Document 392597

Олимпиадные задачи школьного тура предметных олимпиад школьников по математике
9 класс,
2010 год
1.
Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет
наибольшим?
2.
Записан любой квадратный трехчлен, который имеет два корня. Как записать другой квадратный
трехчлен, чтобы его корни были противоположны корням данного трехчлена.
3.
Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Доказать, что
треугольник АВС равен треугольнику АВD.
4.
Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый
черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый- с тремя черными и тремя белыми. Сколько
лоскутов белого цвета?
Известно, что х = 2а 3в5с, где а, в, с - различные числа из множества {0,1,2,3}.
Найдите, сколько всего таких различных чисел можно составить и сколько среди них будет нечетных?
9 класс
9.1. При каких значениях параметра a уравнение (a+1)x² +3x -7=0 имеет один корень ?
5.
9.2. Постройте график функции:
у
х 2  5х  6
.
х 1
9.3. На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем.
Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?
9.4. На окружности с диаметром AB и центром O выбрана точка C так, что
биссектриса угла CAB перпендикулярна радиусу OC . В каком отношении прямая CO
делит угол ACB ?
Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике
(2011 год) 9 класс
1.
2.
3.
Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя подписал под каждым из Васиных чисел его
квадрат. После чего Маша сложила все числа, написанные на доске, и получила 2011. Докажите,
что кто-то из ребят ошибся.
Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочновиноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6
банок напитка, а одного бидона виноградного — ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили,
одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка
хватит теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)
В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекают описанную окружность в точках
K и L соответственно. Отрезки AK и BL пересекаются в точке X и делятся этой точкой в
4.
5.
равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
Докажите, что при всех положительных x, y и z выполняется неравенство
ABC
Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры идут в строго возрастающем порядке, или
тех, у которых цифры идут в строго убывающем порядке? (Например, в первую группу входит
число 12 459, но не входят числа 12 495 и 12 259).
Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников
по математике
9 класс, 2008 год
1.Докажите, что число 20082 + 20082  20092 + 20092 является квадратом целого числа.
2. Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где a  b  2008 . Докажите, что графики всех
таких функций имеют общую точку.
3. На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый
болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На
вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про
«Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент
жителей острова действительно болеет за «Спартак»?
4. В выпуклом пятиугольнике ABCDE  A = B  D  90 0 . Найдите угол ADB, если известно, что
в пятиугольник можно вписать окружность.
5. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество
столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой - в синий, а остальные – в белый.
Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите
расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна
2008 км.
Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников
по математике
9 класс, 2009 год
1. На доске написаны восемь простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма
равняться 59?
2. В хоре число девочек относилось к числу мальчиков как 4:3. После того как в хор пришли двое
новеньких, это соотношение стало 3:2. Сколько мальчиков было в хоре вначале?
3. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке M . Известно, что
AM  1, BM  2, CM  4 . При
каких значениях DM четырехугольник ABCD является
трапецией?
4. Сравните числа: 2011  2009 и 2 2010 .
5. Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых
между собой людей.