Лабораторная работа № 8. Методология решения неструктурированных проблем системного анализа. Метод Саати

Лабораторная работа № 8.
Методология решения неструктурированных проблем системного анализа.
Метод Саати
4 часа
Цель работы: изучить метод анализа иерархий (метод Саати).
Сущность метода анализа иерархий
Метод анализа иерархий (МАИ) предназначен для решения многокритериальных
задач с конечным множеством возможных векторов.
Этот метод был предложен американским математиком Т. Саати в 1972 г.
Впоследствии он оформился в целый раздел принятия решений при наличии
нескольких критериев. В настоящее время МАИ прочно вошел в теорию и практику
многокритериального выбора.
Его применение основано на экспертной информации об относительной важности
критериев в виде матрицы парных сравнений А размера n × n.
Произвольный элемент aij этой матрицы – это относительный вес, т.е. число,
показывающее во сколько раз вес объекта Ai больше веса объекта Aj, и назначаемое
экспертами в результате попарного сравнения объектов. Отсюда и происходит
наименование этой матрицы.
Свойства матрицы парных сравнений:
1) Все элементы матрицы А парных сравнений положительны aij > 0, а ее
диагональные элементы aii = 1 для всех номеров i, j  1, n .
2) Матрица парных сравнений обратно симметрична, т.е. aij  1 a ji для всех
номеров i, j  1, n .
3) Матрица парных сравнений совместна, т.е. равенства aij  aik  akj имеют
место для всех номеров i, j, k  1, n .
4)
Искомый вектор-столбец весов w  w1, w2 , ..., wn T является собственным
вектором, соответствующим максимальному собственному значению λmах матрицы А,
т.е. имеет место равенство (1):
Aw = λmах w,
(1)
где А – матрица относительных весов, w – вес объекта, λmax – максимальное
собственное значение матрицы А
Метод анализа иерархий предполагает выполнение следующих трех этапов.
1) С привлечением эксперта формируется матрица парных сравнений
A  aij
. Произвольный элемент aij этой матрицы представляет собой
 nm
положительное число, показывающее во сколько раз вес объекта Ai больше веса
объекта A j .
Сразу следует сказать, что при формировании матрицы парных сравнений
добиться от эксперта выполнения первых двух свойств 1) – 2) не составляет труда (для
этого сразу следует положить все диагональные элементы матрицы равными единице, а
все элементы, расположенные ниже главной диагонали, вычислить на основе свойства
обратной симметричности, используя элементы, расположенные выше главной
диагонали, которые получены от эксперта).
2
Таким образом, от эксперта необходимо получить только сведения о результатах
nn  1
сравнения объектов, содержащиеся в
элементах матрицы А, расположенных
2
выше главной диагонали.
При этом третье свойство (свойство совместности) на практике, как правило,
оказывается невыполненным. Кроме того, у матрицы парных сравнений максимальное
собственное значение чаще всего не совпадает с п . Всегда выполняется неравенство
 max  n , причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда матрица А
обладает свойством совместности. Автор МАИ, Т. Саати, ввел специальный числовой
показатель

n
CI  max
,
n 1
называемый
индексом
совместности,
который
оценивает
«степень
невыполнения» свойства совместности. Так, если индекс совместности не превосходит
0,1, т.е. CI  0,1, то «степень невыполнения» свойства совместности считается
приемлемой и построенная матрица парных сравнений используется на следующих
этапах для определения весового вектора. В противном случае рекомендуется
предложить эксперту произвести уточнение элементов матрицы А таким образом,
чтобы индекс совместности оказался в допустимых пределах. Выполнение неравенства
CI  0,1, должно, по мнению автора метода, привести к малой величине ошибки
последующего вычисления весового вектора. Это обстоятельство служит
определенным оправданием применения МАИ.
После того, как матрица парных сравнений А с приемлемым индексом
совместности сформирована, переходят к следующему (второму) этапу.
2) На этом (втором) и последующем этапах используется последнее, четвертое
свойство матрицы парных сравнений. А именно, применяя соответствующие
численные методы, следует найти максимальное собственное значение  max матрицы
А (для этого нужно вычислить максимальный вещественный корень алгебраического
уравнения п-й степени (6.2)). Поскольку величина собственного значения непрерывно
зависит от коэффициентов матрицы А, «небольшое» отклонение коэффициентов этой
матрицы от коэффициентов «идеальной» матрицы относительных весов, выражаемое в
выполнении неравенства CI  0,1, должно, по мнению автора метода, привести к малой
величине ошибки последующего вычисления весового вектора. Это обстоятельство
служит определенным оправданием применения МАИ.
Число  является собственным значением квадратной матрицы А тогда и только
тогда, когда оно является корнем характеристического уравнения
det A  E   0 .
(2)
где Е – единичная матрица, диагональные элементы которой равны единице.
Уравнение (2), в левой части которого записан определитель матрицы A  E ,
представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени и его корни при п>4 в
общем случае можно найти лишь приближенно. Таким образом, для того чтобы найти
собственные значения некоторой матрицы, следует отыскать все корни уравнения (2),
что может составить непростую вычислительную задачу.
3
3) Далее подставим найденное максимальное собственное значение  max в
равенство (1), полученная таким образом однородная система линейных уравнений (1)
решается относительно неизвестного вектора w  w1, w2 , ..., wn T . Найденное решение
этой системы в виде набора п положительных чисел w1, w2 , ..., wn  и составит искомый
весовой вектор. При необходимости этот вектор всегда можно нормировать, т.е.
разделить каждую его компоненту на сумму всех компонент.
Задание
Необходимо решить задачу из лабораторной работы № 7 по заданному варианту
методом Саати в предположении, что наилучший вариант выбирает один эксперт.
Содержание отчета
1 Тема и цель работы.
2 Текст программы с комментариями.
3 Результаты выполнения программы.