Lekciya18

Лекция 18
Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям
Целый ряд элементарных частиц – электроны, нейтроны, протоны и другие – обладают
спином s  1/ 2 . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и операторов именно в этом случае.
В этом случае проекция спина на ось z может принимать два значения sz  1/ 2 и
sz  1/ 2 , а потому спиновые волновые функции представляют собой двухкомпонентные спиноры
 C1 

 C2 
  sz   
(1)
причем вероятности различных значений проекции спина на ось z равны
w  sz  1/ 2 | C1 |2
w  sz  1/ 2  | C2 |2
(2)
Построим матрицы спиновых операторов в sz -представлении. В этом представлении базисными
функциями являются собственные функции оператора sˆ z . Очевидно такими функциями являются следующие спиноры
1
e1  sz    
0
0
e2  sz    
1
и
(3)
Действительно, в состоянии e1  sz  проекция спина на ось z принимает единственное значение
sz  1/ 2 , и, следовательно, эта функция – собственная для оператора sˆ z , отвечающая собственному значению +1/2. Аналогично, функция e2  sz  - собственная функция оператора sˆ z , отвечающая собственному значению -1/2.
Очевидно, искомые матрицы спиновых операторов представляют собой матрицы размерности 2  2 . Начнем с построения матрицы оператора sˆ z . Так как функции (3) – собственные функции оператора sˆz , то для искомой матрицы оператора sˆz выполнены следующие условия
 a11 a12  1 
1 1

     
2  0
 a21 a22   0 
 a11 a12  0 
1  0

     
2 1
 a21 a22   1 
Из формул (4) находим
1
(4)
1 1 0 
sˆz  

2  0 1
(5)
Для построения матриц операторов sˆx и sˆy найдем сначала матрицы операторов
sˆ  sˆx  isˆy . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина та-
кие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов ŝ на собственные функции оператора sˆz получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов ŝ
( ŝ ) на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному
значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец.
Поэтому
1  0
sˆ     
0  0
0 1
sˆ     
1  0
(6)
0 0
sˆ  

1 0
(7)
1  0 i 
sˆy  

2i 0 
(8)
Из соотношений (6) найдем, что
0 1
sˆ  

0 0
Из (7) и определения операторов ŝ находим
1 0 1
sˆx  

2 1 0
Матрицы операторов sˆx , sˆy и sˆz (5), (8) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и
обозначаются  x ,  y и  z .
Матрицу оператора ŝ 2 легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов
проекций момента (5), (8)
3 1 0
sˆ2  

4 0 1
(9)
Матрицу (9) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку
любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является
собственной
функцией
оператора
ŝ 2 ,
отвечающей
собственному
значению
1/ 2  (1/ 2)  1  3/ 4 (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии
определенное значение), то матрица оператора ŝ 2 является диагональной, причем диагональные
матричные элементы равны 3/ 4 , то есть матрица оператора ŝ 2 и есть матрица (9).
2
Свойства матриц Паули
А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.
Б. Для всех матриц Паули выполнено условие  x2 =  y2 =  z2 = 1 , где 1 – единичная матрица.
Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат
проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к.
есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).
В.  i k =  ik  i ikl l
Г. Любая матрица (2  2) может быть представлена в виде: U (2  2) = a0  a . Это связано с
тем, что единичная матрица и три матрицы Паули ( {1,  i } ) образуют полный набор матриц
(2 2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в
пространстве таких матриц).
Д.  i k   k i = 2 ik . В частности,  x y =  y x , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так
называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.
Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные
оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси
[ i k ] = 2i ikl l
(двойка в этом соотношении связана с тем, что sˆi  (1/ 2) i ).
Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии
 C1 

 C2 
  sz   
(10)
Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось x и с какими
вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора
sˆx и разложить по ним функцию (10).
Решаем уравнение
 a1 
1  0 1   a1 

 a     a 
2  1 0  2 
 2
или
3
(11)
1
a2   a1
2
1
a1   a2
2
(12)
Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том
случае, когда определитель этой системы равен нулю

1

2

1
2 0
(13)

Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось x (которые, как это и
должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось z ):
1 
1
2
2  
1
2
(14)
Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции
 1  sz  
1  1
 
2  1
 2  sz  
1 1
 
2  1
(15)
(множители возникли из условия нормировки).
Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет
следующий вид
 C1  C1  C2
C C
1  1 2  2
 
2
2
 C2 
(16)
Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось x в состоянии (10):
w  sx  1/ 2  
C1  C2
2
w  sx  1/ 2  
2
C1  C2
2
2
(17)
Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось z ( C1  1, C2  0 или C1  0, C2  1 ), то вероятности различных значений проекции спина на ось x одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось x равно
4
1 C1  C2
 1  C  C2
sx 
  1
2
2
2
 2
2
2
(18)
Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для
средних
sx   , sˆx 
где  - спиновая функция (10), а матрица оператора sˆx определяется формулой (8).
5
(19)