Конечная p-группа

Реферат на тему:
Конечная p-группа
План:
Введение




1 Основные свойства конечных p-групп
2 Некоторые классы конечных p-групп
o 2.1 p-группы максимального класса
o 2.2 p-центральные p-группы
o 2.3 Мощные p-группы
o 2.4 Регулярные p-группы
3 Конечные p-группы небольших порядков
o 3.1 Число различных p-групп порядка pn
o 3.2 p-группы порядка p^n, асимптотика
4 Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
o 4.1 Группа автоморфизмов конечной p-группы
o 4.2 Гипотеза Хигмена
o 4.3 Ослабленная гипотеза Бернсайда
o 4.4 Нерегулярные p-группы
Литература
Введение
Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой
степени простого числа.
1. Основные свойства конечных p-групп
Пусть P — конечная p-группа, тогда

P — нильпотентна.
| Z(P) | > 1, где Z(P) — центр группы P.
Для любого
в P существует нормальная подгруппа порядка pk.

Если H нормальна в P, то




.
.
.
2. Некоторые классы конечных p-групп
В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных p-групп,
которые часто рассматриваются в научной литературе.
2.1. p-группы максимального класса
Конечная p-группа порядка pn называется группой максимального класса, если её ступень
нильпотентности равна n − 1.
Если P — конечная p-группа максимального класса, то P' = Φ(P) и | Z(P) | = p.
Единственными 2-группами порядка 2n максимального класса являются: диэдральная
группа
, обобщённая группа кватернионов
и полудиэдральная группа
.
В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более
сложен.
2.2. p-центральные p-группы
Конечная p-группа называется p-центральной, если
двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.
. Понятие
2.3. Мощные p-группы
Конечная p-группа называется мощной, если
при
и
при p = 2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.
2.4. Регулярные p-группы
Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых
выполнено (xy)p =
xpypcp, где
. Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не
являющаяся регулярной, называется нерегулярной.





Любая подгруппа и факторгруппа регулярной p-группы регулярна.
Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя
элементами регулярна.
Конечная p-группа порядка не большего pp является регулярной.
Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной.
Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p > 2.
Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.
3. Конечные p-группы небольших порядков
3.1. Число различных p-групп порядка pn







Число неизоморфных групп порядка p равно 1: группа Cp.
Число неизоморфных групп порядка p2 равно 2: группы
и
.
3
Число неизоморфных групп порядка p равно 5, из них три абелевы группы:
,
,
и две неабелевы: при p > 2 —
и
; при p = 2 —
D4, Q8.
Число неизоморфных групп порядка p4 равно 15 при p > 2, число групп порядка 24
равно 14.
Число неизоморфных групп порядка p5 равно 2p + 61 + 2GCD(p − 1,3) + GCD(p −
1,4) при
. Число групп порядка 25 равно 51, число групп порядка 35 равно 67.
Число неизоморфных групп порядка p6 равно 3p2 + 39p + 344 + 24GCD(p − 1,3) +
11GCD(p − 1,4) + 2GCD(p − 1,5) при
. Число групп порядка 26 равно 267,
число групп порядка 36 равно 504.
Число неизоморфных групп порядка p7 равно 3p5 + 12p4 + 44p3 + 170p2 + 707p +
2455 + (4p2 + 44p + 291)GCD(p − 1,3) + (p2 + 19p + 135)GCD(p − 1,4) + (3p +
31)GCD(p − 1,5) + 4GCD(p − 1,7) + 5GCD(p − 1,8) + GCD(p − 1,9) при p > 5. Число
групп порядка 27 равно 2328, число групп порядка 37 равно 9310, число групп
порядка 57 равно 34297.
3.2. p-группы порядка p^n, асимптотика
При
число неизоморфных групп порядка pn асимптотически равно
.
4. Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
4.1. Группа автоморфизмов конечной p-группы
Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки,
однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой
следующая гипотеза:

Пусть P является нециклической p-группой порядка
, тогда
.
Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех
групп порядков не более p7, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой
проблеме пока не найдено.
4.2. Гипотеза Хигмена
Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с
регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.

Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её
класс нильпотентности равен
.
Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < qq (Кострикин, Крекнин).
4.3. Ослабленная гипотеза Бернсайда
Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n
(то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению xn = 1), то она конечна. Если это
так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с
таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа
B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок
группы B(m,3) равен
любом нечётном
. Однако, как показали Новиков и Адян, при
группа B(m,n) бесконечна.
и при
Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых
групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для
конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной
экспоненты и с данным числом образующих.
4.4. Нерегулярные p-группы
Классификация нерегулярных p-групп порядка pp + 1.
Литература












Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. —
3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39,
N 3 (2000), 359—371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26
(1965), 389—603.
Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987),
484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.