урок №1-2 тема "алгебра высказываний. основные операции

УРОК №1-2
ТЕМА "АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ
ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ"
Наглядность и оборудование: ПК, файл MATLOG1.PPT
(logika\6\...).
ХОД УРОКА
I. Новый материал.
1. Что такое логика? Формальная логика.
Математическая логика.
2. Этапы развития логики.
3. Применение математической логики.
4. Алгебра высказываний. Простые и сложные
высказывания.
5. Основные операции алгебры высказываний.
I. Беседа с учащимися (файл MATLOG1.PPT)
II. Устная работа.
Высказывания. Простые и сложные высказывания.
1. Какие предложения являются высказываниями?
а) 3+2=5;
б) Не шуметь!
в) y2= 0;
г) Окружностью называется множество всех точек на
плоскости, расстояние которых до данной точки этой
плоскости имеет заданную величину.
д) Число символов в этом предложении равно 7.
е) 3 < 2;
ж) Войдите!
2. Установите: какие из следующих предложений
являются
истинными, а какие - ложными высказываниями:
а) "Число 123 меньше числа -124".
б) "Все треугольники равнобедренные".
в) "Сумма чисел 4 и z равна 15".
г) "(13-2*4)*4=-7".
3. Даны высказывания:
A: "Математическая логика - важная наука"
B: "ВТ построена на законах математической логики"
Образуйте из данных высказываний сложные и
подчеркните
слова, при помощи которых они образованы.
4. Среди приведенных ниже высказываний укажите
сложные;
выделите в них простые, обозначив каждое из них
буквой.
Запишите с помощью букв каждое сложное
высказывание.
а) "На уроке логики учащиеся отвечали на вопросы
учителя и
писали самостоятельную работу".
б) "Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах".
в) "Если в данном четырехугольнике диагонали имеют
равную
длину, то этот четырехугольник - ромб".
г) "-17<=0".
д) "Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда
сумма
цифр этого числа делится на 3".
Основные операции алгебры логики.
1. Даны простые высказывания:
А: "Петя умеет плавать"
В: "Сергей умеет прыгать"
С: "Алеша умеет стрелять"
Даны формулы сложных высказываний, составленные
из этих простых. Прочтите их, используя смысл каждого
простого высказывания:
2. Даны простые высказывания:
А: "Данное число не кратное 3"
В: "Данное число больше 50"
Прочтите сложные высказывания:
3. Прочтите формулы:
4. В состав истинного логического произведения входят
три простых высказывания - A,B,C. Известно, что A и B
- истинны. Может ли высказывание C быть одним из
следующих:
а) "Дважды два равно семи".
б) "Слоны живут в Африке и Индии".
в) "5x + 3 = 11x".
5. Дано высказывание: " Иванов является членом
сборной команды "Алгоритм". Какое из следующих
высказываний есть логическим отрицанием данного?
а). Не Иванов является членом сборной команды
"Алгоритм".
б). Иванов является членом сборной команды не
"Алгоритм".
в). Иванов не является членом сборной команды
"Алгоритм".
г). Неверно, что Иванов является членом сборной
команды
"Алгоритм".
6. Определите значения истинности высказываний:
III. Домашнее задание.
1. Выучить конспект.
2. Ответы на вопросы:
1. Что изучает формальная логика?
2. Что изучает математическая логика?
3. Изложите основные этапы развития логики.
4. Области применения математической логики.
5. Что такое высказывание?
6. Какие высказывания бывают?
7. Какие высказывания называются простыми, а какие сложными?
8. Что не является высказыванием?
9. Основные логические операции и их свойства.
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.
Ход урока.
Актуализация опорных знаний.
а) Беседа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что изучает формальная логика?
Что изучает математическая логика?
Изложите основные этапы развития логики.
Области применения математической логики.
Что такое высказывание?
Какие высказывания бывают?
Какие высказывания называются простыми, а какие - сложными?
Что не является высказыванием?
Основные логические операции и их свойства.
б) Тест.
20 вопросов
1. Кто является основоположником математической логики:
1. Аристотель;
2. Декарт Рене;
3. Лейбниц Г.В.;
4. Джордж Буль.
4
2. Слово "логика" обозначает
1. форму мышления, в которой отражаются признаки предмета;
2. совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления;
3. мысль, к которой что-то утверждается или отрицается;
4. прием мышления, когда из исходного знания получается новое знание.
2
3. Понятие - это ...
1. форму мышления, в которой отражаются существенные признаки предмета;
2. совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления;
3. мысль, к которой что-то утверждается или отрицается;
4. прием мышления, когда из исходного знания получается новое знание.
1
4. Суждение - это ...
1. форму мышления, в которой отражаются признаки предмета;
2. совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления;
3. мысль, к которой что-то утверждается или отрицается;
4. прием мышления, когда из исходного знания получается новое знание.
3
5. Умозаключение - это ...
1. форму мышления, в которой отражаются признаки предмета;
2. совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления;
3. мысль, к которой что-то утверждается или отрицается;
4. прием мышления, когда из исходного знания получается новое знание.
4
6. Наука о законах и формах правильного мышления - это
1. женская логика;
2. формальная логика;
3. шахматная логика;
4. математическая логика.
2
7. Наука о логических связях и отношениях, лежащих в основе дедуктивного вывода это
1. женская логика;
2. формальная логика;
3. шахматная логика;
4. математическая логика.
4
8. Рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье - это
1. высказывание;
2. силлогизм;
3. понятие;
4. логика.
2
9. Повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно
оно или ложно - это ...
1. высказывание;
2. силлогизм;
3. понятие;
4. логика.
1
10. Логическая операция, соответствующая союзу "И" - это
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
4
11. Логическая операция, соответствующая союзу "ИЛИ" - это
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
3
12. Логическая операция, соответствующая союзу "ЕСЛИ..., ТО..." - это
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
1
13. Логическая операция, соответствующая союзу "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА" - это
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
2
14. Кто предложил использовать аппарат логики для описания электронно-ламповых
схем?
1. Порецкий П.С.;
2. Клод Шеннон;
3. Аугустус де Морган;
4. Пирс Ч.С.
2
15. Кто предложил использовать в логике двоичную систему счисления?
1. Аристотель;
2. Декарт Рене;
3. Лейбниц Г.В.;
4. Джордж Буль.
3
16. Логическая операция ... истинна всегда, кроме случая, когда оба высказывания
ложны:
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
3
17. Логическая операция ... истинна только в случае, когда оба высказывания истинны:
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
4
18. Логическая операция ... истинна всегда, кроме случая, когда А истинно, а В ложно:
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
1
19. Логическая операция ... истинна, когда оба высказывания ложны или истинны:
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. дизъюнкция;
4. конъюнкция.
2
20. Предложение "Неверно что, Юра занимается теннисом" соответствует логической
операции
1. импликация;
2. эквиваленция;
3. инверсия;
4. конъюнкция.
3
«5» - 18, 19, 20
«4» - 14, 15, 16, 17
«3» - 10, 11, 12, 13
«2» - 9
Новый материал.
Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми
возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и
значениями функции.
Таблицы истинности применяются для:



вычисления истинности сложных высказываний;
установления эквивалентности высказываний;
определения тавтологий.
1. Установление истинности сложных высказываний.
Пример 1. Установить истинность высказывания
·С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В
таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации.
Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий;
заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к
более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной
формулы.
А
В
С
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
А+
·С
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1,
С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
2. Эквивалентность высказываний.
С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких
высказываний.
Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения
каждого из них совпадают в таблице истинности.
Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно
высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.
А
В
С
В· С
А+В· С
А+В
А+С
(А+В)· (А+С)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле
А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е.
высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком
А + В·С
(А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным
высказываниям А и В построить новое А В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями,
состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.
3. Тавтология.
Пусть дано высказывание А·
А
и необходимо составить таблицу истинности.
А·
1
0
0
0
1
0
Рассмотрим высказывание В+ .
В
В+
1
0
1
0
1
1
Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности
входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой,
называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественноложное - 0. Закон исключенного третьего.
A·
В+
0
1
Пример 3. Докажите тавтологию (X Y)
(X Y)
Решение.
X
Y
X Y
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
X
Y
(X
Домашнее задание.
Выучить конспект.
Выполнить примеры:
Пример 1. Докажите тавтологию ((X
Y) (Y
Z))
(X
Пример 2. Установить истинность высказывания.
Пример 3.Эквивалентны ли высказывания:
и
Z)
Y)
(X
Y)
СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ.
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ.
Наглядность и оборудование: ПК, файл д_з.doc, сам_раб.doc (logika\2\11klass\file\urok56\...). , программа Matlog (logika\5\...).
План урока.
1.
2.
3.
4.
Актуализация опорных знаний.
Составление таблиц истинности.
Самостоятельная работа.
Изучение нового материала.
Ход урока.
I. Актуализация опорных знаний.
a) Беседа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое таблица истинности?
Для чего применяются таблицы истинности?
Расскажите технологию построения таблиц истинности.
Что такое эквивалентность?
Чем отличается эквиваленция от эквивалентности?
Что такое тавтология?
б) Проверка домашнего задания (файл д_з.doc загружен на компьютере).
Пример 1. Докажите тавтологию ((X
Y) (Y
Z))
(X
F2
F3
Z)
Решение.
F1
X
Y
Z
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
Y
Y
Z
X
Z
F1 F2
(F1 F2)
F3
Вывод. Высказывание ((X
истинное высказывание).
Y) (Y
Z))
(X
Z) является тавтологий (тождественно-
Пример 2. Установить истинность высказывания.
Решение.
А
В
С
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
С
Вывод. Высказывание
А (
С)
истинно, когда:
А) A 0; B 0; C 0; Б) A 0; B 1; C 0; В) A 0; B 1; C 1.
Пример 3.Эквивалентны ли высказывания:
и
Решение.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
В
С
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
B
Вывод.
Высказывание
и высказывание
не эквивалентны.
II. Составление таблиц истинности.
Упражнение 1. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор
хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание,
формула которого имеет вид: X=(A C) (A B). Установить, эквивалентно ли
высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.
Решение. Y=A C
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
A C
A B
X
Y=A C
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Вывод. Высказывание X не эквивалентно высказыванию Y.
Упражнение 2. Установить является ли данное высказывание тавтологией.
A
B
A B
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
Вывод. Высказывание
является тавтологией.
Упражнение 3.Установить истинность высказываний:
а) ((X1
X2)
X3) (X3
X1)
F1
F2
F3
X1
X2
X3
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Вывод. Высказывание ((X1
X1
X2)
X2
F1
X3) (X3
X3
X3
F2 F3
X1
X1) истинно, когда:
1) X1 1; X2 0; X3 0; 2) X1 1; X2 1; X3 1
б) ((X
Y) (Y
Z))
(X
Z)
F1
F2
F3
F4
X
Y
Z
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Вывод. Высказывание ((X
X
Y
Y) (Y
Упражнение 4. Для формулы
предложение.
Y
Z))
Z
(X
F1
F2
X
Z
F3
F4
Z) истинно всегда.
придумайте формализуемое
Решение. Пусть А – «Петр замечательно играет в шахматы»; В — «Семен играет на
баяне»; С — «Галина смотрит телевизор»
Тогда и только тогда если Петр замечательно играет в шахматы, то Семен не играет на
баяне, когда Галина смотрит телевизор и Петр замечательно играет в шахматы.
Самостоятельная работа.
Вариант №1.
Установить истинность высказывания
Решение.
X
Y
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
X Y
2. Для формулы
придумайте формализуемое предложение.
3. Установите, является ли высказывание (X
тавтологией.
Y)
Решение.
X
Y
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
(X
Y)
(X
Y)
Вывод. Высказывание тавтологией не является.
4. Установите, эквивалентны ли высказывания?
Решение.
A
B
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
Вывод. X1
A B
X3
Вариант №2.
1. Установить истинность высказывания
Решение.
X
Y
X Y
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
2. Для формулы
придумайте формализуемое предложение.
3. Установите, является ли высказывание
тавтологией.
Решение.
X
Y
X Y
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
Вывод. Высказывание тавтологией не является.
4. Установите, эквивалентны ли высказывания?
Решение.
X
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
Вывод. A
B
IV. Подача нового материала. (Использовать программу MATLOG).
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание
законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них
противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. X X Закон тождества.
2.
Закон противоречия
3.
Закон исключенного третьего
4.
Закон двойного отрицания
5. Законы идемпотентности: X X X, X X C
6. Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X
7. Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z
X (Y Z)
8. Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X
(Y Z) (X Y) (X Z)
9. Законы де Моргана
,
10. X 1 X, X 0 X
11. X 0 0, X 1 1
12. Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X
13. Законы склеивания: (X Y) (
Y) Y, (X Y) (
Y) Y
1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества
утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на
протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно
одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются
лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано.
“Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же,
что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2*2<>4”
Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов.
Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны
одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение
равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна
относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и
логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме
отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению
отрицаний слагаемых.
Доказать законы логики можно:
1. с помощью таблиц истинности;
2. с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1. (X Y) (
Y) (X+Y) *( +Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y
Y* + Y(1+X) Y* +Y Y( +1) Y склеивания
2. X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения
Y*
+ Y + X*Y
Домашнее задание.
1. Является ли высказывание (X
Y)
(Y
X) тавтологией.
2. Установить эквивалентны ли высказывания.
3. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.
ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
УПРОЩЕНИЕ ФОРМУЛ.
План урока.
1. Изучение нового материала.
2. Практическая работа на ЭВМ.
Ход урока.
I. Подача нового материала.
1. Упрощение формул.
Пример 1. Упростить формулу (А+В)· (А+С)
Решение.
1. Раскроем скобки ( A + B ) * ( A + C ) A * A + A * C + B * A + B * C
2. По закону идемпотентности A*A A , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*C A
+ A*C + B*A + B*C
3. В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+1 1,
получим А+А*С+ B*A + B*C A*( 1 + С) + B*A + B*С A + B*A + B*С
4. Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А.
A + B*A + B*С A ( 1 + B ) + B С A + B*С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.
2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”
Пример 2. Упростить выражение А+ A*B
Решение. A+A*B A ( 1 + B ) A - поглощение
Пример 3. Упростить выражение A*B+A*
Решение. A*B + A*
A(B+
) A - склеивание
3. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных
высказываний - все отрицания будут применяться только к простым
высказываниям.
Пример 4. Преобразовать формулу
высказываний.
так, чтобы не было отрицаний сложных
Решение.
1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:
2. Для выражения
применим еще раз формулу де Моргана, получим:
4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут
использованы:





знаки логического сложения;
знаки логического умножения,
будут использованы:
знаки отрицания и логического умножения
знаки отрицания и логического сложения.
Пример 5. Преобразовать формулу
логического сложения.
так, чтобы в ней не использовались знаки
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де
Моргана.
Пример 6. Преобразовать формулу
логического умножения.
так, чтобы в ней не использовались знаки
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания
получим:
5. Замена эквиваленции и импликации на конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.
До сих пор мы занимались равносильными преобразованиями формул, не содержащих
знаков импликации и эквиваленции “ “ и “
“. Сейчас покажем, что всякую формулу,
содержащую или
, можно заменить равносильной ей формулой, не содержащей этих
знаков.
Имеют место следующие равносильности:
X
Y
Y (1)
X
Y
(2)
Докажем равносильность (1) с помощью таблицы истинности:
X
Y
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
X
Y
Y
Эквиваленция выражается через конъюнкцию и импликацию
X Y (X Y)*(X Y) (3)
Из (3) и (1) получаем
X Y (
Y)*(
X)
*
Y*
*X X*Y=
*
X*Y (4)
Эта равносильность выражает эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию и
отрицание. Из равносильностей (3) и (2) получаем равносильность
X
Y=
, (5) выражающую эквиваленцию через конъюнкцию и отрицание.
U
Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие
логические функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом одной из
них обязательно должно быть отрицание.
Все операции можно выразить через конъюнкцию и отрицание, дизъюнкцию и отрицание,
импликацию и отрицание. Через эквиваленцию и отрицание остальные операции выразить
нельзя.
II. Практическая работа на ЭВМ.
Задание 1. Доказать закон поглощения в EXCEL.
Задание 2. Доказать закон склеивания в EXCEL..
Задание 3. Установить в EXCE истинность высказывания
Задание 4. Установить в EXCEL является ли высказывание
.
тавтологией?
Задание 5. Установить в EXCEL эквивалентны ли высказывания.
Домашнее задание.
1. Выучить конспект.
2. Выполнить задания:
1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое
сложение:
;
;
.
2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое
умножение.
;
;
.
3. Упростить:
;
.
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 "ИСТИННОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
ТАВТОЛОГИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ".
Наглядность и оборудование: файл д_з3.doc (logika\2\11klass\file\urok9-10\...).
План урока.
1. Проверка д.з.
2. Решение задач логических задач.
3. Контрольная работа №1.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания (файл д_з3.doc).
1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое
сложение:

;

;

.
2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое
умножение.

;


;
.
3. Упростить:


II. Решение логических задач.
Логическую задачу можно решить:
а) составляя систему логических уравнений;
б) графическим способом.
1. Решение логических задач с использованием систем логических уравнений.
Задача 1. В соревнованиях по гимнастике на первенство школы участвуют Алла, Валя,
Таня и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:
1: “Первой будет Таня, Валя будет второй”.
2: “Второй будет Таня, Даша - третьей”.
3: “Алла будет второй, Даша - четвертой”.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из
высказываний истинно, другое же ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из
девочек, если все они оказались на разных местах?
Решение. Введем буквенные обозначения всех высказываний, задающих условие задачи:
T1 - “Таня будет первой”;
W2 - “Валя будет второй”;
T2 - “Таня будет второй”;
D3 - “ Даша будет третьей”;
A2 - “ Алла будет второй”;
D4 - “Даша будет четвертой”.
Высказывание каждого болельщика о двух спортсменах можно задать формулами:
(1)
(2)
(3)
Помним, что в условии сказано: в каждом предположении только одно из высказываний
истинно, другое ложно. Следует учесть и то, что ни одно место не было разделено
участниками.
Это условие можно задать формулами:
A2 W2 0 или
(4)
T2 A20 или или
T2 W2 0 или
(5)
(6)
То обстоятельство, что ни один участник не может занять два разных места, задано
формулами (7) и (8).
D3 D4 0 или
(7)
T1 T2 0 или
(8)
Система уравнений решается умножением одного уравнения на другое и нахождением
истинного выражения.
Умножая уравнение (1) на (2), получим:
(9)
Умножаем полученное уравнение (9) на (3), получаем:
Итак, мы получим ответ:
Таня - первая; Валя - четвертая; Даша - третья; Алла - вторая.
2. Графический способ решения систем логических уравнений.
Рассматривая алгебру высказываний, мы сопоставляем ее с алгеброй чисел. Обратимся к
сравнению еще раз. В школьной алгебре для решения уравнений и систем уравнений
широко используется графический метод.
В алгебре высказываний графические методы применяются не менее успешно.
При решении логических задач очень часто полезно вычертить “дерево логических
условий”. Это “дерево” выражает в виде простого чертежа логическую взаимосвязь между
данными высказываниями.
Научимся “выращивать” логические деревья на простых примерах. Выращивание любого
дерева начинается с рассмотрения исходной формулы.
Логической сумме на логическом дереве будет соответствовать “разветвление” ветвей.
Логическому произведению на выращиваемом дереве будет соответствовать “следование”
ветвей друг за другом.
Пример 1. Построить дерево для высказывания А+В.
Решение. Каждому простому высказыванию в формуле на выращиваемом дереве будет
соответствовать одна ветвь.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Вернемся к условию задачи № 1, построим к ней графическое дерево и проанализируем
каждую его ветвь.
Для вычерчивания графического дерева нам понадобятся уравнения (1), (2), (3).
Проанализируем каждую ветвь.
Ветвь 1:
т.к. T1 T2 0, A2 T2 0
Ветвь 2:
т.к. T1 T2 0
Ветвь 3:
Ветвь 4:
,
т.к. D3 D4  0
Ветвь 5:
,
т.к. W2 T2 0, T2 A2 
Ветвь 6:
,
т.к. W2 2 
Ветвь 7:
,
т.к. W2  2 
Ветвь 8:
,
т.к. D3 D4  
Итак, только выражение ветви 3 эквивалентно 1:
Из этого выражения следует:
Таня - первая;
Алла - вторая;
Даша - третья;
Валя - четвертая.
3. Решение логических задач на ЭВМ.
Имея математическую модель для задачи № 1 в виде системы уравнений (1), (2), (3)
можно составить алгоритм.
Паскаль-программа.
PROGRAM LOGIKA;
USES CRT;
LABEL 20,30,40,50,60,70;
VAR
T1,W2,T2,D3,A2,D4:INTEGER;
F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
T1:=0;
20: W2:=0;
30: T2:=0;
40: D3:=0;
50: A2:=0;
60: D4:=0;
70: F1:=(T1 AND NOT W2) OR (NOT T1 AND W2);
F2:=(T2 AND NOT D3) OR (NOT T2 AND D3);
F3:=(A2 AND NOT D4) OR (NOT A2 AND D4);
F4:=NOT(A2 AND W2);
F5:=NOT(T2 AND A2);
F6:=NOT(T2 AND W2);
F7:=NOT(D3 AND D4);
F8:=NOT(T1 AND T2);
F:=F1 AND F2 AND F3 AND F4 AND F5 AND F6 AND F7 AND F8;
IF F=1 THEN BEGIN WRITELN(' F ',' T1 ','W2 ','T2 ','D3 ','A2 ','D4 ');
WRITELN(F:2,T1:3,W2:3,T2:3,D3:3,A2:3,D4:3); END;
IF D4<1 THEN BEGIN D4:=1; GOTO 70;END;
IF A2<1 THEN BEGIN A2:=1; GOTO 60;END;
IF D3<1 THEN BEGIN D3:=1; GOTO 50;END;
IF T2<1 THEN BEGIN T2:=1; GOTO 40;END;
IF W2<1 THEN BEGIN W2:=1; GOTO 30;END;
IF T1<1 THEN BEGIN T1:=1; GOTO 20;END;
END.
Домашнее задание.
Задача. В спортивных соревнованиях принимали участие пять пионерских команд:
"Вымпел", "Метеор", "Нептун", "Старт" и "Чайка". Об их итогах соревнования имеется
пять высказываний:
1) Второе место занял "Вымпел", a "Cтарт" оказался на третьем.
2) Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на
второе место.
3) Да нет же, " Чайка" заняла только третье место, а "Нептун"- был последним.
4) Первое место по праву завоевал "Cтарт", а "Метеор" был четвертым.
5) Да, "Метеор" действительно был четвертым, а "Вымпел" был вторым.
Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно
утверждение правильное, а другое нет.
Как распределились места между командами?
III. Контрольная работа №1 "Истинность высказываний. Тавтологии. Эквивалентности.
Законы логики. Тождественные преобразования."
Вариант №1.
1. Докажите эквивалентность:
2. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
3. Установите истинность высказывания:
4. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
5. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
6. Упростите:
Вариант №2.
1. Докажите эквивалентность:
2.
Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
3. Установите истинность высказывания:
4. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
5. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
6. Упростите:
Вариант №3.
1. Докажите эквивалентность:
2. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
3. Установите истинность высказывания:
4. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
5. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
6. Упростите:
Вариант №4.
1. Докажите эквивалентность:
2. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
3. Установите истинность высказывания:
4. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
5. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
6. Упростите:
Решение контрольной работы №1
"Истинность высказываний. Тавтологии.
Эквивалентности. Законы логики. Тождественные
преобразования".
Вариант №1.
1. Докажите эквивалентность:
Решение.
A
B
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
2.
Вывод. Из таблицы видно, что
3. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
Решение.
X
Y
Z
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
4.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание не является тавтологией.
5. Установите истинность высказывания:
Решение.
C
D
E
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание истинно если:
1. C 0; D 0; E 0;
2. C 1; D 0; E 0;
3. C 1; D 1; E 0;
4. C 1; D 1; E 1;
7. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
Решение.
Пусть:
X— «Сегодня чудесный день»
Y— “8 класс пишет контрольную работу”
Тогда и только тогда неверно, что, если сегодня чудесный день, то 8 класс пишет
контрольную работу, или сегодня не чудесный день, и 8 класс не пишет
контрольную работу, когда неверно, что сегодня чудесный день, и 8 класс пишет
контрольную работу.
8. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
Решение.
9. Упростите:
Решение.
Вариант №2.
1. Докажите эквивалентность:
Решение.
A
B
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
2.
Вывод. Из таблицы видно, что
3. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
Решение.
X
Y
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
4.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание не является тавтологией.
5. Установите истинность высказывания:
Решение.
C
D
E
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
6.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание истинно всегда, кроме случая, когда:
1. C 0; D 0; E 0;
2. C 0; D 1; E 1;
7. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
Решение.
Пусть:
A— «Алеша читает книгу»
B— “Дима учит уроки”
Если тогда и только тогда Алеша читает книгу, когда Дима учит уроки, и неверно
что Алеша читает книгу или Дима учит уроки, то Алеша не читает книгу или
Дима не учит уроки.
8. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
Решение.
9. Упростите:
Решение.
Вариант №3.
1. Докажите эквивалентность:
Решение.
A
B
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
2.
3. Вывод. Из таблицы видно, что
4. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
Решение.
X
Y
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
5.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание не является тавтологией.
6. Установите истинность высказывания:
Решение.
C
D
E
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
7.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание истинно когда:
1. C 0; D 0; E 1;
2. C 1; D 0; E 1;
3. C 1; D 1; E 1;
8. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
Решение.
Пусть:
X— «Даша идет в кино»
Y— “Оля поет”
Z—“Олег танцует”
Тогда и только тогда Даша идет в кино и если Оля не поет, то Олег танцует,
когда неверно что Даша идет в кино или Олег танцует.
9. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
Решение.
10. Упростите:
Решение.
Вариант №4.
1. Докажите эквивалентность:
Решение.
A
B
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
2.
Вывод. Из таблицы видно, что
3. Докажите, является ли данное высказывание тавтологией:
Решение
X
Y
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
4.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание не является тавтологией.
5. Установите истинность высказывания:
Решение.
C
D
E
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
6.
Вывод. Из таблицы видно, что высказывание истинно всегда, кроме случая:
1. C 0; D 0; E 1;
2. C 1; D 0; E 1;
3. C 1; D 1; E 1;
7. Для формулы придумайте формализуемое ею высказывание:
Решение.
Пусть:
A— «Коля пишет письмо»
B— “Дима смотрит телевизор”
C—“Игорь разговаривает по телефону”
Если Коля пишет письмо или тогда и только тогда Дима смотрит телевизор,
когда Игорь разговаривает по телефону, то неверно что, Коля пишет письмо или
Дима смотрит телевизор и Игорь не разговаривает по телефону.
8. Данное высказывание преобразуйте в эквивалентное, но уже не содержащее
отрицаний сложных высказываний:
Решение.
9. Упростите:
Решение.
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
Наглядность и оборудование: файлы ЗАГОТОВКА_ЛОГИКА.XLS, ЛОГИКА.XLS
(logika\2\11klass\file\urok11-12\...).
План урока.
1. Проверка д.з.
2. Решение задач.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
В спортивных соревнованиях принимали участие пять пионерских команд: "Вымпел",
"Метеор", "Нептун", "Старт" и "Чайка". Об их итогах соревнования имеется пять
высказываний:
1. Второе место занял "Вымпел", a "Старт" оказался на третьем.
2. Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на
второе место.
3. Да нет же, " Чайка" заняла только третье место, а "Нептун"- был последним.
4. Первое место по праву завоевал "Старт", а "Метеор" был четвертым.
5. Да, "Метеор" действительно был четвертым, а "Вымпел" был вторым.
Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно
утверждение правильное, а другое нет.
Как распределились места между командами?
Решение. Введем обозначения B- Вымпел, N - Нептун, C - Старт, H - Чайка, M - Метеор.
Цифры означают места. Согласно высказываниям составим уравнения:
Ответ. Из полученного выражения следует, что команды заняли следующие места:
"Вымпел" - 1, "Метеор" - 4, "Нептун" - 5, "Старт" - 3, "Чайка" - 2.
II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.
Распределить группу учащихся на 4 подгруппы. Распределить задачи.
Задача №1.
На ледяном поле 5 хоккеистов: Ольховский, Малышев, Белов,
Таманин, Лавров - штурмовали ворота. Раздался свисток судьи.
"Удаляет двух", - подумали спортсмены. "Без Малышева или Ольховского я не останусь
на поле", - сказал Таманин. "Я тоже, "- сказал Лавров. "Удаляют либо меня с Беловым,
либо Таманина с Лавровым", - сказал Малышев. Когда судья объявил о своем решении все
оказались правы и кроме того Ольховский и Белов не остались вместе на поле. Кто
остался на поле ?
Решение. Введем буквенные обозначения: O - Ольховский, M - Малышев,
B - Белов, T - Таманин, L - Лавров. Высказывания каждого хоккеиста можно задать
формулами :
Для решения системы логических уравнений умножим уравнение (1) на уравнение (2):
Полученное выражение (4) умножим на уравнение (3):
Из полученного выражения (5) следует, что на поле остались Ольховский, Таманин,
Лавров.
Графическое дерево.
Проанализировав все ветви графического дерева, можно сделать заключение, что
единственно правильным решением является ветвь 5.
Алгоритм.
алг Задача (цел F1,F2,F3,T,O,M,L,B,F)
арг F1,F2,F3,T,O,M,L,B
рез F
нач
1: T:=0
2: O:=0
3: M:=0
4: L:=0
5: B:=0
6: F1:=(M и Т) или (О и Т)
F2:=(М и L) или (О и L)
F3:=(не М и не В) или (не Т и не L)
F:=F1 и F2 и F3
если F=1
то вывод F,T,O,M,B,L
все
если В<1
то B:=1: переход к 6
все
если L<1
то L:=1:переход к 5
если М<1
то М:=1:переход к 4
все
если О<0
то О:=1:переход к 3
все
если Т<1
то Т:=1:переход к 2
все
кон
Бейсик-программа.
CLS
10 T=0
20 O=0
30 M=0
40 L=0
50 B=0
60 F1=(M AND T) OR (O AND T)
70 F2=(M AND L) OR (O AND L)
80 F3=(NOT M AND NOT B) OR (NOT T AND NOT L)
90 F=F1 AND F2 AND F3
100 IF F=1 THEN ?" F ";" T ";" O ";" M ";" L ";" B ":?F;T;O;M;L;B
110 IF B<1 THEN B=1: GOTO 60
120 IF L<1 THEN L=1: GOTO 50
130 IF M<1 THEN M=1: GOTO 40
140 IF O<1 THEN O=1: GOTO 30
150 IF T<1 THEN T=1: GOTO 20
160 END
Паскаль-программа.
program zad1;
uses crt;
var t,o,m,b,l:boolean;
function func:boolean;
var f:array[1..3] of boolean;
begin
f[1]:=(m and t) or (o and t);
f[2]:=(m and l) or (o and l);
f[3]:=(not m and not b) or (not t and not l);
func:=f[1] and f[2] and f[3];
end;
procedure ff(i:integer);
begin
case i of
1:begin
t:=false;ff(i+1); t:=true;ff(i+1);
end;
2:begin
o:=false;ff(i+1); o:=true;ff(i+1);
end;
3:begin
m:=false;ff(i+1); m:=true;ff(i+1);
end;
4:begin
l:=false;ff(i+1); l:=true;ff(i+1);
end;
5:begin
b:=false;ff(i+1); b:=true;ff(i+1);
end;
6:begin
if func=true then
begin
writeln(' f t o m l b ');
writeln(func,' ',t,' ',o,' ',m,' ',l,' ',b);
end;
end; end; end;
begin
ff(1);
end.
Задача №2.
Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с
кличками "Абрек", "Ветер", "Стрелок".
- Победит или "Абрек", или "Стрелок", - сказал один болельщик.
- Если "Абрек" будет вторым, то победу принесет "Ветер", - сказал другой болельщик.
- Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик.
- Вторым придет или 'Ветер", или "Абрек".
- А я вам скажу, - вмешался четвертый болельщик, - что если "Абрек" придет третьим, то
"Стрелок" не победит.
После забега выяснилось, что три лошади - "Абрек", "Ветер" и "Стрелок" - заняли три
первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания
болельщиков были правильны. Как кончился забег?
Решение. Обозначим клички лошадей буквами: A - "Абрек", B - "Ветер", C- "Стрелок".
Высказывания каждого болельщика о спортсменах можно задать формулами :
По условию задачи лошади заняли три первых места, не деля между собой ни одного
места. Зададим эти условия уравнениями (5) - (8):
Ответ. Из полученного выражения следует, что "Абрек" занял 1 место, "Ветер" - 2 место,
"Стрелок" - 3 место (первым не может быть по условию задачи).
Графический способ решения системы логических уравнений.
Проанализировав 12 ветвей дерева можно сделать вывод, что ответом является 1 или 2
ветвь графического дерева.
Алгоритм.
алг Задача № 16 (цел A1, A2, A3, B1, B2, C1, F1, F2, F3, F4, F5,
F6, F7, F8, F9, F10, F11, F12, F13, F )
арг A1, A2, A3, B1, B2, C1, F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8,
F9, F10, F11, F12, F13
рез F
нач
A1:=0
20:A2:=0
30:A3:=0
40:B1:=0
50:B2:=0
60:C1:=0
70:F1:=(A1 И НЕ C1) ИЛИ (НЕ A1 И С1)
F2:=(НЕ A2) ИЛИ B1
F3:=(B2 И НЕ A2) ИЛИ (НЕ B2 И A2)
F4:=(HЕ A3) ИЛИ(НЕ C1)
F5:=НЕ(A1 И A2)
F6:=НЕ(A1 И A3)
F7:=НЕ(A2 И A3)
F8:=НЕ(A2 И B2)
F9:=НЕ(B1 И B2)
F10:=НЕ(A1 И B1)
F11:=НЕ(A1 И B1)
F12:=НЕ(С1 И B1)
F13:=A1 ИЛИ A2 ИЛИ A3
F:=F1 И F2 И F3 И F4 И F5 И F6 И F7 И F8 И F9 И F10
И F11 И F12 И F13
если F=1
то вывод F, A1, A2, A3, B1, B2, C1
все
если C1<1
то C1:=1: переход к 70
все
если B2<1
то B2:=1: переход к 60
все
если B1<1
то B1:=1: переход к 50
все
если A3<1
то A3:=1: переход к 40
все
если A2<1
то A2:=1: переход к 30
все
если A1<1
то A1:=1: переход к 20
все
кон
Бейсик - программа.
1 cls
10 A1=0
20 A2=0
30 A3=0
40 B1=0
50 B2=0
60 C1=0
70 f1=(a1 and not c1) or (not a1 and c1)
80 f2=(not a2) or b1
90 f3=(b2 and not a2) or (not b2 and a2)
100 f4=(not a3) or (not c1)
110 f5=not(a1 and a2)
120 f6=not(a1 and a3)
130 f7=not(a2 and a3)
140 f8=not(a2 and b2)
141 f9=not(b1 and b2)
142 f10=not(a1 and b1)
143 f11=not(a1 and c1)
144 f12=not(c1 and b1)
145 f13=a1 or a2 or a3
150 f=f1 and f2 and f3 and f4 and f5 and f6 and f7 and f8 and f9 and f10 and f11 and f12 and f13
160 if f=1 then?" f ";"a1 ";"a2 ";"a3 ";"b1 ";"b2 ";"c1 ":?f ;a1 ;a2 ;a3 ;b1 ;b2 ;c1
170 if c1<1 then c1=1:goto 70
180 if b2<1 then b2=1:goto 60
190 if b1<1 then b1=1:goto 50
200 if a3<1 then a3=1:goto 40
210 if a2<1 then a2=1:goto 30
220 if a1<1 then a1=1:goto 20
230 end
Паскаль - программа.
program zad2;
uses crt;
var a1,a2,a3,b1,b2,c1:boolean;
function func{(a1,a2,a3,b1,b2,c1)}:boolean;
var f:array[1..13] of boolean;
begin
f[1]:=(a1 and not c1) or (not a1 and c1);
f[2]:=(not a2) or b1;
f[3]:=(b2 and not a2) or (not b2 and a2);
f[4]:=(not a3) or (not c1);
f[5]:=not(a1 and a2);
f[6]:=not(a1 and a3);
f[7]:=not(a2 and a3);
f[8]:=not(a2 and b2);
f[9]:=not(b1 and b2);
f[10]:=not(a1 and b1);
f[11]:=not(a1 and c1);
f[12]:=not(c1 and b1);
f[13]:=a1 or a2 or a3;
func:=f[1] and f[2] and f[3] and f[4] and f[5] and f[6] and f[7] and f[8] and f[9] and f[10] and
f[11] and f[12] and f[13];
end;
procedure ff(i:integer);
begin
case i of
1:begin
a1:=false;ff(i+1);
a1:=true;ff(i+1);
end;
2:begin
a2:=false;ff(i+1);
a2:=true;ff(i+1);
end;
3:begin
a3:=false;ff(i+1);
a3:=true;ff(i+1);
end;
4:begin
b1:=false;ff(i+1);
b1:=true;ff(i+1);
end;
5:begin
b2:=false;ff(i+1);
b2:=true;ff(i+1);
end;
6:begin
c1:=false;ff(i+1);
c1:=true;ff(i+1);
end;
7:begin
if func{(a1,a2,a3,b1,b2,c1)}=true then
begin
writeln('a1 a2 a3 b1 b2 c1');
writeln(a1,' ',a2,' ',a3,' ',b1,' ',b2,' ',c1);
end;
end;
end;
end;
begin
ff(1);
end.
Задача №3.
Нужно для 4 дежурных - Антипова, Климова, Маркова и Лебедева - составить график
дежурств на агитпункте с соблюдением следующих условий:
1. Если Лебедев не будет дежурить в понедельник, то в понедельник
согласен дежурить Климов.
2. Ecли Климов не сможет дежурить ни в понедельник, ни в четверг, то Антипов
будет дежурить в понедельник.
3. Если Марков не сможет дежурить в четверг, то Климов будет дежурить в среду.
4. Если Лебедев придет дежурить во вторник ,то Климов не будет
дежурить в понедельник .
5. Если Антипов не сможет дежурить в понедельник, то Марков не
сможет дежурить во вторник.
Каким должен быть график дежурств ?
Решение. Введем обозначения: L- Лебедев, K - Климов, A - Антипов, M - Марков. Цифры
означают 1 - Понедельник,2 - Вторник,3 - Среда, 4 -Четверг.
Согласно условиям задачи составим систему логических уравнений:
То обстоятельство, что один и тот же человек не может дежурить дважды и в один день не
могут дежурить два человека зададим формулами:
L2 * L1= 0 (6)
К1* L1= 0 (7)
К1* А1= 0 (8)
К4* M4= 0 (9)
L1*А1= 0 (10)
Для решения системы уравнений умножим сначала уравнение (1)
на уравнение (2):
Ответ. Из полученного выражения следует, что Климов дежурит в понедельник, Антипов
- во Вторник, Лебедев - в среду, Марков - в Четверг.
Алгоритм.
алг Задача 12 (цел F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9, Fa, Fb, F,
K1, K3, K4, L2, L1, M4, A1)
арг F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9, Fa, Fb
рез F, K1, K3, K4, L2, L1, M4, A1
нач
15: М2:=0
20: К1:=0
30: К3:=0
40: К4:=0
50: L2:=0
60: L1:=0
70: M4:=0
80: A1:=0
90: F1:=( L1 или К1 )
F2:=( K1 или К4 ) или А1
F3:=( M4 или К3 )
F4:=( не L2) или не К1
F5:=( A1 или не М2 )
F6:=( не ( К1 и К3 )) и ( не (К3 и К4)) и (не (К1 и К4))
F7:= не ( L2 и L1)
F8:= не ( К1 и L1 )
F9:= не ( К1 и А1 )
Fa:= не ( К4 и М4 )
Fb:= не ( L1 и А1)
F:=F1 и F2 и F3 и F4 и F5 и F6 и F7 и F8 и F9 и Fa и Fb
если F=1
то вывод F, K1, K3, K4, L2, L1, M4, A1
все
если А1>1
то А1:=1: перейти к 90
все
если М4<1
то М4:=1: перейти к 80
все
если L1<1
то L1:=1: перейти к 70
все
если L2<1
то L2:=1: перейти к 60
все
если К4<1
то К4:=1: перейти к 50
все
если К3<1
то К3:=1: перейти к 40
все
если К1<1
то К1:=1: перейти к 30
все
если М2<1
то М2:=1: перейти к 20
все
кон
Бейсик-программа.
10 CLS
20 K1=0
30 K3=0
40 K4=0
50 L2=0
60 L1=0
70 M4=0
80 A1=0
90 F1=(l1 OR K1 )
100 F2=( K1 or K4) or A1
110 F3=(m4 OR K3)
120 F4=( NOT l2) OR not K1
130 F5=(a1 or not m2)
140 f6=(not(k1 and k3)) and (not(k3 and k4)) and (not(k1 and k4))
150 F7= NOT(L2 AND L1)
160 F8= NOT(K1 AND L1)
170 F9= NOT(K1 AND A1)
180 Fa= NOT(K4 AND M4)
190 Fb= NOT(L1 AND A1)
200 F=F1 AND F2 ANd F3 AND F4 AND F5 AND f6 and F7 AND F8 AND F9 AND fa and fb
210 IF F=1 THEN ?" F ";"K1 ";"K3 ";"K4 ";"L2 ";"L1 ";"M4 ";"A1
":?F;K1;K3;K4;L2;L1;M4;A1
220 IF A1<1 THEN A1=1:GOTO 90
230 IF M4<1 THEN M4=1:GOTO 80
240 IF L1<1 THEN L1=1:GOTO 70
250 IF L2<1 THEN L2=1:GOTO 60
260 IF K4<1 THEN K4=1:GOTO 50
270 IF K3<1 THEN K3=1:GOTO 40
280 IF K1<1 THEN K1=1:GOTO 30
290 END
Паскаль-программа.
PROGRAM zad3;
uses crt;
var M2,K1,K3,K4,L2,L1,M4,A1:boolean;
function func:boolean;
var f:array[1..11] of boolean;
begin
f[1]:=(L1 OR K1); f[2]:=(K1 or K4)OR A1; f[3]:=(M4 OR K3);
f[4]:=(not L2) or (not K1); f[5]:=(a1 OR NOT M2);
f[6]:=not(K1 and K3) AND (NOT(K3 AND K4)) AND (NOT(K1 AND K4));
f[7]:=not(L2 and L1); f[8]:=not(K1 and L1); f[9]:=not(K1 and A1);
f[10]:=not(K4 and M4); f[11]:=not(L1 and A1);
func:=f[1] and f[2] and f[3] and f[4] and f[5] and f[6] and f[7] and f[8] and f[9] and f[10] and
f[11] ; end;
procedure ff(i:integer);
begin
case i of
1:begin M2:=false;ff(i+1); M2:=true;ff(i+1); end;
2:begin K1:=false;ff(i+1); K1:=true;ff(i+1); end;
3:begin K3:=false;ff(i+1); K3:=true;ff(i+1); end;
4:begin K4:=false;ff(i+1); K4:=true;ff(i+1); end;
5:begin L2:=false;ff(i+1); L2:=true;ff(i+1); end;
6:begin L1:=false;ff(i+1); L1:=true;ff(i+1); end;
7:begin M4:=false;ff(i+1); M4:=true;ff(i+1); end;
8:begin A1:=false;ff(i+1); A1:=true;ff(i+1); end;
9:begin
if func=true then
begin
writeln('K1 K3 K4 L2 L1 M4 A1');
writeln(K1,' ',K3,' ',K4,' ',L2,' ',L1,' ',M4,' ',A1);
end;
end;
end;
end;
begin
CLRSCR;
ff(1);
end.
Задача №4.
Обсуждая вопрос о включении в состав сборной команды пяти молодых игроков : Асеева,
Валеева, Сватеева, Деева и Евтеева.
Выбор обусловлен следующими условиями:
1. В команду необходимо включить не менее чем одного из трех игроков: Асеева,
Валеева, Евтеева, но не более чем одного из трех игроков: Асеева, Сватеева, Деева.
2. Сватеева можно включить в сборную без Валеева тогда и только тогда, когда Асеев
будет включен, а Деев не будет включен.
3. Если Валеев будет включен в сборную, а Сватеев не будет включен, то сборную
нужно пополнять и Деевым, и Евтеевым.
4. Если Асеев не будет включен в команду, то нужно в нее включить и Сватеева, и
Евтеева.
Кого из игроков можно включить в сборную команду?
Решение. Введем буквенные обозначения: A-Асеев, E-Евтеев, B-Валеев, D-Деев, CСватеев. Условия выбора игроков для сборной команды заданы в задаче высказываниями
1,2,3,4. По этим высказываниям выпишем формулы:
Для решения системы логических уравнений сначала умножим уравнение (2) на
уравнение (3):
Умножим полученное выражение (6) на уравнение (4), получим:
Умножим полученное выражение (7) на уравнение (1), получим:
В уравнении (8) перемножим сначала выражение, заключенное в первые скобки, на
выражение, заключенное в третьи скобки, получим:
Перемножим полученное выражение (9) на выражение, заключенное в вторые скобки,
уравнения (8), получим:
Ответ. В команду включены: Валеев, Сватеев, Евтеев.
Алгоритм.
алг задача (цел a,e,b,d,q,w,r,f1,f2,f3,f4,f)
арг a,e,b,d,q,w,r,f1,f2,f3,f4
рез f
нач
1: a:=0
2: e:=0
3: b:=0
4: d:=0
5: c:=0
6: q:=(a и не e и не b) или (не a и не e и b) или (не a и e и не b)
w:=(a и e и не b) или (a и не e и b) или (не a и b и e) или (a и e и b)
r:=(a и не c и не d или не a и c и не d или не a и не c и d)
f1:=(q или w) и r
f2:=((c и не b) и (a и не d)) или (не(c и не b) и не(a и не d))
f3:=не(b и не c) или (d и e)
f4:=a или (c и e)
f:=f1 и f2 и f3 и f4
если f=1
то вывод a;e;b;d;c
все
если c<1
то c:=1: переход на 6
все
если d<1
то d:=1: переход на 5
все
если b<1
то b:=1: переход на 4
все
если e<1
то e:=1: переход на 3
все
если a<1
то a:=1: переход на 2
все
кон
Бейсик-программа.
cls
10 a=0
20 e=0
30 b=0
40 d=0
50 c=0
60 q=(a and not e and not b)or(not a and not e and b)or(not a and e and not b)
w=(a and e and not b)or(a and not e and b)or(not a and b and e)or(a and e and b)
r=(a and not c and not d or not a and c and not d or not a and not c and d)
f1=(q or w) and r
f2=((c and not b) and (a and not d))or(not(c and not b) and not(a and not d))
f3=not(b and not c) or (d and e)
f4=a or (c and e)
f=f1 and f2 and f3 and f4
if f=1 then ?" A ";"E ";"B ";"Д ";"C ":? a;e;b;d;c
if f=1 then stop
if c<1 then c=1:goto 60
if d<1 then d=1:goto 50
if b<1 then b=1:goto 40
if e<1 then e=1:goto 30
if a<1 then a=1:goto 20
end
Паскаль-программа.
program zad4;
uses crt;
var c,e,b,a,d:boolean;
function func{(a1,a2,a3,b1,b2,c1)}:boolean;
var f:array[1..7] of boolean;
begin
f[1]:=(a and e and not b)or(not a and not e and b)or(not a and e and not b);
f[2]:=(a and e and not b)or(a and not e and b)or(not a and b and e)or(a and e and );
f[3]:=(a and not c and not d or not a and c and not d or not a and not c and d);
f[4]:=(f[1] or f[2]) and f[3];
f[5]:=((c and not b)and(a and not d))or(not(c and not b) and not(a and not d));
f[6]:=not(b and not c) or (d and e);
f[7]:=a or (c and e);
func:=f[4] and f[5] and f[6] and f[7];
end;
procedure ff(i:integer);
begin
case i of
1:begin
a:=false;ff(i+1); a:=true;ff(i+1);
end;
2:begin
e:=false;ff(i+1); e:=true;ff(i+1);
end;
3:begin
b:=false;ff(i+1); b:=true;ff(i+1);
end;
4:begin
d:=false;ff(i+1); d:=true;ff(i+1);
end;
5:begin
c:=false;ff(i+1); c:=true;ff(i+1);
end;
6:begin
if func=true then begin writeln('a e b d c');
writeln(a,' ',e,' ',b,' ',d,' ',c); end;
end; end; end;
begin
clrscr; ff(1);
8:end.
Задача.
Три грибника, рассматривая найденный гриб, высказали свои
предположения. Первый грибник сказал: "Не верно, что, если это не
опенок, то этот гриб съедобный". Второй грибник также был
осторожен и сказал: "Не верно, что этот гриб или ядовитый, или
опенок, или не сыроежка". Третий грибник заявил: "Это гриб не
ядовитый, и я отрицаю, что если это сыроежка, то она съедобна". В
итоге оказалось, что все три грибника были правы и их суждения
оказались истинными. Какой гриб нашли грибники?
Решение.
A="Гриб опенок"
B="Гриб сыроежка"
C="Гриб съедобный"
D="Гриб ядовитый"
Так как высказывания всех трех грибников истинны, то итоговая
функция равна их конъюнкции:
Функция импликации преобразуется в дизъюнктивную нормальную
форму следующим образом:
Функция F принимает единичное значение только на одном наборе
значений аргументов, в котором a=0, b=1,c=0, d=0, т.е. найденный гриб
- сыроежка.
Бейсик-программа.
REM Задача о грибниках
CLS
PRINT " "; "A"; " "; "B"; " "; "C"; " "; "D"; " "; "F"
FOR A = 0 TO 1
FOR B = 0 TO 1
FOR C = 0 TO 1
FOR D = 0 TO 1
F1 = NOT (NOT A IMP C)
F2 = NOT (D OR A OR NOT B)
F3 = NOT D AND NOT (B IMP C)
F = F1 AND F2 AND F3
PRINT A; B; C; D; F
NEXT D, C, B, A
END
Паскаль-программа
PROGRAM GRIB;
USES CRT;
VAR A,B,C,D,F1,F2,F3,F:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
WRITELN ('A','B','C','D','F');
FOR A:=0 TO 1 DO
FOR B:=0 TO 1 DO
FOR C:=0 TO 1 DO
FOR D:=0 TO 1 DO
BEGIN
F1:=NOT(A) AND NOT(C);
F2:=NOT (A) AND B AND NOT (D);
F3:=NOT (D) AND B AND NOT (C);
F:=F1 AND F2 AND F3;
WRITELN (A,B,C,D,F);
END;
END.
Решение задачи с помощью EXEL.
УРОК № 13-14
Тема «Логические основы построения ЭВМ».
Наглядность и оборудование: файлы rabota.ppt, cxemy.ppt, log_vir.ppt (logika\6...).
План урока.
1.
2.
3.
4.
5.
Актуализация опорных знаний.
Логические основы построения ЭВМ.
Структурные формулы и функциональные схемы.
Построение логического выражения по таблице истинности.
Домашнее задание.
Ход урока.
I. Актуализация опорных знаний.
Беседа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Как представляется информация в ЭВМ?
Почему двоичная система является необходимой для ЭВМ?
Назовите основные устройства компьютера.
Назначение основных устройств ЭВМ.
Что такое программный принцип управления ЭВМ?
Как работает компьютер? (Рассказ по схеме (файл rabota.ppt)).
II. Логические основы построения ЭВМ.
Действия, выполняемые компьютером:
1. запоминание двоичных кодов в ячейках памяти;
2. пересылка информации между устройствами по магистрали;
3. определение по адресу из какой ячейки памяти надо взять и в какую надо записать
информацию;
4. определение по коду команды какие действия надо выполнить;
5. преобразование двоичных кодов (+, *, /, -)
6. сравнение кодов между собой.
В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная Дж.
Булем. Было доказано, что все электронные схемы ЭВМ могут быть реализованы с
помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ.
Элемент НЕ
A
0
1
1
0
При подаче на вход схемы сигнала низкого уровня (0) транзистор будет заперт, т.е. ток
через него проходить не будет, и на выходе будет сигнал высокого уровня (1). Если же на
вход схемы подать сигнал высокого уровня (1), то транзистор “откроется”, начнет
пропускать электрический ток. На выходе за счет падения напряжения установится
напряжение низкого уровня. Т.о., схема преобразует сигналы одного уровня в другой,
выполняя логическую функцию.
Элемент ИЛИ
А
В
С
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Функция “ИЛИ” - логическое сложение (дизъюнкция), ее результат равен 1, если хотя бы
1 из аргументов равен 1.
Здесь транзисторы включены параллельно друг другу. Если оба закрыты, то их общее
сопротивление велико и на выходе будет сигнал низкого уровня (логический “0”).
Достаточно подать сигнал высокого уровня (“1”) на один из транзисторов, как схема
начнет пропускать ток, и на сопротивлении нагрузки установится также сигнал высокого
уровня (логическая “1”).
Элемент И
A
B
C
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Если на входы Вх1 и Вх2 поданы сигналы низкого уровня (логические “0”), то оба
транзистора закрыты, ток через них не проходит, выходное напряжение на Rн близко к
нулю.
Пусть на один из входов подано высокое напряжение (“1”). Тогда соответствующий
транзистор откроется, однако другой останется закрытым, и ток через транзисторы и
сопротивление проходить не будет. Следовательно, при подаче напряжения высокого
уровня лишь на один из транзисторов схема не переключается и на выходе остается
напряжение низкого уровня.
И лишь при одновременной подаче на входы сигналов высокого уровня (“1”) на выходе
мы также получим сигнал высокого уровня.
III. Структурные формулы и функциональные схемы.
рис.1.
A
B
C
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
A
B
C
0
0
0
0
1
0
рис.2.
1
0
0
1
1
1
Соответствующие схемы называются функциональными. Анализируя функциональную
схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос:
какую функцию она выполняет.
Не менее важной формой описания логических устройств является структурная формула.
Покажем на примере как выписывают формулу по заданной функциональной схеме.
Ясно, что элемент "И" осуществляет логическое умножение значений и В.
Над результатом в элементе "НЕ" осуществляется операция отрицания, т.е. вычисляется
значение выражения:
Формула
и есть структурная формула логического устройства.
Задание 1. Для каждой из функциональных схем выписать соответствующую
структурную формулу.
A
B
C
X1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
A
B
C
X2
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
A
B
Y1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
C
D
Y2
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
B
Y3
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
IV. Построение логического выражения по таблице истинности
1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением функции
построить минтерм. (Минтермом называется терм-произведение (конъюнкция), в
котором каждая переменная встречается только один раз - либо с отрицанием, либо
без него). Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входящие в минтерм
с отрицанием, а переменные со значением единица - без отрицания.
2. Объединить все минтермы операцией дизъюнкции.
Задача. По заданной таблице истинности построить логическое выражение и упростить
его.
А).
X1
X2
X3
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
10
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Решение.
1. Выбираем строки, в которых F=1, и строим для них минтермы.
o
1 строка
2 строка
o 3 строка
2. Объединяем минтермы.
o
3. Упрощаем логическое выражение.
Б)
X1
X2
X3
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Решение.
1. Выбираем строки, в которых F=1, и строим для них минтермы.
o
4 строка
o
5 строка
o
6 строка
7 строка
2. Объединяем минтермы.
o
3. Упрощаем логическое выражение.
V. Домашнее задание.
Задание 1. Для каждой из функциональных схем выписать соответствующую
структурную формулу и заполнить таблицу работы.
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
Y1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
б)
С
D
0
0
0
1
1
0
1
1
С
D
Y2
в)
Y3
0
0
0
1
1
0
1
1
Задание 2. Для каждой из cтруктурной формулы построить функциональную схему:
Задание 3. По заданной таблице истинности построить логическое выражение и
упростить его.
X1
X2
X3
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
X1
X2
X3
F
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
УРОК 15-16.
ТЕМА УРОКА "ОСНОВНЫЕ УЗЛЫ ЭВМ"
Оборудование: ПК, компьютерная программа INFO (Элементы
вычислительной техники в школьном курсе информатики (logika\5\...)).
Наглядность:



презентация Узлы.ppt (logika\6\...);
файлы: R1.htm, R2.htm, Sum1.htm, Sum2.htm, Triger1.htm,
Triger2.htm, Triger3.htm (logika\2\11klass\file\urok15-16\...).
литература:
1) Семененко В.А. и др. Электронные вычислительные машины:
Учебное пособие для ПТУ.- М.: Высш. Шк., 1991.
2) Алферов А.В. В мире умных машин. - М.: Радио и связь, 1989.
3) Шауцукова Л.З. Информатика: Учеб. Пособие для 10-11 кл.
общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2000;
4) Буреев Л.Н. Простейшая микро-ЭВМ: Проектирование. Наладка.
Использование. -М.: Энергоиздат, 1989.
5) Мнеян М.Г. физические принципы работы ЭВМ. -М.: просвещение,
1987.
6) Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. Логика в информатике.-М.:
Информатика и образование, 1999.
7) А.Н.Салтовский, Ю.А.Первин. Как работает ЭВМ. -М.: Просвещение,
1986.
8) Пустоваченко Н.Н. введение в математическую логику и теорию
автоматов. -Мурманск, ЦНИТ, 1997;



опорный конспект;
карточки (проверка домашнего задания, задание для
индивидуальной работы);
таблица "Успеваемость учащихся 11 кл. гимназии №5".
Цели урока:
1) Обеспечить усвоение учащимися алгоритма синтеза автомата;
2) ознакомить учащихся с основными узлами ЭВМ: сумматор, триггер,
регистр;
3) отработать навыки построения функциональных схем, записи
логических функций по таблице истинности, упрощения логических
функций;
4) развитие навыков логического мышления;
5) формирование навыков работы с разными источниками
информации.
ПЛАН УРОКА
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов.
5. Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент (3 минуты).
На прошлом уроке вы писали самостоятельную работу по теме
"Структурные формулы и функциональные схемы. С работой
справились все замечательно: "5"- 7; "4"- 5; "1" -; "н"-1.
А еще более успешно вы справились с домашней работой по этой
теме: все "пятерки". Это свидетельствует о том, что к контрольной
работе №1 вы готовы.
II. Проверка домашнего задания (7 минут).
На прошлом уроке мы изучили тему "Двоичная арифметика". Дома вы
должны были решить 8 примеров. Кто не справился с заданием?
Проверим примеры. Проверку осуществим таким образом: я выдам
вам всем решение, а вы проверите его. Итак, приступим к проверке.
Поднимите руки у кого нет ошибок (оценка 5), у кого 1 или 2 ошибки
(оценка 4), 3-4 ошибки (оценка 3).
III. Изучение нового материала.
Замечательно! А теперь вспомните правила двоичной арифметики и
ответьте на вопрос: операции сложения, вычитания, умножения,
деления, в конечном счете, сводятся к каким операциям? (сложение,
сдвиг, запоминание).
Сегодня на уроке вы узнаете, какие узлы ЭВМ их реализуют. Итак,
тема нашего урока "Основные узлы ЭВМ".
Это последняя тема раздела "Введение в математическую логику и
теорию автоматов". Вы познакомитесь с алгоритмом синтеза
автоматов, с такими узлами ЭВМ как сумматор, триггер, регистр. На
уроке мы отработаем навыки построения функциональных схем,
записи логических функций по таблице истинности, упрощения
логических функций, таким образом, подготовимся к контрольной
работе.
Запишите в тетради вопросы, которые будут рассмотрены на уроке:
1. АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ОДНОТАКТНЫХ АВТОМАТОВ.
2. СУММАТОР.
3. ТРИГГЕР.
4.РЕГИСТР.
1 вопрос. (15 минут). Рассмотрим АЛГОРИТМ СИНТЕЗА АВТОМАТОВ
(обратимся к презентации).
Конструирование (синтез) автоматов - одна из основных задач
кибернетики.
(Кибернетика - наука о процессах управления в сложных
динамических системах, основывающаяся на теоретическом
фундаменте математики и логики, а также применении ВТ.
Автомат - агрегат, представляющий собой систему механизмов и
устройств, в которой полностью механизированы, т.е. выполняются
без непосредственного участия человека, процессы получения,
преобразования, передачи и использования энергии, вещества или
информации.)
Пример 1. Для оповещения зрителей, наблюдающих за ходом
состязаний по тяжелой атлетике, изготовлен светящийся транспарант:
"Вес взят правильно". Подсвечивание транспаранта осуществляется
по команде, выдаваемой автоматом. Этот автомат обрабатывает
сигналы, поступаю-щие от трех судей А, В, С. Судья А - старший.
Сигнал на подсвечивание транспаранта автомат выдаст тогда, когда
нажмут кнопки все трое судей или двое, один из которых - старший.
Сконструировать автомат.
Решение.
Описание задачи, которую должен решать автомат принято называть
словесной формой задания автомата. Автомат предстает при этом как
некий "черный ящик": еще неизвестно как будет устроен внутри, но
уже ясно, что ему предстоит делать, известно как он связан с внешней
сре-дой. В данном случае будущий автомат имеет три входа - это
линии, по которым поступают сигналы от судей А, В и С и один выход
Х (сигнал для подсвечивания транспаранта "вес взят правильно").
Теперь можно составить таблицу работы автомата.
2 вопрос. СУММАТОР (15 минут).
Ребята, если я вас попрошу сейчас нарисовать схему сумматора, то
скорее всего, вы ответите, что не сможете этого сделать. Я попытаюсь
опровергнуть это высказывание. Если логически рассуждать, то у вас
достаточно уже знаний, чтобы построить схему сумматора.
По названию устройства вы уже догадались, сумматор предназначен
для сложения двоичных разрядов.
Узел ЭВМ выполняющий арифметическое суммирование кодов чисел,
называется сумматором.
Из двоичной арифметики мы знаем, что 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10.
Таким образом, для суммирования двух двоичных разрядов нам
понадобится устройство с двумя входами (X и Y), двумя выходами: S результат сложения, P - перенос в старший разряд. Подойдем к
рассмотрению сумматора с точки зрения автомата, поэтому
воспользуемся алгоритмом синтеза автомата.
Таблица работы будет следующей:
В таблице приведена логика работы сумматора на два входа X и Y. На
его выходах образуется сумма S данного разряда и осуществляется
перенос Р в следующий старший разряд. По таблице можно составить
логическое выражение для суммы S и переноса Р:
Преобразуем выражение для суммы к виду:
По формуле вычертим функциональную схему:
Это схема полусумматора. С сумматором, триггером и регистром вы
познакомитесь самостоятельно.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (15 минут).
Распределить учащихся на 3 группы (сумматор, триггер, регистр).
1 группа (Сумматор)- 3 компьютера (на 1-м - программа INFO, на 2-м файл Сумматор1.htm, на 3-м - файл Сумматор2.htm, опорный конспект,
перечень вопросов, книги: Алферов А.В. В мире умных машин. - М.:
Радио и связь, 1989., Буреев Л.Н. Простейшая микро-ЭВМ:
Проектирование. Наладка. Использование. -М.: Энергоиздат, 1989.
2 группа (регистр) - 3 компьютера (на 1-м - программа INFO, на 2-м файл Регистр1.htm, на 3-м - файл Регистр2.htm, опорный конспект,
перечень вопросов, книги: 1) Семененко В.А. и др. Электронные
вычислительные машины: Учеб. Пособие для ПТУ.- М.: Высш. Шк.,
1991. 2) Мнеян М.Г. физические принципы работы ЭВМ. -М.:
просвещение, 1987. 3) Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. Логика в
информатике.-М.:Информатика и образование, 1999.
3 группа (триггер) - 4 компьютера (на 1-м - программа INFO, на 2-м файл Триггер1.htm, на 3-м - файл Триггер2.htm, на 4-м - файл
Триггер3.htm, опорный конспект, перечень вопросов, книги: 1)
Шауцукова Л.З. Информатика: Учеб. Пособие для 10-11 кл.
общеобразоват. Учреждений. - М.: Просвещение, 2000. 2)
А.Н.Салтовский, Ю.А.Первин. Как работает ЭВМ. -М.:Просвещение,
1986.
Задание. Выдать вопросы учащимся. Используя компьютерную
программу, htm-файлы, опорный конспект, книги найти ответы на
вопросы. Против каждого вопроса должна быть написана фамилия
ученика. Учитель должен сделать акцент на то, что если при поиске
информации встречается ответ на вопрос другого ученика, то
необходимо сказать об этом товарищу, чтобы сэкономить время
поиска. Кроме того, должна быть заинтересованность работы в
группе. Оценка за ответы выставляется группе в целом, причем
низшая. Таким образом, есть стимул обучить каждого ученика.
Ученики должны успеть найти не только ответ на свой во-прос, но и
успеть обсудить найденные ответы в группе.
Вопросы для рассмотрения в группах:
СУММАТОР
1. Из каких операций состоит сложение двух одноразрядных чисел?
2. Почему предложенная учителем схема называется
полусумматором?
3. Как построить схему сумматора?
4. В каком основном устройстве ЭВМ используется сумматор?
5. Какие сумматоры бывают?
6. Параметры сумматора.
ТРИГГЕР
1. Что такое триггер? Назначение триггера.
2. Откуда взялось столь необычное название как триггер?
3. Сколько выходов у триггера? Какие?
4. Какие триггеры бывают?
5. Докажите, что предложенная схема действительно осуществляет
запоминание двоичных кодов.
6. В каком основном устройстве ЭВМ используется триггер?
РЕГИСТР
1. Что такое регистр? Назначение регистра.
2. Принцип работы регистра (объяснить по схеме).
3. Какие регистры бывают?
4. Характеристика регистра.
5. В каком основном устройстве ЭВМ используется регистр?
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ (15 минут, группа выходит к доске и отвечает
на вопросы).
1. Из каких операций состоит сложение двух одноразрядных чисел?
(Операция суммирования осуществляется в сумматорах
поразрядно с использованием од-норазрядных суммирующих схем.
При этом в каждом разряде требуется выполнить сложение трех
двоичных цифр данного разряда первого слагаемого Х цифры этого
же разряда второго слагаемого Y и цифры переноса P из соседнего
младшего разряда.
И тогда такое суммирование разбивают на две аналогичные
операции: суммирование двух цифр слагаемых и суммирование
полученного результата с переносом из соседнего младшего
разряда).
2. Почему предложенная учителем схема называется
полусумматором?
(Т.к. суммирование разбивают на две аналогичные операции:
суммирование двух цифр слагаемых и суммирование полученного
результата с переносом из соседнего младшего разряда, то каждая
из этих операций выполняется схемой, называемой
полусумматором).
3. Как построить схему сумматора?
(Сумматор реализуется с использованием двух полусумматоров и
логического элемента ИЛИ).
4. В каком основном устройстве ЭВМ используется сумматор?
(Сумматор служит прежде всего центральным узлом арифметикологического устройства, однако он находит применение также в
других устройствах машины. Кроме основной операции суммирования, большинство cумматоров используется для
операций умножения и деления, а также для логических операций
(логическое умножение и сложение и др.).
5. Какие сумматоры бывают?
(Сумматоры классифицируют по различным признакам. В
зависимости от системы счисле-ния различают: двоичные;
двоично-десятичные (в общем случае двоично-кодированные); десятичные; прочие (например, амплитудные). По количеству
одновременно обрабатываемых разрядов складываемых чисел:
одноразрядные, многоразрядные. По числу входов и выходов
одноразрядных двоичных сумматоров: четвертьсумматоры;
полусумматоры; полные одноразрядные двоичные сумматоры. По
способу представления и обработки складываемых чисел
многоразрядные сумматоры подразделяются на:
последовательные и параллельные).
6. Параметры сумматора.
(Важнейшими параметрами сумматоров являются: разрядность;
статические параметры: Uвх, Uвх, Iвх и так далее, то есть
обычные параметры интегральных схем; динамические
параметры).
ТРИГГЕР
1. Что такое триггер? Назначение триггера.
(Триггер - это элементарный цифровой автомат, имеющий два
устойчивых состояния равно-весия (0 и 1), предназначенный для
записи и хранения информации.)
2. Откуда взялось столь необычное название как триггер?
(Поскольку многие слова, и это в том числе, пришли в электронику
и вычислительную технику из английского языка, полистаем англорусский словарь: "Триггер (trigger) - защелка, спусковой крючок".
Сразу всплывают в памяти рассказы об охотниках, индейцах...
Стараясь не шуметь, не наступить ненароком на сухую ветку,
охотники пробираются по звериной тропе. Цель где-то близко.
Слабый щелчок - и курок ружья взведен. Пусть ружье старое, но
спусковой меха-низм смазан и отрегулирован, теперь достаточно
легкого нажима, и грянет выстрел. Точно так же работает триггер
- устройство, которое может находиться в двух устойчивых состояниях: взведен - "1", спущен - "0". Причем в каждом из состояний
триггер может пребы-вать как угодно долго).
3. Сколько выходов у триггера? Какие?
(Как, правило, триггер имеет 2 выхода: прямой и инверсный (Q и .)
Число входов зависит от выполняемых функций.
)
4. Какие триггеры бывают?
(По способу записи информации триггеры делятся на асинхронные
и синхронные.
В асинхронных триггерах информация может изменяться в любой
момент времени при изме-нении входных сигналов. В
синхронизирующих триггерах информация может меняться только
в определенные моменты времени, задаваемые дополнительным
синхронизирующим сигналом. По функциональному построению
различают схемы: RS-, T-, D-, JK-триггеры.)
5. Докажите, что предложенная схема действительно осуществляет
запоминание двоичных кодов.
(Асинхронный RS-триггер построен на 2-х логических элементах:
ИЛИ - НЕ либо И - НЕ
Как он работает?
Пусть на вход элемента № 1 подан сигнал "1", а на вход элемента №
3 - "0". На выходе элемен-та № 1 независимо от того, какой второй
сигнал поступит на вход, будет "1", т.к. это элемент "ИЛИ" (по
свойствам дизъюнкции). Пройдя через элемент № 2 сигнал примет
значение "0" (Q=0). Следовательно, и на втором входе элемента № 3
установится сигнал "0". На выходе элемента № 3 - "0". Пройдя через
элемент № 4 сигнал изменится на "1". Следовательно, = 1.
Убедимся, что данное устройство сохраняет информацию.
Запомните, что S=0, R=1, Q=0, =1.
В момент прекращения входных сигналов (S=0, R=0) на выходе =1.
Это напряжение подает-ся на вход элемента № 1. На выходе
элемента № 1 сохраняется "1", и на Q - сигнал "0". На входах
элемента №3 - "0", следовательно =1.
Таким образом, при отсутствии на внешних входах сигналов "1"
триггер поддерживает посто-янное напряжение на своих выходах.
Чтобы изменить напряжение на выходах триггера, надо подать
сигнал "1" на вход элемента № 3. Тогда Q=1, =0.
6. В каком основном устройстве ЭВМ используется триггер?
(Память. В цифровой автоматике триггеры выполняют функции
элементарных автоматов с памятью).
РЕГИСТР
1. Что такое регистр? Назначение регистра.
(Функциональный узел ЭВМ, состоящий из триггеров,
предназначенный для запоминания мно-горазрядных кодов и
выполнения над ними некоторых логических преобразователей
называется регистром. С помощью регистров можно выполнять
следующие операции: установку, сдвиг, преобразование).
2. Принцип работы регистра (объяснить по схеме).
(Как происходит запись числа в регистр?
Каждая из входных схем "И" имеет 2 входа. Один из них - общий для
всех (шина записи). Если на шину записи подан "0", то на всех схемах
"И" также будет "0". Однако, если на ши-ну записи подается сигнал
"1" - разрешение записи, то напряжение на выходах схем "И", а,
следовательно, и на S - входах триггеров, будет зависеть от того,
какой сигнал поступает в этот момент на вторые входы схем "И".
Если подать на шину записи последовательность 1001 (число 9), то
первый и четвертый триггеры установятся в 1, а второй и
третий - в 0.
Как только на шину считывания будет подан "1", то на выходах
схем "И" появится сиг-нал "1" в тех разрядах, в которых на
основном выходе триггера была записана "1".
В схемах реальных регистров используются и дополнительные
выходы триггеров. На этих выходах создается так называемый
обратный код.
Обратный код используется в ЭВМ для осуществления некоторых
арифметических операций с двоичными числами).
3. Какие регистры бывают?
(Основными типами регистров являются параллельные и
последовательные (сдвигающие)).
4. Характеристика регистра.
(Важной характеристикой регистра является высокая скорость
приема и выдачи данных. Ре-гистр состоит из ячеек, в которые
можно быстро записывать, запоминать и считывать сло-во,
команду, двоичное число и т.д. Часто регистр имеет тот же
размер, что и слова, с кото-рыми работает компьютер. Любой
регистр характеризуется скоростью работы, числом бит,
которые он может хранить).
5. В каком основном устройстве ЭВМ используется регистр?
(Совокупность регистров, используемых ЭВМ для запоминания
программы работы, ис-ходных и промежуточных результатов
называется оперативной памятью (ОП).
ОП содержит 215 регистров = 32768
В ЭВМ применяются регистры 8, 16, 32, 48 и 64 разрядов.)
IV. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ (5 минут).
Подведем итоги урока (слайд с вопросами, которые рассматривались
на уроке, поместить на экране демонстрационного телевизора).
Вопросы учащимся:
1) Что же нам удалось сделать на уроке?
2) Что нового вы сегодня узнали?
Учитель: на уроке мы познакомились с алгоритмом синтеза автомата;
с такими основными узлами ЭВМ: как сумматор, триггер, регистр,
отработали навыки построения функциональных схем, записи
логических функций по таблице истинности, упрощения логических
функций; на примере изучения "Сумматоры" я вам
продемонстрировала, что не обязательно все заучивать напамять,
чаще всего необходимо логически рассуждать (назначение - черный
ящик - таблица работы - логическая функция - схема); отрабатывали
навыки работы с разными источниками информации.
V. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (5 минут).
1) Подготовка к к.р. (таблицы истинности, законы логики, упрощение
формул, структурные формулы и функциональные схемы, двоичная
арифметика).
2) Решить пример №2 и пример №3. (смотри опорный конспект)
Пример 2. Три цеха - А, В и С - обеспечивает электроэнергией
небольшая электростанция, на которой установлены два генератора Х и Y. Если в энергии нуждается один из трех цехов, то достаточно
включить генератор Y, если же в энергии нуждаются два цеха
одновременно достаточно генератора Х. Снабжение обеспечивается
совместной работой генераторов X и Y. Необходимо построить такой
автомат, который получая заявки от цехов А, В и С на снабжение
энергией, может разумно перераспределять нагрузку между
генераторами.
Пример 3. Сконструировать автомат для подсчета голосов при тайном
голосовании. Голосуют три человека. Автомат выдаст сигнал
"избран", если число голосов "за" не менее двух.
3) Темы рефератов (срок 2.11.01:





Микропроцессоры. Структура микропроцессоров.
Как работает процессор?
Запоминающие устройства ЭВМ.
Шифраторы и дешифраторы.
Счетчики.
4) Выдать индивидуальное задание для учащихся, не сдавших ранее
д.з.1 (таблицы истинности), д.з. 2(упрощение формул).
©Пустоваченко Н.Н., ГМЦИТ, 2002.
Задача 1.
Шесть спортсменов - Адамов, Белов, Ветров, Глебов, Дронов, Ершов - в проходившем
соревновании заняли первые шесть мест, причем ни одно место не было разделено между
ними.
О том, кто какое место занял, были получены такие высказывания:
- "Кажется, первым был Адамов, а вторым - Дронов."
- "Нет, на первом месте был Ершов, а на втором - Глебов."
- "Вот так болельщики! Ведь Глебов был на третьем месте, Белов - на четвертом."
- "И вовсе было не так: Белов был пятым, а Адамов - вторым."
- "Вы все перепутали: пятым был Дронов, а перед ним - Ветров."
Задача 2.
Семья, состоящая из отца, матери и трех дочерей - Ани, Веры и Светы, - купила
телевизор. Каждому, конечно, хотелось посмотреть передачу в первый вечер.
- Нам нужно распределить обязанности,чтобы не остаться без ужина, - сказал папа.
- Правильно, - поддержала мама. - Но только когда ты будешь смотреть передачу, я тоже
сяду у телевизора.
- Хорошо, - согласился папа. - Кому из нас повезло, так это Свете и Вере, - улыбнулся
папа. - По крайней мере одна из них получит удовольствие.
- А нам с тобой, Анечка, придется смотреть передачу только по очереди, - сказала мама.
- Я согласна, - ответила Аня. - Только ты нам разреши с Верой вместе работать на кухне
или вместе быть у телевизора.
- Пожалуй, Свету одну нельзя оставлять - сказал папа. - Если она пожелает смотреть
передачу, то придется и мне с Верой посидеть с ней. Все предложения были приняты. Кто
смотрел передачу в первый вечер?
Задача 3.
Четыре молодых рабочих - Антонов, Петров, Степанов и Демьянов - работают на одном
предприятии и учатся заочно. Как составить для них график свободных от работы дней в
первые четыре дня, исходя из таких условий производства:
1. Если во вторник выходными будут Демьянов или Антонов, то Степанову нужно
дать выходной в
понедельник;
2. Если Демьянова освободить от работы в четверг, то Антонова нужно освободить в
понедельник, и
Степанова в среду;
3. Если Степанова освободить от работы во вторник или Демьянова освободить в
среду, то Петрову
нужно давать выходной день в четверг;
4. Если Антонов будет освобожден в среду, то у Петрова выходной день будет во
вторник, а если Петрову поставить выходной в среду, то Антонов может не
приходить на работу во вторник;
5. Если Демьянову высвободить понедельник, то у Степанова выходной придется на
среду, а если Демьянов получит выходной в среду, то тогда Антонов может не
приходить на работу во вторник.
Задача 4.
Следователь допросил трех лиц A, B и C, подозреваемых в совершении преступления. На
допросе A сказал, что показания B неверны. B сказал, что показания С неверны. Наконец,
C сказал, что и A говорит неправду и B говорит неправду. Может ли следоатель на
основании этих показаний устаноить, кто из допрошенных говорит правду?
Задача 5.
Обсуждая вопрос о включениии в состав сборной команды пяти молодых игроков: Асеева,
Валеева, Сватеева, Деева и Евтеева. Выбор обусловловен следующими условиями:
1. В команду необходимо включить не менее чем одного из трех игроков: Асеева,
Валеева, Евтеева, но не более чем одно из трех игроков: Асеева, Сватеева, Деева.
2. Сватеева можно включить в сборную без Валеева тогда и только тогда, когда Асеев
будет включен, а Деев не будет включен.
3. Если Валеев будет включен в сборную, а Сватеев не будет включен, то сборную
нужно пополнять и Деевым и Евтеевым.
4. Если Асеев не будет включен в команду, то нужно в нее включить и Сватеева и
Евтеева. Кого из игроков можно включить в сборную команду?
Задача 6
Один из 3 братьев поставил на скатерть кляксу.
- Кто запачкал скатерть? - спросила бабушка.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша, - Это сделал Боря
- Ну а ты что скажешь? - спросила бабушка Борю.
- Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря, - А Алеша не пачкал скатерть.
- Так я и знала,что вы друг на друга сваливать будете, - рассердилась бабушка. - Ну а
каков твой ответ? - спросила она Витю.
- Не сердись бабуля! Я знаю что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроков
- сказал Витя.
Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один
оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?
Задача 7.
Ученики Алик, Витя, Сережа и Дима уберали классные комнаты: 5, 6, 7, 8. Оказалось, что
кабинет 8 плохо убран. На вопрос, кто какой класс убирал, ученики ответили:
- Я убирал кабинет 5, а Дима 6, - сказал Алик.
- Я убирал кабинет 7, а Алик 6, - возразил Витя.
- Я убирал кабинет 6, а Витя 7, - cказал Сережа.
Оказалось, что в ответе каждого ученика половина неправильна. Какой класс убирал
каждый из учащихся?
Задача 8.
Четверо друзей - шахматистов перед началом шахматного турнира обсуждали свои
возможности на призовые места. Друзья были уверены, что они займут 4 первых места, но
не знали, в какой последовательности.
Вот что они говорили:
Олег: "Если я займу 1 место, то Леонид - 4"
Леонид: "Если Сергей не займет 1 место, тогда Олег выйдет на 3 место"
Сергей: "У Олега положение в турнирной таблице будет лучше, чем у Павла"
Павел: "Могу сказать только, что все мы займем разные места"
Предположение друзей целиком оправдались. Кто какие места занял в шахматном
турнире ?
Задача 9.
Один из пяти братьев разбил окно.
- Это мог сделать только или Витя, или Толя, - сказал Андрей.
- Я окно не разбивал, - возразил Витя, - и Коля тоже.
- Вы оба говорите неправду, - заявил Толя .
- Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, - возразил Дима.
- Ты, Дима, неправ, - вмешался Коля.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду.
Кто разбил окно?
Задача 10.
В соревновании по бегу с препятствиями принимали участие 6 участников: Алик, Боря,
Валера, Гога, Дима и Егор. О том, кто какое место занял известны 5 высказываний:
1.
2.
3.
4.
5.
"Боря был пятым, а Алик занял второе место".
"Вторым пришел Валера, а Дима был третьим".
"Победил Гога, а Егор пришел шестым".
"Алик был третьим, а Боря победил".
"Валера был третьим, а Егор - четвертый".
В каждом из высказываний одно утверждение истинно,а второе ложно.Какаое место занял
каждый из ребят?
Задача 11.
Нужно для 4 дежурных - Антипова, Климова, Маркова и Лебедева - составить график
дежурств на агитпункте с соблюдением следующих условий:
1. Если Лебедев не будет дежурить в понедельник, то в понедельник согласен
дежурить Климов.
2. Ecли Климов не сможет дежурить ни в понедельник, ни в четверг, то Антипов
будет дежурить в понедельник.
3. Если Марков не сможет дежурить в четверг, то Климов будет дежурить в среду.
4. Если Лебедев придет дежурить во вторник, то Климов не будет дежурить в
понедельник.
5. Если Антипов не сможет дежурить в понедельник, то Марков не сможет дежурить
во вторник.
Каким должен быть график дежурств ?
Задача 12.
На ледяном поле 5 хоккеистов: Ольховский, Малышев, Белов, Таманин, Лавров штурмовали ворота. Раздался свисток судьи."Удаляет двух", - подумали спортсмены."Без
Малышева или Ольховского не останусь на поле", - сказал Таманин. "Я тоже," - сказал
Лавров.
"Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым", - сказал Малышев.
Когда судья объявил о своем решении все оказались правы и кроме того Ольховский и
Белов не остались вместе на поле.
Кто остался на поле ?
Задача 13.
Предстоят спортивные соревнования между четырьмя восьмыми классами одной школы.В
учительской живо обсуждаются возможные результаты и высказываются прогнозы.
- Первое место займет 8А, а второе - 8Б, - сказал учитель математики.
- Да что вы! - сказал учитель географии. - Я недавно ходил с ними в поход и знаю их
возможности. 8А займет второе место, а 8Г - только третье
- А я думаю, что на втором месте будет 8В, - сказала завуч школы, - а 8Г будет на
последнем месте.
Оказалось, что прогнозы их сбылись только наполовину. Какое место занял каждый
класс?
Задача 15.
В спортивных соревнованиях принимали участие пять пионерских команд:
"Вымпел", "Метеор", "Нептун", "Старт" и "Чайка". Об их итогах соревнования имеется
пять высказываний:
1. Второе место занял "Вымпел", a "Cтарт" оказался на третьем.
2. Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на
второе место.
3. Да нет же, " Чайка" заняла только третье место, а "Нептун"- был последним.
4. Первое место по праву завоевал "Cтарт", а "Метеор" был четвертым.
5. Да, "Метеор" действительно был четвертым, а "Вымпел" был вторым.
Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно
утверждение правильное, а другое нет.
Как распределились места между командами?
Задача 16.
Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с
кличками "Абрек", "Ветер", "Стрелок".
- Победит или"Абрек", или"Стрелок", - сказал один болельщик.
- Если "Абрек" будет вторым, то победу принесет "Ветер", - сказал другой болельщик.
- Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик.
- Вторым придет или 'Ветер", или"Абрек".
- А я вам скажу, - вмешался четвертый болельшик, - что если"Абрек" придет третьим, то
"Стрелок"не победит.
После забега выяснилось, что три лошади - "Абрек","Ветер"и"Стрелок" - заняли три
первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказхания
болельщиков были правильны.
Как кончился забег?
Задача 17.
Три грибника, рассматривая найденный гриб, высказали свои предположения. Первый
грибник сказал: "Не верно, что, если это не опенок, то этот гриб съедобный". Второй
грибник также был осторожен и сказал: "Не верно, что этот гриб или ядовитый, или
опенок, или не сыроежка". Третий грибник заявил: "Это гриб не ядовитый, и я отрицаю,
что если это сыроежка, то она съедобна". В итоге оказалось, что все три грибника были
правы и их суждения оказались истинными. Какой гриб нашли грибники?
Ответ: Найденный гриб - сыроежка.
Задача 18.
Четверо школьников, наблюдая за движущимся на большой высоте объектом, высказали
свои предположения. Первый сказал: "Высота объекта больше 10 тысяч метров или это
перехватчик ПВО (противовоздушной обороны) и скорость его превышает скорость
звука". Второй предположил: "Если высота объекта больше 10 км, то это не перехватчик
ПВО и скорость объекта ниже скорости звука". Третий заявил: "Это НЛО или скорость
объекта больше скорости звука". Четвертый частично поддержал третьего, предположив:
"Если скорость объекта больше скорости звука, то это наверняка НЛО". Если
высказывания всех четырех школьников истинны, то, что это был за объект и на какой
высоте и с какой скоростью он летел?
Ответ: Объект не перехватчик, летит на высоте выше 10 км, скорость его ниже скорости
звука и этот объект НЛО.
Задача 19.
Показания свидетелей правонарушения значительно различались. Первый свидетель
сказал, что преступник был брюнет с усами. Второй заявил, что это был блондин без усов.
Третий свидетель подтвердил, что преступник был блондином, но без портфеля.
Четвертый был уверен, что преступник был шатеном с портфелем.
В действительности оказалось, что каждый из свидетелей ошибся в одном из своих
показаний. Каким был правонарушитель?
Ответ: Правонарушитель блондин с усами и с портфелем.
Задача 20.
Четверо друзей Андрей, Борис, Сергей и Дмитрий решили пойти на рыбалку. Но Дмитрий
в последний момент отказался и высказал следующие предположения:
1) Андрей не пойдет на рыбалку, но Борис обязательно пойдет;
2) Не верно, что пойдут Андрей и Сергей;
3) Борис пойдет на рыбалку или пойдет Сергей;
4) Если пойдет Борис, то пойдет на рыбалку и Сергей.
Все предположения Дмитрия оказались истинными. Кто пошел на рыбалку?
Задача 21.
Андрей, Борис, Сергей и Дмитрий участвуют в шахматном турнире. Их болельщики
высказали предположения о том, кто из них займет первое место. Первый болельщик
сказал, что победит Андрей или Дмитрий. Второй заметил, что Андрею победы не видать.
Третий не сомневался в том, что победит Дмитрий и не займет первое место Борис. В
итоге оказалось, что только одни из болельщиков оказался прав. Кто победил?
Ответ: Победил Борис.
Задача 22.
Синоптик предсказал погоду следующим образом. Если будет южный ветер или не будет
северного ветра, то будет дождливо и не будет холодно. Если ветра южного не будет, то
не будет пасмурно или пойдет дождь. Если все же будет южный ветер, то будет пасмурно,
но дождя не будет. Если не будет северного ветра или не будет холодно, то задует южный
ветер и будет пасмурно. Какую погоду предсказал синоптик?
Ответ: Пасмурно, ветер северный и холодно, но без дождя.
Задача 23.
Один из знатоков алгебры логики, приглашая к себе в гости приятеля, решил проверить
его способности в решении логических задач. Он так писал код своего четырехкнопочного
кодового замка: "Замок открывается, если выполняются следующие четыре условия:
1) если не нажата кнопка 3, то нужно нажать кнопку 1 и не нажимать кнопку 4;
2) если нажать кнопку 4, то нужно нажать кнопку 3 и не нажимать кнопку 2;
3) не верно, что нужно нажать кнопку 2 или не нажимать кнопку 3, и все это притом, что
не нажата кнопка 4;
4) не нажимая кнопку 4, нажать кнопку 1 или кнопку 3".
Приятель знатока решил задачу. Чему равно это решение?
Ответ: Замок открывается, если нажать кнопки 1 и 3.
Задача 24.
Миша решил поступать в МГУЭСИ и послал домой три сообщения:
1) Если я сдам математику, то информатику я сдам только при условии, что не завалю
диктант.
2) Не может быть, чтобы я завалил и диктант, и математику.
3) Достаточное условие завала по информатике - это двойка по диктанту.
После сдачи экзаменов оказалось, что из трех Мишиных сообщений только одно было
ложным. Как Миша сдал экзамены?
Ответ: Ни один из экзаменов Миша не сдаст.
Задача 25.
Три фирмы - A, B и С, специализирующихся на производстве и продаже персональных
компьютеров, стремились получить максимальную прибыль по итогам работы за год.
Экономист, хорошо знавший организацию работ в этих фирмах, высказал следующие
предположения:
1) Фирма А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную
прибыль фирмы B и C.
2) Либо фирмы А и В получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно
не получат.
3) Для того чтобы фирма С получила максимальную прибыль за год, необходимо, чтобы и
фирма В получила максимальную прибыль.
По завершении года оказалось, что экономист немного ошибся: из трех утверждений
истинным оказались только два. Какие из названных фирм получили максимальную
прибыль?
Ответ: Фирма А не получит максимальную прибыль, а фирмы В и С получат.
Задача 26.
Разбирается дело Батончика, Ленчика и Пончика. Кто-то из них нашел и утаил клад. На
следствии каждый из них сделал два заявления:
А) Батончик: "Я не делал этого. Пончик сделал это";
Б) Ленчик: "Пончик невиновен. Батончик сделал это";
В) пончик: "Я не делал этого. Ленчик не делал этого".
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий
один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из них утаил клад?
Ответ: Пончик утаил клад.
Задача 27.
Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них ел варенье. На вопрос мамы, кто
это сделал, они сказали:
А) Петя: "Я не ел. Маша тоже не ела";
Б) Вася: "Маша действительно не ела. Это сделал Петя";
В) Маша: "Вася врет. Это он съел".
Выясните, кто ел варенье, если известно, что двое оба раза сказали правду, а третий один
раз соврал, а один раз сказал правду.
Ответ: Вася съел.
Задача 28.
По обвинению в ограблении перед судом предстали три человека - Иванов, Петров и
Сидоров. Установлено следующее:
1) если или Иванов невиновен, или Петров виновен, то Сидоров виновен;
2) если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен.
Установить, виновен ли Иванов.
Ответ: Иванов виновен.
Задача 29.
Определить, кто участвовал в ограблении, если известно, что
1) если А участовал, то и В участвовал;
2) если В участвовал, то и С участвовал, или а не участвовал;
3) если D не участвовал, то а участвовал, а С не участвовал;
4) если D участвовал, то А участовал.
Ответ: в ограблении участвовали А, В, С, D.
Задача 30.
Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка.
Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что
преступники скрылись на синем "Бьюике", Джонс сказал, что это был черный "Крайслер",
а Смит утверждает, что это был "форд Мустанг2 и ни в коем случае не синий. Стало
известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку
машины, либо только ее цвет. Какого цвета был автомобиль?
Ответ: автомобиль был марки "Бьюик" черного цвета.
Задача 31.
Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых
места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1. Сергей - первый, Роман - второй.
2. Сергей - второй, Виктор - третий.
3. Леонид - второй, Виктор - четвертый.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились
места?
Ответ: Сергей - 1 место, Леонид - 2 место, Виктор - 3 место, Роман - 4 место.
Задача 32.
На вопрос, кто из трех абитуриентов A, B, C может работать на компьютере, был получен
ответ: если может работать B, то может работать и C, но не верно, что если может
работать A, то может работать и C. Кто из трех абитуриентов может работать на
персональном компьютере?
Задача 33.
На вопрос, какая завтра погода, синоптик ответил: если не будет ветра, то будет
пасмурная погода без дождя; если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра; если будет
пасмурно, то будет дождь и не будет ветра. Подумав немного, синоптик уточнил, что его
три высказывания можно записать более лаконично. Попробуйте это сделать!
Задача 34.
На олимпиаде по информатике студенты A, B, C и D заняли первые четыре места. Когда
их спросили о распределении мест, они дали три ответа: D - первый или B - второй; C первый или A - четвертый; D - второй или B - третий. Как распределились места, если в
каждом ответе только одно утверждение истинно?
Задача 35.
Кто из абитуриентов A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно
следующее: если A или B играет, то C не играет; если B не играет, то играют C и B; C играет. Решить задачу с помощью логических операций.
Задача 36.
В деле об убийстве имеются двое подозреваемых: A и B. Допросили четверых свидетелей.
Показания первого таковы: "A не виноват". Второй свидетель сказал: "B не виноват".
Третий свидетель: "Из двух показаний по крайней мере одно истинно". Четвертый:
"Показания третьего свидетеля ложны". Четвертый свидетель оказался прав. Кто же
совершил преступление?
Задача 37.
Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель хорошо знавший этих ребят, высказал
следующие предположения: Аня пойдет в кино только тогда, когда пойдут Вика и Сергей;
Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся дома; чтобы Сергей пошел в
кино, необходимо, чтобы пошла Вика. Когда ребята пошли в кино, оказалось, что учитель
немного ошибался, из трех его утверждений истинными оказались только два. Кто из
названных ребят пошел в кино?
Задача 38.
Костя пригласил свою сестру приехать к нему в гости. После этого он получил от нее три
сообщения: я приеду в гости, если только со мной приедет папа; чтобы я приехала,
необходимо, чтобы меня сопровождала мама; либо приедем мы с мамой, либо приедет
только папа. Когда приехали гости, оказалось, что из этих трех сообщений истинным
было только одно. Кто приехал навестить Костю?
Задача 39.
Студенты узнали, что к ним в группу должен придти юноша из другого института.
Обсуждая эту новость, студенты высказали ряд предположений: для того, чтобы новичок
был добрым, достаточно чтобы он был умным; если новичок силач, то он либо глупый,
либо злой; если новичок умный, то для того, чтобы он был добрым, необходимо, чтобы он
бы сильным. Преподаватель сказал, что из этих условий выполнено только одно. Кроме
того, преподаватель сказал: "Необходимое условие доброты - это ум. Значит, новичок
умный, но слабый". Каким был новичок?
Задача 40.
(Пятеро друзей). Пятеро друзей решили записаться в кружок любителей логических задач:
Андрей (А), Борис (Б), Виктор (В), Григорий (Г), Дмитрий (Д). Но староста кружка
предложил им выдержать вступительный экзамен. "Вы должны приходить к нам по
возможности больше вечеров, однако, в разных сочетаниях, соблюдая следующие
условия:
а) Если А приходит вместе с Д, то Б должен присутствовать.
б) Если Д отсутствует, то Б должен быть, а В пусть не приходит.
в) А и В не могут одновременно ни присутствовать, ни отсутствовать.
г) Если приедет Д, то Г пусть не приходит.
д) Если Б отсутствует, то Д должен присутствовать, но это в том случае, если не
присутствует В. Если же В присутствует при отсутствии Б, то Д приходить не должен, а Г
должен прийти."
Сколько вечеров и в каком составе друзья могли прийти?
Задача 41.
(Обед с логикой). N хотел пригласить на обед по возможности больше соседей: A, B, C, D,
E, F, G, H. При этом он столкнулся со следующими трудностями:
1) A никогда не придет, если пригласить B или C или если одновременно пригласить D и
E.
2) D придет только в том случае, если будет приглашен и E.
3) E не примет только в том случае, если придет B.
4) F наносит визиты только в сопровождении G.
5) H не будет возражать против присутствия F только в том случае, если будет приглашен
и A.
6) Если не будет приглашен F, то H будет против приглашения E.
7) Чтобы пришел G, необходимо пригласить D или H.
8) G откажется от приглашения, если пригласят E без A, а также в случае приглашения B
или C.
Какое минимальное число гостей и кого именно мог пригласить N?
Задача 42.
(Диагностическая). Имеются два симптома S1 и S2 двух болезней X1 и X2. Известно:
1) При X2 есть S1.
2) При X1 и отсутствии X2 есть S2.
3) При X2 и отсутствии X1 нет S2.
4) При S1 или S2 есть, по крайней мере, X1 или X2.
Составьте логическое уравнение, позволяющее по "значениям" признаков ("есть", "нет")
определить "значения" болезней.
Задача 43.
(Экономическая). Менеджер банка должен установить 4 банкомата. В течение каждого
дня работы должны выполняться следующие условия:
1) Если работает первый банкомат, то третий банкомат не должен работать, а второй и
четвертый должны.
2) Если работает третий банкомат, то первый и четвертый не должны работать, а второй
должен.
3) Должен работать по крайней мере один банкомат.
Необходимо определить наибольшее число дней, которое могут работать банкоматы при
выполнении этих условий, так, чтобы их назначение ни в один из дней не повторялось, а
также указать допустимое расписание на каждый день.
Задача 44.
Для полярной экспедиции из восьми претендентов A, B, C, D, E, F, G, H надо отобрать
шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача.
Обязанности биолога могут выполнять E и G, гидролога - B и F, синоптика - F и G,
радиста - C и D, механика - C и H, врача - A и D. Хотя некоторые претенденты владеют
двумя специальностями, в экспедиции сможет выполнять только одну. Кого и кем следует
взять в экспедицию, если F не может ехать без B, D - без H и без C, C не может ехать
одновременно с G, а A не может ехать вместе с B?
1. Прочтите формулы:
2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
3. Для формул придумайте формализуемые ими предложения:
а)
б)
в)
4. Установить истинность высказываний:
5. Установить эквивалентность высказываний:
а)
б)
в)
г)
6. Упростить:
а)
б)
в)
г)
;
;
д)
е)
ж)
з)
и)
й)
к)
л)
Применяя законы и правила преобразования формул
булевой алгебры упростить выражения:
Решение.
Построить логические схемы, реализующие заданные
функции:
1. Прочтите формулы:
2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
3. Для формул придумайте формализуемые ими предложения:
а)
б)
в)
4. Установить истинность высказываний:
5. Установить эквивалентность высказываний:
а)
б)
в)
г)
6. Упростить:
а)
б)
в)
г)
;
;
д)
е)
ж)
з)
и)
й)
к)
л)