М Г . П . К

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИ АДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
01.02.14  7 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
1. Может ли правильная несократимая дробь быть в 90 раз меньше суммы своего
числителя и знаменателя? Если Вы считаете, что это возможно, приведите
пример и покажите, что он действительно удовлетворяет условию задачи. Если
считаете, что невозможно, объясните, почему Вы так считаете.
2. У Рапунцель волосы растут вдвое быстрее, чем она сама, а у Алисы, которая
растет со скоростью волос Рапунцель, – в полтора раза быстрее, чем растет
Алиса. Сейчас у Алисы и Рапунцель одинаковая высота волос над полом. Чьи
волосы раньше достигнут пола?
3. Сложите симметричный паззл 5×5 из 8 фигурок
и 14
фигурок
, если 3 фигурки
уже размещены как показано
на рисунке. Фигурки можно поворачивать как угодно, черные
линии должны соединяться с черными линиями (в частности,
чёрные линии не могут упираться в края большого квадрата).
4. На урок математики в 7-й класс пришли Остап Бендер, и барон Мюнхгаузен.
Они дали ученикам задание: из всех цифр от 0 до 9 составить пять двузначных
чисел так, чтобы количество простых чисел среди них было максимально
возможным, и каждая цифра использовалась ровно один раз. Остап гарантирует,
что у всех учеников получился один набор чисел, а барон гарантирует, что у всех
учеников одинакова суммы выписанных ими чисел. Чьим гарантиям стоит
верить?
5. На листе бумаги нарисован прямой угол с вершиной О. Семиклассник Семён
хочет провести несколько лучей с той же вершиной, лежащих внутри угла, так,
чтобы сумма всех получившихся при этом углов составляла 400 градусов. Какое
наименьшее число лучей он может провести и как они должны быть
расположены?
6. Делитель натурального числа называется собственным, если он больше 1, но
меньше этого числа. Семиклассник Семёнов придумал натуральное число, у
которого есть собственные делители, делящиеся на 3, и есть собственные
делители, делящиеся на 2. Какие значения может принимать разность между
самым большим собственным делителем этого числа, делящимся на 3, и самым
большим собственным делителем этого числа, делящимся на 2? Дайте полный
ответ на этот вопрос и объясните, почему другие варианты ответа невозможны.
Предварительные итоги олимпиады 3 февраля на сайте olymp.omich.net
Просмотр работ и награждение призёров олимпиады будет проходить в
субботу, 8 февраля, в 15-00, ауд. 101.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Да, может. Годится, например, дробь 1/9. Критерии проверки. Правильный
пример с проверкой – 7 баллов. Ответ без проверки – 1 балл. В остальных
случаях 0 баллов.
2. Ответ. Одновременно. Решение. Пусть за единицу времени (например, за год)
Рапунцель вырастает на х см. Тогда её волосы вырастают за год на 2х см и
«приближаются к земле» на х см. Аналогично, волосы Алисы за год
«приближаются к земле» на 3х–2х=х см. Так как изначальная высота волос над
землёй и их «скорость сближения с землёй» одинаковы у обеих девочек, земли
их волосы достигнут одновременно. Критерии проверки. Правильное решение
– 7 баллов. Подстановка конкретных чисел – 2 балла. В остальных случаях 0
баллов.
3. Решение. Например, так:
Критерии проверки. Любой правильный ответ (даже
комментариев) – 7 баллов. В остальных случаях 0
баллов.
без
4. Ответ. Только гарантиям барона. Решение. Прежде всего заметим, что простые
числа могут оканчиваться только на цифры 1, 3, 7, 9. Значит, их не больше
четырёх. Дети могут предъявить, например, такие наборы: 41, 23, 67, 59, 80 и 31,
53, 47, 29, 80. В каждом из них по четыре простых числа, что и доказывает
неправоту Остапа. Но в любом случае в разряде единиц у этих чисел будут
стоять цифры 0, 1, 3, 7, 9, а в разряде десятков, соответственно, 2, 4, 6, 8, 5. В
любом случае, видим, что у суммы в разряде единиц стоит 0, а в разряде
десятков, с учётом переноса двойки из разряда единиц, стоит число 7. Всего
получаем сумму 275. Критерии проверки. Полное решение – 7 баллов.
Объяснено, что простых чисел должно быть четыре, но дальнейших
продвижений нет – 1 балл. Без обоснования максимальности приведены
примеры, показывающие неправоту Остапа, а вторая часть не решена или
решена неверно – 2 балла. Приведены верные рассуждения, подтверждающие
правоту барона, но первая часть не решена – 3 балла. Чёткое обоснование
максимальности отсутствует, но всё остальное сделано – 5 баллов.
5. Ответ. Три луча. Решение. Если он проведёт один луч, то сумма всех трёх
получившихся углов составит 180 градусов. Если лучей будет два, то получим
три угла, при суммировании которых каждый крайний угол будет учитываться
три раза, а средний четыре раза. Тогда при суммировании всех углов мы
получим меньше 360 градусов. Если же провести три луча, то всего получится 10
углов, причём при их суммировании два крайних угла учитываются по 4 раза, а
два средних по 6 раз. Если сумма двух средних углов будет составлять 20
градусов, то вся сумма как раз даст 400 градусов. Так что, три луча провести
можно, и делать это нужно так, что угол между двумя несоседними лучами
составлял 20 градусов. Критерии проверки. Полное решение – 7 баллов.
Показано, что два и меньше луча провести нельзя, но конструкция с тремя
лучами не приведена (не объяснено про угол 20 градусов) – 3 балла. Есть
подробно объяснённая конструкция с тремя лучами, но нет оценки – 3 балла.
Правильная конструкция без объяснений – 1 балл. В остальных случаях 0
баллов.
6. Ответ. Либо ноль, либо произвольное нечётное число. Решение. Из условия
следует, что исходное число N делится и на 2, и на 3. Его самый большой
делитель N/2 в любом случае и будет самым большим из всех делителей,
кратных трём. Если исходное число делится не только на 2, но и на 4, то он же
будет и самым большим из всех собственных чётных делителей. В этом случае,
разность будет равна нулю. Пусть теперь число N делится на 2, на 3, но не
делится на 4. Тогда оно имеет вид N=12k+6. При этом его самый большой
чётный делитель равен N/3=4k+2, а рассматриваемая разность есть N/2 –
N/3=2k+1, то есть произвольное нечётное число. Критерии проверки. Полное
решение – 7 баллов. Правильный ответ с примерами на каждый случай – 1 балл.
Подробно описана ситуация, когда в ответе получается 0 – 2 балла. Подробно
описана ситуация, когда в ответе получается нечётное число – 3 балла.