Одномерная математическая модель динамики кровотока в

На правах рукописи
Елшин Михаил Анатольевич
Одномерная математическая модель динамики кровотока в
русле артериальной системы человека и вариант ее
практического применения.
Специальность 01.02.08 – «Биомеханика»
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2009
Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики
Саратовского государственного университета
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
доцент Гуляев Юрий Петрович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Скрипаль Анатолий
Владимирович
кандидат физико-математических наук,
Шабрыкина Наталья Сергеевна
Ведущая организация:
ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и
информатики»
Защита состоится « 16 »
апреля
2009 г. в 15:30 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном
университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу:
410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, к. 9, ауд. 218.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского
государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Автореферат разослан « 11 » марта 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Ю.В. Шевцова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечно-сосудистые
заболевания (ССЗ) – это одна из основных причин инвалидности и
преждевременной
смерти
жителей
экономически
развитых
стран.
На
сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной и
составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности. При
этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более
молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей
медико-социальной проблемой здравоохранения.
Сосудистые заболевания конечностей – лидирующая причина ампутаций
у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Обычно
лечение
осложненных
сосудистых
заболеваний
состоит
в
назначении
антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых
препаратов (например, антикоагулянтов), а оперативное лечение заключается в
таких операциях, как ангиопластика, шунтирование, стентирование. Однако
когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого
результата,
хирургу
приходится
прибегать
к
ампутации
в
качестве
спасительной меры.
Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе
нередко приводят к развитию критической ишемии и ампутации. Для лечения
этих поражений применяется весь спектр сосудистых препаратов, но нередко
приходится
выполнять
реконструктивные
сосудистые
операции,
чтобы
восстановить кровообращение в пораженной нижней конечности.
Реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше
время, однако на данный момент не существует объективных показаний к
применению
того
или
иного
типа
материала
шунта
и
выбора
его
геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать
результат операции, а именно, на сколько близок будет кровоток после
1
реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет
оптимальным для каждого конкретного случая.
Таким образом, математическое компьютерное моделирование течения
крови является актуальной научно-практической задачей. Моделирование
течения крови позволяет вычислить параметры кровотока в любой точке
сосудистого русла в любой момент времени и спрогнозировать его изменение в
результате реконструктивной операции.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является
разработка
математической
модели
и
программного
комплекса,
удовлетворяющего выше обозначенным критериям. Для достижения цели
исследования рассмотрены следующие задачи:

выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент
математических моделей и расчетных схем течения крови в
артериальной системе человека.

построить
быстродействующую,
многопараметрическую
математическую модель течения крови в артериальном русле,
применимую к сосудистому дереву произвольной конфигурации.

разработать на базе построенной математической модели пакет
прикладных
программ,
позволяющий
моделировать
различные
сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой
их части и в любой момент времени периода пульсации.

сравнить
in
vivo
данные
с
результатами
моделирования
исследованного участка артериальной системы.
Научная новизна.
1. Разработана одномерная линейная, многопараметрическая математическая
модель, позволяющая получить аналитическое решение, в силу этого
адаптируемая
к
большому
множеству
кровеносных
систем,
быстродействующая при ее реализации на компьютере. Модель применима к
сосудистому руслу произвольной конфигурации.
2
2. Разработано ПО, позволяющее быстро графически строить модели
артериальных систем и вычислять параметры течения крови в них. ПО имеет
высокую производительность и простой удобный интерфейс.
3. Приведены in vivo данные и их сравнение с результатами компьютерного
моделирования. Компьютерное моделирование на основе разработанного
ПО показало результаты, близкие к эксперименту.
Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных
программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут
служить
инструментом
для
выбора
наиболее
удачного
варианта
реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим
размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель
показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного
моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков
сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и
геометрическая неоднородность.
Положения, выносимые на защиту:
1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения
крови, учитывающая углы разветвления.
2. ПО, построенное на основе одномерной математической модели, является
быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое в
обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций
сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай.
Разработанная система может служить прототипом для промышленного
производства такого рода программ, их внедрения в медицинские
учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты.
3. Моделирование
течения
крови
с
помощью
разработанного
пакета
прикладных программ показывает результаты, близкие как к результатам
полученным на базе трехмерной модели, так и к экспериментальным
данным. Однако, в силу того, что уравнения трехмерной модели требуют
3
численного
решения,
а
уравнения
одномерной
модели
решаются
аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков
меньше.
4. Моделирование
тока
крови
в
сосудистых
системах
может
быть
осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и
анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и
обсуждались
на
международной
научно-технической
конференции
“Вычислительная механика деформируемого твердого тела” (Москва, 2006);
Всероссийской научной школе-семинаре “Методы компьютерной диагностики
в биологии и медицине – 2007” (Саратов, 2007); Всероссийской школе
семинаре “Математическое моделирование и биомеханика в современном
университете” (Дивноморск, 2007, 2008); Международной конференции “XVIII
сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды”
(Саратов, 2007); XIII Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов в
НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН (Москва, 2007); IX всероссийской
конференции по биомеханике “Биомеханика – 2008” (Нижний Новгород, 2008).
В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической
теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета
имени Н.Г. Чернышевского.
Публикации
по
теме
диссертации.
Основное
содержание
диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах, в том числе одна
статья [2] в журнале, входящем в перечень ВАК ведущих рецензируемых
научных журналов и изданий.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 145 страницы
машинописного текста, 69 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический
список из 133 наименований.
4
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и
задачи, показаны новизна и практическая значимость работы, приведены
основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе представлена информация о строении кровеносной
системы человека и в частности конфигурация русла бедренной артерии
нижней конечности человека, кратко описано наиболее распространенное
заболевание сосудов – атеросклероз. Кроме того, здесь представлено описание
современных математических моделей и расчетных схем, применяемых
разными авторами для вычисления или анализа параметров кровотока и
напряженно деформированного состояния стенки сосуда.
Вторая глава посвящена построению математической модели движения
крови в упругом изотропном сосуде. Кровь рассматривается как нютоновская
жидкость. Модель строится на базе системы уравнений состоящей из
следующих соотношений:
- упрощенное одномерное дифференциальное уравнение течения вязкой
несжимаемой жидкости:

Q
P
1
 R 2
 8  2 Q ,
t
z
R
(1)
где Q – скорость объемного расхода крови, P – давление крови,  –
вязкость крови,  – плотность крови, R – радиус рассматриваемого
сосуда, z – продольная координата, t – время;
- уравнение неразрывности, которое связывает объёмный расход Q с
радиальным перемещением стенок сосуда w:
w
1 Q

;
t
2R z
(2)
5
- динамические уравнения осесимметричного деформирования круговой
цилиндрической оболочки по безмоментной теории:
h
h
 2u
t
2
2w
t 2

S S 0  T0 w

 K 2u ,
z
R
z
(3)
T
2w
 P  2 w   S 0 2  K1 w ,
R
R
z
T0
(4)
где h – толщина стенки сосуда, u – продольное перемещение стенки
сосуда, K1 и K 2 – коэффициенты податливости тканей в радиальном и
осевом направлениях, S и T – пульсационные составляющие осевой и
поперечной силы натяжения сосуда, S 0 и T0 – их начальные величины;
- соотношения идеальной упругости стенок сосуда для обобщенного
плоского напряженного состояния
S
Eh  u
w


,
R 
1   2  z
(5)
T
Eh  u w 


,
1   2  z r 
(6)
где E – модуль упругости,  – коэффициент Пуассона; или известные
соотношения, учитывающие анизотропию стенок сосуда.
Таким образом, получается замкнутая система уравнений (1) – (6) в частных
производных
относительно
шести
неизвестных
u, w, Q, T , S , P ,
которая
преобразуется в систему трех уравнений в частных производных для трех
неизвестных функций u ( z, t ) , w( z, t ) и Q( z, t ) .
6
h
 2u
t 2
1 w  Eh
Eh  2 u


 S 0  T0  
 K 2u
R z 1   2
 1   2 z 2

Q
3w
w  T0
Eh
2

 R h 2  R

RK
 
1 
t
z  R R(1   2 )
t z

R
Eh  u
 w
1
2


R
S

8


Q
0
2
2
3
2
1   z
z
R
2
3
.
(7)
w
1 Q

t
2R z
Затем функции u , w, Q представляются в виде комплексного ряда Фурье:
i t
u( z, t )  U k ( z)e ik t , w( z, t )  Wk ( z)e ik t , Q( z, t )  Qk ( z)e k ,  k 
~
2k
T
(8)
где T – период кровообращения. После подстановки выражений (8) в систему
уравнений (7) получается система уравнений (для простоты записи нижний
индекс k у искомых функций опускается):
d 2U
dz 2
d 3W
dz 3
1  2
1  2 dW  Eh

2

( K 2  hk )U 
 S 0  T0 

2
Eh
EhR dz 1 


T0  S 0 
1 dW  Eh T0
2


RK

R

h



1
k
RS0 dz  R
R
R

 i k 
8  ~ 

( K 2  h k2 )U
 2
Q 
2 4
RS0
 R S 0  R S 0 
(9)
~
dQ
 2Ri k W
dz
Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Отмечается,
что искомые функции и множители являются величинами комплексными. Для
того, чтобы полностью решить эту систему уравнений шестого порядка,
необходимо задать шесть произвольных постоянных для каждого участка
артериальной системы. Эти постоянные определяются из краевых и контактных
7
условий артериальной системы. Необходимо задать
шесть условий для
каждого участка. В качестве таких условий принимаются следующие
сооьношения:
- на входе в артериальное русло:
Q(0, t )  Q0 (t ) ,
u(0)  0 ,
u
z
(10)
 0;
z 0
- на выходе из артериального русла:
R *Q(l )  P(l ) ,
u(l )  0 ,
u
z
(11)
 0;
z l
где l – длина сосуда.
- в точке соединения/разветвления нескольких участков артериального
русла:
n
 Qi  0 ,
i 1
(сумма объемных расходов входящих и исходящих равна нулю)
P1  Pi
i  2, n ,
u1  ui
i  2, n ,
w1  wi
i  2, n ,
n
n
S1 
 S i li
i 2
n
 li
i 2
(12)
,
T1 
 Ti li
i 2
n
,
 li
i 2
8
где n – количество артерий соединенных в данной точке, l i – длина
окружности поперечного сечения i -го сосуда в узле ветвления.
Таким образом, получается по три условия в начале и в конце артериальной
системы. Чтобы система уравнений для определения произвольных констант
была замкнутая, необходимо, чтобы в точке контакта на каждую из артерий
приходилось по три контактных условия. Действительно, имеем одно
уравнение баланса кровотоков, два осредненных уравнения равенства
продольных и поперечных усилий и по n  1 уравнению для давления и
перемещений: 3  3(n  1)  3n , т.е. для n артерий в узле задается 3n уравнений,
по 3 на каждую артерию. Таким образом, получается замкнутая система
уравнений для нахождения произвольных констант для каждой из артерий
составляющих артериальную систему.
Для вычисления установившегося течения крови сначала определяется
сопротивление течению в узлах разветвления с учетом углов между входящей
артерией и исходящими. За основу берутся динамические контактные условия,
полученные из уравнения сохранения количества движения сплошной среды:

Q3
Q1
Q 2

 2
1  
cos 2  2  
cos 3 3  Q12 
Q2 cos 2 
t
t
t
F1
F2
2
2
Q
Q

Q 
Q 

cos 3  
F2  1  2  sin  2  3 F3  1  3  sin  3 
F3
8
8
 F1 F2 
 F1 F3 
 P1 F1  P2 F2 cos 2  P3 F3 cos 3 ,


Q32
2
Q3
Q 2
 2
 2
sin  2  2  
sin  3 3 
Q2 sin  2 
Q3 sin  3 
t
t
F2
F3
2
2
Q
Q

Q 
Q 

F2  1  2  cos 2  3 F3  1  3  cos 3  P2 F2 sin  2 
8
8
 F1 F2 
 F1 F3 
P3 F3 sin  3 .
2
Члены, отвечающие не установившемуся течению, отбрасываются:
9


F1
Q12


F2
Q22
cos 2 

F3
Q32
2
2
Q Q 
cos 3  
F2  1  2  sin  2 
8
 F1 F2 
2
3
Q Q 
F3  1  3  sin  3  P1 F1  P2 F2 cos 2  P3 F3 cos 3 ,
8
 F1 F3 

2
2

Q
Q 
Q22 sin  2 
Q32 sin  3 
F2  1  2  cos 2 
F2
F3
8
 F1 F2 
2
3
Q
Q 
F3  1  3  cos 3  P2 F2 sin  2  P3 F3 sin  3 .
8
 F1 F3 
Далее анализируется случай, когда в узле соединены только две артерии.
Слагаемые, относящиеся к третьей артерии, отбрасываются. С учетом того, что
в узле осталось только две артерии и, значит, кровотоки в них одинаковы –
Q1  Q2 , записывается соотношение:


F1

F2
Q22
Q22


F2
Q22
2
2
Q
Q 
cos 2  
F2  2  2  sin  2  P1 F1  P2 F2 cos 2 ,
8
 F1 F2 
2
2
Q
Q 
sin  2 
F2  2  2  cos 2  P2 F2 sin  2 .
8
 F1 F2 
В результате домножения первого из этих уравнений на cos  2 , второго на
sin  2 и их сложения получается выражение:

F2
Q22 

F1
Q22 cos 2  P1 F1 cos 2  P2 F2 .
После выражения Q2 , получается формула:
Q2 
P1F1 cos 2  P2 F2

F2


F1
cos 2
(13)
Затем рассматривается следующая аналогия для артерии выходящей из узла:
10
Рис. 1. Электродинамическая аналогия.
Здесь P11 – давление в конце первого участка (входящего в узел), P20 –
давление в начале второго участка (исходящего из узла), P21 – давление в конце
второго участка (исходящего из узла), RУ – сопротивление узла разветвления,
RП – Пуазейлево сопротивление второго участка, Q2 – ток на участке. В силу
того, что данная схема представляет собой последовательное соединение, ток в
каждой точке будет одинаковый. Тогда из закона Ома следует выражение:
Q
P11  P20 P20  P21 P11  P21


RУ
RП
RУ  RП
(14)
Формула (13) будет выполняться на участке с сопротивлением RУ и примет для
этого участка вид:
Q2 
P11 F1 cos 2  P20 F2

F2


F1
cos 2
(15)
После подстановки выражения (14) в (15) и преобразования получается
соотношение:
11
P11 F1 cos 2  P20 F2
P11  P20

RУ

F2


F1
(16)
cos 2
Так как все давления здесь мало отличаются от нормального атмосферного
давления,
то
принимается
P20  101325
Н
м2
 10 5
Н
м2
и
вводится
коэффициент
k
P11
P20
(17)
Подстановка соотношения (17) в (16) дает уравнение, после выражения из
которого RУ получается формула:
 

(k  1)2   cos 2 
 F2 F1

RУ  105 
kF1 cos 2  F2
(18)
где k  1 ~ 10 2  10 3 в силу малого перепада давления в сосудах относительно
нормального атмосферного давления.
Для вычисления установившегося кровотока составляется система
уравнений для всей рассматриваемой артериальной системы. В нее включаются
следующие уравнения:
- Для каждого участка уравнение связи тока и давления согласно формуле
(14)
Qi 
Pk ,1  Pi ,1
RУ  R П
,
(19)
где k – номер сосуда входящего в узел ветвления; i – номер исходящего
сосуда;
Pk ,1
– давление в конце k-го сосуда, то есть, давление
12
непосредственно перед узлом ветвления; Pi ,1 – давление в конце i-го
сосуда. Для входного участка системы, в силу того, что он не исходит из
узла ветвления, записывается соотношение Qi 
P1,0  P1,1
RП
.
- Для каждого узла
 Qi
k
k
 0,
(20)
где ik - номера артерий соединенных в узле.
- На входе в артериальную систему задается Q1  Q00 , где Q00 –
свободный член разложения (8).
- На выходах из артериальной системы задается Pj k ,1  0 , где j k – номера
артерий, которыми оканчивается рассматриваемая артериальная система
(здесь Pi ,0 и Pi ,1 – соответственно значения в начале и в конце i –го
участка).
Таким образом, получается замкнутая система уравнений для вычисления
установившегося течения крови в артериальном русле с учетом углов между
сосудами в узлах разветвления.
Для
определения
этого
параметра
рассматривается
уравнение
неразрывности для i -го участка.
wi
1 Qi
.

t
2Ri z
Здесь Ri  Ri 0  wi , где Ri 0 – начальный радиус сосуда. Тогда уравнение можно
переписывается в виде
Ri
1 Qi
.

t
2Ri z
13
Данное
уравнение
после
преобразований
приводится
к
следующему
соотношению:
Ri2
Q
 i .
t
z
Интегрирование по dz последнего соотношения, дает формулу
l
 i 2
 Ri dz  Qi (0, t )  Qi (li , t ) .
t 0
li
Учитывая что  Ri2 dz  Vi , где Vi – текущий объем сосуда, получают уравнение
0
Vi
 Qi (0, t )  Qi (li , t ) .
t
После интегрирования данного соотношения по времени, получается формула
для избыточного объема крови в сосуде в конкретный момент времени
t
Vi (t )  Vi (t )  Vi (0)   [Qi (0, t )  Qi (li , t )]dt .
0
В
третьей
главе
описана,
разработанная
для
предлагаемой
математической модели, программная система, позволяющая графически
строить участок артериальной системы, в который можно включить и
искусственные элементы, такие как, например, шунты, имплантаты или другие,
а также задавать геометрические и механические параметры каждого сосуда
модели. По заданным входным параметрам система вычисляет характеристики
тока крови во всех участках модели и в любой момент времени периода
пульсации. Ниже, структурировано, записаны входные и выходные данные
вычислительной системы.
14
Входными параметрами являются геометрия артериальной системы,
механические параметры крови и сосудов, входной объемный расход крови и
некоторые дополнительные параметры. Геометрические характеристики могут
быть получены с помощью рентгена или УЗИ аппарата. Вязкость можно
получить с помощью ротационного вискозиметра при скорости сдвига 100 с -1.
Необходимыми механическими параметрами сосудов являются модуль Юнга и
коэффициент Пуассона. Кроме того, на входе задается изменение объемного
кровотока по времени Q(t). Здесь Q скорость объемного расхода крови (м3/с), t
– время (с). Данный параметр может быть получен с помощью допплерографа.
Дополнительные параметры, представляют собой следующие характеристики:
параметры, связывающие объемный кровоток с давлением на выходах, среднее
за период давление на выходах, начальное натяжение. Эти величины
подбираются эмпирически, таким образом, чтобы расход крови в неизмененном
русле (до оперативного вмешательства) был максимально близок реальному,
который можно измерить соответствующими приборами.
Выходными данными являются:
 давление крови в артериальном русле
 объемный кровоток в артериальном русле
 скорость крови.
Результаты представляются в виде графиков зависимостей V(z, t), P(z, t) и Q(z,
t), где V – средняя по сечению скорость крови, P – давление крови в сосуде, z –
продольная координата. Возможно отображение как двухмерных графиков, так
и трехмерных. Двухмерные графики показывают изменение по одной
переменной при второй фиксированной, или анимацию при переборе
допустимых
значений
второй
координаты
с
заданной
дискретностью.
Возможен просмотр графиков для каждого участка в отдельном окне или
семейство анимированных графиков для всех участков системы одновременно.
В
строке
состояний
отображаются
координаты
положения
курсора
относительно текущей координатной сетки.
15
В четвертой главе диссертации производится сравнение данных,
полученных при помощи разработанной программы, с данными, полученными
с помощью конечно-элементного моделирования, а так же с данными,
полученными in vivo в клинике с ультра звукового дуплексного аппарата
Toshiba Xario. Ниже приведены характерные графики сравнения для конечноэлементного моделирования и для экспериментальных данных.
ADINA
Blood Flow Modeler
0.25
0.20
V
0.15
0.10
0.05
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
t
Рис. 2. График зависимости скорости от времени на выходном сечений подколенной
артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы и конечноэлементного пакета ADINA).
16
IN VIVO
Blood Flow Modeler
0.000014
0.000012
0.00001
Q
0.000008
0.000006
0.000004
0.000002
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t
Рис. 3. График зависимости скорости объемного расхода от времени на выходном сечений
подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы с
экспериментальными данными).
Раздел «Основные результаты и выводы» содержит информацию о
результатах проделанной работы и выводы, сделанные на основе полученных
результатов.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Построена одномерная, линейная математическая модель периодического
течения крови. Модель применима к сосудистому дереву произвольной
конфигурации. Система уравнений модели допускает аналитическое
решение, в силу чего построенная на ее базе вычислительная система
является быстродействующей.
2. Показано,
что
вычислений
одномерная
дает
значения,
математическая
мало
модель
отклоняющиеся
в
от
результате
результатов
вычислений, произведенных для трехмерной модели. Однако в силу того,
что математическая модель является одномерной, она не позволяет
анализировать распределение того или иного параметра в достаточно узкой
области
с
ярко
выраженной
геометрической
и
физической
17
неоднородностью, например в близи области ветвления или возле
атеросклеротических бляшек. Также модель не позволяет анализировать
распределение скорости по сечению и не учитывает изгибы русла.
3. На основе одномерной математической модели разработано простое в
обращении программное обеспечение, способное моделировать широкий
спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраиваемое под
конкретный случай. ПО позволяет графически строить артериальное русло,
имеет высокую скорость вычислений, настраиваемый пользовательский
интерфейс.
4. Показано, что моделирование тока крови в сосудистых системах может
быть
осуществлено
на
основе
in
vivo
данных
ультразвуковой
допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и
плотность).
5. На сравнительных графиках продемонстрировано, что моделирование
течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ
показывает результаты, близкие к экспериментальным данным.
6. Приведенные в диссертации математическая модель и ПО могут служить
основанием для дальнейшего клинического исследования с целью
обоснования выбора метода и варианта реконструкции, типа и формы
пластического материала с учетом индивидуальных особенностей артерий
каждого пациента.
18
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Елшин М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока в
системах
крупных
артерий.
//
Международная
научно-техническая
конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела».
Труды. – T. 1. – М.: МИИТ, 2006. С. – 152-155.
2. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Постановка и решение задачи определения
динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории. // Известия
Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. –
2007. – Т. 7. – Вып. 1. – С. 45-48.
3. Елшин М.А. Пакет программ для вычисления кровотока в части
артериальной системы // Материалы ежегодной Всероссийской научной
школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и
медицине - 2007». – Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007, – С. 4145.
4. Елшин М.А. Гуляев Ю. П. Решение задачи определения динамики кровотока
в крупных артериях по одномерной теории с использованием ПК. // Труды
III всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и
биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2007 г. – Ростовна-Дону, 2007. – С. 33-34.
5. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Решение задачи определения динамики кровотока
в крупных артериях по одномерной теории с использованием динамических
условий в узле разветвления // Труды конференции «XVIII сессия
19
Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов,
2007 г. – Саратов, 2007. – С. 112-118.
6. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров
кровотока в части артериальной системы. // Тезисы докладов. IX
Всероссийская конференция по биомеханике «Биомеханика – 2008».
Нижний Новгород, 2008. – Нижний Новгород, 2008. – C. 180-182.
7. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров
кровотока в части артериальной системы. // Труды IV всероссийской школысеминара «Математическое моделирование и биомеханика в современном
университете». Дивноморск, 2008 г. – Ростов-на-Дону, 2008. – С. 42-43.
20