Основы логического программирования Исчисление высказываний теория, основным

Основы логического программирования
Исчисление высказываний (пропозициональная логика) — это формальная
теория, основным объектом которой служит понятие логического
высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать
как классическую логику нулевого порядка.
Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная
переменная — переменная, значением которой может быть логическое
высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно
следующим образом:




Если P — пропозициональная переменная, то
Если A — формула, то
— формула.
Если A и B — формулы, то
,
и
Других соглашений нет.
— формула.
— формулы.
Знаки
и
(отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация)
называются пропозициональными связками.
Приняты следующие соглашения о скобках:
 Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
 Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например,
), то в скобки заключается сначала самая левая часть.
 Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно
приоритету:
и .
Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества
всех пропозициональных переменных в множество {0,1} (множество
истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является
установление истинностного значения формулы, определяемое индуктивно с
использованием таблиц истинности.
Оценка отрицания
задаётся таблицей:
Значение двуместных логических связок
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
,
и :
0
1
1
1
Тождественно истинные формулы (тавтологии)
Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых
значениях входящих в неё переменных.
Законы де Моргана:
1)
2)
;
;
Закон контрапозиции:
;
Законы поглощения:
1)
2)
;
;
Законы дистрибутивности:
1)
2)
;
.
Вариантом аксиоматизации логики высказываний является следующая система
аксиом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Единственное правило вывода (Modus ponens):
Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все
перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила
modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные.
Все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила
вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.
2
Логика первого порядка (исчисление предикатов, расширяющее логику
высказываний) — формальное исчисление, допускающее высказывания
относительно переменных, фиксированных функций, и предикатов.
Язык логики первого порядка строится на основе сигнатуры, состоящей из
множества функциональных символов и предикатных символов .
Предикат (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений
{0,1} (или «ложь» и «истина»)
С каждым функциональным и предикатным символом связана арность, то есть
число возможных аргументов. Допускаются как функциональные так и
предикатные символы арности 0. Первые выделяют в отдельное множество
констант.
Кроме того используются следующие дополнительные символы
 Символы переменных (обычно x,y,z,x1,y1,z1,x2,y2,z2, и т. д.),
 Пропозициональные связки:
,
 Кванторы: всеобщности и существования ,
 Служебные символы: скобки и запятая.
Перечисленные символы вместе с символами из
логики первого порядка.
и
образуют Алфавит
Более сложные конструкции определяются индуктивно:
 Терм есть символ переменной, либо имеет вид
, где f —
функциональный символ арности n, а
— термы.
 Атом имеет вид
, где p — предикатный символ арности n, а
— термы.
 Формула — это либо атом, либо одна из следующих конструкций:
, где F,F1,F2 — формулы, а x —
переменная.
Переменная x называется связанной в формуле F, если F имеет вид
, или же представима в одной из форм
причем x уже связанна в H, F1 и F2.
либо
,
Если x не связанна в F, ее называют свободной в F.
Формулу без свободных переменных называют замкнутой формулой, или
предложением.
Теорией первого порядка называют любое множество предложений.
3
Система логических аксиом логики первого порядка состоит из аксиом
исчисления высказываний дополненной двумя новыми аксиомами:
,
,


где A[t / x] — формула, полученная в результате подстановки терма t вместо
переменной x в формуле A.
Правил вывода:

Modus ponens:

Правило обобщения (GEN):
Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, главными из них
являются полнота и непротиворечивость.
Полнота - означает, что для любой формулы выводима либо она сама, либо ее
отрицание (теорема Гёделя о полноте - устанавливает эквивалентность понятий
доказуемости и общезначимости).
Непротиворечивость - означает, что ни одна формула не может быть выведена
одновременно со своим отрицанием.
Пример формализации утверждений ЕЯ в логике первого порядка. Возьмем
рассуждение «Каждый студент молод. Иванов — студент. Следовательно,
Иванов молод». Обозначим «x есть студент» через СТУДЕНТ(x) и «x молод»
через МОЛОД(x). Тогда утверждение «каждый студент молод» может быть
представлено формулой: x(СТУДЕНТ(x) → МОЛОД(x)) утверждение «Иванов
— студент» формулой СТУДЕНТ(Иванов), и «Иванов молод» формулой
МОЛОД(Иванов). Утверждение может быть записано формулой:
( x(СТУДЕНТ(x) → МОЛОД(x))
СТУДЕНТ(Иванов)) → МОЛОД(Иванов)
4