Методические указания и задания к контрольной работе № 1 по

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика № 2»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для студентов заочного отделения
экономических специальностей
Минск 2008
УДК 519.85 (075.8)
ББК 18.87я7
М 54
Составитель Л.Д. Матвеева
Рецензенты:
В.В. Карпук, Н.А. Шавель
Настоящее издание включает в себя программы и контрольные задания
по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ. Дифференциальное
исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных».
Каждое задание состоит из 30 контрольных вариантов. Все темы содержат основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач.
Издание содержит список экзаменационных вопросов и рекомендуемой
литературы.
Методические указания предназначены для студентов экономических
специальностей заочного отделения БНТУ. Они могут быть также полезны
преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу.
© БНТУ, 2008
Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число;
произведение матриц. Обратная матрица.
2. Определители n-го порядка и их свойства. Методы вычисления
определителей.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы.
5. Решение невырожденных систем линейных уравнений.
6. Теорема Кронекера – Капелли. Решение произвольных линейных систем.
1.1. Решение невырожденных систем линейных уравнений
Пусть задана система линейных уравнений
 a11 x1  a12 x2 
 a x a x 
 21 1 22 2


am1 x1  am 2 x2 
 a1n xn  b1 ,
 a2 n xn  b2 ,
(1.1)
 amn xn  bm ,
где aij , bi  R – заданные числа, x j – неизвестные, 1  i  m, 1  j  n .
Решением системы (1.1) называется такое множество значений неизвестных x1  c1 , x2  c2 , ..., xn  cn , при которых каждое уравнение обращается в тождество.
Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется
совместной, а система, не имеющая решений – несовместной.
Матрицы
 a11 a12
a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 
 a11 a12

a
a2 n 
a22
21
и A




amn 
 am1 am 2
a1n
a2 n
amn
b1 
b2 


bm 
называются матрицей системы и расширенной матрицей системы
соответственно.
Рассмотрим случай, когда число уравнений m системы совпадает с
числом неизвестных n (m = n). Тогда матрица системы А является квадратной
матрицей порядка n.
Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной,
если определитель матрицы системы А отличен от нуля ( det A  0 ).
2
Обозначим
  det A 
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1 an 2
ann
Невырожденная система имеет единственное решение. Существует два
метода решения таких систем.
1. Правило Крамера. Если определитель Δ отличен от нуля, то
решение системы находится по формулам
x1 
1
,

x2 
2
, ... ,

xn 
n
,

(1.2)
где  j ( j  1, n) – определитель, полученный из определителя Δ заменой j–го
столбца столбцом свободных членов.
2. Матричный метод. Введем матрицу столбец свободных членов
 b1 
 x1 
x 
b 
2
2

системы B 
и матрицу-столбец неизвестных X    .
 
 
 
 
 xn 
 bn 
Тогда систему n уравнений с n неизвестными можно записать в виде
A X  B.
(1.3)
Эта форма записи системы называется матричной.
Матрицей A1 , обратной к матрице А размера n  n , называется такая
матрица, для которой справедливо равенство
A  A1  A1  A  E ,
где Е – единичная матрица n-го порядка.
Матрица, определитель которой не равен нулю, называется
невырожденной.
Для того чтобы данная матрица имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы она была невырожденной.
Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть А – невырожденная матрица. Тогда
решение системы можно найти по формуле
X  A1  B .
3
(1.4)
Пример 1.1. Проверить невырожденность системы линейных уравне 3x1  4 x2  4 x3  7,

ний 5 x1  3x2  4 x3  11, и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным
 x  2x  2x  3
2
3
 1
методом.
 3 4 4 
Решение. Запишем матрицу системы A   5 3 4  . Проверим невы 1 2 2 


рожденность системы. Для этого вычисляем определитель Δ матрицы А:
3 4 4
  det A  5 3 4  2  0 .
1 2 2
Так как   0 , то система невырождена. Решаем ее
а) по формулам Крамера.
Вычисляем определители:
7
4 4
1  11 3 4  2;
3
2 2
3
7
4
 2  5 11 4  4;
1
3
2
3 4
7
 3  5 3 11  6 .
1 2 3
По формулам (1.2) находим решение системы:
 2

4
 6
x1  1   1, x2  2   2, x3  3   3.
 2
 2
 2
Делаем проверку: 3 1  4  2  4  3  7; 5 1  3  2  4  3  11; 1  2  2  2  3  3 .
б) матричным методом.
Находим обратную матрицу
1
A1 
 Ac ,
det A
c
где A – союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений Aij
элементов aij матрицы А.
 A11 A21 A31 
Ac   A12 A22 A32  , Aij  (1)i j M ij ,
A

 13 A23 A33 
где M ij – определитель, полученный из определителя Δ вычеркиванием i-й
строки и j-го столбца. Имеем:
3 4
5 4
5 3
A11 
 2, A12  
 6, A13 
 7 ,
2 2
1 2
1 2
4
A21  
A31 
4 4
 0,
2 2
4 4
 4,
3 4
A22 
3 4
 2,
1 2
A32  
3 4
 8,
5 4
A23  
3 4
 2,
1 2
A33 
3 4
 11 .
5 3
Тогда получаем



1 0 2 
 2 0 4 


1
A1   6 2 8    3 1 4  .
2
 

 7 2 11    7 1 11 
 2
2
По формуле (1.4) находим решение:



1 0 2   7   1 
 x1 


X   x2   A1  B   3 1 4   11   2  .
x 
 7
11   3   3 
 3

1


 2
2
Ответ: x1  1, x2  2, x3  3 .
1.2. Решение произвольных систем линейных уравнений
Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.1).
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
а) перестановка местами любых двух строк;
б) умножение строки на некоторое число   0 ;
в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной
на некоторое число;
г) удаление нулевой строки.
Решение системы методом Жордана–Гаусса основано на следующем
утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы
системы не изменяют множества решений системы.
Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных
преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду.
С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из
всех уравнений, кроме одного.
Переменная x j называется базисной в i–м уравнении, если
aij  1, asj  0 при s  i, s  1, 2, ..., m .
5
Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводится к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы
есть базисная переменная.
Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не
являющиеся базисными, называются свободными.
Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех
свободных переменных, называется базисным.
Опишем одну итерацию метода Жордана–Гаусса.
В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент
a1 j  0 . Если таковых нет, то в случае b1  0 вычеркиваем данную нулевую
строку; если b1  0 , то система несовместна.
Элемент a1 j называют ведущим элементом.
Если a1 j  1, то делим первую строку расширенной матрицы на этот
элемент a1 j . Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку,
умноженную на ( aij ), где i – номер изменяемой строки.
После этой операции коэффициент при x j в первом уравнении будет
равен единице, а во всех остальных уравнениях – нулю. Следовательно,
переменная x j станет базисной.
Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной
матрицы, пока не получим m базисных неизвестных ( в каждом уравнении –
по одной базисной переменной).
После этого находим общее решение и базисное (приравнивая
свободные неизвестные нулю).
Пример 1.2. Решить систему линейных уравнений
 x1  2 x2  3 x3  x4  1
3 x  13 x  13 x  5 x  3
 1
2
3
4

 x1  5 x2  3x3  x4  7
 3x1  7 x2  7 x3  2 x4  12
методом Жордана–Гаусса. Найти общее и базисное решения.
Решение. Вычисления будем производить в таблице. В исходной части
таблицы записываем расширенную матрицу системы.
x1
x2
x3
x4
b
1 2 3
3 13 13
1 5 3
3 7 7
1
5
1
2
1
3
7
12
6
В первой строке выберем элемент a11  1 ведущим. Выделим ведущий
элемент рамкой. Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй
строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-3), к
третьей – первую строку, умноженную на (-1), и к четвертой – первую
строку, умноженную на (-3). В результате получим таблицу, в которой
переменная x1 стала базисной.
x1
1
0
0
x2
2
7
3
x3
3
4
0
x4
1
2
0
b
1
0
6
0
1
 2 1 9
Выбираем элемент a42  1 ведущим. С помощью элементарных
преобразований получаем таблицу, в которой переменная x2 стала базисной.
x1
1
0
x2
0
0
x3
7
18
x4
3
9
b
17
63
0
0
0
1
6 3 21
2 1 9
Выбираем, например, элемент a34  3 ведущим и делим на него
элементы третьей строки. Получаем таблицу
x1
1
0
x2
0
0
x3
7
18
x4
3
9
b
17
63 .
0 0 2 1 7
0 1 2 1 9
Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца. Получаем
таблицу, в которой переменная x4 стала базисной.
7
x1
x2
x3
x4
b
1
0
1
0
4
0
0
0
0
0
0
0
2
1
7
0
1
0
0
2
Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу
x1
x2
x3
x4
b
1
0
0
0
0
1
1
2
0
0
1
0
4
.
7
2
Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной
переменной, то оставшаяся небазисная переменная x3 является свободной.
Полагаем x3  c . Из последней строки таблицы получаем x2  2 .
Из второй строки следует 2 x3  x4  7 , откуда находим x4  7  2 x3
или x4  7  2c .
Из первой строки следует x1  x3  4 , откуда получаем x1  4  x3 или
x1  4  c .
Выписываем общее решение:  4  c; 2; c;  7  2c, c  R  .
Найдем базисное решение. Положим c  0 . Тогда имеем
x1  4, x2  2, x3  0, x4  7 .
Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему
4  2  2  3  0  7  1;
3  4  13  2  13  0  5  (7)  3;
4  5  2  3  0  (7)  7; 3  4  7  2  7  0  2  (7)  12.
Ответ. Общее решение:  4  c; 2; c;  7  2c, c  R  , базисное
решение: x1  4, x2  2, x3  0, x4  7 .
Задание 1. Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.
 x  3 y  z  1,

1.1.  2 x  4 y  z  6,
3 x  2 y  5 z  13.

4 x  2 y  z  0,

1.2.  x  2 y  z  1,

y  z  3.

 x  y  z  6,

1.3. 2 x  3 y  4 z  21,
 7 x  y  3 z  6.

 2 x  z  0,

1.4.  x  2 y  z  2,
 x  2 y  z  3.

 x  2 y  3 z  6,

1.5 2 x  3 y  z  4,
3 x  y  4 z  0.

 2 x  y  5 z  4,

1.6. 5 x  2 y  13z  2,
 3x  y  5 z  0.

 2 x  3 y  5 z  6,

1.7  3x  y  5 z  10,
 x  2 y  4 z  7.

 2 x  3 y  5 z  12,
 2 x  y  3,


1.8.  x  4 y  3z  22, 1.9  x  z  1,
 3x  y  2 z  0.
3x  y  2 z  0.


8
 3x  y  6,

1.10.  x  2 y  z  5,
3x  4 y  2 z  13.

4 x  2 y  z  12,
 x  2 y  3z  1,


1.11.  x  2 y  z  7, 1.12.  5 x  8 y  z  7,
 y  z  1.
2 x  3 y  2 z  9.


 2 x  3 y  z  4,

1.13.  x  2 y  2 z  5,
3x  4 y  5 z  2.

 x  5 y  z  0,

1.14. 2 x  4 y  3z  1,
 3 x  4 y  2 z  8.

 3x  y  z  8,

1.16.  x  2 y  z  2,
2 x  3 y  2 z  2.

2 x  y  z  0,

1.17  3x  4 z  6,
 x  z  1.

 2 x  y  1,

1.15  x  2 y  z  2,
 y  z  2.

3x  2 y  5 z  10,

1.18.  2 x  5 y  3z  6,
 x  3 y  6 z  12.

 x  y  3z  13,
 3 x  4 y  2 z  8,


1.19.  2 x  y  z  0, 1.20. 2 x  4 y  3z  1,
3x  2 y  4 z  15.
 x  5 y  z  0.


 5 x  8 y  z  7,

1.21. 2 x  3 y  2 z  9,
 x  2 y  3z  1.

4 x  2 y  z  12,

1.22.  x  2 y  z  7,
 y  z  1.

 2 x  4 y  3z  3,

1.24. 3x  2 y  5 z  13,
 x  3 y  z  1.

 x  3 y  3z  13,

1.23. 2 x  3 y  3z  10,

x  z  0.

 2 x  4 y  5 z  4,

1.25. 5 x  2 y  13z  2,
 3x  y  5 z  0.

 7 x  y  3 z  6,
3 x  y  4 z  0,


1.26. 2 x  3 y  4 z  21, 1.27.  x  2 y  3z  6,
 x  y  z  6.
 2 x  3 y  z  4.


3x  4 y  2 z  8,

1.28.  x  5 y  2 z  5,
2 x  3 y  4 z  3.

 x  2 y  4 z  7,

1.29. 2 x  3 y  5 z  11,
 3 x  y  5 z  10.

 x  3 y  6 z  12,

1.30. 3x  2 y  5 z  10,
 3x  5 y  3z  6.

Задание 2. Решить систему линейных уравнений методом Жордана–
Гаусса. Найти общее и базисное решения.
 2 x1  3x2  x3  x4  5,
 x  2 x  x  4 x  4,
 1
2
3
4
2.1. 
 3 x1  x2  x3  x4  2,
 4 x1  x2  5 x4  2.
9
 x1  2 x2  x3  x4  1,
 2 x  3 x  x  x  5,
 1
2
3
4
2.2. 
  x1  3 x2  x3  2 x4  1,
 x1  6 x2  x4  6.
 2 x1  x2  x3  3 x4  5,
 x  2 x  x  x  3,

2
3
4
2.3.  1
5 x1  x2  x3  2 x4  3,
 6 x1  x2  x4  6.
 x1  x2  x3  x4  2,
2 x  2 x  3 x  x  6,

2
3
4
2.4.  1
 x1  x2  2 x3  4 x4  2,
 3 x1  x2  x3  3x4  8.
 2 x1  x2  2 x3  x4  2,
 x  2 x  5 x  2,

1
2
3
2.5. 
 3 x1  4 x2  x3  2 x4  8,
 4 x1  6 x2  6 x3  2 x4  6,
 3 x1  x2  x3  x4  2,
 2 x  2 x  x  4 x  5,

2
3
4
2.6.  1
 5 x1  x2  x3  x4  6,
3 x1  3 x2  2 x3  3 x4  1.
 2 x1  3 x2  4 x3  2 x4  1,
 4 x  6 x  8 x  x  7,
 1
2
3
4
2.7. 
 x1  5 x2  x3  2 x4  5,
3 x1  x2  7 x3  3 x4  12.
 3 x1  2 x2  x3  x4  5,
 x  2 x  2 x  x  0,
 1
2
3
4
2.8. 
 5 x1  x2  3x3  2 x4  5,
 4 x1  3 x2  5 x3  3 x4  5.
 2 x1  x2  x3  x4  3,
 x  2 x  x  4 x  0,
 1
2
3
4
2.9. 
 3 x1  5 x2  2 x3  x4  1,
4 x1  3 x2  3 x3  3 x4  1.
4 x1  2 x2  3 x3  x4  4,
 2 x  2 x  x  x  2,
 1
2
3
4
2.10. 
 3 x1  x2  x3  2 x4  5,
 x1  3 x2  2 x3  x4  3.
 3 x1  2 x2  x3  x4  5,
 4 x  x  x  4 x  0,
 1 2
3
4
2.11. 
 x1  x2  x3  4 x4  3,
4 x1  3 x2  2 x3  3 x4  2.
 2 x1  3 x2  x3  x4  5,
 x  2 x  x  x  1,
 1
2
3
4
2.12. 
3 x1  2 x2  2 x3  x4  2,
 5 x1  x2  3 x3  3.
3 x1  x2  x3  3x4  6,
 x  2 x  x  x  3,

2
3
4
2.13.  1
 4 x1  x2  x3  5 x4  1,
 3 x1  x2  4 x4  2.
 2 x1  3 x2  4 x3  2 x4  1,
 4 x  6 x  8 x  x  7,
 1
2
3
4
2.14. 
 5 x1  3 x2  x3  x4  6,
 x1  9 x2  9 x3  2 x4  1.
 x1  x2  x3  x4  0,
 2 x  2 x  x  4 x  5,
 1
2
3
4
2.15. 
3 x1  3 x2  2 x3  3 x4  5,
 x1  8 x2  5 x3  x4  5.
 x1  2 x2  5 x3  x4  1,
 x  x  x  x  2,
 1 2 3
4
2.16. 
 2 x1  3 x2  6 x3  2 x4  1,
 5 x1  x2  x3  2 x4  5.
10
 2 x1  2 x2  3 x3  x4  6,
 x  x  2 x  x  1,

3
4
2.17.  1 2
3 x1  x2  5 x3  2 x4  7,
 x1  8 x2  4 x3  x4  2.
 2 x1  x2  x3  3x4  7,
 x  2 x  x  x  1,

2
3
4
2.18.  1
 x1  x2  2 x3  4 x4  6,
 2 x1  2 x2  x3  x4  4.
 3 x1  3 x2  x3  2 x4  3,
 x  5 x  x  3 x  4,

2
3
4
2.19.  1
 2 x1  2 x2  2 x3  x4  1,
 3 x1  3 x2  2 x3  x4  1.
 x1  x2  x3  4 x4  3,
 4 x  x  x  2 x  4,

4
2.20.  1 2 3
 2 x1  5 x2  2 x3  x4  4,
3 x1  2 x2  2 x3  6 x4  1.
 2 x1  2 x2  3 x3  x4  6,
 x  x  x  3x  4,
 1 2
3
4
2.21. 
 x1  3x2  2 x3  4 x4  2,
 5 x1  x2  2 x3  x4  5.
 2 x1  x2  2 x3  x4  4,
 x  2 x  x  3x  7,
 1
2
3
4
2.22. 
 x1  x2  x3  4 x4  3,
2 x1  2 x2  5 x3  x4  5.
2 x1  4 x2  4 x3  x4  3,
 x  x  x  x  0,
 1 2
3
4
2.23. 
 3 x1  5 x2  x3  x4  8,

x1  x2  3 x3  5.
 3 x1  5 x2  x3  x4  2,
 2 x  x  2 x  4 x  3,
 1 2
3
4
2.24. 
5 x1  6 x2  3 x3  5 x4  1,
 x1  4 x2  x3  x4  1.
3 x1  5 x2  8 x3  2 x4  2,
 x  3x  2 x  x  3,
 1
2
3
4
2.25. 
 3 x1  x2  x3  5 x4  0,
2 x1  4 x2  3x3  6 x4  3.
 2 x1  x2  6 x3  5 x4  4,
 x  2 x  2 x  x  4,
 1
2
3
4
2.26. 
 2 x1  2 x2  5 x3  x4  2,
 3 x1  4 x2  3 x3  2 x4  2.
 4 x1  x2  x3  x4  1,
3 x  2 x  2 x  x  0,

2
3
4
2.27.  1
 x1  x2  x3  2 x4  1,

5 x1  3 x4  2.
 4 x1  2 x2  3 x3  x4  2,
 5 x  x  2 x  x  3,

1
2
3
4
2.28. 
 x1  8 x2  x3  5 x4  5,
3 x1  6 x2  4 x3  4 x4  3.
 2 x1  2 x2  10 x3  6 x4  4,
 x  5 x  5 x  x  2,
 1
2
3
4
2.29. 
 x1  3 x2  x3  x4  2,
 2 x1  8 x2  6 x3  0.
7 x1  5 x2  2 x3  8 x4  4,
 3 x  x  2 x  x  3,

1
2
3
4
2.30. 
 2 x1  2 x2  3 x3  x4  2,

2 x1  x2  x3  5.
11
Тема 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось.
2. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве.
Проекции вектора на оси координат. Направляющие косинусы вектора.
Длина и координаты вектора. Действия над векторами в координатной
форме.
3. Скалярное произведение векторов. Его свойства и приложение.
4. Векторное произведение двух векторов. Его свойства и приложение.
Условие компланарности трех векторов.
5. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и приложение.
6. Различные уравнения плоскости. Уравнения прямой на плоскости и в
пространстве.
7. Взаимное расположение плоскостей и прямых. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
8. Расстояние от точки до прямой и плоскости.
9. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений.
10. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследование
формы поверхности методом сечений.
11. Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость
системы векторов. Базис векторного пространства.
2.1. Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними:
a  b  a  b  cos  .
Если векторы a и b заданы своими координатами a   ax , a y , az  ,
b   bx , by , bz  , то a  b  ax  bx  a y  by  az  bz .
Угол  между векторами a и b определяется по формуле
cos  
a b
ab

ax  bx  a y  by  az  bz
ax2  a y2  az2  bx2  by2  bz2
.
(2.1)
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор,
обозначаемый символом  a, b  и удовлетворяющий следующим условиям:
12
а) a, b   a  b  sin  ,
б)  a, b   a, b ,
в) векторы a , b ,  a, b  образуют правую тройку векторов.
Модуль векторного произведения  a, b  равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b :
S  a, b  .
(2.2)
В координатной форме векторное произведение  a, b  находится по
формуле
i
j k
a az
ax a y
ax az
 a, b   a x a y a z  y
i

j

k.


by bz
bx by
bx bz
bx by bz
Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число,
равное скалярному произведению вектора  a, b  на вектор c . Обозначается
смешанное произведение a  b  c .
В векторной форме смешанное произведение a, b, c находят по
формуле
ax a y az
a  b  c  bx by bz .
cx c y cz
Модуль смешанного произведения a  b  c
параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c :
равен
V  a bc .
объему
V
(2.3)
2.2. Плоскость и прямая в пространстве
Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от
нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 )
и имеющее нормальный вектор n   A, B, C  , в декартовых координатах
имеет вид:
13
(2.4)
A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 или Ax  By  Cz  D  0 ,
где D    Ax0  By0  Cz0  .
Уравнение (2.4) называют общим уравнением плоскости.
Если все коэффициенты уравнения (2.4) отличны от нуля, то его можно
преобразовать к виду
x y z
(2.5)
   1,
a b c
D
D
D
– величины отрезков, отсекаемых на коорди, b , c
A
B
C
натных осях. Уравнение (2.5) называется уравнением плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 ) , имеет вид
где a  
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 .
x3  x1
y3  y1
z3  z1
(2.6)
Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на
прямой или параллельный ей.
Пусть s   m, n, p  – направляющий вектор прямой, точка M 0 ( x0 , y0 , z0 )
принадлежит прямой. Тогда уравнения прямой вида
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
(2.7)
называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пусть даны две точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , лежащие на
прямой.
Уравнения вида
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
(2.8)
называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
Ax  By  Cz  D  0 определяется по формуле
Угол

между прямой
и плоскостью
14
Am  Bn  Cp
sin  
A2  B 2  C 2  m2  n2  p 2
.
(2.9)
Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды A1  3; 4; 5 , A2  2; 6; 1 ,
A3  3;  4;0 , A4  5;  2;  1 . Требуется найти: а) длину ребра A1 A2 ; б) угол
между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) уравнение прямой A1 A4 ; е) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; ж) угол между
ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины
A4 на грань A1 A2 A3 .
Решение. а) Длину ребра A1 A2 определяем по формуле
A1 A2  x 2  y 2  z 2 ,
где
A1 A2   x; y; z  , x  x2  x1, y  y2  y1, z  z2  z1 .
A1 A2   5; 2;  4 . Тогда A1 A2 
 5
2
В
нашем
случае
 22   4   25  4  16  45  3 5 .
2
б) Угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 находим как угол между векторами
A1 A2 и A1 A4 по формуле (2.1): cos  
A1 A2  A1 A4
A1 A2  A1 A4
. Имеем A1 A2   5; 2;  4 ,
находим A1 A4   2;  6;  6 .
Тогда
5  2  2  (6)  (4)  (6)
10  12  24
2
1
cos  



.
2
2
2
3
5

4

36

36
3
5

76
3
95
3 5  2  (6)   6 
в) Площадь грани
вычисляем как площадь треугольника,
1
построенного на векторах A1 A2 , A1 A3 (формула (2.2)): S A1A2 A3   A1 A2 , A1 A3  .
2
Имеем A1 A2   5; 2;  4 , A1 A3   6;  8;  5 ,
A1 A2 A3
i
j k
 A1 A2 , A1 A3   5 2 4 


6 8 5

S
15
1
2
2
4
8 5
 42   1
2
i 
2
5 4
6 5
 522 
j
5
2
6 8
1
4469 ед2 .
2
 k  42i  j  52k .
г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): V 
5
2
1
A1 A2  A1 A3  A1 A4 .
6
4
Имеем A1 A2  A1 A3  A1 A4  6 8 5  390 .
2 6 6
1
Отсюда V  390  65 (ед3).
6
д) Уравнения прямой A1 A4 найдем по формуле (2.8):
x3 y 4
z 5
x 3 y 4 z 5
или
.




5  3 2  4 1  5
2
6
6
е) Уравнение плоскости A1 A2 A3 определяем по формуле (2.6):
x3
y4
2  3
64
z 5
x3 y 4 z 5
1  5  0 или
5
2
4  0 .
3  3 4  4 0  5
6
8
5
Отсюда
2 4
5 4
5 2
  x  3 
  y  4 
  z  5  0 ,
8 5
6 5
6 8
42  x  3   y  4   52  z  5   0,
 42 x  126  y  4  52 z  260  0,
42 x  y  52 z  130  0.
ж) Угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 находим как угол между
A1 A2 A3 по формуле (2.9). В нашем случае
прямой A1 A4 и плоскостью
s  A1 A4   2; 6; 6 , n   42;1; 52 . Тогда
sin  
42  2  1   6    52    6 
22   6    6 
2
2
422  12   52 
2

84  6  312
76  4469

390
.
2 19  4469
з) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ,
определяем как уравнение прямой, проходящей через A4  5;  2;  1
перпендикулярно плоскости A1 A2 A3 . Уравнение плоскости A1 A2 A3 :
16
42 x  y  52 z  130  0 . Тогда имеем s   42; 1;  52 . По формуле (2.7)
x  5 y  2 z 1
получаем
.


42
1
52
Задание 3. Даны координаты A1 ( x1 , y1 , z1 ) , A2 ( x2 , y2 , z2 ) , A3 ( x3 , y3 , z3 ) ,
A4 ( x4 , y4 , z4 ) вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между
ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из
вершины A4 на грань A1 A2 A3 ; 7) уравнение плоскости , проходящей через
высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 и вершину A1
пирамиды; 8) расстояние от вершины A3 до плоскости .
3.1. A1  7; 1; 2  , A2  5; 3;  2  , A3  3; 3; 5  , A4  4; 5;  1.
3.2. A1  2; 3;  2  , A2  2;  3; 2  , A3  2; 2; 0  , A4 1; 5; 5 .
3.3. A1  3; 1; 1 , A2  2; 4; 1 , A3 1; 1; 7  , A4 3; 4;  1.
3.4. A1  4;  3;  2  , A2  2; 2; 3 , A3  2;  2;  3 , A4  1;  2; 3.
3.5. A1  5; 1; 0  , A2  7; 0; 1 , A3  2; 1; 4  , A4  5; 5; 3.
3.6. A1  4; 2;  1 , A2  3; 0; 4  , A3  0; 0; 4  , A4 5;  1; 3.
3.7. A1  0; 1; 2  , A2  3; 0; 5 , A3 1; 1; 2  , A4  4; 1; 2 .
3.8. A1  4; 1;  2  , A2 1; 2; 1 , A3  3; 0; 5 , A4 1; 1; 0 .
3.9. A1 1; 1; 2  , A2  2; 1; 3 , A3  0; 2; 1 , A4 5; 1; 3.
3.10. A1  3; 1; 0  , A2  0; 7; 2  , A3  1; 0;  5  , A4  4; 1; 5 .
3.11. A1 1;  1; 1 , A2  0; 2; 4  , A3 1; 3; 3 , A4 5; 2; 3.
3.12. A1 1;  1; 2  , A2  2; 1; 1 , A3  7; 1; 2  , A4  4; 2;  3.
3.13. A1 1;  3; 1 , A2  4; 1; 0  , A3 1; 0;  5  , A4 5; 2; 1.
3.14. A1  3; 2; 1 , A2  5; 4; 0  , A3  2;  1; 4  , A4  2; 2; 3.
3.15. A1  2; 1; 1 , A2  4; 0; 2  , A3 3; 1; 1 , A4 5; 2; 2 .
3.16. A1 1; 0; 1 , A2  3; 2; 1 , A3  3; 1;  1 , A4  0; 1; 5 .
3.17. A1  2; 2; 3 , A2  2;  1; 1 , A3  0; 2; 2  , A4 5; 1; 3.
3.18. A1  2; 1;  3 , A2  3; 1;  2  , A3  7; 0; 1 , A4 3;  2; 0 .
3.19. A1  3; 3; 9  , A2  6; 9; 0  , A3 1; 7; 4  , A4 8; 5; 7 .
3.20. A1  3; 5; 4  , A2  5; 8; 2  , A3 1; 9; 7  , A4  6; 4; 3 .
3.21. A1  2; 4; 3 , A2  7; 6; 2  , A3  4; 9; 1 , A4 3; 6; 8 .
3.22. A1  0; 7; 1 , A2  4; 1; 4  , A3  4; 6; 3 , A4  6; 9; 1.
3.23. A1  5; 5; 3 , A2  3; 8; 1 , A3 3; 5; 8  , A4 5; 8; 1.
3.24. A1  6; 1; 1 , A2  4; 6; 8 , A3  3; 5; 10  , A4 1; 2; 8 .
17
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
A1  7; 0; 3 , A2  9; 4; 3 , A3  4; 5; 0  , A4  2; 0;  4 .
A1  0; 0; 2  , A2  9; 3; 1 , A3  5; 7; 2  , A4 3; 6; 1.
A1 1;  3; 1 , A2  7; 6; 0  , A3  4; 2; 0  , A4 1; 2; 0 .
A1  0; 0; 1 , A2  2; 11;  5 , A3 1; 2; 4  , A4  0; 6; 4 .
A1  3; 2; 2  , A2 1; 2; 1 , A3  2; 0; 3 , A4  4; 1; 5 .
A1  3; 5; 3 , A2  0; 7; 2  , A3 1; 1; 4  , A4 3; 2; 1.
Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
1. Понятие числовой последовательности и ее предела.
2. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределе суммы,
произведения и частного.
3. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
5. Понятие производной, ее геометрический смысл.
6. Производная суммы, произведения, частного.
7. Дифференциал и его геометрический смысл.
8. Производная функции, заданной неявно и параметрически.
9. Производные и дифференциалы высших порядков.
10. Возрастание и убывание графика функции. Экстремум.
11. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
12. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
3.1. Предел функции. Основные способы вычисления пределов
Число А называют пределом функции y  f (x) при x  a (или в
точке а), если для любого числа   0 существует такое число ()  0 , что
при всех х, удовлетворяющих условию 0  x  a   , выполняется
неравенство f ( x)  A   .
Обозначают предел lim f ( x)  A .
xa
Если функции f ( x) и g ( x) имеют пределы в точке x  a , то:
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
xa
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
xa
18


lim f ( x)
f ( x)
lim
 x  a , lim g ( x)  0 .
x  a g ( x)
lim g ( x) x  a
xa
Функция y  f (x) называется бесконечно малой в точке x  a , если ее
предел в этой точке равен нулю: lim f ( x)  0 .
xa
Функция y  f (x) называется бесконечно большой в точке x  a ,
если для любого числа M  0 существует такое число (M )  0 , что для всех
х, удовлетворяющих неравенству 0  x  a   , выполняется неравенство
f ( x)  M . При этом записывают lim f ( x)   .
x a
f ( x)
в случае, когда f ( x) и g ( x)
x a g ( x )
являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке
f ( x)
x  a , говорят, что отношение
при x  a представляет собой
g ( x)
0 
неопределенность вида
 .
0 
Аналогично вводятся неопределенности вида    , 0   , 1 , 0 0 ,  0 ,
которые встречаются при нахождении соответственно пределов
lim( f ( x)  g ( x)), lim( f ( x)  g ( x)) и lim ( f ( x)) g ( x ) . Отыскание предела в
При нахождении предела lim
xa
xa
xa
таких случаях называют раскрытием неопределенности.
При решении задач используют:
а) первый замечательный предел:
sin  ( x)
lim
 1;
 ( x )  0  ( x)
б) второй замечательный предел:
1
lim (1   ( x))
 ( x)
 ( x) 0
e
или
x
1

lim 1    e ;
x  
x
19
в) некоторые важные пределы:
a ( x )  1
lim
 ln a ,
 ( x )  0  ( x)
ln(1   ( x))
 1,
 ( x)  0
 ( x)
e ( x)  1
lim
1 ,
 ( x ) 0  ( x )
(1   ( x)) p  1
lim
 p.
 ( x ) 0
 ( x)
lim
г) эквивалентность бесконечно малых функций.
Пусть ( x) и ( x) бесконечно малые функции в точке x  a .
( x )
Если lim
 1 , то ( x) и ( x) называются эквивалентными
xa ( x)
бесконечно малыми функциями, что обозначается так: ( x)  ( x) .
Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых функций при
x  a не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой
эквивалентной бесконечно малой функцией.
При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют
таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при x  a :
1. sin ( x)  ( x) ;
2. arcsin ( x)  ( x) ; 3. tg (х) ( x) ;
6. e  ( x )  1  ( x) .
0 
,
Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей
.
0 
2 x 4  5x 3  4 x 2  7
Пример 3.1. Вычислить lim
.
4
2
x
x  6x  8

Решение. Имеем неопределенность
.

Преобразуем выражение под знаком предела:
5
4
7 


x 4  2  

2
4 
x
x
x 

lim
 2.
x
6
8



x 4 1 

x2
x4 

1 1
x 3  2
3 2
x x 
x x  0.
    lim
Пример 3.2. Вычислить lim
x 
x 1
   x x 1  1 


x

x2  x  2
Пример 3.3.Вычислить lim 3
.
x  2 x  12 x  16
0
Решение. Имеем неопределенность . Выделим в числителе и в зна0
менателе одинаковый множитель x  2 . Для этого разложим числитель и
знаменатель на сомножители. Имеем:
4. arctg(x)  ( x) ;
5. ln(1  ( x))  ( x) ;
( x  2)( x  1)
x 1
3
0


lim

lim

 .


2
x  2 x 3  12 x  16
x

2
x

2
0
(
x

2
)(
x

4
)
0
(
x

2
)
(
x

4
)
 
lim
x2  x  2
20
x42
.
x 0
5x
0
Решение. Имеем неопределенность . Умножаем числитель и знаме0
натель на сопряженное выражение x  4  2 :
Пример 3.4.Вычислить lim
lim
x 0

x42
5x


x42
x42

  lim
x 0
Пример 3.5. Вычислить lim
x2
x44
5x

x42
sin( x  2)
x2  4

 lim
x 0

1
5 x42


1
.
20
.
0
. Используем первый
0
sin( x  2)
замечательный передел. В нашем случае lim
 1 ,  ( x)  x  2  0  .
x2
x2
sin( x  2)
1
1
Следовательно, получаем lim
 lim
 .
x  2 ( x  2)( x  2)
x2 x  2
4
arctg(x  5)
Пример 3.6. Вычислить lim
.
x 5
2x  10
0
Решение. Имеем неопределенность
. Заменим бесконечно малую
0
функцию arctg(x  5) при x  5 эквивалентной бесконечно малой функцией
(x)  x  5 . Получаем
x5
1
arctg(x  5)  0 
 .
lim
    arctg(x  5)  x  5  lim
x 5
x  5 2( x  5)
2x  10
2
0
Неопределенности вида    и 0   преобразуются к неопределен0 
ности вида
  .
0 
2 
 1

Пример 3.7. Вычислить lim 
.
x 1 1  x
1 x2 
Решение. Имеем неопределенность вида    . Приведем две дроби к
общему знаменателю:
Решение.
Имеем
неопределенность
2 
1 x  2
x 1  0 
x 1
 1
lim 






lim

lim


lim




  x1
x 1 1  x
x 1 1  x 2
x 1 1  x 2
1  x2 
( x  1)( x  1)

0
1
1
  lim
 .
x 1 x  1
2
21


Пример 3.8. Вычислить lim   x  tg x .
 2
x 

2
Решение. Имеем неопределенность вида 0   . Преобразуем выражение:

x


0
2
lim   x  tg x  (0  )  lim
    lim
x  2
x  ctgx

 0  x
2

x
0
2
 
0


2 tg 
 x  
2

2

x

 
2
 1.
= tg   x    x  lim

x 
2
 2
x
2
2
Для раскрытия неопределенности вида 1 применяют второй замечательный предел. Пусть lim f ( x)  1 , а lim g ( x)   . Тогда имеем
xa
lim  f ( x) 
g ( x)
xa
xa
1


 (1 )  lim 1  ( f ( x)  1)  f ( x ) 1 
xa 


( f ( x ) 1) g ( x )
lim ( f ( x ) 1) g ( x )
 e xa
.
Приходим к неопределенности вида 0   .
Пример 3.9. Вычислить
lim  2 x  3
x 2
x
x 2

 (1 )  lim 1  (2 x  4 )
x 2


1
2 x 4



(2 x 4) x
x 2
e
lim
x 2
2( x 2) x
x 2
lim 2 x
 e x 1
 e4 .
Пример 3.10. Вычислить
 x2  4

lim 
x   x 2  5 


3x
 x2  5  9

 (1 )  lim 

2
x
 x 5 
3x

9
x 5  x 2 5

 9 


1  
 lim 1  2
 
x 
x

5

 

9  



2
9 

 lim 1  2

x  
x  5
3x

3 x
e
lim
x 
27 x
x 2 5
e
27
lim x
5
x 
1 2
x
 e0  1 .
Производной функции y  f (x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к нулю:
22
f ( x0  x)  f ( x0 )
.
x0
x
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если функции u  u(x) и v  v(x) и имеют производные в некоторой
точке х , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

u  u

(cu )  c  u ;
(c  const) ;
  
c c

u  u  v  v  u

(u  v)  u  v ;
(u  v)  u  v  vu ;
, v 0.
  
v2
v
f ( x0 )  lim
Таблица основных производных

1. u   u 1  u

3. eu  eu  u
 
 
(  R )
5. (sin u )  cos u  u
1
7. (tg u ) 
 u
cos 2 u
1
 u
9. (arcsin u ) 
1  u2
1
11. (arctg u ) 
 u
1  u2

2. a u  a u  ln a  u
 
 1
4.  ln u    u
u

6.  cos u    sin u  u
1

8.  ctg u    2  u
sin u
1
10. (arccos u )  
 u
1  u2
1

12.  arcctg u   
 u
1  u2
Правило дифференцирования сложной функции
Если y  f (u) и u  g (x) – дифференцируемые функции своих
аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции)
y  f (( x)) существует и равна произведению производной данной функции
у по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и
по независимой переменной х:
yx  yu  ux .
 x
Пример 3.11. Найти производную функции y  sin 3   .
3
Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной
тригонометрической функцией.
23
x
Первый промежуточный аргумент u  sin z , второй z  .
3
x
x
Так как yu   u 3   3u 2  3sin 2 , uz   sin z   cos z  cos ,
3
3
x 
x
x 1
x
x
 x  1

zx     , то  sin 3   3sin 2  cos   sin 2  cos .
3
3
3 3
3
3

3 3
Дифференцирование неявных функций
Пусть функция y  y ( x) задана уравнением F ( x, y)  0 . В этом случае
говорят, что функция у задана неявно.
Производная y  y( x) может быть найдена из уравнения Fx  0 , где
F  F ( x, y ) рассматривается как сложная функция от переменной х.
Пример 3.12. Найти производную функции x3  4 xy  3 y 2  2  0 ,
заданной неявно.
Дифференцируем это равенство по х, считая, что у – функция от х:
4 y  3x 2
3



3 x  4 y  4 x  y  6 y  y  0 . Отсюда y 
.
6 y  4x
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция y  y ( x) задана параметрически: x  x(t ), y  y(t ), t  T .
Пусть x(t ) и y (t ) - дифференцируемые функции и x(t )  0 . Тогда
имеем:
y
(3.1)
yx  t .
xt
 x  sin 2 t
Пример 3.13. Найти производную функции 
.
y

cos
t

Решение. Находим x   sin 2 t   2sin t  cos t , y   cos t    sin t . Тогда
t
t
по формуле (3.1) получаем
yx 
yt
 sin t
1
.


xt 2sin t cos t 2cos t
24
Дифференцирование степенно-показательной функции
Пусть y  u ( x)v ( x ) , где u ( x)  0 , u ( x) и v( x) – дифференцируемые
функции по х.
Производная степенно-показательной функции находится с помощью
предварительного логарифмирования.
2
Пример 3.14. Найти производную функции y  (arcctg x) x
Логарифмируем данное равенство по основанию e :
ln y  x 2  ln(arcctg x) .
Дифференцируя обе части последнего равенства по х как сложную
функцию получаем:
1
1 
1 
 y  2 x  ln(arcctgx)  x 2 

.
y
arcctgx  1  x 2 
Откуда находим


x2
y  y   2 x  ln(arcctgx) 
,
2 
arcctg
x
(1

x
)


или

x2
x2 
y  (arcctgx)   2 x  ln(arcctgx) 
.
2 
arcctgx(1  x ) 

3.2. Производные высших порядков
Производной второго порядка функции y  f (x) называется производная от ее производной y  f ( x) (которую называют первой производной).
y  y ( x)
Рассмотрим
функцию
заданную
параметрически:
y
x  x(t ), y  y(t ), t  T . Имеем yx  t . Тогда по формуле (3.1) получаем
xt
yxx 
( yx )t
.
xt
(3.2)
 x  a (t  sin t );
Пример 3.15. Найти yxx , если 
 y  a (1  cos t ).
Решение. Находим xt  a(1  cos t ), yt  a  sin t . По формуле (3.1)
получаем
25
yx 
yt
a sin t
sin t
.


xt a(1  cos t ) 1  cos t
Находим
sin t  cos t (1  cos t )  sin t  sin t cos t  (cos 2 t  sin 2 t )

( yx )t  


 
(1  cos t ) 2
(1  cos t ) 2
 1  cos t 
cos t  1
1
.


2
(cos t  1)
cos t  1
По формуле (3.2) получаем
1


(y )
1
yxx  x t  cos t  1 
.
xt
a (1  cos t ) a (1  cos t ) 2
3.3. Исследование функций и построение графиков
Если для двух любых значений аргумента x1 и x2 ( x1  x2 ) , взятых из
области определения функции, из неравенства x1  x2 следует, что
а) f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется возрастающей;
б) f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется неубывающей;
в) f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется убывающей;
г) f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции
называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция
f ( x) , дифференцируемая на (a ; b) , возрастает (убывает) на (a ; b) тогда и
только тогда, когда f ( x)  0 ( f ( x)  0)  x  (a ; b) ; если при этом не
существует интервала ( ; )  (a ; b) , такого, что f ( x)  0  x  ( ; ) , то
f ( x) строго возрастает (убывает) на (a ; b) .
Значение f ( x0 ) называется локальным максимумом (минимумом)
функции f ( x) , если существует такая  – окрестность точки x0 , что
 x  ( x0  ; x0   ) и x  x0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 )
( f ( x)  f ( x0 ) ).
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим
названием локальный экстремум.
Необходимое условие экстремума: если функция f ( x) в точке x0
имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или
не существует.
26
Внутренние точки множества D( f ) , в которых f ( x) непрерывна, а ее
производная f ( x) равна нулю или не существует, называются
критическими точками функции f ( x) .
Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция
f ( x) дифференцируема в некоторой  – окрестности критической точки x0 ,
кроме, может быть самой точки x0 , а f ( x)  0 ( f ( x)  0) при x0    x  x0 ,
и f ( x)  0 ( f ( x)  0) при x0  x  x0   , то в точке x0 функция имеет
локальный максимум (минимум).
Второе достаточное условие локального экстремума. Если в
критической точке x0 функция f ( x) дважды дифференцируема и
f ( x0 )  0 ( f ( x0 )  0) , то в этой точке функция f ( x) имеет локальный
максимум (минимум).
График дифференцируемой функции y  f ( x) называется выпуклым
(вогнутым) на (a ; b) , если он на этом интервале расположен ниже (выше)
касательной, проведенной в любой его точке M ( x ; f ( x)) , где x  (a ; b) .
Если функция f ( x) в интервале (a ; b) дважды дифференцируема и
f ( x)  0 ( f ( x)  0) x  (a ; b) , то график функции в этом интервале
выпуклый ( вогнутый).
Точка M 0 графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую
(вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.
Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая
производная f ( x) функции f ( x) в точке x0 равна нулю или не существует и
меняет знак при переходе через эту точку, то M 0 ( x0 ; f ( x0 )) – точка перегиба
графика функции y  f ( x) .
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно
приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала
координат.
Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая x  a
называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один
из односторонних пределов функции y  f ( x) в точке а равен бесконечности: lim f ( x)   или lim f ( x)   .
xa 0
xa 0
Прямая y  kx  b (k  0) называется наклонной асимптотой графика
функции y  f ( x) при x   ( x  ) , если функцию f ( x) можно представить в виде f ( x)  kx  b  ( x) , где ( x) – бесконечно малая функция при
x   ( x  ) .
f ( x)
k ,
lim ( f ( x)  kx)  b ,
Если существуют пределы: lim
x 
x 
x
( x  )
( x  )
то уравнение y  kx  b определяет наклонную асимптоту.
Если k  0 , то y  b – горизонтальная асимптота.
27
Построение графика функции
Исследование функции и построение ее графика можно проводить по
следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.
4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы
функции.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика
функции.
6. Построить график функции.
x2  1
Пример 3.16. Исследовать функцию f ( x) 
и построить ее
x 1
график.
Решение. 1. Находим область определения D( y)  ( ; 1)  (1;  ) .
2. Поскольку f ( x)   f ( x) , f ( x  T )  f ( x) , то функция не является
четной, нечетной и периодической.
Находим точки пересечения с осями координат:
x2  1
а) так как y 
 0 , то график функции не пересекает ось Ox ;
x 1
б) при x  0 график функции пересекает ось Оу в точке y  1 .
x2  1
  ,
x10 x  1
3. Функция не определена в точке x  1 . Поскольку lim
x2  1
lim
  , то x  1 – точка разрыва второго рода. Так как
x10 x  1
lim f ( x)    , то прямая x  1 есть вертикальная асимптота.
x10
Далее находим
f ( x)
x2  1
k  lim
 lim
 1,
x 
x  x ( x  1)
x
 x2  1

x 1
b  lim( y  kx)  lim 
 x   lim
1.
x 
x 
 x 1
 x x  1
Следовательно, прямая y  x  1 есть наклонная асимптота.
2 x( x  1)  x 2  1 x 2  2 x  1

4. Вычислим y 
.
( x  1) 2
( x  1) 2
Первая производная не существует в точке x  1 , которая не принадлежит области определения D( y ) и, следовательно, не является критической
точкой.
28
При y  0 получаем x2  2 x  1  0 или x1  1  2 , x2  1  2 .
Точки x1 и x2 являются критическими (стационарными) точками.
Определим интервалы монотонности из неравенств y  0 и
y  0 x  D( y ) :
x2  2x  1
 0 при x   ;1  2  1  2 ;   ;
( x  1) 2
x2  2x  1
 0 при x  1  2 ; 1  2 .
( x  1) 2

 




 
Следовательно, функция возрастает при x   ;1  2  1  2 ;  



и убывает при x  1  2 ; 1  2 .
В точке
x 1 2
x 1 2



ymax  y 1  2 
функция имеет минимум
ymin  y 1  2 
= 2 2  2  0,83 .
В точке

функция имеет максимум
= 2 2  2  4,83 .
5. Находим
 x 2  2 x  1  (2 x  2)( x  1) 2  2( x  1)( x 2  2 x  1)
y  

 
2
( x  1) 4
 ( x  1) 
( x  1)(2 x 2  4 x  2  2 x 2  4 x  2)
4


.
4
( x  1)
( x  1)3
Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из
неравенств y  0, y  0, x  D( y ) . Имеем y  0 при x  (1 ;  ) , y  0
при x  (   ; 1) . Следовательно, кривая выпукла на (   ; 1) и вогнута на
(1 ;  ) . Так как x  1 не принадлежит области определения функции и
y  0, x  D( y ) , то точек перегиба нет.
Результаты исследования функции y  f ( x) заносим в таблицу.
x
y
y
y
29
(;1  2) 1  2
+
0
–
–
- 0,83
max
(1  2;1)
–
–
1
не
сущ.
не
сущ.
не
сущ.
(1;1  2) 1  2
–
0
+
+
4,83
min
(1  2; )
+
+
6. Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.
Y
1
X
0
1
y  x 1
-1
x 1
Задание 4. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом
Лопиталя–Бернулли.
3x( x  1)
4.1. а) lim
,
x1 4( x 2  1)
1  cos5 x
б) lim
,
x 0
5x2
( x  1)2
4.2. а) lim 2
,
x 3x  10 x  8
1  cos10 x
б) lim
,
x 0
8x2
10 x
 7
в) lim 1  
x 
x

4
x
в) lim(10  3x) .
x3
tg2 x  sin8 x
4.3. а) lim( x  4 x  x  4 x ) , б) lim
,
x 0
x
4 x3
2
.
2
 4x  5 
в) lim 

x  4 x  8


 x 
cos  
 2 ,
4.4. а) lim
x 1 4  4 x
x2  x
б) lim
,
x1 1 
x
в) lim(1  2 x) .
( x  3)3
4.5. а) lim 3
,
x 8 x  x  8
x  16  4
б) lim
,
x 0
sin 3 x
 2x  3 
в) lim 

x  2 x  4


2 x4
.
1
4x
x0
3 x 5
.
30
8 x 2 ( x  2)
4.6. а) lim
,
x2 3x 2  12
arctg10 x
б) lim
,
x 0 1  cos5 x
x3  8
4.7. а) lim 4
,
x2 x  16
б) lim
в) lim 2 x  (ln(3  x)  ln x) .
5 x3  3x 2  7 x
4.8. а) lim
,
x0
x
sin(2  x)
б) lim 2
,
x 2
x 4
 6x  1 
в) lim 
 .
x  6 x  1


2 x 2  3x  9
4.9. а) lim
,
x3
x3
3x 2  4 x
б) lim
,
x0 sin 7 x
 2 x2  4 
в) lim  2

x  2 x  7


4 x 2
4.10. а) lim
,
x 0
2x
sin 5 x
б) lim 2
,
x 0 x  2 x
 x3  1 
в) lim  3

x  x  2


sin x
,
x 
x2
1 2

4
7x
в) lim(1  5 x) .
x0
x
4x
6 x2
.
4 x3
.
7 x3  5 x 2  4 x  1
sin3x
2
4.11. а) lim
, б) lim
, в) lim(cos 2 x) 4 x .
3
x 
x 0
x0 5 x(1  cos8 x)
( x  2)
1
x  12  4
4.12. а) lim
,
x 4
2x  8
arcsin10 x
б) lim
,
x 0
3 x  3
в) lim(1  sin5 x)
x 2  3x  10
4.13. а) lim
,
x 5
x  20  5
arctg5 x
б) lim
,
x0
9 x 3
в) lim(1  tg x)
9( x 2  9)
4.14. а) lim 3
,
x 3 x ( x  3)
cos3x  cos x
,
x 0
1  cos 2 x
б) lim
2
x
x3  27
,
x 3 x 4  81
4.16. а) lim
б) lim
x 2
x2  4
,
x2 2
1  cos 2 x
3x 4  5 x3  12 x 2
4.17. а) lim
, б) lim
,
2
x 0 3 x  tg8 x
x0
4x
31
x0
2
4
x2
x 0
в) lim 3x  (ln(5  2 x)  ln(2 x)) .
x
4 x 2
б) lim
,
x 0 arcsin8 x
4.15. а) lim( x  9  x  9) ,
2
2
x
в) lim(cos6 x)
x 0
ln(1  6 x)
.
x 0
2x
в) lim
2
x2
в) lim(1  tg4 x) .
x 0
1
5 x2
.
7 x 2  3x  5
4.18. а) lim
,
x 
2 x2  6
cos 4 x  cos3 4 x
 7
б) lim
, в) lim 1   .
x 0
x 
5 x  tg3 x
 x
9 x 3
4.19. а) lim
,
x 0
x
cos 2 x  cos 4 x
б) lim
,
x0
1  cos6 x
в) lim(1  tg 4 x)
3x 2  17 x  10
4.20. а) lim
,
x 5
x5
1  cos8 x
б) lim
,
x 0 2 x  sin 5 x
 x 3
в) lim 
 .
x  x  3


2 4 x
4.21. а) lim
,
x 16 4 
x
9 x 3
б) lim
,
x 0 sin ( x  4)
в) lim(1  sin 3x)
4x
( x  2)3
,
x  3 x 3  8
x 1  2
4.23. а) lim
,
x 5
x5
sin 3x
,
x 0 x  e 5 x
4 x  e8 x
б) lim
,
x 0 tg7 x
4.22. а) lim
4.24. а) lim
x 

б) lim

x 3  x 3 ,
2
2
2 x  5x  6
,
x  x  3 x 3  8
3
2
2x
2
ln(1  8 x)
.
x 0
4x
l
в) lim  ln 1  2 x .
x 0 3 x
2 
 1

б) lim 
,
x 1 1  x
1  x2 

x
x
4
б) lim
1  3x  2 x  6
4.29. а) lim
,
x 5
x2  5x
2tg6 x
б) lim
,
x0 1  cos 4 x
2
в) lim(cos 4 x)
1
3 x2
.
x 0
10 x 2
 3x  2 
в) lim  2

x  3 x  8


2
в) lim(3 x  2)
.
5x
x 2 1
x 1
.
cos x  sin x
ln(1  2 x)
, в) lim x
.
x 0
cos 2 x
3 1
 5x  x 5x  4 

4.28. а) lim 
,
x 
x

3
x

1


2
.
в) lim


sin  x  
4
б) lim 
,

x  1  2 cos x
4
4.27. а) lim ( x2  x  1  x 2  x ) , б) lim
1
1cos 2 x
x0
б) lim
16  x  4
4.26. а) lim
,
x 0 1  cos5 x
.
x 0
arcsin 3x
,
x 0 arcsin 5 x
4.25. а) lim
4
3 x2
sin 3x
,
x  sin 2 x
 5x  7 
в) lim  2

x  5 x  2


2
в) lim(2 x  5)
x 3
2 x2
2x
x 3
.
.
6 x3  2 x  7
4.30. а) lim
, б) lim x  tg3x  ctg 2 2 x , в) lim (2 x  3)(ln( x  2)  ln x) .
3
x
x 2  5 x  3 x
x0
32
Задание 5. Найти производные
dy
.
dx
5.1. а) y  ln cos(4 x  5) , б) y  sin x  e
2
sin 4 x
1
x
, в) y  (arcsin x) , г) y 3 
xe  x
б) y 
, в) y  (arccos 2 x )5 x ,
ln 5 x
2
5.2. а) y  arccos 2 ,
x
5.3. а) y  ln  e  x  x  e x  , б) y 
arctg
1 x
г) ln x  e
1
x , в) y  (tg3x)ctgx ,
2

y
x
г) ln y 
x y
.
x y
2.
x
1.
y
1  x 2   e2 x1
arcctgx

x
5.4. а) y  arcsin , б) y 
, в) y  1  x 2 
, г) tgx  x  y .
2
arccos x
2
2
e x  sin 5x
5.5. а) y  arctg e , б) y 
,
x  ex
y
г) x 2  y 2  2arctg .
x
2x
в) y  (sin10 x)ln x ,
2
x
x2  x  1
y

arcsin
5
x
5.6. а) y  ln ln x , б) y 
, в)

 2 , г) cos2  x  y   x  y .
sin 1  x 
2
sin10 x
б) y 
,
cos  sin 5 x 
x
5.7. а) y  ln
,
1  x2
1
г) 1  x  ln  2 y  x  .
2
5.8. а) y  e
arcsin x
в) y   ln10 x 
1
cos x
,
arccos 3 x 2  2
y
 1  x , б) y 
,
в)
arctg
 ln  x 2  y 2  ,
2
tg x
x
2
г) y   x  1 .
2
e2 x


x
1 x
ctg
, б) y  ln sin 2 x  1  cos 2 x , в) y   sin 2 x  2 ,
1 x
y
г) y  x  arcctg .
x
1
2
x  sin 2 x
xy
x , г) x  y  e .
5.10. а) y  arctg  e 2 x  1 , б) y 
,
в)
y

arcsin5
x


5x
e
5.9. а) y  cos
33
e2 x
x
x
e3 x
5.11. а) y  ln arctg , б) y 
,
в)
,
г)
ln
y

 x y.
y

2
x


3
y
log 2  3x 2  1
2
5.12. а) y  arctgln 1  x  , б)
г) arcsin x 

5.13. а) y  3
ln x
sin x
1  x   cos3x ,
y
2
1
x
в) y   e  x  ,
2x
arccos5 x
1
 y2 .
x y
ctg3 x
, б) y 
3
x x
, в) y   ln x
ln x
cos5 1  tg 2 x
5.15. а) y  4
,
б) y 
,
e2 x1
г) sin  x  y   2 x  y  0 .
1
cos 2 x
5
, г) arcsin x  y 
в) y  1  x 2 

1
5.14. а) y  arccos
, б) y  3 sin 2 x ,
1 x
5.16. а) y   arcsin 8x  3  ,

2
2 cos x
arcctgx
,
x
 x.
y
г) y 2  x  e xy .
1
в) y   sin10 x  ln x ,
x x
arcsin 2  x 3
, в) y   2 x 
,
x x
б) y 
г) x ln y  y ln x  8 .
1  sin 2 x
5.17. а) y  ln  x  e  ,
б) y 
,
cos x 2
г) sin  x  2 y   2 x  3 y  0 .
x
2
1 x
1 x
5.18. а) y  1  x  ctg x ,
2
б) y  2
3
1
в) y   arctg2 x  3 x ,
в) y   x 2  3 ,
x
,
г)  x  y    x  3 y   0 .
2
3
5.19. а) y  ln x  10 ,
4
2
г) x  sin y  y  cos x  0 .
5.20. а) y  e x  cos 1  x 2 ,
3
б) y 
arccos x
1  x2
б) y  arccos
,
2x
,
1  x2
 1 
в) y  

5 x
arccos 7 x
в) y   arctg2 x 
,
sin 3 x
,
y
г) e x y  sin .
x
34
1
5.21. а) y  1   tg  2 x  1 ,
x
г) cos  xy   x  y .
б) y  10
1
sin 2 x
2
в) y  1  x  x ,
,
1
5.22. а) y  cos 5x  e
1
x
 x2
x2
ex
3
б) y 
, в) y   x  ,
sin 2 x
,
5.23. а) y  3  sin 5 x , б) y 
2
5.24. а) y  ln cos e x  2 ,
2
1  xarctgx
1  x2
б) y 
г) e xy  cos 2  x  y  .
5.25. а) y  4
12 x
, б)
 x  2
y
2
tg 310 x
 1
, в) y  1  
x

1
x
3
,
sin 2 x
г) xe y  ye x  x  y .
cos 5 x
, г) tgy  x  3 y .
в) y   ctg2 x 
1 x
,
1
, в) tgx  tgy  x  y , г) y   arctgx 1 x2 .
x2
5.26. а) y  ecos
2
x
sin 2 x  2tgx

x
, б) y 
, в) y   sin  , г) ytgx  1  xe y .
1  cos 4 x
 2
5.27. а) y  arcsin 1  3 x ,
в) y   x  x
x sin 3x
б) y 
,
cos x  cos3 x
1
2 7x

,
г) x 2  y 2  7 xy  0 .
arcsin 3 x
5.28. а) y  cosln x  sin ln x , б) y 
, в) e x sin y  e y cos x  0 ,
3
2
cos x  sin x
x
г) y   2 x  ln x .
 1
5.29. а) y  sin 2 1   ,
x

г) tg  x  y   x  y  0 .
5.30. а) y 
35
ex
5
2
1
1 x
3
,
б) y  arctg
б) y  2
x
ln x
1  2x
,
1  2x
, в) y   cos5x 
в) y   ctg10 x 
tg 2 x
etgx
,
,
г) x  y  e x y  x3 .
Задание 6. Найти производные второго порядка yxx для параметрической функции.
1

,
x 
6.1. 
sin t
 y  cos 2 t.

 x  ln sin t ,
6.2. 
cos t
y  e .
 x  3t  cos t ,
6.3. 
 y  3t  sin t.
 x  e2t 1 ,
6.4. 
3t  2
 y  e .
1

,
x 
6.5. 
sin t
 y  ctg t.
 x  et  1,
6.6. 
3t
 y  e .
 x  et ,
6.7. 
2
 y  1  t .
 x  t 2 ,
6.8. 
3
2
 y  t  t .
2
 x  arctgt ,

6.9. 
1 2
 y  2 t .
2t

1
x

,


 x  t  sin 2t ,
2  t2
6.10. 
6.11. 
2
t2
3
 y  cos t.

y
.


2  t2
 x  arcsin t ,
6.12. 
2
 y  1  t .
 x  e2t ,
6.13. 
 y  ln 5t.
 x  arcctgt ,
6.14. 
2
 y  5 1  t  .
 x  tgt ,
6.16. 
2
 y  cos t.
 x  et ,
6.17. 
 y  arcsin t.
t

 x  cos ,
6.18. 
2
 y  t  sin t.
 x  ln10t ,
6.15. 
3
 y  t  2.
 x  arcsin  t 2  1 ,
6.19. 
 y  arccos  2t  .
1

 x  t  sin 2t ,
6.20. 
2
 y  cos 2 t.

1

x

,

t 2  3t  2
6.21. 
2
y 
.
2

t  5t  4
 x  ln tgt ,
6.22. 
 y  ctgt.
 x  2cos 2 2t ,
6.23. 
2
 y  3sin 2t.
 x  2t  sin 2t ,
6.24. 
3
 y  sin t.
 x  ln 1  t 2  ,
6.25. 
2
 y  t .

 x  arcsin 2t ,
6.26. 
2

 y  1  4t .
 x  ln t ,

6.27. 
1
y

.

1 t
 x  arcsin  t 2  1 ,
6.28. 
 y  arccos 2t.
 x  e  t ,
 x  1  t 2 ,
6.29. 
6.30. 
 y  2arctgt.
 y  arctg  2t  1.
2
36
Задание 7. Исследовать функцию y  f  x  и построить ее график.
7.1. y  x 2  ln x .
7.2. y 
1
 4x2 .
x
7.3. y 
x
1  x 
2 2
. 7.4. y  x3  e4 x .
x3  1
7.5. y  4 .
x
ex
7.6. y 
.
x 1
ln x
7.9. y 
.
x
x2
3  x2
7.10. y 
. 7.11. y  2
. 7.12. y  x 2  2ln x .
x  4x  5
x2
7.13. y 
x3
.
x2  1
7.7. y  4e x
7.14. y  ln  4  x 2  .
x2  2 x  7
7.16. y 
. 7.17. y 
x2
7.8. y  x 
.
4
.
x2
7.15. y   2  x2  e x .
2
x2  5
. 7.18. y 
.
x 3
x2  1
3
7.21. y  3 1  x3 .
7.22. y  ln
1 x
.
1 x
7.23. y  x  ln  x 2  4  .
7.25. y  ln
x 1
.
x2
7.26. y 
7.28. y  ln  9  x  .
8 x
x
x 2  3x  2
x2  1
7.19. y 
. 7.20. y  2
.
x2
x 4
2
2
1  2x
.
x x2
2
x2
7.29. y 
.
2 x
7.24. y  x  e  x .
7.27. y 
x
.
e2 x
7.30. y  x 
1
.
x2
Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Понятие функции нескольких переменных. Область определения.
Частное и полное приращение.
2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
3. Частные производные функции нескольких переменных. Геометриический смысл частных производных функции нескольких переменных.
37
4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
5. Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции.
Полный дифференциал.
6. Производная по направлению. Градиент функции нескольких переменных. Свойства градиента.
7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Тейлора.
8. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
9. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.
10. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных
в области.
4.1. Понятие функции нескольких переменных и ее предела
Пусть D – множество точек X ( x1 , x2 , ..., xm ) пространства E m . Если
каждой точке X по определенному закону f ставится в соответствие некоторое число z , то говорят, что на множестве D определена функция m
переменных z  f ( x1 , x2 ,..., xm ); z  f ( x) .
При этом x1 , x2 , ..., xm называются независимыми переменными
или аргументами.
Множество D точек X , для которых существует z , называют
областью определения функции и обозначают D( f ) , а множество значений
z обозначают E ( f ) .
z  f ( x, y) – функция двух переменных.
Пусть функция z  f ( x1 , x2 ,..., xm ) определена на множестве D .
Число b называют пределом функции z  f ( X ) в точке
A(a1 , a2 , ..., am ) , если для любого числа   0 существует такое число
()  0 , что для всех точек X  D , удовлетворяющих условию
0  ( X , A)   , выполняется неравенство f ( X )  b   .
Обозначение:
lim f ( X )  b или lim f ( x1 , x2 , ..., xm )  b .
X A
x1 a1
x2 a2
. . .
xm am
Частным приращением по переменной xk (k  1, m)
z  f ( x1 , x2 ,..., xm ) в точке X  D называется разность
функции
38
 xk z  f ( x1, x2 , ..., xk   xk , ..., xm )  f ( x1 , x2 , ..., xk , ..., xm ) ,
где  xk – приращение переменной xk .
 z
Если существует lim xk , то он называется частной производной
 xk 0  x
k
z
функции z по переменной xk в точке Х и обозначается
(или
xk
zxk , f xk ( x1, x2 , ..., xm ) ).
При нахождении частной производной по одной из переменных
пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной,
считая все остальные переменные постоянными.
x2
Пример 4.1. Найти частные производные функции z  ln sin
.
y
Решение. Имеем
z
1
x2 1 1
x2
,
 y  const 
 cos
  ctg
x2
x
y
y
y
y
sin
y

 1 
z
1
x2  x2
x2
 x  const 
 cos

 ctg
 ( x  2)    2  

x2
y
y  y y
y
 y 
sin
y
x2
x2
.
  2  ctg
y
y
Рассмотрим функцию трех переменных u  u( x, y, z ) на множестве D .
Полным дифференциалом функции и в точке M ( x, y, z ) называется
главная часть полного приращения функции
 u  A   x  B   y  C   z  o(  x )  o (  y )  o (  z ) ,
линейная относительно приращений переменных  x ,  y и  z ( А , В, С –
постоянные числа ).
Полный дифференциал находят по формуле
u
u
u
(4.1)
du   dx   dy   dz ,
x
y
z
где dx   x , dy   y, dz   z .
Производной по направлению вектора s  ( sx , s y , sz )
u  u( x, y, z ) в точке M ( x, y, z )  D называется предел
39
функции
u ( x  tsx , y  ts y , z  ts z )
u
 lim
, если этот предел существует.
t
 s t 0  0
Обозначим через cos , cos , cos  направляющие косинусы вектора s .
Тогда
u u
u
u
  cos    cos    cos 
y
z
 s x
(4.2)
Градиентом функции u  u( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) называется
вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных
u u u
производных
в этой точке:
,
,
x y z
u
u
u
(4.3)
grad u   i   j   k
x
y
z
u
u
,
2) max
 grad u .
s
s
2
Пример 4.2. Дана функция u  x y z , точка M (e, 2,  1) , вектор
При этом: 1) Пр s grad u 
s  (0; 3; 4) . Найти: а) полный дифференциал du , б) производную по направ u 
лению вектора s   , в) градиент функции gradu в точке M .
 s 
Решение. Найдем частные производные функции u  u( x, y, z ) :
2
u y  const

 y 2 z  x y z 1.
x z  const
2
u x  const

 x y z  ln x  2 yz .
y z  const
2
u x  const

 x y z  ln x  y 2 .
z y  const
u
x
M
Вычислим значения производных в точке M :
u
4
4
 e4( 1)  ln e  2  2  (1)   4 ,
 4  (1)  e 4( 1)1   5 .
y M
e
e
u
z
 e 4( 1)  ln e  4 
M
4
.
e4
а. Находим полный дифференциал функции в точке M по формуле (4.1):
du M 
u
x
 dx 
M
u
y
 dy 
M
u
z
 dz  
M
4
4
4
dx  4 dy  4 dz .
5
e
e
e
40
б. Найдем направляющие косинусы вектора s . Имеем s  02  32  42  5 ,
cos  
xs
s

0
y 3
z 4
.
 0, cos   s  , cos   s 
5
s 5
s 5
По формуле (4.2) вычисляем производную
u
s

M
4
4 3 4 4
4
0 4   4   4 .
5
e
e 5 e 5 5e
в. Вычисляем градиент функции в точке M по формуле (4.3):
4
4
4
grad u   5  i  4  j  4  k .
M
e
e
e
4.2. Частные производные и дифференциал высших порядков
Пусть функция z  f ( x, y) определена и непрерывна вместе со своими
первыми частными производными в некоторой точке P( x, y)  D( f ) .
Частные производные по переменным x, y от производных первого
порядка называются частными производными второго порядка и
обозначаются
 2 z   z 
  ,
x 2 x  x 
 2 z   z 
   ,
y 2 y  y 
2 z
  z 
  ,
xy y  x 
2 z
  z 
   .
yx x  y 
2 z
2 z
,
Производные
называются смешанными производными.
xy yx
2 z
2 z
,
Если смешанные производные
непрерывны, то
xy yx
2 z
2 z

справедливо равенство
.
xy yx
Полным дифференциалом второго порядка функции z  f ( x, y)
называется дифференциал от ее полного дифференциала, который
обозначается
 z
z   2 z
2 z
2 z
2
2
d z  d  dz   d  dx  dy   2  dx   2
dxdy  2  dy  .
y  x
xy
y
 x
2
41
4.3. Экстремум функции нескольких переменных
Пусть функция z  f  x, y  определена в области D . Функция
z  f  x, y  имеет в точке P0  x0 , y0   D локальный максимум (минимум),
равный f  x0 , y0  , если существует такая  – окрестность этой точки, что для
всех отличных от P0 точек P  x, y  из этой окрестности имеет место
неравенство f  x, y   f  x0 , y0   f  x, y   f  x0 , y0   .
Необходимые условия экстремума. Если функция f  x, y  в точке
P0  x0 , y0  имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные
производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в
этой точке не существует.
Если P0  x0 , y0  – точка экстремума дифференцируемой функции
z  f  x, y  , то
f x  x0 , y0   0, f y  x0 , y0   0 .
(4.4)
Из этой системы уравнений находят стационарные точки.
Сформулируем достаточные условия существования экстремума.
Пусть A  f xx  x0 , y0  , B  f xy  x0 , y0  , C  f yy  x0 , y0  , где P0  x0 , y0  –
стационарная точка дважды дифференцируемой функции z  f  x, y  . Тогда:
1) если B 2  AC  0 , то f  x, y  имеет в точке P0  x0 , y0  локальный
экстремум (при A  0 – локальный максимум, при A  0 – минимум);
2) если B 2  AC  0 , экстремума в точке P0  x0 , y0  нет;
3) если B 2  AC  0 , функция может иметь, а может и не иметь локальный
экстремум.
Пример 4.3. Найти локальные экстремумы функции z  x 2  2 xy  4 y 3 .
Решение. Областью определения данной функции является вся
плоскость.
Находим частные производные первого порядка и составляем систему
уравнений (4.4):
z
z
 2 x  2 y  0,
 2 x  12 y 2  0 .
x
y
1 1
Решая эту систему, получим две стационарные точки P1  0;0  и P2  ;  .
6 6
2 z
2 z
 2;
Находим частные производные второго порядка: 2  2;
x
xy
2 z
 24 y . Вычисляем их значения в точках P1 и P2 .
y 2
42
В точке P1  0;0  : A  2, B  2, C  0 . Тогда имеем AC  B2  4  0 .
Следовательно, точка P1  0;0  не является точкой экстремума.
1 1
В точке P2  ;  : A  2, B  2, C  4 . Тогда AC  B 2  4  0 . Так как
6 6
1 1
A  0 , то точка P2  ;  – точка локального минимума.
6 6
1
Вычисляем zmin  z  P2   
.
108
Задание 8. Дана функция u  u  x, y, z  , точка M  x0 , y0 , z0  и вектор s .
u
Найти в точке М: а) дифференциал du ; б) производную
по направлению
s
вектора s ; в) градиент gradu .
8.1. u  cos
2x
 y 2 x2 ,
yz

8.2. u  x 2 ln 

y
  zy,
z
s  i  j  k,
8.3. u  arcsin  z 2  2 x   xy 2 ,
8.4. u 
2y
 yx,
xz
8.5. u  ctg
M  2; 1; 1 .
s  i  2 j  k,
s  2i  j  k ,
x
 y 2 z,
2y
M  0; 4;  5 .
s  2i  4 j  k ,
s  5i  j  k ,
M  1; 2; 1 .
M 1; 5; 2  .

M  ; 1;
2

0.

2y
,
z2
s  4i  2 j  k ,
M 1; 2;  1 .
8.7. u  x yz  x2 z,
s  i  5 j  2k ,
M  2; 2; 1 .
8.6. u  e xy 
8.8. u  y  ln  x 2  z   2 x 2 y,
z
8.9. u  y  arccos  y 3 x,
x
43
s  i  j  3k ,
s  2i  j  k ,
M 1; 1; 2  .
M  2; 5; 2  .
8.10. u  ctg  y  z  
8.11. u 
y
,
x2
x  2y
 e xy ,
zx
8.14. u 
x
,
yx
y
2 yz 2

x
,
x2
8.15. u  2 xz  cos
s  5i  j  k ,
y
,
2z
s  i  8 j  4k ,
8.20. u  9  y 2 x 2 ,
s  4i  j  k ,
s  3i  j  k ,
8.22. u  y  sin  z  e  x   y 2 x,
8.23. u  arccos
1  xy
  
M  2; ; 1 .
 2 
M  2; 2; 0  .
s  2i  j  4k ,
s  i  2 j  4k ,
2 y  3z
,
4 z  5x
M  2; 5; 0  .
s  5i  j  k ,
8.19. u  x3 y 2  ln  5 xz  y 2  ,
x
2z
M  3; 4; 1 .
s  i  4 j  2k ,
 x 
2
8.17. u  arctg 
  5 z x,
 y  2x 
8.18. u  sin 2  z  y   2 x 2 y,
M  5; 1; 3 .
s  i  10 j  2k ,
s  3i  6 j  2k ,
z
8.16. u  2 xy  y 2 z 2  ,
x
8.21. u  z yx 
M  0; 2; 1 .
s  4i  7 j  6k ,
8.12. u  arctg x  2 y 2  z 3 ,
8.13. u  zy 2  ln
  
M 1; ; 1 .
 4 
s  i  2 j  k,
z
 ,
1  x2 y 2 y
M 1; 2; 1 .


M  3; 1;  .
4

M  2; 1; 1 .
M 1; 1;  1 .
M  1; 2; 2  .
s  2i  j  4k ,
s  5i  j  k ,
M 1;  1; e  .
M  0; 1; 2  .
44
x
yz
8.24. u  e  sin  z 2  y  ,
2 x  y  x2 y
 z2,
8.25. u  arctg
2
1  2 xy  x
8.26. u  x4  y 4  z 4  x2 y 2 z 2 ,
8.27. u  xyz  ln
x
,
2z
1 x  y
2
 x 
8.29. u  e xyz  cos  2  ,
y 
2
 e zx ,
M  2; 2;  1 .
s  i  8 j  5k ,
M  4; 1;  2  .
M 1; 2;  2  .
s  i  3 j  k,
s  2i  2 j  5k ,
z
8.30. u  ln x 2  y 2  arctg ,
x
M 1; 2; 1 .
s  5i  j  k ,
s  i  j  3k ,
xy
8.28. u  arctg
  
M  4; ; 1 .
 2 
s  2i  j  k ,
2

M  ; 1;  .

2
M  2; 2; 4  .
s  5i  3 j  k ,
Задание 9. Найти локальные экстремумы функции z  f  x, y  .
9.1. z   x  2   4 y 2 . 9.2. z   x  3   y  5 . 9.3. z  x 2  2 y 2  4 x  12 y .
2
2
9.4. z  2 x 2   y  6  .
2
2
9.5. z  x 2  4 xy  2 x .
9.6. z  5 xy  y 2  6 y .
9.7. z  x3  3xy 2  51x . 9.8. z  4  x  5  8  y  2  . 9.9. z  3x 2  4 xy  8 y .
2
2
9.10. z  x 4  y 4  4 xy . 9.11. z  xy 2  2  x  y 
9.13. z  2 xy 
9.12. z  x 2  y 2  2ln x .
4 2
2
2
 . 9.14. z   2 x  4    3 y  6  . 9.15. z  2  3 x 2  y 2 .
x y
9.16. z  3x 2  x3  3 y 2  4 y .
9.17. z 
2 2
  xy .
x y
9.18. z  3x 2  4 xy  8 y .
9.19. z  xy 2  yx 2  4 x .
9.20. z  5 x 2 y  4 xy .
9.21. z  xy  2 y 2  2 x .
45
9.22. z  xy  4 x  3 y .
9.23. z  x 2  y 2  y .
9.25. z  5x 2  3xy  y 2  4 .
9.26. z  x 2  xy  x  y . 9.27. z 
9.28. z  5 x 2  y 2  25 xy .
9.29. z  4 x  x 2  2 xy  y 2 .
9.24. z  3x 2  2 xy  y 2 .
1 2
x  xy .
2
9.30. z  4 x 2  5xy  3 y 2 .
46
ЛИТЕРАТУРА
1. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов:
учебное пособие для студентов экономических специальностей: в 2 ч./ А.И.
Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева/. – М.: Высшая школа, 1982. – Ч. 1,
2.
2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
вузов: учебное пособие для студентов вузов: в 2 ч. / Н.С. Пискунов. – М.:
Наука, 1985. – Ч. 1, 2.
3. Герасимович, А.И. Математический анализ: в 2 ч./ А.И.
Герасимович, Н.А. Рысюк/. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1, 2.
4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р.Ф.
Апатенок и др./. – Минск: Вышэйшая школа, 1986.
5. Сборник задач по линейной алгебре (Р.Ф. Апатенок и др./. – Минск:
Вышэйшая школа, 1986.
6. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: в 2 ч. /А.А.
Гусак. – Минск: Вышэйшая школа, 1988.
47
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ....................................................2
1.1. Решение невырожденных систем линейных уравнений ...........................2
1.2. Решение произвольных систем линейных уравнений ...............................5
Задание 1. ...........................................................................................................8
Задание 2. ...........................................................................................................9
Тема 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ...........12
2.1. Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов .12
2.2. Плоскость и прямая в пространстве ..........................................................13
Задание 3. .........................................................................................................17
Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ .................................................................................................18
3.1. Предел функции. Основные способы вычисления пределов .................18
3.2. Производные высших порядков ................................................................25
3.3. Исследование функций и построение графиков ......................................26
Задание 4. .........................................................................................................30
Задание 5. .........................................................................................................33
Задание 6. .........................................................................................................36
Задание 7. .........................................................................................................37
Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ....................................................................37
4.1. Понятие функции нескольких переменных и ее предела .......................38
4.2. Частные производные и дифференциал высших порядков ....................41
4.3. Экстремум функции нескольких переменных .........................................42
Задание 8. .........................................................................................................43
Задание 9 ..........................................................................................................45
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................47
48
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для студентов заочного отделения
экономических специальностей
Составитель:
МАТВЕЕВА Людмила Дмитриевна
Редактор Т.Н. Микулик
_____________________________________________________________
Подписано в печать 22.10.2008.
Формат 60×84 116 . Бумага офсетная.
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л. 5,81. Уч.-изд. л. 2,27. Тираж 200. Заказ 526.
____________________________________________________________
Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет.
ЛИ № 02330/0131627 от 01.04.2004.
Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.
49