Крыштопин Д.В.

Исследование эволюции трёхмерной границы раздела «разноцветных» жидкостей
к точечному стоку в ортотропной пористой среде
Крыштопин Дмитрий Викторович
Аспирант
Орловский государственный университет, физико-математический факультет, Орёл,
Россия
E-mail: vopros317@mail.ru
1. Постановка задачи. Рассмотрим трёхмерную фильтрацию несжимаемой жидкости
в ортотропной однородной и недеформируемой пористой среде с тензором
проницаемости K   Kij  , i, j  1, 2,3 . В прямоугольной системе координат Ox1 x2 x3
компоненты тензора проницаемости K ij  ki ij , где k i – постоянные величины,  ij –
символ Кронекера. Скорость фильтрации определяется обобщённым законом Дарси [1].
Течение жидкости характеризуется обобщённым потенциалом скорости фильтрации
φ, который как функция декартовых координат x1 , x2 , x3 удовлетворяет всюду в области
течения D (за исключением особых точек) уравнению неразрывности:
3
   
(1.1)
 ki
 0.

xi 
i 1 xi 
В области фильтрации D присутствует граница  t , разделяющая две жидкости.
Полагаем, что фильтрационные свойства жидкостей одинаковы (модель «разноцветных»
жидкостей). Дифференциальные уравнения движения границы раздела жидкостей имеют
вид
dxi dt  ki  xi , i  1, 2,3 , ( x1 , x2 , x3 ) t .
(1.2)
В начальный момент времени t  0 положение границы  t описывается
параметрическими уравнениями ( s1 , s2 – параметры):
(1.3)
t   0 : x0i  x0i  s1 , s2  , i  1, 2,3 , ( x01 , x02 , x03 ) 0 .
Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей сводится к
интегрированию системы уравнений (1.1), (1.2) при заданных начальных условиях (1.3).
Численное решение поставленной задачи проводится методом Эйлера с адаптивным
шагом [2].
2. Исследование эволюции границы к стоку. Обозначим x1  x , x2  y , x3  z .
Пусть эксплуатационная скважина заданного дебита расположена в начале координат. Её
работу моделируем точечным стоком мощности   q ( q – модуль мощности).
Кратчайшее расстояние от границы  0 до точки расположения стока обозначим d . В
рассматриваемом случае обобщённый потенциал течения примет вид:
(2.1)
  q (4 R) ,
1/2
где R   x 2 1  y 2  2  z 2 3  , 1  k1 k0 ,  2  k2 k0 ,  3  k3 k0 , k0 – масштабный
коэффициент. Положим k0  k1  1 . Тогда параметр 1  1 , параметры  2 и  3
характеризуют различие компонент тензора проницаемости вдоль осей Oy , Ox и Oz , Ox
соответственно. Границу  0 будем моделировать сферой радиуса r  2d , центр которой
находится в точке  0,0, d  .
Большое значение имеет время T достижения границей  t скважины. Если прорыв
жидкости к скважине происходит вдоль оси Oz  x  0, y  0  , то интегрируя систему
дифференциальных уравнений (1.2), получим аналитическую формулу для нахождения
времени достижения границей  t скважины:
4 d 3
.
(2.2)
3 q  33/2
Формула (2.2) справедлива, если 3  1 ,  3   2 и ближайшая к скважине точка границы
Ta 
 0 находится на оси Oz .
В качестве характерного размера выберем расстояние d . За характерное время примем время достижения границей  t скважины в изотропном грунте, которое определяется
по формуле (2.2) при 3  1 . Тогда при расчётах следует положить d  1 , q  4 3 .
На рис. 1 показана зависимость времени T от параметра  2 для значений параметра
3  0.1; 1; 4 . На всех графиках присутствует интервал, где T  2   const . Это означает,
что на данном промежутке прорыв происходит вдоль оси Oz , и параметр  2 не влияет на
время достижения границей  t скважины. Начиная с некоторого значения  2 , время T
начинает уменьшаться и стремиться к нулю, прорыв жидкости происходит вдоль оси Oy .
На рис. 2 показана зависимость времени T от параметра  3 для значений параметра
 2  1; 2; 4 . Видим, что с увеличением параметра  3 время T уменьшается и стремится к
нулю. Графики численного расчёта совпадают с аналитическим решением, если прорыв
происходит вдоль оси Oz . Когда прорыв происходит не вдоль Oz , то время T  Ta .
Предложенный метод позволяет исследовать движение произвольной границы раздела
«разноцветных» жидкостей к системе скважин в ортотропной пористой среде.
Дальнейшая работа предполагает учёт неоднородности анизотропной пористой среды и
различия свойств фильтрующихся жидкостей [3].
Рис. 1
Рис. 2
Литература
1. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учебник для вузов. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.
544 с.
2. Крыштопин Д.В., Федяев Ю.С. Математическое моделирование трёхмерной эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей в анизотропной однородной пористой среде // Ученые записки Орловского государственного университета, 2014. № 6
(62). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 17-21.
3. Пивень В.Ф. Обобщённый сингулярный интеграл Коши для граничных задач двумерных течений в анизотропно-неоднородном слое пористой среды // Дифференциальные уравнения, 2012. Т. 48, № 9. С. 1292-1307.