Доклад Фракталы
advertisement
АМУРСКАЯ ОБЛАСТЬ СЕРЫШЕВСКИЙ РАЙОН МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С. ЛЕБЯЖЬЕ. Выполнила: ученица 8 класса Сигида Елизавета Руководитель: Надточий Т.Т. Апрель 2011 г. ГИПОТЕЗА Фракталы являются природными образованиями, возможно использование фракталов человеком в его деятельности. Содержание 1 Гипотеза 2 Термин o 2.1 История 3 Классификация 4 Примеры o 4.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике o 4.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых o 4.3 Стохастические фракталы 5 Применение o 5.1 Экономика 5.1.1 Анализ рынков o 5.2 Естественные науки o 5.3 Литература o 5.4 Радиотехника o 5.5 Информатика 5.5.1 Сжатие изображений 5.5.2 Компьютерная графика 5.5.3 Децентрализованные сети 6 Вывод 7 Литература 8 Приложение 9 Ссылки o 9.1 Программы для генерации фрактальных изображений o 9.2 Сайты о фракталах Множество Мандельброта — классический образец фрактала Знаете ли вы, что такое фракталы? Да, наверняка знаете. Когда вам показывают какую-нибудь загадочную и завораживающую картинку, описать которую человеческий язык в состоянии разве что выражением "ух ты, круто!" - вот это и есть фрактал. Например, нарисуем вилку-рогульку. На следующем шаге работы каждая из трех палочек вилки заменяется такой же вилкой, превращая вилку в ветку с сучками, после следующего шага получим лохматый куст, потом пушистое дерево, красивое, фрактальное. Меняя вид начальной картинки можно получать самые разные изображения от зонтиков укропа до колючего перекати-поле или пучка водорослей. Примерно 90% людей, употребляющих термин фрактал, понятия не имеют, что, собственно, он означает. Поэтому давайте разберемся, но танцевать при этом будем не от печки, а наоборот – от окна. У окна мы попробуем понять, зачем эти фракталы вообще существуют... Когда зимним утром мы смотрим в окно, то восторгаемся красоте морозных узоров на стекле. Оказывается, что в природе существуют узоры, созданные не только из кристаллов льда. Свыше 200 лет назад член Российской академии наук Т.Е. Ловиц, впервые приготовивший ледяную уксусную кислоту, показал, что она, будучи охлаждена значительно ниже температуры плавления (16,7°С), остается жидкой неопределенно долго, но стоит внести затравку (кристаллы той же уксусной кислоты), как происходит затвердевание массы вследствие быстрой массовой кристаллизации. Другим примером вещества, склонного к переохлаждению, является глицерин, имеющий температуру плавления 18°С. Твердый глицерин впервые получили случайно, перевозя его из Казани за границу во время сильных морозов. Тряска вагона, по-видимому, благоприятствовала появлению в переохлажденном глицерине необходимых центров кристаллизации. Сами продукты кристаллизации обладают исключительным многообразием форм, которые поражают любого, кто хоть раз побывал в сталактитовых пещерах. Кстати, в этом случае сталактиты и сталагмиты являются продуктом кристаллизации солей из природных вод. Кристаллы могут расти не только из растворов или расплавов, но и из пара. Каждый может наблюдать этот процесс в морозную погоду, подышав на поверхность холодного стекла. Первые кристаллики льда на стекле – это всегда шестилучевые звездочки или шестигранные стебельки, которые, разрастаясь и взаимодействуя друг с другом, образуют скелетные или ветвистые кристаллы, называемые дендритами. Дендриты (от греч. дендрон – дерево) часто образуются при кристаллизации металлов. В музее Артиллерийской академии в Санкт-Петербурге хранится дендрит, который вырос в полости стотонного металлического слитка и был обнаружен выдающимся русским металлургом Д.К. Черновым в 1878 году. Знаменитый "кристалл Чернова", самый большой из всех известных дендритов металлов, послужил в свое время убедительным доказательством кристаллической структуры металлов. Если вас заинтересует возможность в условиях школьной лаборатории или дома наблюдать образование разнообразных кристаллических форм, включая дендриты, кристаллические спирали и так называемые кольца Ли-зеганга, рекомендуем обратиться к классической книге А.В. Шубникова и В.Ф. Первова "Зарождение и рост кристаллов" [2]. Из нее вы узнаете, что характер дендритного роста кристаллов из растворов резко изменяется при введении ничтожных количеств некоторых примесей. Например, введение в раствор хлористого аммония пектина приводит к образованию гигантских дендритов, а небольшая примесь мочевины в том же растворе способствует образованию кристаллов с закругленными гранями, получившими название "собачьего зуба". Микроструктура сплавов бромистого серебра с бромистым калием. Увеличение х1000 Доля затвердевшей при дендритном росте массы может быть выражена уравнением L — скрытая теплота плавления, CL — удельная теплоемкость , переохлаждение. Т — Кончик дендрита растет до тех пор, пока не станет неустойчивым, после чего он делится на несколько отдельных кончиков. Всякий такой вновь образовавшийся кончик опять растет до тех пор, пока не обратится в неустойчивое состояние и т.д. Здесь и наступает момент, когда в нашем повествовании должно появиться второе ключевое слово — фракталы, без которых невозможно современное осмысление проблемы дендритов, начиная с механизма их образования и кончая пониманием роли в формировании свойств разнообразных конструкционных и функциональных материалов. Термин "фрактал" еще совсем молод. Бенуа Мандельброт фр. Benoît Mandelbrot Он введен Б. Дата рождения: Место рождения: Гражданство: Научная сфера: 20 ноября 1924 (85 лет) Варшава, Польша Польша Франция Фрактальная геометрия Йельский университет Место работы: IBM Тихоокеанская северо-западная национальная лаборатория Политехническая школа Альма-матер: Калифорнийский технологический институт Сорбонна Известен как: Награды и премии Автор множества Мандельброта Премия Вольфа (физика, 1993) Премия Японии (2003) Мандельбротом в 1975 году, то есть на столетие позже, чем в науке появились дендриты. Он же разработал так называемую фрактальную геометрию и дал определение понятию фрактал, которое звучит следующим образом: "Фрактал - это структура, состоящая из частей, каждая из которых в каком-то смысле подобна целому". Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба[1] Фрактал происходит от латинского слова "fractus", что означает ломаный, разбитый. Иногда фракталом называют объект, состоящий из частей, подобных целому, то есть обладающий самоподобием. Понятие "фракталы" буквально ворвалось в сознание математиков, ученых и многих людей, совершенно не связанных с наукой, в 1982 году, когда была опубликована основополагающая книга Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Рассмотрим для примера одну из базовых фрактальных структур, называемую кривой Коха (рис. а). Эта кривая возникает в результате простейшей операции, повторяемой многократно. Сплошная горизонтальная прямая на рис. б разделяется на три равные части, и средний участок заменяется двумя ему равными, так что вместо прямой (0,1) возникает ломаная линия (0, 1/3,1/2, 2/3,1) (рис. в). Если ту же операцию разбиения повторить еще раз применительно к каждому прямому участку ломаной линии, то возникает кривая, изображенная на рис. г, которая трансформируется в настоящую кривую Коха, показанную на рис. а. Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Самоподобный объект (в математике) - объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Каждая гомотетия является подобием. Гомотетичные тела мы можем наблюдать в природе. Каждое движение также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1. Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета (см. приложение 4). Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия: их части статистически однородны в разных шкалах измерения. Самоподобие есть характеристическое свойство фрактала. Термин «фрактал» может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств: Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. Является самоподобной или приближённо самоподобной. Обладает дробной метрической размерностью. Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры, как например, кривая Коха, кривая Минковского, дерево Пифагора. Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891—1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку. Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице. Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные "центры" треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора. Классическое дерево Пифагора Обдуваемое ветром дерево Пифагора Обнаженное дерево Пифагора Обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора Вариация на Дерево Пифагора Дерево Пифагора строится рекурсивно. Ниже приведен код программы для рисования дерева (язык ЛОГО): # Рисуем дерево Пифагора сброс #Высота холста. Рисунок будет ей пропорционален Разм = 600 нов_размер_холста Разм*1.5, Разм #Цвет неба нов_цвет_холста 230, 255, 255 иди 0, Разм-9 #Ширина и цвет земли нов_ширина_пера 20 нов_цвет_пера 24, 118, 30 направление 90 вперёд Разм*1.5 #Функция, рисующая квадрат с треугольником #Параметры - ширина квадрата, "глубина" элемента выучи ПШ ширина, номер [ нов_ширина_пера 7 - номер/2 нов_цвет_пера 49+номер*4, 41+номер*16, 25+номер*4 перо_опусти # Рисуем квадрат повтори 4 [ вперёд ширина налево 90 ] вперёд ширина #Рисуем треугольник налево 45 вперёд 1.4142*ширина/2 налево 90 вперёд 1.4142*ширина/2 #Перемещаемся в начало следующего квадрата перо_подними налево 135 вперёд ширина налево 45 #"Глубина" элемента номер = номер + 1 #Если глубина рекурсии меньше 10, то рисуем #следующий элемент если (номер <10) [ #Рисуем правую ветвь ПШ ширина / 1.4142, номер направо 90 #Рисуем левую ветвь ПШ ширина / 1.4142, номер налево 45 вперёд ширина налево 45 ] #Возвращаемся в начало квадрата налево 135 вперёд ширина налево 90 вперёд ширина номер = номер - 1 ] #Перемещаемся к точке, откуда рисуем дерево иди Разм*0.75+Разм/8.2, Разм-10 направление 0 #Рисуем дерево (Можно вызвать столько раз, #сколько нужно нарисовать деревьев ПШ Разм/4.1, 0 Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фрактал брокколи Romanesco, различная форма цветной капусты . Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера. Классификация Алгебраические фракталы o Множество Мандельброта приложение 1) o Множество Жюлиа (см приложение 8) o Бассейны (фракталы) Ньютона (см. приложение 7) o Биоморфы (фракталы, напоминающие живые организмы) o Треугольники Серпинского (см. приложение 9) (см. Геометрические фракталы o Кривая Коха (снежинка Коха) o Кривая Леви o Кривая Гильберта o Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя) (см. приложение 14) o Множество Кантора o Треугольник Серпинского (см. приложение 9) o Ковер Серпинского (см. приложение 10) o Дерево Пифагора (см. приложение 16) Стохастические (случайные, непредсказуемые) фракталы (см. приложение 18) Рукотворные фракталы (см. приложение 19) Природные фракталы (см. приложение 20) Детерминированные (ясные, определенные. понятные) фракталы (см. приложение 26) Недетерминированные фракталы (см. приложение 27) Примеры Самоподобные множества с необычными свойствами в математике Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие: множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости. губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве; примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции. кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке; кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата. траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум. Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora) Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых Построение кривой Коха Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха. Примерами таких кривых служат: кривая дракона; кривая Коха; кривая Леви; кривая Минковского; с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора. Применение А существуют они вовсе не для того, чтобы с их помощью рисовать всякие красивые картинки. Нет, конечно, и для этого тоже, но картинки - вовсе не главное применение фракталов. Фракталы существуют для того, чтобы можно было с помощью математических формул описать очень сложные структуры - например, участок ландшафта, поверхность моря, скалу и так далее. Набором обычных геометрических фигур линий, кружков и треугольников - такие структуры не описать. А вот фракталами вполне возможно. Кроме того, с помощью все тех же фракталов эти структуры можно моделировать - то есть создавать, что обычно и делается в различных известных компьютерных программах. Экономика Анализ рынков Последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков. Естественные науки В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). Литература Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой.В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста * неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе. Например, «У попа была собака…». * неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («Дом, который построил Джек») * венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений). * «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи»). Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе») * Х. Л. Борхес «В кругу развалин» Хорхе Борхес: «В кругу развалин» Хорхе Луис Борхес В кругу развалин And if he left off dreaming about you… 1 Through the Looking-Glass, IV Никто не видел, как он приплыл в литой темноте; никто не видел, как бамбуковый челнок погружался в священную топь, но уже через несколько дней все вокруг рассказывали, что молчаливый человек прибыл с юга и родился в одной из бесчисленных деревушек вверх по реке, на безжалостных кручах, где язык зенд не затронут греческим, и редко встретишь проказу. А на самом деле седой человек пал на топкую кромку, вскарабкался по склону, не отводя (и, видимо, не замечая) раздиравших тело колючек, и, шатаясь и кровоточа, дотащился до круглого сооружения, когда-то цвета пламени, а теперь – пепла, которое венчала каменная фигура то ли тигра, то ли коня. Здание было храмом, чьи стены изуродовали давние пожары и осквернили болотные заросли, а божество уже много лет не принимало людских почестей. Чужак рухнул у цоколя. Разбудило его высоко стоявшее солнце. Он безучастно убедился, что раны зарубцевались, прикрыл поблекшие глаза и снова уснул – не по слабости плоти, но усилием воли. Теперь он знал, что именно этот храм и нужен для его несокрушимого замысла, знал, что бессчетные деревья вниз по реке все-таки не стерли развалин другого, подходящего для его целей храма, чьи боги тоже обуглены и мертвы; знал, что первейшая забота сейчас – сон. Глубокой ночью его разбудил безутешный крик птицы. По следам босых ступней, смоквам и кувшину рядом он понял, что окрестные жители почтительно следили за сном пришельца, ища его покровительства и опасаясь колдовства. Он похолодел от страха и, отыскав в щербатой стене погребальную нишу, залез в нее и укрылся неизвестными листьями. Ведший его замысел был хоть и сверхъестественным, но не безнадежным. Он намеревался создать во сне человека: создать во всей филигранной полноте, чтобы потом приобщить к действительности. Этот колдовской план поглощал его целиком: поинтересуйся кто-нибудь его именем или какой-то деталью из прежней жизни, и он бы, пожалуй, не «разу ответил. Разрушенный и безлюдный храм вполне устраивал чужака, как и соседство земледельцев, взявшихся удовлетворять его скромные аппетиты. Подношений из риса и плодов с избытком хватало телу, отданному единственной заботе – спать и грезить. Сны были вначале сумбурными и лишь понемногу обрели связность. Пришелец видел себя посреди круглого амфитеатра, чем-то напоминавшего сожженный храм: тысячи молчаливых учеников томили ряды скамей; лица сидящих на последних проступали в бесконечной дали и уже на высоте звезд, но рисовались в мельчайших подробностях. Он читал лекции по анатомии, космографии, магии; они усердно слушали и старались отвечать толково, словно понимая важность испытания, которое освободит одного из них от бесплодного и призрачного удела, сделав реальным. И во сне, и наяву наставник взвешивал ответы своих видений, не позволяя себя провести плутам и угадывая в замешательстве иных пробуждающийся разум. Он искал душу, достойную причащения к миру. Ночей через девятьдесять он не без горечи признался себе, что от учеников, покорно впитывающих его уроки, ждать нечего – надеяться можно лишь на тех, кто время от времени решается ему осмысленно возражать. Первые, хоть и заслуживают любви и тепла, никогда не поднимутся до уровня личности, последние сумеют несколько больше. Однажды вечером (вечера теперь тоже отводились снам, а бодрствованию – лишь час-другой поутру) он навсегда распустил свою огромную призрачную школу и остался с единственным учеником. Это был молчаливый, смуглый, порою упрямый мальчик с тонким лицом, напоминающим самого сновидца. Внезапное исчезновение однокашников не обескуражило его; успехи, заметные уже после нескольких частных уроков, поразили наставника. Но крах приближался. Однажды человек выкарабкался из топкой пустыни сна, увидел бессмысленный луч заката, который на миг спутал с рассветом, и понял, что не спал. Всю ночь и весь следующий день его изводила невыносимая ясность бессонницы. Он попробовал углубиться в чащу, выбиться из сил, но едва сумел найти в зарослях цикуты несколько минут некрепкого забытья с беглыми полузачаточными видениями. Все было бесполезно. Он попробовал вновь собрать свою аудиторию, но не успел сложить и нескольких поучительных слов, как лица расплылись и стерлись. Почти не смыкаясь, его стариковские глаза горели от злых слез. Он понял, что придать форму бессвязному, мутящему разум веществу, из которого созданы наши сны, – самая трудная среди задач, выпадающих на долю человека, даже если он постиг все тайны неба и земли; это труднее, чем вить веревку из песка или чеканить бесплотный ветер. Понял, что первый провал был неизбежен. Сновидец поклялся стереть из памяти исполинское наваждение, с самого начала сбившее его с пути, и стал искать другой подход. Но прежде он посвятил месяц восстановлению сил, растраченных в пустом бреду. Он выбросил из головы даже мысль о сновидениях и тут же впал в забытье на добрую часть дня. В редкие минуты, когда сны ему всетаки снились, он старался на них не задерживаться. Чтобы вернуться к замыслу, он дождался полнолуния. На закате омылся в водах реки, почтил небесных богов, произнес заветные звуки всемогущего имени и уснул. Тут же ему представилось бьющееся сердце. Он видел его – живое, крохотное, затаенное, размером с кулак и цвета коралла, в полутьме человеческой плоти без лица и пола; раз за разом он с терпением и любовью воспроизводил его четырнадцать безоблачных ночей. И с каждой ночью сердце проступало все подробней. Он не касался его рукой, лишь находя, окидывая и порой подправляя глазами. Он обрисовывал, обживал его взглядом, поворачивая то так, то этак, то приближаясь, то отходя. Только после двух недель он обвел пальцем легочную артерию и все сердце целиком, изнутри и снаружи. Создатель остался доволен. Он прервал свой труд на одну ночь, а потом снова представил себе сердце, испросил благословения звезд и принялся за другие части тела. К концу года он дошел до костяка, до глазниц. Самыми трудными оказались неисчислимые волоски на коже. И вот перед ним был весь человек целиком – юноша, пока еще не двигавшийся, не говорящий и не открывающий глаз. Ночь за ночью сновидец любовался им, спящим. В космогониях гностиков творящие силы замешивают из красной глины Адама, который не держится на ногax; таким же нескладным, грубым и безыскусным, как тот, глиняный, был и этот сновиденный Адам, сработанный кудесником ночь за ночью. Однажды вечером создатель чуть было не разбил свое творение, но держался. (А лучше бы разбил.) Принеся благодарственные жертвы божествам земли и воды, он пал к изножию фигуры то ли тигра, то ли коня и взмолился о его неведомой поддержке. Тем же вечером изваяние приснилось ему – живое, движущееся: не чудовищный выродок тигра и коня, нет, оба этих диких существа разом, а кроме того, бык, роза и ураган. Многоликий Бог рассказал, что его земное имя – Огонь, что в этом круглом храме (и других таких же) ему воздавались почести и приносились жертвы, и он в силах своим волшебством оживить сновиденный призрак так, что все, за вычетом сновидца и самого Огня, будут видеть в нем человека из плоти и крови. Он наказал обучить создание обрядам и отправить его в другой разрушенный храм, чьи пирамиды еще сохранились вниз по реке, дабы хоть один голос славил Бога в обезлюдевшем святилище. На этом призрак, приснившийся спящему, очнулся. Кудесник исполнил наказ. Он посвятил положенный срок (составивший два года) тому, чтобы приобщить новорожденного к таинствам мира и культу Огня. В душе он уже страдал от будущей разлуки. Под предлогом учебы он день за днем продлевал часы, отведенные сну. Взялся переделывать у своего творения правое плечо, как будто не совсем удачное. Иногда его посещало странное чувство, словно все это уже было… И всетаки дни наполняла радость; он закрывал глаза и говорил себе: «Сейчас я встречусь с сыном». А порой: «Мой собственный сын ждет и не сможет жить без меня». Мало-помалу он приучал его к реальности. Однажды приказал ему водрузить флаг на отдаленной вершине. Поутру флаг полыхал над ней. Устраивал он и другие похожие опыты, раз от разу все рискованней. С горечью он признался себе, что сын готов появиться на свет – и как можно скорей. Той же ночью сновидец впервые поцеловал его – и отправил в другой храм, чьи останки белели вниз по реке, далеко за непроходимой чащей и топью. Но прежде (чтобы тот никогда не догадался, что он лишь призрак, и считал себя обычным человеком) создатель начисто стер из его памяти годы ученичества. Его удовлетворение и спокойствие перемежались хандрой. В сумерках поутру и на закате склонялся перед каменным изваянием, воображая, что его призрачный сын, наверно, исполняет эти же обряды в кругу других развалин, вниз по реке; ночью ему не снилось ничего или то же, что всем на свете. Звуки и краски окружающего делались все глуше: как будто далекий сын поглощал крупицы его души. Цель жизни была достигнута, он коротал дни в странном самозабвении. Через какое-то время, которое одни рассказчики измеряют в годах, а другие – в пятилетиях, его разбудили среди ночи двое приплывших по реке: лиц он не различал, а услышал лишь рассказ о человеке из Северного храма, способном чудом ходить по костру, не обжигаясь. Кудесник тут же вспомнил слова Бога. Вспомнил: среди всего населяющего землю только Огонь знает, что его сын– призрак. Воспоминание сначала успокоило, а потом вдруг пронзило его. Он испугался, как бы сын не стал размышлять о своем необыкновенном отличии и ненароком не понял, что он – простая подделка. Быть не человеком, а всего лишь отражением чьего-то сна – какая обидная, мутящая разум участь! Каждый отец беспокоится о детях, которых в замешательстве или радости произвел (а точнее – допустил родиться) на свет; стоит ли удивляться, что кудесник тревожился о будущем сына, жилка за жилкой и черта за чертой созданного им в тысячу и одну затаенную ото всех ночь. Конец раздумий наступил внезапно, хотя были и предвестья. Сначала (после долгой засухи)– отдаленное, легкое, как птица, облачко над вершиной; потом – небо к югу, тронутое розовым, будто десны леопарда; позже – клубы дыма, проржавившего сталь ночей, и наконец паническое бегство животных. Так повторилось случившееся много веков назад. Развалины храма, посвященного Богу огня, были вновь сметены огнем. Утром без единой птицы кудесник увидел, что он – в кольце стен, охваченных пламенем. На миг он заколебался, не укрыться ли в реке, но сказал себе, что смерть пришла увенчать его старость и освободить от трудов. И шагнул навстречу огненным клочьям. Но они не ужалили тела – они приласкали и обняли его, не опаляя и не пепеля. С облегчением, покорностью и ужасом он понял, что и сам – лишь призрак, снящийся другому. Х.Кортасар «Жёлтый цветок» Рассказ (Из книги "Конец игры") Перевод Н. Снетковой Похоже на шутку, но это так: мы бессмертны. Я знаю это от противного, знаю, потому что знаком с единственным существующим на земле смертным. Свою историю он рассказал мне в бистро на улице Комброн и был так пьян, что вполне мог сказать правду, хоть хозяин и завсегдатаи этого заведения хохотали до слез. Должно быть, он заметил интерес на моем лице, потому что крепко в меня вцепился, и в конце концов мы отлично устроились за столиком в углу, где можно было спокойно пить и разговаривать. Он рассказал, что служил в муниципалитете, а теперь на пенсии, и что его жена уехала на некоторое время к родителям -- один из возможных способов пояснить, что она его бросила. В его облике не было ничего старческого, ничего вульгарного, худое, иссохшее лицо, глаза как у чахоточного. Конечно, пил он, чтобы забыться, о чем и возвестил, покончив с пятым стаканом красного. Но от него не исходил тот специфически парижский запах, который, кажется, чувствуем только мы, иностранцы. И ногти у него были ухоженные, и никакой перхоти. Он рассказал, что однажды в девяносто пятом автобусе увидел мальчика лет тринадцати и в тот же миг понял, что мальчик очень похож на него самого, во всяком случае похож на того мальчика, каким он себя помнил в этом возрасте. Постепенно он заметил, что мальчик похож на него во всем: лицо и руки, спадающая на лоб прядь, очень широко расставленные глаза, к тому же он такой же застенчивый и, смущаясь, так же делает вид, что погружен в чтение детского журнала, и так же отбрасывает назад волосы, и та же неисправимая скованность движений. Мальчик так походил на него, что он чуть было не расхохотался, но когда ребенок вышел на улице Ренн, он тоже вышел, предоставив приятелю возможность торчать на Монпарнасе, понапрасну его дожидаясь. Заговорив с мальчиком под предлогом как пройти на какую-то улицу, он, уже без удивленья, услышал свой собственный детский голосок. Мальчик как раз шел в сторону этой улицы, и, несколько смущаясь, они пошли вместе и прошли так несколько кварталов. Здесь-то на него и снизошло откровение. Ничего не было объяснено словами, но что-то позволяло ему обойтись без всяких объяснений, а когда он пытался -- вот как сейчас -- объяснить, все расплывалось и казалось нелепым. Короче говоря, он исхитрился узнать, где мальчик живет, и с авторитетностью бывшего руководителя бойскаутов проник в эту крепость за семью замками -- во французскую семью. Там он нашел пристойную бедность, преждевременно увядшую мать, отчима уже на пенсии и двух котов. А потом уже не составляло особого труда устроить так, чтобы брат посоветовал сыну, его племяннику, которому шел четырнадцатый год, познакомиться с Люком, и мальчики вскоре подружились. Сам он стал заходить к Люку каждую неделю, пил спитой кофе, которым угощала его мать Люка, и вел разговоры о войне, об оккупации и о Люке. То, что начиналось как откровение, приобретало упрощенно-четкие формы того, что люди склонны именовать предопределением. Для него даже стало возможным сформулировать это обычными словами: Люк --его повторенье, смерти нет, все мы бессмертны. -- Все бессмертны, старик. Заметьте, доказать этого не мог никто, это выпало на мою долю, и где? В девяносто пятом. Небольшой сбой в механизме, сдвиг во времени, одновременное воплощение вместо последовательного. Люк должен был родиться после моей смерти, а он вместо этого... Не говоря уже о невероятной случайности -- встрече в автобусе. Я вам, кажется, уже сказал, что доводы мне были ни к чему, я сразу же обрел полную уверенность. Так, и никак иначе. Но потом пришли сомненья -- ведь в таких случаях человек либо обзывает себя психом, либо принимает успокоительное. Но тут же, наряду с сомненьями, разрушая их одно за другим, -- доказательства, что ошибки нет, что нет причин для сомнений. Вот сейчас я вам скажу то, что больше всего смешит этих дурней, когда мне случается им об этом рассказывать. Люк не только был моим повтореньем, но он должен был стать таким, как я, как этот неудачник, что беседует с вами. Довольно было посмотреть, как он играет, как падает, всегда неудачно -- то нога подвернется, то ключица сместится, как все его чувства читаются у него на лице, как он краснеет, едва его о чемнибудь спросят. А мать -- полная противоположность, ведь женщинам так нравится рассказывать самые невероятные вещи о детях, и она, хоть мальчик и рядом, и сгорает со стыда, рассказывала про первые зубы, про рисунки, когда ему было восемь, про болезни... Добрая женщина, конечно, ни о чем не подозревала, отчим играл со мной в шахматы, я был как бы членом семьи, даже давал им в долг деньги перебиться до конца месяца. Без всякого труда я узнал все о Люке: достаточно было вставлять вопросы в разговор на интересовавшие их темы -- ревматизм отчима, козни консьержки, политика. Так между "шах королю" и размышлениями о ценах на мясо я узнал все подробности о детстве Люка, и доказательство стало неоспоримым. Но послушайте меня, пока мы ждем еще вина. Люк был мной, мной ребенком, но не точной копией. Скорее, схожим воплощением, понимаете? В семь лет, например, я вывихнул себе запястье, он-- ключицу, в девять лет мы оба перенесли соответственно корь и скарлатину, к тому же, старик, вмешался еще и прогресс: я проболел корью две недели, а Люка вылечили за несколько дней -- достижения медицины и все такое прочее. Все шло аналогично, поэтому -- вот вам пример на эту тему -- вполне могло случиться, что булочник на углу -- новое воплощение Наполеона, он этого не знает, потому что порядок не был нарушен, потому что на него никогда не снизойдет откровенье в автобусе, но если бы каким-нибудь образом ему удалось обнаружить истину, он бы понял, что шел и идет тем же путем, что и Наполеон, что его скачок от мойщика посуды к хозяину процветающей булочной на Монмартре -- то же самое, что прыжок с Корсики на престол Франции, и что, порывшись в событиях своей жизни, он бы постепенно обнаружил ситуации, соответствующие Египетской кампании, Консульству и Аустерлицу; и он даже понял бы, что через несколько лет обязательно что-то случится с его булочной и он кончит свои дни на острове Святая Елена, то есть в комнатушке на шестом этаже, тоже побежденным, тоже окруженным водами одиночества, тоже гордящимся своей булочной, этим своим орлиным взлетом. Ну что, улавливаете? Я улавливал, но возразил, сказав, что в детстве мы все в определенном возрасте болеем обычными для этих лет болезнями и что почти все мы, играя в футбол, что-нибудь себе ломаем. -- Знаю, но ведь я вам сказал только о явных совпаденьях. Но то, что Люк внешне похож на меня, особого значенья вообще не имело, хотя при встрече в автобусе, конечно, и имело. По-настоящему важны были лишь отдельные эпизоды, и это как раз трудно объяснить, потому что в них сказывается характер, смутные воспоминанья, преданья детских лет. В те времена -- я хочу сказать, когда я был как Люк, -- у меня начался трудный период жизни: сперва очень длительная болезнь, потом, как раз когда я пошел на поправку, я играл с ребятами в футбол и сломал руку, а едва выбравшись из этого, влюбился в сестру соученика и страдал, как страдают, когда нет сил взглянуть в глаза девочке, а она насмехается над тобой. Люк тоже заболел, а едва он сталп оправляться, его повели в цирк, где, спускаясь по ступенькам, он поскользнулся и вывихнул лодыжку. Вскоре мать увидела как-то вечером, что он плачет, сидя у окна, и в руках у него голубой платочек, чужой платок. Поскольку надобно же в этой жизни противоречить, я сказал, что детская влюбленность -- неизбежное приложение к синякам и плевритам. Но я не возражал, что история с самолетом -- это совсем другое, дело. История с заводным самолетом, который он принес мальчику на день рождения. -- Когда я ему отдал самолет, я снова вспомнил о "конструкторе",который мне подарила мать на мое четырнадцатилетие, и о том, что тогда случилось. А случилось вот что: надвигалась летняя гроза, но я был в саду, хотя уже слышались раскаты грома, и устроился в беседке, подле калитки на улицу, собирать подъемный кран. Кто-то позвал меня, и пришлось побежать на минутку в дом. Я вернулся и не увидел коробки с "конструктором" -- калитка была отворена. С отчаянными воплями я выскочил на улицу, где уже никого не было, и именно в это мгновенье в дом напротив ударила молния. Все случилось словно бы сразу, и я вспомнил об этом, вручая Люку самолет, а он глядел на него с тем счастливым видом, с каким я глядел на свой "конструктор". Мать Люка принесла мне чашку кофе, и мы, как обычно, о чем-то разговаривали, когда раздался громкий крик. Люк кинулся к окну, будто хотел из него выброситься. Бледный, в глазах слезы, наконец ему удалось заговорить: оказывается, самолет, отклонившись в своем полете, пролетел точно в приоткрытое окно. "Его не видно, не видно", -- твердил Люк, заливаясь слезами. Снизу донеслись какие-то крики, и тут в комнату торопливо вошел отчим Люка и сообщил нам, что в доме напротив -- пожар. Теперь вам понятно? Да, лучше выпьем еще по стаканчику. Я молчал, и мой собеседник сказал, что со временем он стал думать только о Люке, о судьбе Люка, его предопределении. Мать хотела, чтобы мальчик поступил в техническое училище , и ему бы открылась, как она выражалась, скромная дорога в жизни, но его дорога уже была открыта, предопределена, и только этот человек, мой собеседник, вынужденный молчать, чтобы его не разлучили навсегда с Люком, посчитав за сумасшедшего, только он мог бы сказать матери и отчиму, что все усилия бесполезны и, что бы они ни делали, результат будет тот же: унижения, тягостная повседневная рутина, однообразие, неудачи -- все это истреплет его, и он найдет прибежище в озлобленном одиночестве, в бистро своего квартала. Но самое скверное -- это не судьба Люка, самое скверное -- то, что в свою очередь умрет и Люк, и другой человек вновь повторит облик Люка, его собственный облик, и тоже умрет в свой черед, когда еще некто выйдет на дорогу. Люк его как бы уже и не интересовал; по ночам бессонница рисовала ему эту цепь, звено за звеном-- еще один Люк, еще разные другие люди, которых будут звать Роберт, Клод, Мишель, -- бессонница создавала теорию бесконечности всех этих неудачников, повторявших, ничего о том не зная, все тот же облик и убежденных в свободе выбора, в свободе воли... Вино настраивало этого человека на грустный лад, тут уж ничего не поделаешь. -- Здесь смеются, когда я им говорю, что через несколько месяцев Люкумер, они тупые, им не понять, что... Да, да, не смотрите на меня такими глазами. Он умер через несколько месяцев, началось нечто вроде бронхита, именно в этом возрасте у меня было что-то с печенью. Меня положили в больницу, а мать Люка настояла, чтобы его лечили дома, и я приходил к ним почти ежедневно, а иногда приводил с собой племянника, чтобы он поиграл с Люком. В доме царила такая нищета, что мои посещения приносили его обитателям радость во всех смыслах: и Люк не один, и пакетик с селедкой или пирог с абрикосами -- тоже хорошо. Они уже привыкли к тому, что я взял на себя покупку лекарств, сказав, что в одной аптеке мне делают особую скидку. В конце концов они стали меня воспринимать как сиделку, и вы можете себе легко представить, что в таком доме, как этот, куда врач приходит без особого интереса, не очень-то станут сличать предсмертные симптомы с первоначальным диагнозом... Ну что вы на меня так смотрите? Разве я сказал что-то не то? Нет, нет, ничего такого он не сказал, к тому же и выпив столько. Совсем, напротив, если не воображать себе разные ужасы, то смерть бедняжки Люка как раз и подтверждала, что некто, склонный пофантазировать, позволил своим фантазиям разыграться в девяносто пятом автобусе и предавался им, пока они не рассеялись у постели тихо умирающего ребенка. Мне хотелось его успокоить, и я сказал ему это. Некоторое время он смотрел куда-то вдаль, потом снова заговорил. -- Ладно, ваше дело. Говоря по правде, так я в эти недели после похорон впервые испытал что-то похожее на счастье. Я по-прежнему навещал мать Люка, носил ей печенье, но уже ни этот дом, ни она сама почти ничего для меня не значили, я был как бы весь поглощен чудесной уверенностью в том, что я первый смертный на земле, чувством, что так, день за днем, стакан за стаканом -моя жизнь сходит на нет и она кончится где-нибудь, в какой-то час, до последней минуты повторяя судьбу неведомого мне человека, уже умершего, поди знай где и когда, но я-то уж умру по-настоящему, и никакой Люк не вступит в круговорот, чтобы по-дурацки повторить эту дурацкую жизнь. Оцените, старик, всю полноту охватившего меня чувства, завидуйте испытанном умной счастью. По-видимому, он его больше не испытывал. Об этом свидетельствовали и бистро, и дешевое вино, и лихорадочно блестевшие глаза, хотя дело здесь было не в болезни тела. И все же он прожил несколько месяцев, смакуя каждое мгновенье своего повседневного житья, свое неудавшееся супружество, разрушенье организма в пятьдесят и твердо веря в свою неизбежную смерть. Как-то раз, к вечеру, он шел через Люксембургский сад и увидел цветок. -- Он рос у края клумбы, какой-то желтый цветок. Я остановился закурить и вдруг заметил этот цветок. И он тоже вроде бы смотрел на меня, иногда так бывает... Это, знаете, случается с теми, кто, как говорится, чувствует красоту. Вот именно так, цветок был изумительный, цветок необыкновенной красоты. А я был приговорен, мне было суждено умереть раз и навсегда. Цветок был восхитительный, и всегда будут расцветать цветы, и люди будут на них смотреть. Внезапно я осознал, что же такое это "ничто", которое я воспринимал как покой, как конец цепи. Я скоро умру, а Люк уже умер, и для таких, как мы, цветок не расцветет, наступит "ничто", полное "ничто", и это"ничто" никогда не расцветет прекрасным цветком. Догоревшая спичка обожгла пальцы. На площади я прыгнул в какой-то автобус, который шел неведомо куда, и стал бессмысленно смотреть на все и всех на улице и в автобусе. Автобус пришел на конечную остановку, я пересел в другой, он шел в пригород. Весь вечер, пока совсем не стемнело, я то входил в автобус, то выходил, думая о цветке и о Люке, и искал среди пассажиров кого-то похожего на Люка, кого-то похожего на меня или на Люка, кого-то, кто мог быть снова мной, кого-то, кто при взгляде на него дал бы мне твердую уверенность, что это я; я оставил бы его в покое, я ничего бы ему не сказал, я бы всячески его опекал, лишь бы он дотянул свою дурацкую, неудачливую жизнь, свою проигранную жизнь до другой дурацкой проигранной жизни, до другой дурацкой проигранной жизни, до другой... Я расплатился. * Ж. Перек «Кунсткамера» Радиотехника Фрактальные антенны Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэну основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск. Информатика Сжатие изображений Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение. Компьютерная графика Фрактальное дерево Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее Децентрализованные сети Принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети, что, например, характерно для сети Интернет. Используя теоретический материал, полученный при изучении литературы по теме, я вырастила фрактал, используя концентрированный раствор соли и затравку из медной проволоки. Подобные фрактальные образования получаются при выпаривании различных растворов кристаллических веществ. Вывод. Проведённые исследования подтверждают наше предположение о том, что фракталы являются природными образованиямя, а также могут быть использованы человеком в его деятельности. Литература А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2007. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-84590922-8 Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля. Квазифрактал Мультифрактал wikibooks: ru: Размер и размерность Алгоритм фрактального сжатия Теорема о рекурсивных системах (см. раздел «Высшее руководство») Фрактальная гомогенность Соросовский образовательный журнал № 1 (М. И. Вишик «Фрактальная размерность множеств»), № 7 (И. В. Золотухин «Фракталы в физике твёрдого тела»), № 11 (Ю. Д. Теретьяков «Дендриты, фракталы и материалы») 1998 г. Ссылки Программы для генерации фрактальных изображений Incendia — фрактальный генератор в полноценной 3D графике (Donationware); Ultra Fractal — пожалуй, самая мощная[источник не указан 34 дня] программа, предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму; Fractal Explorer — одна из лучших[источник не указан 34 дня] на сегодняшний день программ для создания изображений фракталов; IFS Builder 3d — построение и анимация трехмерных IFS фракталов (Windows, Linux); XaoS — многоплатформенный генератор фракталов, позволяет приближать и удалять картинку в реальном времени; Fractint — очень мощная многоплатформенная программа, развитие которой, к сожалению, давно остановилось; Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов; Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов; RPS/Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Pocket PC (PDA); P.Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Palm (PDA); EyeFract Gnofract 4D IFS Illusions — Искусственное искусство программа и галереи Sterling2 IFS Engine - несложный генератор IFS-фракталов (с исходным кодом). Сайты о фракталах Всё о фракталах — десятки статей посвященные фракталам, картинная галерея, и программы для создания Фрактальные множества — Очень подробная и качественная статья, начиная с комплексных чисел (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ) Красивая жизнь комплексных чисел Архивохранилище Фрактал опубликовало на USENET Фракталы и теория хаоса Доступно о фракталах Фракталы в НГУ: описания, форум, программа IFS Builder 3d Фракталы от OCo Основы программирования — сборник исходных кодов по построению фракталов Fractals of aramin (англ.) Электронная библиотека по нелинейной динамике — книги о фракталах Фракталы: Информация и программы Фракталы, мультифракталы и не только Обаяние самоподобия Фрактальная корова в 3D (англ.) — пример с наличием сарказма и исходных кодов для фрактализации объектов в Blender
