rabota_Polyakov

Тема: В нашей жизни есть место параболе
Автор: Поляков Иван Анатольевич
Научный руководитель: Скорикова Людмила Алексеевна
Место выполнения работы: МОАУ Лицей №44, г. Липецк
2015
Оглавление
Введение ...................................................................................................................................................... 3
Цели .............................................................................................................................................................. 4
Задачи ........................................................................................................................................................... 5
Парабола, её характеристики. .................................................................................................................... 6
Уравнение параболы. .................................................................................................................................. 6
Расчёт коэффициентов квадратного уравнения................................................................................ 8
Свойства параболы. .................................................................................................................................. 10
Построение параболы. .............................................................................................................................. 10
Цепочка Галилея.................................................................................................................................... 11
Цепная линия. .................................................................................................................................... 11
Подбор длины цепочки. .................................................................................................................... 13
А если длина не та? ........................................................................................................................... 13
Все цепные линии подобны. ............................................................................................................. 14
Легенда об Архимеде. ........................................................................................................................... 15
Параболический циркуль Леонардо да Винчи ................................................................................... 16
Почему яйцо такое крепкое? ................................................................................................................ 17
Связь с реальным миром ...................................................................................................................... 18
Парабола в медицине. ............................................................................................................................... 20
Парабола в космонавтике ......................................................................................................................... 20
Применение параболы в физике, технике, баллистике. ........................................................................ 21
Параболы в мостостроении. ..................................................................................................................... 21
Солнечная зажигалка. ............................................................................................................................... 22
Параболические антенны ......................................................................................................................... 23
Автомобильные фары ............................................................................................................................... 23
Практическое исследование ..................................................................................................................... 25
Заключение и итоги. ................................................................................................................................. 28
Список литературы ................................................................................................................................... 29
2
Введение
Актуальность темы заключается в демонстрации применения математических знаний в
практической деятельности человека. В школьном курсе математики не изучаются свойства
парабол, которые широко используются в жизни.
Пара́бола
(греч.
παραβολή —
приложение) — геометрическое место точек,
равноудалённых
от
данной
прямой
(называемой директрисой параболы) и
данной
точки
(называемой
фокусом
параболы).
Парабола, её фокус и директриса
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола
является коническим сечением. Она может
быть определена как коническое сечение с
единичным эксцентриситетом, она относится
к кривым второго порядка.
Кривыми второго порядка на плоскости
называются линии пересечения кругового
конуса с плоскостями, не проходящими через
его вершину. Если такая плоскость
пересекает все образующие одной полости
конуса, то в сечении получается эллипс, при
пересечении образующих обеих полостей –
гипербола, а если секущая плоскость
параллельна какой-либо образующей, то
сечением конуса является парабола.
Коническое сечение:
Кривая второго порядка на плоскости в
прямоугольной
системе
координат
описывается
уравнением:
[4]
Эксцентриситет:
Уравнение:
парабола
3
Цели
1. Собрать в разных энциклопедических, научных, исторических источниках материал об
параболах.
2. Изучить свойства парабол, её зависимость от задающей её функции.
3. Обнаружить параболы в окружающем нас мире.
4. Провести личное исследование.
4
Задачи
1.
2.
3.
4.
Изучить теорию.
Составить историческую справку о параболах.
Описать параболы в окружающем нас мире и различных отраслях.
Провести собственное исследование.
5
Парабола, её характеристики.
Парабола – одно из конических сечений. Эту
кривую можно определить как фигуру состоящую
из всех точек М плоскости, расстояние которых
до заданной точки F, называемой фокусом
параболы, равно расстоянию до заданной прямой
L , называемой директрисой параболы (рис).
Ближайшая к директрисе точка параболы
называется
вершиной
параболы;
прямая,
проходящая через фокус перпендикулярно
директрисе, - это ось симметрии параболы. Её
называют просто осью параболы.
Возьмем на плоскости прямую l и точку F
(рис). Рассмотрим теперь такие точки М на
плоскости, которые равноудалены от точки F и от прямой l. (Это значит, что длина отрезка FM
равна длине перпендикуляра, опущенного из M на прямую l.) Такие точки М описывают кривую,
которая называется ПАРАБОЛОЙ. [1]
Уравнение параболы.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе
координат:
(или
, если поменять местами оси)
где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы [1]
6
Уравнение директрисы
— середина отрезка
:
, фокус —
, таким образом начало координат
. По определению параболы для любой точки
, лежащей на ней
выполняется равенство
и
.
, тогда равенство приобретает вид:
.
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение
.
Квадратное уравнение
при
графически изображается той же параболой, что и
вершину не в начале координат, а в некоторой точке
формулам:
также представляет собой параболу и
, но в отличие от последней имеет
, координаты которой вычисляются по
где D = b2 − 4ac - дискриминант
Уравнение
может быть представлено в виде
,ав
случае переноса начала координат в точку каноническим уравнением. Таким образом для
каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно
представляется каноническим. [2]
7
Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
Если для уравнения
,
,
известны координаты 3-х различных точек его графика
, то его коэффициенты могут быть найдены так:
Подумаем, как можно получить массу
информации о коэффициентах
квадратного
трехчлена у =ах2 + bх + с, рассматривая
его
график — параболу.
Сначала напомним хорошо известные
факты.
Знак коэффициента а (при х2)
показывает направление ветвей
параболы:
а > 0 — ветви вверх;
а < 0 — ветви вниз.
Модуль коэффициента а отвечает за
«крутизну» параболы:
чем больше |a|, тем «круче» парабола.
8
Коэффициент b (вместе с а)
абсциссу
определяет
вершины параболы:
В частности, при а = 1 абсцисса вершины
квадратного
трехчлена у = х2 + bх +с равна
При b > 0
вершина расположена левее оси Оу,
при b < 0 — правее,
при b = 0 — на оси Оу
Сохраняя коэффициенты a и b
и изменяя с, мы будем
«поднимать» и «опускать»
параболу вдоль оси оу.
Как «прочитать» на
чертеже значение с?
Ясно, что с = у(0) — ордината
точки пересечения параболы с осью Оу. [6]
9
Свойства параболы.
 Парабола — кривая второго порядка.
 Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и
перпендикулярна директрисе.
 Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для
параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей
фокус находится в точке (0; 0,25).
 Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на
директрисе.
 Парабола является антиподерой прямой.
 Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
 При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
 Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.
 Эксцентриситет параболы е=1. [3]
Построение параболы.
Построение параболы с помощью циркуля и линейки
Параболу, заданную уравнением y = ax2 + bx + c, строят по
алгоритму (через пять основных точек):
определить направление ветвей параболы по знаку первого
коэффициента a > 0 - ветви направлены вверх. Если a < 0, то
ветви параболы направлены вниз;
вычислить координаты вершины параболы
y(x0);
и y0 =
отметить вершину параболы на координатной плоскости и через неё провести ось симметрии
параболы x = x0;
найти точку пересечения параболы с осью OY (0;c) и отметить ей симметричную;
решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 и отметить точки на оси OX: (x1;0) (x2;0);
через отмеченные пять точек провести параболу.
10
Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея
в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и
директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным
отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра
отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку
расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси
параболы. [4]
Цепочка Галилея.
В
книге
Галилея
“Беседы
и
математические
доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском
языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался,
между прочим, такой способ построения параболы:
“Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над
горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы
оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на
котором желательно построить полупараболу; между
одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку,
которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы
самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на
расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 1). Цепочка эта, свисая, расположится в виде
параболы, так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую
пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.
Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если
параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны
на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией. [9]
Цепная линия.
Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков
Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не
спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение
опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и
младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых,
законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда
математического анализа – производной и интегралом.
Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной
линией.
Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных
расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много.
Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.
11
График показательной функции.
Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в
показательной функции. В XVIII веке она была ещё
новинкой, а теперь её должен знать каждый
восьмиклассник. Это функция вида y=ax, где a – какоелибо положительное число, не равное 1. Вычисления
показали, что для построения цепной линии удобнее всего
принять a равным так называемому неперову числу,
обозначаемому буквой e. Оно получило своё имя в честь
шотландского математика Джона Непера – одного из
изобретателей логарифмов. Число это почти столь же
знаменито, как и число ; его приближённое значение,
взятое с точностью до 0,0005:e2,718.
На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=ex, а пунктиром - график
другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей.
Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно
представить в виде y=e-x. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси
ординат, что и обнаруживает рисунок.
Образуем теперь две новые функции, беря для каждого x либо полусумму значений наших
показательных функций – получим y=1/2 (y=ex+e-x), либо их полуразность: y=1/2 (y=ex-e-x). Графики
этих новых функций приведены на рис. 3 и рис. 4. Оказывается, что первый из них это и есть одна
из цепных линий. Из него путем простых преобразований, о которых пойдет речь ниже, можно
получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат. Что касается графика,
представленного на рис. 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при
переходе от цепной линии рис. 3 к более общему случаю цепной линии. [9]
12
Подбор длины цепочки.
Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки.
Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и
что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в
точках A и B на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь
тонкую цепочку, длина которой точно равна 2l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B.
Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между
ней и этой кривой не будет наблюдаться.
Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с
запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B, по мере надобности увеличивая
или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно
поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l
(половину длины дуги AB) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2l. Такой
подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l=1/2(ed-e-d). Отсюда следует, что
если взять на графике функции y=1/2(ex-e-x) (рис. 4) x=d, то соответствующая ордината у точки E
этого графика будет равна l.
Так как l=1/2(ed-e-d)<r=1/2(ed-e-d) (см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги
CB цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината
точки подвеса. С другой стороны, имеем: l>d, т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.
[9]
А если длина не та?
Как отыскать уравнение линии в случае, когда для
данных точек подвеса A и B длина цепочки 2l` не
совпадает с длиной 2l дуги AB, принадлежащей кривой
y=1/2(ex-e-x)? В поисках ответа мы будем опираться на
отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны
между собой.
Пусть, например, l`>l. Тогда цепочка провиснет по
некоторой дуге AC`B, расположенной под дугой
ACB(рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение
цепной линии, которой принадлежит дуга AC`B, можно
найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1): y=1/2(ex-e-x) к некоторой кривой (2): y=1/2(ex/ke-x/k);эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O и
коэффициентом подобия k (k>0). Затем перейти от кривой (2) к кривой (3): y=b+k/2(ex/k-e-x/k)
посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака b вверх или
вниз).
Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k. С этой целью
отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку F с координатами
x=d и y=l`. В силу того, что l`>l, она не попадёт на кривую, а окажется выше неё.
13
Продолжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать, что точка
пересечения найдётся, помимо точки O, и притом только одна). Положим OF/OG (в нашем случае
0<k<1); тогда координатами точки G будут числа x=d/k, y=l`/k. Поэтому они будут связаны
уравнением кривой: l`/k=1/2(ed/k-e-d/k). Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки
A` и B` с абсциссами –d/k и d/k, то длина дуги A`B`, их соединяющей, будет равна 2l`/k. [5]
Все цепные линии подобны.
Найденное число k используем как коэффициент подобия в преобразовании кривой (1); в качестве
центра подобия возьмем начало координат O. Тогда каждой точке P(x,y) кривой (1) будет
соответствовать точка Q(kx,ky) преобразованной кривой (2) (рис. 6). Если ввести обозначения:
X=kx, Y=ky, то x=X/k, y=Y/k. Последние числа должны удовлетворять уравнению (1), так как
точка P(x,y) лежит на ней. Получаем: Y/k=1/2(eX/k-e-X/k). Это и есть уравнение кривой (2),
полученной в результате преобразования. Большие буквы для обозначения координат можно здесь
заменить маленькими, помня, что теперь это координаты любой точки кривой (2).
Заметим, что точкам A` и B` кривой (1) с абсциссами –d/k и d/k будут соответствовать точки A`` и
B`` кривой (2) с абсциссами –d и d(рис. 7). В силу подобия дуг A`B` и A``B`` длина A``B`` будет
равна 2l`, т. е. равна заданной длине цепочки. В этом и состоит преимущество кривой (2) перед
исходной кривой (1). Недостаток её, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки
подвеса A и B, а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить.
Если ордината точки B`` (или A``): k/2(ed/k+e-d/k) не равна r, т. е. B`` не совпадает с B, то положим
r-k/2(ed/k+e-d/k)=b.
В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величину b она перейдёт в кривую
(3): y=b+k/2(ed/k+e-d/k). Последняя кривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно,
является сама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: A(-d,r) и
B(d,r). И, в-третьих, длина дуги AB равна длине данной цепочки 2l`. Эти условия и обеспечивают,
как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге
AB.
На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным. [9]
14
Легенда об
Архимеде.
В 213 году до нашей
эры, Римский флот
осадил
крупный
Греческий город Сиракузы. По легенде,
великий
Греческий
ученый
Архимед,
который был родом из
этого города, спас его
от врагов при помощи
зеркал, отразив ими
солнечные лучи на
дерево, из которого
были
сделаны
Римские
корабли.
Корабли загорелись и
Римский флот был
уничтожен.
Такова легенда, но было ли это на самом деле, или эта история только выдумка никто не знает. И
для разгадки этого вопроса, в сентябре 1993 года начал свое существование проект "Сиракузы".
Он поставил себе задачу опровергнуть легенду об Архимеде и найти ее первоисточники.
Итак, существуют два ее (легенды) варианта. Первый вариант утверждает, что Архимед велел
всем своим войнам начистить до зеркального блеска их плоские щиты, а после этого встать на
стены города. Далее воины должны были направить все солнечные зайчики, получившиеся путем
отражения солнечных лучей, в одну точку. С помощью большого количества, созданной таким
образом солнечной энергии, Римский флот был подожжен.
По второй версии, Архимед создал параболическое зеркало с помощью которого сфокусировал
солнечные лучи на вражеских судах.
Что нам известно из самой легенды? Мы смело можем утверждать, что корабли находились
примерно в 150 метрах от городской стены, т.к. на меньшем расстоянии разбить зеркала или
внести суматоху в ряды воинов-защитников могли пращевики или лучники, находящиеся на
Римских кораблях. На большем же расстоянии потери при передаче энергии были-бы столь
велики, что ее могло бы не хватить на то, что бы зажечь дерево, из которого был сделан римский
флот. Рассмотрим вероятность второй версии этой легенды.
Прежде всего, необходимо было придумать, каким образом сам Архимед мог сделать такого вида
зеркало. Мы исключаем возможность создания его из кусочков обыкновенных зеркал, наклеенных
на параболическую поверхность. Этот способ не дает хороших результатов ( очень трудно
добиться хотя бы приблизительно гладкой поверхности у такого зеркала и поток лучей будет
рассеиваться, что не даст нам достаточного количества энергии).
15
Также нельзя предположить, что Архимед мог создать такое зеркало путем шлифования двух
плоских стекол. Вручную трудно создать более или менее правильную параболическую
поверхность. Погрешность будет велика и будет большое рассеивание лучей.
Рассмотрим вариант создания такого зеркала, подобный варианту создания телескопа Вуда. Если
налить в какой-либо сосуд ртуть и начать ее равномерно раскручивать, то через некоторое время
его поверхность примет форму правильного параболоида. То же самое произойдет, например с
расплавленным оловом. Потом, когда олово затвердеет, получившуюся поверхность можно
покрыть каким-либо отражающим покрытием и у нас будет готовое параболическое зеркало.
Следовательно Архимед мог иметь такое зеркало.
Но, как мы знаем, для параболических зеркал и для зеркал, близких по форме к параболическим
выполняется уравнение l=α·F, где l-площадь фокального пятна, α угловая величина отраженного
предмета, а F-фокус отражающего зеркала. Причем величина зеркала не имеет особого значения.
Итак, нам необходимо найти l для того, чтобы можно было бы хоть примерно оценить величину
зеркала, необходимого нам.
Нам известно, что угловая величина солнца над горизонтом равна половине градуса. Т.к. градус
приблизительно равен одной пятидесятой радиана, следовательно α равен одной сотой радиана.
Как уже говорилось раньше, фокус нужного нам зеркала равен примерно 100 метрам.
Следовательно l=150·1/100=1, то есть радиус фокального пятна будет равен 1.5 метра. Поэтому
Q/q = S/s. Отношение количества теплоты, необходимой для зажигания дерева к количеству
теплоты, попадающей на землю с солнечными лучами численно должно быть равно площади
отражающего зеркала ( s=1.5 метра. )
Из справочников нам известно, что для того, чтобы зажечь, например кусок сухого, пропитанного
смолой дерева нам необходима температура 500 - 700 градусов. Также известно, что для того,
чтобы зажечь кусок этого же дерева за 20 секунд, нам нужна освещенность в 70 раз больше, чем
освещенность предметов прямым солнечным светом в дневное время.
Из формулы следует, что для создания такого освещенности, Архимеду нужно было построить
зеркало, площадью в 73.5 метра. [7]
Параболический циркуль Леонардо да Винчи
Во Флоренции, в Музее истории науки, представлена действующая модель циркуля,
изготовленная в 2001году по эскизу Леонардо да Винчи, с его помощью чертили все виды
конических сечений: окружность, эллипс, параболу и гиперболу. [7]
16
Почему яйцо такое крепкое?
Яйцо - объект постоянных изучений человека. Мы пытаемся ответить на вопросы: что раньше
яйцо или птица; почему птица сидит на яйце и не давит его, а птенец легко разбивает его; почему
яйца не выпадают из гнезда и т.д. Яйцо – источник парадоксов.
Любой человек на Земле знает, что раздавить яйцо, плотно взяв его одной рукой, практически
невозможно. Для того, чтобы яйцо треснуло, необходимо наличие особых условий, а именно:
очень твердая и мускулистая рука, с гораздо более сильными чем у обычного человека пальцами, а
также микротрещины в скорлупе яйца, полученные при неправильной транспортировке. Вот
разбить яйцо совсем не сложно достаточно просто стукнуть его одним боком об любой твердый
предмет. Сама форма яйца и сегодня вызывает восхищение, хрупкая скорлупа меньше
подвергается разрушению за счет особой формы. Но еще наши предки заметили такую
интересную особенность яйцевидной формы, как способность проявлять большую прочность при
надавливании. Если вы будете аккуратно сдавливать в своей ладони обычное куриное яйцо, да еще
и влажной рукой оно обязательно выскользнет из ваших пальцев. Многие древние народы
применяли принцип яйцеобразности при строительстве кораблей, к примеру, северные поморы
строили свои знаменитые кочи именно с яйцеобразными днищами. Такие корабли при попадании
в ледяное сжатие просто выдавливались вверх, а не ломались под действием огромной толщи
льда.
Когда давление действует на скорлупу яйца при естественных условиях, она оказывается очень
прочной и способна выдержать силу от 2 кг до 6 кг.
Прочность яйца зависит от его положения. Раздавить яйцо, сжимая его сверху и снизу труднее,
чем, сжимая его с боков.
Человек постоянно решает проблему прочности материалов и объектов, пытается построить на
века. Но пока это у него получается плохо: машины ломаются, здания рушатся, разрушаются
дороги. Природа же дает нам образцы прочности, одним из таких образцов является яйцо птицы.
Прочность формы птичьего яйца заметили давно. С формой птичьего яйца связано целое
направление в архитектуре. Начало ее освоения теряется в веках.
Если рассмотреть конструкцию свода, напоминающую по форме яйцо, то видно, что вес
вышележащей кладки давит на клинообразный
средний камень свода с силой F. Сила F (по
правилу параллелограмма) раскладывается на
две силы F1 и F2, которые уравновешиваются
сопротивлением прилегающих камней. Таким
образом, сила, давящая на свод снаружи, не
может его разрушить (так как камень
клинообразной формы). Зато клинообразная
форма камней нисколько не препятствует
движению
камней
наружу,
т.е.
свод
сравнительно легко можно разрушить изнутри.
[4]
17
Связь с реальным миром
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды
или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют
форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются
гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для
гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного
гравитационного поля представляет собой параболу.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и
вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в
конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических,
инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн,
необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других
областях. [4]
Параболическая орбита и движение спутника по ней [4]
Орбита, в астрономии, – путь небесного тела в пространстве. Хотя орбитой можно
называть траекторию любого тела, обычно имеют в виду относительное движение
взаимодействующих между собой тел: например, орбиты планет вокруг Солнца, спутников вокруг
планеты или звезд, в сложной звездной системе относительно общего центра масс.
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и т.д.), проходящих вблизи
звезды или другого массивного объекта (планеты) на достаточно большой скорости имеют форму
параболы.
Траектория падения баскетбольного мяча [4]
18
Мяч – летит по параболе, по кривой, описываемой теми же гравитационными уравнениями,
что и полёт баллистической ракеты, или вращение Земли вокруг Солнца, или движение
космического корабля к новым мирам.
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
В параболических солнечных электростанциях
используются параболические зеркала (лотки), которые
концентрируют солнечный свет на приемных трубках,
содержащих
жидкость-теплоноситель.
Эта
жидкость
нагревается почти до 400 C и прокачивается через ряд
теплообменников; при этом вырабатывается перегретый пар,
приводящий в движение обычный турбогенератор для
производства электричества. В ближайшем будущем
параболические концентраторы могут стать
наименее
дорогостоящей и самой надежной технологией. [4]
Параболические траектории струй воды
Струя имеет форму параболы, тем
более вытянутой,
чем больше
начальная скорость воды. [4]
Вращающийся сосуд с жидкостью [4]
19
Парабола в медицине.
Дистанционная литотрипсия – ДЛТ (от греч. lithos
камень и thrypsis – раздробление) – неинвазивный,
малотравматичный и высокоэффективный метод
разрушения мочевых конкрементов. Разработан и
внедрен в урологическую практику в 80-х годах XX
века. Первые сеансы ударно-волновой дистанционной
литотрипсии были выполнены в Германии.
В одном фокусе эллипсоида электроискрой
создается "удар". Стенкой эллипсоида ударная волна
направляется в другой фокус эллипсоида, а там
располагается почка с камнем. [4]
Парабола в космонавтике
Эллипс, парабола и гипербола типы
траекторий
космических
летательных аппаратов в условиях
доминирующего
гравитационного
поля с одним центром. Напр., не
маневрирующая
МБР
на
заатмосферном участке и спутник
имеют эллиптические траектории
движения,
станции
исследования
глубокого
космоса,
покидающие
сферу тяготения Земли - Маринеры,
Венеры и Вояджеры - гиперболические, а парабола - граничный случай между ними, т.е. на
бесконечном удалении скорость (кинетическая энергия) тела на параболической траектории
падает до 0
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды
или другого массивного объекта (звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно
большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой
скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают
свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей.
[4]
20
Применение параболы в физике, технике, баллистике.
Можно
привести
немало
примеров
применения квадратичной функции, из
которых главный известный из учебника
физики — уравнение пути s равномернопеременного
движения
с
начальной
скоростью v, ускорением а и путем,
пройденным до начала отсчета b :
S=2at2+vt+b.
Множество
траекторий
полёта
в
однородном гравитационном поле без
сопротивления воздуха какого либо объекта
(мяча,
артиллерийского
снаряда)
соответствует параболе. [4]
Телескопы-рефлекторы
Рефле́ктор — оптический
телескоп,
использующий
в
качестве
светособирающего
элемента вогнутое зеркало. Первый рефлектор был построен Исааком Ньютоном в конце 1668
года. Здесь главное зеркало направляет свет на небольшое плоское диагональное зеркало,
расположенное вблизи фокуса. Оно, в свою очередь, отклоняет пучок света за пределы трубы, где
изображение рассматривается через окуляр или фотографируется. Главное зеркало
параболическое. [4]
Параболы в мостостроении.
Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и
напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах
направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень
тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции
упрощает расчёт висячих мостов. [8]
21
Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу,
близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму
т. н. «цепной линии», которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом
тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы
принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма
будет промежуточной между цепной линией и параболой. [7]
Мост
Миллениум
известнейшая
достопримечательность
Северной
Англии.
В
«спокойном» состоянии одна опора моста поднята
вертикально вверх на 50 м, а вторая – опущена, по ней
движется
оживленный
поток
пешеходов
и
велосипедистов. Под мостом в этом случае могут
проплывать небольшие суда, однако в случае, когда
требуется пропустить крупногабаритный транспорт, обе
опоры вращаются таким образом, что верхняя опускается,
а нижняя, соответственно, поднимается. Находясь в
равновесно-поднятом положении, арки образуют зазор в
25 м. поразительно, но подъем конструкции происходит мгновенно – он занимает 4,5 с!
Мост через Обь - основной визуальной, и
эстетической особенностью третьего моста через Обь,
стала большая красная арка, высотой 90 метров, и
величиной пролета 380 метров. Данная конфигурация
арки, дает возможность перекрыть проблемные участки
русла Оби полностью, без возведения дорогостоящих
опор на геологическом разломе. [7]
Солнечная зажигалка.
Оригинальный способ использования энергии Солнца.
Солнечная зажигалка представляет собой параболическое
зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то,
которое используется для зажигания Олимпийского огня в
Афинах.
Параболическое зеркало дает возможность собрать всю
энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь.
Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов
по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и
в других полевых условиях. [4]
22
Параболические антенны
Параболическая антенна: 1 — фронт
волны, падающей на зеркало; 2 —
облучатель; 3 — раскрыв зеркала; 4
— параболическое зеркало; 5 —
фронт волны, отражённой от
зеркала; F — фокус параболоида.
Стрелками показан ход лучей
Зеркальная антенна — антенна, у которой электромагнитное поле образуется за счет
отражения электромагнитной волны от металлической поверхности специального зеркала
(рефлектора). В качестве источника волны обычно выступает небольшой излучатель,
располагаемый в фокусе зеркала. В его роли может быть любая другая антенна с фазовым
центром, излучающая сферическую волну. Основная цель зеркальных антенн сводится к
преобразованию сферического или цилиндрического фронта волны в плоский фронт. [10]
Автомобильные фары
Фара (от греческого «Фарос») — источник направленного света, установленный спереди
на транспортном средстве, предназначенный для освещения окружающей местности, дороги. Фара
состоит из источника света, отражателя (рефлектора), рифлёного стекла (рассеивателя света)
и корпуса с держателем (креплением). [4]
Арки
Арка (от лат. Arcus – дуга, изгиб) – криволинейное перекрытие проема в стене или
пространстве между двумя опорами. В зависимости от размера пролета, нагрузки и назначения
23
арки выполняются из камня, железобетона, металла и дерева. Впервые арка была известна во
времена Древнего Египта, Греции и Рима. Ими украшали храмы и дворцы, поскольку арки
соединяют большие пространства и в то же время несут на себе основной груз зданий. адовые
арки в качестве элемента ландшафтной архитектуры использовались с давних времен. Если
проследить историю развития садовых арок, то мы дойдем до средних веков. Но наибольшее
распространение арки получили в садовой архитектуре классического стиля. Как правило, эти
малые архитектурные формы несут в себе не столько функциональную, сколько эстетическую
нагрузку. Но чтобы садовые арки гармонично вписались в приусадебный участок, следует знать
некоторые нюансы их применения.
Садовые арки считаются одними из самых ярких архитектурных композиций на участке, а в
некоторых случаях даже центральным его элементом. С помощью арочной композиции можно
оформить вход в сад, отделив его таким способом от двора. В самом саду арки не рекомендуется
устанавливать в центре открытого пространства (на лужайке, у клумбы). Такой вариант
расположения конструкции способен нарушить всю садовую композицию. Причина очень проста
– во все времена садовые и любые иные арки являлись указателем направления и разделителем
зон, проходя через нее человек знал, что окажется в месте, имеющим иное функциональное
назначение. Второе назначение садовой арки – привлечь внимание к какому-то интересному
объекту. Это может быть фонтан, дерево и т.п. Садовые арки, даже очень красивые, оставаясь в
гордом одиночестве, теряют смысл своего существования.
Садовые арки имеют все же и ряд практических назначений. Очень часто эти конструкции
используются в качестве основы для вьющихся растений. Особенно эффектно такая архитектурная
форма смотрится, когда ее увьет дикая роза или иные вьющиеся цветочные растения. Неплохо
смотрится и дикий виноград. Это растение хорошо еще и тем, что является долгожителем. Если
соединить две садовых арки с помощью шпалер, то растения увьют их полностью, образовав
зеленый шатер. Он укроет от жары и создаст особый освежающий микроклимат внутри. Еще
эффектнее смотрится длинная аркада из 5-7 садовых арок, внутри которой можно установить
лавочки. В итоге, конструкции будут выполнять еще и роль беседки. [4]
Акведуки
Акведу́к (от лат. aqua — вода и duco — веду) — водовод (канал, труба) для подачи воды к
населённым пунктам, оросительным и гидроэнергетическим системам из расположенных выше их
источников.
Акведуки
сооружаются
из камня, кирпича, железобетона или стали.
Такие
сооружения состоят из основания, на котором возводят каменные, чугунные или кирпичные
опоры (обычно между ними для устойчивости помещают каменные арки), и берегового устоя, на
которое укладываются трубы или устраиваются кюветы. [8]
24
Практическое исследование
Целью практического исследования является спроектировать садовую арку с использованием
парабол. Данное исследование несет не только информационное, но и практическое значение.
Чтобы построить своими руками, нужно взять несколько
досок и реек в качестве материала, проявить немного
сноровки и смекалки. И вот уже садовое чудо готово!
Доски 5х10 см – 2 стандартные доски (около 6м) для
изготовления фигурных арок
Доски 5х20 см – 4 стандартных доски на стойки размером
по желаемой высоте арки
Рейки 0.5х3 см – около 12 метров для заполнения ширины
оставшейся части арки.
Деревянные чопики
Строительный уровень
Гвозди и шурупы
Дрель с сверлом 12мм
Лобзик
Струбцины
Лучше всего подходит для арок кедр, хотя можно использовать и любой другой материал. Для
окраски арки можно использовать любое покрытие для уличных работ, предварительно нанеся
грунтовку на дерево. Только помните, что нельзя окрашивать или грунтовать дерево заранее. Вы
будете в работе использовать клей герметик, а он не берется на окрашенное дерево.
И последняя рекомендация, при склеивании деревянной арки, перед использованием водостойкого
клея следует убедиться, что дерево сухое.
В то время как вы еще находитесь в стадии планирования, решите, будете ли вы заглублять стойки
в землю, или использовать скобу, чтобы закрепить их на бетонные блоки, как это сделали мы.
Наша система поверхностного монтажа позволяет легко перенести беседку на другое место и
использует меньше древесины.
Приложенный к работе чертеж необходимо напечатать на 8 листах А4. После того как Вы их
напечатали, соедините их вместе. Для облегчения процесса промаркируйте их буквами A1BCDE,
чтобы обозначить покрытие и внахлест. Поставьте 2 листка на стекло напротив окна, и Вы
идеально подберете нахлест.
25
Миниатюра чертежа для арки.
Технология монтажа.
Каждый слой составляет половину восьмиугольника, повернутого на 22,5 градуса друг от друга,
сегменты должны перекрывать друг друга. Чтобы изготовить изогнутую часть, сначала сделайте
шаблон необходимой вам арки. Разрезаем скошенные сегменты под необходимым углом, и
временно крепим винтами к нашему шаблону арочного свода.
После того как вы обрежете каждую заготовку электролобзиком по изогнутым линиям, соберите
слой сегментов и закрепите винтами по шаблону, склеив затем первый слой со вторым зеркально.
Затем заверните винты и снимите шаблон. Когда клей высохнет, жесткость всей конструкции
значительно повысится, и вы можете гладко обработать края заготовки арки.
Строительство боковой панели арки.
Для создания идеальной квадратной боковой панели, сборку этой позиции ведем прямо на полу.
Лучше конечно подложить фанеру.
Прибивая горизонтальные полосы решетки на верхние и нижние основания, опять же центруйте
их с помощью небольшого куска дерева в качестве распорки. Переверните сборку и временно
скрепите рейками по диагонали, чтобы сохранить квадрат. Добавить оставшиеся горизонтальные
полосы, а винтами закрепите решетки к стойкам. Гвозди забивайте по краям, ассиметрично, чтобы
не расколоть древесину.
Так-же возможно дополнение арки скамьёй, а если немного изменить конструкцию самой арки,
придав ей дополнительную прочность, то и разместить в ней качели.
26
Чаще
всего
используют
древесину (более долговечны
лиственные породы). Материал
прост в обработке, открывает
широкие
возможности
для
воплощения фантазийных идей,
имеет длительный срок службы
при покрытии защитным слоем
от грызунов, насекомых и
гниения.
Благодаря
своей
натуральности
они
отлично
вписываются в любой стиль.
Строгие линии садовой мебели всегда хорошо контрастируют с зеленым экраном окружения.
Привлекательная простая конструкция скамьи с аркой, состоящей из двух элементов: само место
для сиденья и окаймляющая ее деревянная арка.
Размеры скамьи зависят от габаритов арки,
длина которой 110 см, высота 200-220 см, глубина
80-100 см. Она собирается из вертикальных
брусков (4 шт.) и наклонных реек. Задник из
фанеры (высота 120-150 см). Он защищает
отдыхающих от ветра. Арка изготавливается из
криволинейных деревянных элементов. Чаще
всего в ход идут бруски таких же размеров, что
для стоек (40×100 мм). Поверхность покрывается
пинотексом (2-3 слоя), что позволяет сохранить
дерево от воздействия снега, дождя, града и т.п. В
летний период вся конструкция представляет
собой зеленый оазис, опутанный вьющимися
растениями, которые не только накрывают, но и
закрывают стенки арки диким виноградом и
вьюнком.
27
Заключение и итоги.
Парабола является одной из ярких представительниц в окружающем нас мире, а не только линией
в тетради. Она не простая фигура второго порядка, а замечательная кривая, которая практически
всегда рядом с нами. Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и
полезным. Мы сформулировали строгое математическое определение параболы. Рассмотрели
способ построения параболы. Изучены некоторые свойства параболы. Выявлена связь между
понятиями «парабола» и «конические сечения». Определены сферы применения параболы
(физика, техника, баллистика, астрономия, архитектура, мостостроение).
Подтверждена
значимость математики в окружающем мире. В ходе практического исследования применили
полученные знания.
28
Список литературы
А. И. Маркушевич “Замечательные кривые”; Москва; “Наука”-1978г.
Г. Штейнгауз “Математический калейдоскоп”; Москва; “ГосТехИздат”-1949г.
Г. Н. Берман “Циклоида”; Москва; “ГосТехИздат”-1954г.
http://ru.wikipedia.org/wiki/ - универсальная энциклопедия Internet.
Канатиков А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 2-е изд. /
Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 –
388с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып.III).
6) Л.Ф. Пичурин За страницами учебника алгебры. – М.: Просвещение, 1990.
7) Материалы сайта http://www.nitpa.org/arximed/
8) Материалы сайта http://mathforum.org/mathimages/index.php/Parabolic_Bridges
9) Материалы сайта http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_20.htm
10) Бронштейн И., Парабола, Квант, № 4, 1975.
1)
2)
3)
4)
5)
29