Эволюционно устойчивые стратегии и эволюционная динамика

Н.А. Зенкевич:
Эволюционно устойчивые стратегии и эволюционная
динамика
Аннотация
В качестве базовой модели в эволюционной статике рассматривается большое
сообщество индивидуумов, которое функционирует в ограниченном пространстве. В ходе
функционирования сообщества индивидуумы постоянно участвуют в парных
симметричных столкновениях. Множество чистых стратегий индивидуума конечно. В
сообществе индивидуумы могут использовать смешанные стратегии, при этом такой
способ поведения может передаваться по наследству.
Формально игра парных столкновений может быть представлена симметричной
биматричной игрой
  S , S , A, A ,
S  s1 ,
, sn  , A  aij i , j 1,2,
,n
, A  aij i , j 1,2,
,n
, aij  a ji
В теории эволюционных игр акцент делается на стратегии, которые будут
устойчивы в эволюционном развитии сообщества, а не на игроках. Игрок здесь
рассматривается как случайно выбранный представитель сообщества. Основной принцип
оптимальности – эволюционно устойчивая стратегия (ESS). Концепция эволюционно
устойчивой стратегии впервые была введена Maynard Smith and Price (1973)
применительно к проблемам эволюционной биологии. Тем же М. Смитом доказано, что
эволюционно устойчивая стратегия порождает симметричное равновесие по Нэшу в игре
парных столкновений (M. Smith, 1982).
В эволюционной динамике мы рассмотрим традиционный динамический подход
для изучения эволюционных процессов, который не ограничивается статическим
анализом эволюционной устойчивости. В качестве примера эволюционной динамики
рассмотрим так называемую динамику тиражирования (replicator dynamics, RD),
основанную на идее дарвиновского отбора. В случае дискретного времени
предполагается, что в каждый момент t  1,2, , игроки участвуют в симметричной игре
парных столкновений, определяемой матрицей A :
  S , S , A, A .
Это означает, что в каждый момент t индивидуумы некоторого большого сообщества
случайно отобраны в пары и играют в игру
 . Обозначим через
x(t )  ( x1 (t ), , xn (t )), xi (t )  0, xi (t )  1 - вектор состояния процесса (здесь xi (t ) -

i
доля сообщества, которая в момент t предпочитает стратегию si ). Тогда, если v(t )
представляет собой общее число индивидуумов в популяции в момент t , то
vi (t )  v(t ) xi (t ) - это количество индивидуумов, предпочитающих в t стратегию si .
В биологическом контексте, выигрыши aij интерпретируются здесь как «мера
продуктивности» потомков действовать так же, как его предшественники. В случае
непрерывного времени мы имеем процесс тиражирования, который определяется
нелинейной эволюционной системой дифференциальных уравнений. Оказывается, что
имеется прямая связь между концепцией эволюционно устойчивой стратегии (в статике) и

асимптотической устойчивостью равновесия в эволюционной динамике: если  является
ESS, тогда состояние сообщества x   является асимптотически устойчивым
равновесием при динамике RD (Hofbauer, Schuster and Sigmund, 1979).
Ранее рассмотренные (статические и динамические) эволюционные модели
касались одного сообщества и только при больших допущениях могут быть применены к
анализу социально-экономической эволюции. Поэтому для анализа эволюционных
процессов при социальном окружении требуется рассмотреть более общую модель
эволюционной динамики.
Рассмотрим несколько больших сообществ индивидуумов, участвующих в игре
парных столкновений. Для простоты будем рассматривать случай двух больших
сообществ равного размера. Модель будем рассматривать с непрерывным временем, и
постулируем, что в каждый момент t  0 все индивидуумы сообщества 1 участвуют в
игре парных столкновений  (не обязательно симметричной) со случайно выбранным
индивидуумом сообщества 2. Игра  определяется следующим образом:


  S1 , S2 , A, B ,
S1  s11 ,
, s2 n  , A  aij i 1, j 1 , B  bij i 1, j 1 ,
, s1m  , S2  s21 ,
m
n
m
aij  1  s1i , s2 j  , bij   2 ( s2i , s2 j ),


где  r s1i , s2 j - функция выигрыша индивидуума сообщества
n
,
r.
Эволюционную систему, удовлетворяющую условиям регулярности и монотонности по
выигрышу, будем называть RPMES (regular and payoff-monotonic evolutionary system). Для
таких эволюционных систем известны следующие теоретические результаты:
   ( 1 , 2 ) является равновесием по Нэшу в игре парных
  S1 , S2 , A, B . Тогда состояние x  ( x1 , x2 )    является
Утверждение. Пусть
столкновений

равновесием любой RPMES, т.е. F ( x )  0 , где F - векторное поле динамической
системы.



Утверждение. Пусть x  ( x1 , x2 ) является асимптотически устойчивым равновесием в
RPMES.
Тогда, если
   x ,
то ситуация
   ( 1 , 2 ) определяет равновесие по
Нэшу в игре   S1 , S2 , A, B .
Данные утверждения говорят о том, что для RPMES эволюционных систем
справедлив тот же результат, что и для RD динамики. А именно, асимптотически
устойчивое равновесие (в динамике) порождает эволюционно устойчивое равновесие (в
статике).