f5 .
5. Разделите с остатком многочлен f на многочлен q:
а) f = x4 + 5x3 + 4х2 – 5х + 3, q = х2 + 3х + 1;
б) f = x4 + 3x3 – 5х2 + 4х – 2, q = х2 – 3х + 1.
Ответ: а) g = х2 + 2 х – 3; r = 2х + 6;
б) g = х2 + 6 х + 12; r = 34х – 14;
6. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена,
стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в
знаменателе. Выделить из дроби целую и правильную части – это значит
представить её в виде суммы многочлена ( «целой части» ) и правильной
дроби ( «правильной части» ).
Выделите правильную часть из дроби f/q , где:
а) f = 2x – 1, q = х + 2;
б) f = 2x – 1, q = 3х + 4;
в) f = x3 – 5x2 + 5х – 2, q = х2 – 3х – 1;
31
г) f = x3 + 5х2 – 8х – 4, q = х2 – 2х – 2.
После изучения темы учащиеся должны:
 знать свойства делимости многочленов;
 уметь выполнять деление многочленов «углом»;
 уметь применять метод неопределенных коэффициентов;
 применять схему Горнера при делении многочлена на линейный
двучлен.
Занятие 7 – 8
Тема занятия: Корни и линейные множители многочленов. Теорема Безу
Цели занятия:
1. Знакомство учащихся с теоремой Безу, доказательство следствий на
уроке, показ учащимся практического применения теоремы Безу при решении
задач.
2. Развитие устойчивого познавательного интереса, вычислительного
навыка при решении задач, умения абстрагировать и обобщать полученные
результаты.
3. Воспитание математической культуры, аккуратности и взаимопомощи.
Ход урока:
Данное занятие учитель проводит в виде лекции, а для лучшего усвоения
включает упражнения с разобранными решениями, которые можно либо
заранее вынести на доску, либо рассматривать на уроке (абстрактнодедуктивный метод).
Рассмотрим пример. Разделить многочлен f(х) = х3 + Зх2 - 7х - 6 на х - 1, х - 2,
х + 3 с остатком.
Деление можно выполнить любым способом.
32
В итоге получим
f(x) = (x - 1)( x2 + 4х - 3) - 9, r = -9;
f( х) = (х - 2)(х2 + 5х + 3), r = 0;
f( х) = (х + 3)(х2 - 7) + 15, r = 15,
где r - остаток,
Подсчитаем значения многочлена в точках х = 1, х = 2, х = -3.
получим f(1) = 1 + 3 – 7 – 6 = - 9,
f(2) = 8 + 12 – 14 – 6 = 0,
f(-3) = - 27 + 27 + 21 – 6 = 15.
Можно заметить, что в рассмотренном примере в остатке всякий раз
получается число, равное значению многочлена в соответствующей точке.
Такое
совпадение
не
случайно.
Справедлива следующая
теорема,
играющая важную роль в теории многочленов и ее приложениях.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен х–а равен
значению многочлена при х = а .
Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен f(х) и разделим
его с остатком на двучлен х - а. Так как степень этого двучлена равна 1, то
остаток либо равен нулю, либо имеет степень нуль. И в том и в другом случае
остаток r есть число. Значит, многочлен f(x) можно записать в виде
f(x) = (x - a)q(x) + r
Положив в этом тождестве х = а, получим, что f(а) = r. Теорема
доказана.
Следствие 1. Многочлен f(x) делится на х- а тогда и только тогда,
когда число а является его корнем.
Пример 1. Многочлен f(x)
при делении на (х-3) дает остаток 5, а при
делении на (х-1) - остаток 7. Какой остаток дает f(x) при делении на
(х - 3)(х - 1) ?
33
Решение. Делитель (х - 3)(х - 1) имеет степень 2 . Поэтому остаток есть
многочлен степени не выше первой, т.е. r(x) = ax + b и нам нужно найти a и b.
Обозначим частное через q(x). Тогда f(x) = ((x - 3)(x - 1))q(x) + (ax + b).
При х = 3 получим f(3) = За + b , но по условию и в силу теоремы Безу
f(3) = 5 , поэтому За + b = 5 . Аналогично при х = 1 получим а + b = 7.
Решая систему двух линейных уравнений
За + b = 5 ,
а + b = 7 , получим а = - 1, b = 8.
Значит, r(х) = - х + 8.
Ответ: r(х) = - х + 8.
Выполним еще одно задание для лучшего усвоения теоретического
материала темы, при выполнении которого учитель уделяет внимание
математической культуре, правильности оформления и записи задачи.
Пример 2. При каких a и b многочлен f(х) = x3 +aх2 +bх + аb при делении на
х-2 имеет остаток 15, а на х+1 делится без остатка.
Решение. По теореме Безу f(2) = 15 и f(-1) = 0. Вычисляя f(2) и f(-1) для
определения a и b, получаем систему
8 + 4a + 2b + ab = 15,
-1+ a – b + ab = 0.
решая которую, находим два ее решения
a1 = 1,
b1 = 1
a2 = 1,
и
b2 = 1.
Условию задачи удовлетворяют два многочлена
f1(х) = х3 +х2 + x + 1 и f2(x) = х3 +3х2 -х-3.
Ответ: f1(х) = х3 +х2 + x + 1,
f2(x) = х3 +3х2 -х-3.
Следствие 2. Если 1, 2, … n – различные корни многочлена f(х), то
f(х): ((х - 1) (х - 2)… (х - n)).
34
Следствие 3. Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не
больше, чем его степень.
Доказательство. Пусть f(х) многочлен, f(х)  0 и deg f(x) = n.
Предположим, что f(х) имеет k различных корней и пусть 1, 2, … k эти корни. Тогда по следствию 2
f(х) = ((х - 1) (х - 2)… (х - k))q(x)
и, значит,
deg f(x) = deg ((х - 1) (х - 2)… (х - k)) + deg q(x)
или n = k + deg q(x). Так как deg q(x)  0 , то k = n.
Уже упоминался тот факт, что если два многочлена равны, т.е. их
значения совпадают при любом х  R , то совпадают и их коэффициенты при
одинаковых степенях х.
Следствие 4. Если значения двух многочленов совпадают, степени
которых не меньше n, совпадают в n + 1 точке, то эти многочлены равны.
Доказательство. Пусть 1, 2, … n+1 - различные числа, f(х) и g(х) –два
многочлена, степени которых не больше n, принимающие в этих точках равные
значения. Пусть h(х) = f(х) – g(x). Если h(х) не является нулевым многочленом,
то deg q(x)  0 . Имеем h(i) = f(i) - g(i) = 0
(i = 1,2,...,n+1) т.е. h(х) имеет, по крайней мере, n+ 1 корень. Это противоречит
следствию 3. Следовательно, h(х) есть нулевой многочлен, т.е. f(х) = g(х), что
и требовалось доказать.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите остаток от деления многочлена f(х) на g( х):
а) f(х) = x4 + 14x3 – 27х + 22, g(х) = х - 3;
б) f(х) = x4 + 9x3 + 17х2 – 2х - 40, g(х) = х + 1;
в) f(х) = 3x4 - 5x3 - 11х2 – 7х + 12, g(x) = х - 1;
г) f(х) = х5 + 2x4 - 3x3 + 4х2 – 5х + 6, g(x) = х + 1;
д) f(х) = x4 - 3x3 + 5х2 – 2х + 7, g(x) = х - 2;
е) f(х) = x4 + 7x3 + 2х2 – 3х - 5, g(x) = х + 1;
35
ж) f(х) = 2x4 - 3x3 - 4х2 + 8х + 1, g(x) = х - 2;
з) f(х) = x5 - 3х2 + 7х + 14, g(x) = х + 1;
Ответ:
б) r = 400;
б) r = - 29;
в) r = - 8;
г) r = 19;
д) r = 15;
е) r = - 6;
ж) r = - 39;
з) r = 3.
36
2. Решите уравнение:
а) x3 – 3x + 2 = 0;
Решение: С помощью схемы Горнера проверяем, являются ли корнями
уравнения числа 1, 2.
1
0
-3
2
1
1
2
-2
0
-1
1
0
-2
4
2
1
4
1
0
-2
1
-2
1
0
Корнями уравнения будут числа 1 и 2.
Ответ: 1; 2.
б) x3 + x2 – 5х + 3 = 0.
Ответ: - 3; 1.
3. Используя схему Горнера, приведите многочлен к стандартному виду:
а) (х – 2)(x3 + x2 + х + 1).
Решение:
2
1
-1
-1
-1
-2
1
1
1
1
0
Ответ: (х – 2)(x3 + x2 + х + 1) = x4 - x3 - х2 - х – 2.
4. Решите уравнение:
а) (x2 – х + 1) = 3x2 – x3 – х4 .
5. Вычислите
а) f(4), если f(х) = x4 - 3x3 + 6х2 – 10х + 16;
f(5), если f(х) = x4 - 3x3 - 14х2 – 6х + 4.
Ответ: а) f(4) = 136;
б) f(5) = - 126.
6. При каком значении а остаток от деления многочлена
а) x4 - аx3 + 4х2 – х + 3 на х – 2 равен 9;
б) x3 - 3х2 – 16х + а на х + 3 равен – 4,5?
Ответ: а) при а = 3;
37
б) при а = 2 и а = 11.
7. Дан многочлен f(х) = 2x3 - 3х2 – ах + b. Каковы дожны быть значения а
и b, чтобы многочлен f(х) при делении на х + 1 дал остаток, равный 7,
а при делении на х – 1 дал остаток, равный 5?
Ответ: а = 3, b = 9.
8. Многочлен f(х) при делении на х + 1 дает остаток 1, а при делении на
х – 4 – остаток 6. Найти остаток от деления f(х) на (х2 – 3х – 4).
Ответ: r(х) = х – 2.
После изучения темы учащиеся должны:
 знать теорему Безу и применять её при решении задач;
 уметь находить корни многочленов и делить многочлен на
линейный двучлен с применением схемы Горнера.
Занятие 9
Тема занятия: Разложение многочленов на множители
Цели занятия:
1. Введение понятий «неприводимый многочлен», «возвратный
многочлен», знакомство с разложением биквадратного трёхчлена на
множители.
2. Совершенствование умения находить корни многочлена с помощью
схемы Горнера. Развитие вычислительных навыков, логического
мышления, внимания, памяти.
3. Воспитание упорства в достижении целей, самостоятельности и
активности.
Ход занятия:
1) Устно: Разложить на множители многочлен:
а) 2х – 8;
г) 4х2 + 4х +4;
ж) 7а – 7х + ау – ху;
б) х2 – 121;
д) х2 + 9;
з) х4 - у4.
38
в) х3 – 4х;
е) х2 + 2х +1;
2) Изучение нового материала.
После того, как в ходе выполнения устных упражнений учащиеся
приходят к выводу, что не каждый многочлен можно разложить на
множители, учитель вводит определение неприводимого многочлена.
Определение. Многочлен степени большей или равной 1, называется
неприводимым, если его нельзя разложить в произведение многочленов
меньшей степени.
Остальные многочлены степени, большей или равной 1, называются
приводимыми. Многочлены нулевой степени не считаются ни приводимыми,
ни неприводимыми. Многочлены степени 1 неприводимы. Если многочлен
степени, большей 1, имеет корень, то (по теореме Безу) в нём может быть
выделен линейный множитель, т.е. многочлен раскладывается в
произведение многочленов меньшей степени и является поэтому
приводимым. Обратное неверно.
Однако для многочленов степени 2 и 3 обратное всё же верно: если
такой многочлен разложен на множители меньшей степени, то хотя бы один
из них имеет степень 1, а такой многочлен всегда имеет корень.
Определение. Биквадратным трёхчленом называется многочлен вида
аx4 + bx2 + с, где а ≠ 0.
Этот многочлен можно рассматривать как квадратный трёхчлен
относительно переменной у = х2: если f = аx2 + bx + с, то
аx4 + bx2 + с = а(x2 )2 + bx2 + с = ау2 + bу + с.
Способ разложения биквадратного трёхчлена на множители зависит от
знака дискриминанта соответствующего квадратного трёхчлена.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 2x4 + 3x2 – 14.
2x4 + 3x2 – 14 = 0;
у = х²; 2у2 + 3у – 14 = 0;
D = b² - 4ac; D = 9 – 4 · 2 · (- 14) = 121, D > 0.
у1 = 2; у2 = - 3,5;
39
2у2 + 3у – 14 = 2(у – 2)(у + 3,5) = (у – 2)(2у + 7)
2x4 + 3x2 – 14 = (х² - 2)(2х² + 7).
Ответ: 2x4 + 3x2 – 14 = (х² - 2)(2х² + 7).
Затем учитель вводит определение возвратного многочлена.
Определение. Возвратным называют многочлен, у которого строка
коэффициентов слева направо и справа налево читается одинаково.
Например, многочлен f(x) = х5 - 5x4 + 8x3 - 5х2 + х + 2 – возвратный.
Решить уравнение для возвратного многочлена f(x) = 0 можно всегда:
если получился трёхчлен, не имеющий корней, то и заданное уравнение
корней не имеет.
Пример 2. Решить уравнение х5 - 5x4 + 8x3 - 5х2 + х + 2 = 0.
Решение: Числа  1 не являются корнями данного уравнения. Проверяя по
схеме Горнера значение х = 2 , получаем:
2
1
-5
8
-5
1
2
1
-3
2
-1
-1
0
Следовательно, 2 – корень уравнения. Остается решить уравнение
x4 - 3x3 + 2х2 - х – 1 = 0. Разложим левую часть уравнения на два квадратных
трёхчлена с целыми коэффициентами:
x4 - 3x3 + 2х2 - х – 1 = (ax2 + bx + c)( px2 + qx + r). Получаем, что ap = 1,
откуда
a = p = 1. второй случай не рассматриваем, так как он сводится к первому.
Считаем, что a = p = 1, т. е. x4 - 3x3 + 2х2 - х – 1 = (x2 + bx + c)(x2 + qx + r).
Раскрываем скобки:
x4 - 3x3 + 2х2 - х – 1 = x4 + qx3 + rх2 + bх3 + bqx2 + brx + cx2 + cqx + cr =
= x4 + x3 (q + b)+ х2 (r + bq +c) + x (br + cq) + cr.
Получаем: q + b = - 3;
r + bq +c = 2;
br + cq =- 1;
cr = - 1.
40
Из последнего вытекает два случая: c = 1, r = - 1 и c = - 1, r = 1. в обоих
случаях c + r = 0. Второе уравнение принимает вид bq = 2, а отсюда и из
первого уравнения получаем, что либо b = - 1, q = - 2, либо b = - 2, q = - 1. В
первом случае третье уравнение принимает вид -r – 2c = -1, и, учитывая,
что,
c + r = 0, получаем c = 1, r = - 1. Во втором случае наоборот, c = - 1, r = 1.
Таким образом, найденный набор коэффициентов b = -1, q = -2, c = 1, r = -1
либо b = -2, q = -1, c = -1, r = 1 удовлетворяет системе и приводит к
единственному разложению
x4 - 3x3 + 2х2 - х – 1 = (x2 - x + 1)( x2 - 2x - 1).
Решаем два уравнения x2 - x + 1 = 0 и x2 - 2x – 1= 0. Первое не имеет
действительных корней, второе имеет корни 1  2. Значит, уравнение имеет
три корня: 1  2 и 2.
Ответ: 1  2 ; 2.
При рассмотрении данного примера использовался метод
неопределённых коэффициентов.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
f(х) = x3 - 3х2 - 16х – 12.
Решение: Многочлен f(x) приведенный, поэтому его рациональные корни
(если они существуют) являются целыми и находятся среди делителей
свободного члена. Искать рациональные корни следует среди чисел ±1, ±2,
±3, ±4, ±6, ±12. Проверяем эти числа по схеме Горнера:
1
-3
- 16
- 12
1
1
-2
- 18
- 30
-1
1
-4
- 12
0
2
1
-1
- 18
- 48
-2
1
-5
-6
0
3
1
0
- 16
- 60
-3
1
-6
2
- 18
41
4
1
1
- 12
- 60
-4
1
-7
12
- 60
6
1
3
2
0
-6
1
-9
38
240
12
1
9
92
1092
- 12
1
- 15
164
1980
Таким образом, корнями многочлена f(х) = x3 - 3х2 - 16х – 12 являются числа
- 1, - 2 и 6. Значит, x3 - 3х2 - 16х – 12 = (х + 1)(х + 2)(х – 6).
Ответ: f(х) = (х + 1)(х + 2)(х – 6).
Задания для самостоятельной работы
1. Решить уравнение:
а) x6 – 7x3 + 6 = 0
Решение: Уравнение будем решать методом замены переменной. Пусть x3 =
а. Тогда уравнение x6 – 7x3 + 6 = 0 будет равносильно уравнению а2 – 7а + 6
= 0.
D = b2 – 4ac, D = 25.
а1= 6, а2= 1.
Делая обратную замену, получаем x3 = 6 и x3 = 1. Из первого уравнения
получаем х = 36, из второго х = 1.
Ответ: 36; 1.
б) x8 + 2x4 – 8 = 0;
в) x10 + x5 – 6 = 0.
2. Разложите на множители многочлен
а) x4 – 5x2 – 36;
Решение: Найдем корни уравнения x4 – 5x2 – 36 = 0. Делаем замену x2 = а и
находим корни уравнения а2 – 5а – 36 = 0.
D = b2 – 4ac, D = 169.
а1= 9, а2= - 4.
42
Делая обратную замену, получаем x2 = 9 и x2 = - 4. Из первого уравнения
получаем х =3, второе уравнение корней не имеет.
Разделим многочлен x4 – 5x2 – 36 на линейный двучлен х – 3 по схеме
Горнера:
3
1
0
-5
0
- 36
1
3
4
12
0
Получили x4 – 5x2 – 36 = (х – 3)(x3 + 3x2 + 4х + 12).
Разделим многочлен x3 + 3x2 + 4х + 12 на х + 3.
-3
1
3
4
12
1
0
4
0
Получаем x3 + 3x2 + 4х + 12 = (х + 3)(x2 - 4).
Значит
x4 – 5x2 – 36 = (х – 3)(х + 3)(x2 - 4) = (х2 – 9)( х2 + 4).
Ответ: (х2 – 9)( х2 + 4).
б) x4 – x2 – 2.
Ответ: (х2 – 2)( х2 + 1).
После изучения темы учащиеся должны:
 знать определения неприводимого и возвратного многочленов;
 уметь раскладывать многочлен на множители.
Занятие 10
Тема занятия: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
многочленов
Цели занятия:
1. Введение понятий «наибольший общий делитель многочленов»,
«наименьшее общее кратное многочленов», ознакомление с основной
теоремой о делимости многочленов и следствиями из неё.
43
2. Совершенствование умения раскладывать многочлен на множители;
развитие вычислительных навыков, мышления, внимания, памяти.
3. Воспитание самостоятельности, упорства в достижении целей,
взаимопомощи.
Ход занятия:
Учитель вводит определения:
Определение 1. Наибольшим общим делителем (НОД) двух или
нескольких многочленов называется многочлен наибольшей степени, на
который делятся эти многочлены.
Определение 2. Наименьшим общим кратным (НОК) многочленов
называется многочлен наименьшей степени, который делится на эти
многочлены.
Чтобы найти НОД и НОК многочленов, нужно уметь раскладывать
многочлены на множители.
Пример 1. Найти НОД и НОК многочленов
х3 + 2х2 – 1 и х3 + х2 + х + 1.
Решение:
1) Корни многочлена х3 + 2х2 – 1 найдем по схеме Горнера. Проверяем,
являются ли корнями числа 1:
1
2
0
-1
1
1
3
3
2
-1
1
1
-1
0
Получаем, что корнем многочлена является число -1. Значит,
х3 + 2х2 – 1 = (х + 1)( х2 + х - 1).
2) Многочлен х3 + х2 + х + 1 разложим на множители способом группировки:
х3 + х2 + х + 1 = х2 ( х + 1) + (х + 1) = (х + 1)( х2 + 1).
Тогда наибольший общий делитель данных многочленов равен х + 1, а
наименьшее общее кратное равно (х + 1)( х2 + 1) ( х2 + х - 1).
Ответ: х + 1; (х + 1)( х2 + 1) ( х2 + х - 1).
44
Определение 3. Разложение многочлена f в виде f = а0 p1k1∙ p2k2 ∙ … pnkn ,
где а0 – старший коэффициент f, k1 , k2 , …, kn – натуральные числа,
называется каноническим.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите НОД и НОК многочленов:
а) (х – 1)(х + 1)(х – 2) и (х – 1)2(х + 1);
Ответ: (х – 1)(х + 1), (х – 1)2(х + 1)(х – 2).
б) ( х + 1)(х + 2)(х + 3) и ( х – 1)(х + 2)(х + 3);
Ответ: (х + 2)(х + 3), (х2 – 1)(х + 2)(х + 3).
в) ( х + 1)(х2 + х + 1) и ( х + 2)(х2 + х + 1);
Ответ: (х2 + х + 1), (х + 1)(х + 2)(х2 + х + 1).
г) (х2 + 2х + 3)(х2 + 3х + 4) и (х2 + 3х + 4) ( х + 1)(х + 2).
Ответ: х2 + 3х + 4, (х2 + 3х + 4) (х2 + 2х + 3)(х + 1)(х + 2).
д) х3 + х – 2 и х3 + х2 - х – 1;
Решение:
1) Раскладываем на множители многочлен х3 + х – 2. Корни многочлена
будем находить по схеме Горнера среди чисел 1, 2.
1
0
1
-2
1
1
1
2
0
-1
1
-1
2
-4
2
1
2
5
8
-2
1
-2
5
- 12
Получили, что корнем многочлена х3 + х – 2 является 1. Тогда
х3 + х – 2 = (х – 1)(х2 + х + 2).
2) Многочлен х3 + х2 - х – 1 разложим на множители способом
группировки:
х3 + х2 - х – 1 = (х3 + х2 ) – (х + 1) = х2(х + 1) - (х + 1) =(х + 1) (х2 – 1) =
= (х + 1)(х – 1)(х + 1).
Тогда НОД данных многочленов равен х – 1, НОК равно
(х + 1)2(х – 1)(х2 + х + 2).
45
Ответ: х – 1; (х + 1)2(х – 1)(х2 + х + 2).
е) x3 + 6х2 + 11х + 6 и x3 + 7х2 + 14х + 8;
Решение:
1) Находим корни многочлена x3 + 6х2 + 11х + 6 по схеме Горнера среди
делителей свободного члена:
1
6
11
6
1
1
7
18
24
2
1
8
27
60
3
1
9
38
120
6
1
12
83
504
-1
1
5
6
0
-2
1
4
3
0
-3
1
3
2
0
-6
1
0
11
- 60
Корнями многочлена x3 + 6х2 + 11х + 6 являются числа -1, -2, -3. Значит,
x3 + 6х2 + 11х + 6 = (х + 1)(х + 2)(х + 3).
2) Многочлен x3 + 7х2 + 14х + 8 можно разложить на множители способом
группировки.
x3 + 7х2 + 14х + 8 = (х + 2)(х + 1)(х + 4).
Таким образом, НОД данных многочленов равен (х + 1)(х + 2), НОК равно
(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4).
Ответ: (х + 1)(х + 2); (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4).
2. Найдите каноническое разложение чисел:
391; 851; 1772; 1995; 14400.
Ответ:
После изучения данной темы учащиеся должны:
 знать определение наибольшего общего делителя и наименьшего
общего кратного многочленов, уметь находить их;
46
 знать основную теорему о делимости многочленов и применять её
при решении задач;
 уметь раскладывать многочлены на множители по схеме Горнера и
способом группировки.
Занятие 11
Тема: Кратные корни многочлена
Цели занятия:
1. Знакомство учащихся с понятием кратных корней,
использование
схемы Горнера в данной теме.
2. Развитие умений логически мыслить, абстрагировать, делать
соответствующие выводы;
3. Воспитание устной и письменной математической речи, памяти и
внимания.
Ход урока:
Раннее мы рассмотрели вопрос, что называется корнем многочлена, а
теперь рассмотрим, какие же корни называются кратными.
Пусть у нас есть многочлен f(х) с целыми коэффициентами и х0 - его
корень, тогда, согласно следствию из теоремы Безу:
Следствие. Многочлен f(x) делится на (х - х0) тогда и только тогда, когда
х0 его корень.
Приведем пример использования следствия из теоремы Безу при
решении задач.
Пример 1. При каком значении а многочлен f(х) = х3 +ах + 10 делится
на х - 2 без остатка?
Решение. Воспользуемся следствием из теоремы Безу. Если х3 +aх + 10
делится на х-2, то 2 - корень многочлена х 3+aх + 10. Подставим в
47
формулу f(x) значение х = 2, получится: f(2) = 8 + 2a -10 = 2a - 2. Из
равенства f(2) = 0 находим, что а = 1.
Ответ: а = 1.
Может получиться так, что f(х) делится не только на (х-х0), но и на (хх0)2 или даже на более высокую степень выражения (х-х0), тогда говорят,
что х0 - кратный корень многочлена f(х). Отсюда можно сделать вывод.
Определение 1. Наибольшее значение числа k, такое, что f(x)
делится на (x - x 0) k называется кратностью корня x 0 многочлена f(x).
Если k > 1, то x0 - простой корень многочлена f(x). Иногда говорят и о
корнях кратности нуль - это числа, не являющиеся корнями многочлена.
Пример 2. Найти кратность корня х0 = 1 многочлена
f(х) = х5 - 5х4 - 2х3 + 26х2 -31x +11.
Решение. Используя схему Горнера, делим f(х) последовательно
на (х - 1), до тех пор, пока не получим ненулевой остаток.
1
-5
-2
26
- 31
11
0
f1(x)
1
1
-4
-6
20
-11
f2(x)
1
1
-3
-9
11
0
f3(x)
1
1
-2
- 11
0
f4(x)
1
1
-1
12
Вторая строка, содержащая коэффициенты частного f1(x) от деления f(x)
на (х-х0), служит одновременно строкой схемы Горнера для деления f1(x)
на (х-1) и так далее.
При делении f3(x) на (х-1), получим ненулевой остаток, отсюда f(х) можно
записать в следующем виде
f(х) = (x - 1)3(x2 - 2x - 11), где кратность корня х0 = 1 равна 3.
Ответ: k = 3.
48
При решении квадратного трехчлена, когда D = 0, получались два
одинаковых корня. В этом случае говорят, о двух «совпадающих корнях».
Известно, что это бывает тогда и только тогда, когда квадратный трехчлен
представляется в виде ах2 + bх+с = а(х-х0)2, то есть имеется корень
кратности два, отсюда выражение «совпадающие корни» можно заменить
выражением «корень кратности равной двум».
Отсюда, при подсчете числа корней многочлена разумно считать
кратный корень столько раз, какова его кратность.
Заметим, что сумма кратностей всех корней это и есть число корней
многочлена, если каждый из них учитывать столько раз, какова его
кратность.
Мы рассматривали многочлены с целыми коэффициентами, можно
сказать, что это только малая часть всех возможных многочленов, ведь у
многочлена могут быть и рациональные коэффициенты.
Пусть у нас дан многочлен f(x) с рациональными коэффициентами
f(x) = 1/2x4 + 3/2x3 + 5/2x2 + 1/6x + 1.
Умножим данный многочлен на 6 и получим:
(x) = 6  f(x) = Зх4 + 9х3 +15х2 + х + 6,
многочлен с целыми коэффициентами. Все корни многочлена f(x) будут
являться корнями многочлена (х) с целыми коэффициентами.
Отсюда можно сделать вывод: если число х0 - корень многочлена с
рациональными коэффициентами f(x), то х0 будет корнем многочлена
(x) с целыми коэффициентами, полученного путем умножения на целое
число. То есть, все многочлены с рациональными коэффициентами могут
быть представлены в виде многочленов с целыми коэффициентами.
Для закрепления выполним задания следующего вида.
1. Доказать, что число 2 - корень многочлена
а) f(х) = х4 - Зх3 - Зх2 +16x - 12 и найти его кратность.
Решение:
49
f(2) = 16 – 24 - 12 + 32 - 12 = 0. Значит, 2 - корень многочлена f(x).
С помощью схемы Горнера, имеем
f1(x)
f2(x)
f3(x)
1
-3
-3
16
- 12
2
1
-1
-5
6
0
2
1
1
-3
0
2
1
3
3
Ответ: 2 – корень, k = 2.
б) Доказать, что х0 = - 1 является корнем многочлена х5 + 2x4 + 2x3 + 4х2 + 5х
+ 2 и найти его кратность.
Решение:
f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x)
1
2
2
4
5
2
-1
1
1
1
3
2
0
-1
1
0
1
2
0
-1
1
-1
2
0
-1
1
-2
4
Ответ: -1 – корень, k = 3.
2. Определить кратность корня х0 многочлена
f(x) = х5 - 5x4 + 7x3 - 2х2 + 4х – 8, х0 = 2.
Решение:
f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x)
Ответ: k = 3.
1
-5
7
-2
4
-8
2
1
-3
1
0
4
0
2
1
-1
-1
-2
0
2
1
1
1
0
2
1
3
7
50
После изучения темы учащиеся должны:
 знать понятие кратных корней;
 уметь применять схему Горнера при определении кратности корня
многочлена.
Занятие 12
Тема занятия: Самостоятельная работа по теме «Многочлены»
Цель: проверка степени усвоения материала курса, умения применить
свои знания при решении задач.
1. В многочлене f (х) = x3 – 5x2 + аx + 6 один из корней равен 3.
Найдите f (х).
2. Найдите остаток от деления f (х) = х4 + 7x3 + 2x2 – 3x –5 на х + 1.
3. Вычислите f (4), если f (х) = х4 – 3x3 + 6x2 – 10x + 16.
4. С помощью схемы Горнера найдите частное и остаток при делении
многочлена х4 + 2x2 – 10x + 1 на двучлен х – 2.
5. Найдите многочлен f(x) второй степени, удовлетворяющий условиям:
f (1) = 6, f (- 2) = 21, f (3) = 16.
6. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с
помощью схемы Горнера:
x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12.
7. Найдите НОД и НОК многочленов:
x3 + 4х2 + 7х + 4 и x3 + 5х2 + 10х + 8.
8. Определить кратность корня х0 многочлена
f(x) = х5 + 4x4 - 7x3 - 11х2 + 4, х0 = 2.
51
Ответы к заданиям самостоятельной работы:
1. Так как х0 = 3 является корнем многочлена f (х) = x3 – 5x2 + аx + 6,
то f (х0) = 0. Т.е. 33 – 5 ∙ 32 + 3а + 6 = 0,
27 – 45 + 3а + 6 = 0,
3а = 12,
а = 4.
Ответ: Искомый многочлен f (х) = x3 – 5x2 + 4x + 6.
2. (х4 + 7x3 + 2x2 – 3x – 5) : (х + 1) = (x3 + 6x2 – 4x + 1) + (-6).
Ответ: r = - 6.
3. Вычислим значение многочлена х4 – 3x3 + 6x2 – 10x + 16 при х = 4 с
помощью схемы Горнера:
4
1
-3
6
- 10
16
1
1
10
30
136
Значит, f (4) = 136.
Ответ: f (4) = 136.
4. Составим таблицу по схеме Горнера:
Коэффициенты делимого
2
1
0
2
- 10
1
1
2
6
2
5
Коэффициенты частного
Остаток
Получили неполное частное q(x) = x3 + 2x2 + 6x + 2 и остаток r = 5.
Ответ: частное x3 + 2x2 + 6x + 2 и остаток r = 5.
5. Многочлен f (х) будем искать в виде ax2 + bx + c. Для определения
неизвестных коэффициентов посчитаем значения многочлена в заданных
точках:
52
f (1) = a + b + c = 6,
f (- 2) = 4a –2b + c = 21,
f (3) = 9a + 3b + c = 16.
Решение этой системы a = 2, b = - 3, c = 7. Искомый многочлен
f (х) = 2x2 – 3x + 7.
Ответ: f (х) = 2x2 – 3x + 7.
6. Корни многочлена x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 будем искать среди чисел
1, 2, 3, 4, 6.
1
-2
-1
-4
12
1
1
-1
-2
-6
6
-1
1
-3
2
-6
18
2
1
0
-1
-6
0
Число 2 является корнем многочлена. Проверим его кратность: делим
многочлен x3 - x – 6 на х – 2.
2
1
0
-1
-6
1
2
3
0
Затем разделим многочлен x2 + 2x + 3 на х – 2:
2
1
2
3
1
4
11
Значит х = 2 – корень кратности 2.
Разделим многочлен x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 на (х – 2)2:
x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 х2 – 4х + 4
x4 – 4x3 + 4х2
х2 + 2х + 3
2x3 – 5х2 – 4х
2x3 – 8х2 + 8х
3х2 – 12х + 12
3х2 – 12х + 12
0
Тогда получаем x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 = (х – 2)2(х2 + 2х + 3).
Ответ: x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 = (х – 2)2(х2 + 2х + 3).
53
7. Ответ: НОД = х2 + 3х + 4;
НОК = (х2 + 3х + 4)(х + 1)(х + 2).
8. Решение:
1
4
-7
- 11
0
4
2
1
6
5
-1
-2
0
2
1
8
21
41
80
160
Ответ: k = 1.
54
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранные вопросы
математики. Факультативный курс. – М., Просвещение, 1980. – 191 с.
2. Валиев С.А. Индивидуальные задания по устранению ошибок //
Математика в школе. – 1989. – № 5. – С. 42- 45.
3. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
4. Гельфман Э.Г. и др. Квадратные уравнения: Учебное пособие по
математике для 8 класса. – Томск: Издательство Томского
университета, 1996. – 276 с.
5. Гельфман Э.Г. и др. Знакомимся с алгеброй: учебное пособие по
математике для 7 класса. – Томск: Издательство Томского
университета, 1993. – 238 с.
6. Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э. Элементы теории многочленов. –
ТОИПКРО, 1995.
7. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной:
Книга для учащихся. – М., Просвещение, 2001. – 143 с.
8. Дорофеев Г.В. Значимость в школьном курсе темы «Многочлены с
одной переменной» // Математика в школе. – 1995. – № 4. – С. 42- 45.
9. Дронова Е.А. Диагностика ошибок на начальном этапе изучения
материала // Математика в школе. – 2005. – № 7. – С. 44- 46.
10.Математика: школьная энциклопедия. – М.: Большая российская
энциклопедия, 1996.
11.Писаревский Б.М. Корни многочлена // Математика в школе. – 2005. –
№ 8. – С. 41- 43.
12.Предпрофильная подготовка учащихся 9 класса по математике: Общие
положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии
занятий / Под ред. С.А. Антипова, Ю.А. Савинкова. – М., «5 за
знания», 2006. – 128 с.
55
13.Сборник программ курсов по выбору по математике и информатике
для предпрофильной подготовки учащихся. –М.: Глобус, 2007.
14.Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1998.