Эквивалентные преобразования резисторов в цепях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Н. ТУПОЛЕВА
(КНИТУ – КАИ)
________________________________________________________________
Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕЗИСТОРОВ В ЦЕПЯХ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Методические указания к лабораторной работе
по дисциплине “Электротехника”
Авторысоставители: Погодин Д.В., Насырова Р.Г
Казань 2014
Цель работы: опытная проверка правил эквивалентного преобразования
резисторов при последовательном, параллельном и смешанном соединениях, а
также преобразования треугольника резисторов в эквивалентную звезду и
наоборот. Применение метода эквивалентных преобразований для расчета
электрических цепей постоянного тока.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.1. Общие сведения
Применение законов Ома и Кирхгофа позволяет преобразовать сложные
электрические цепи в более простые, заменяя отдельные участки цепи,
содержащие несколько элементов, одним эквивалентным элементом. Таким
образом, эквивалентные преобразования позволяют заменить исходную цепь,
содержащую большое число элементов, более простой, с меньшим числом
элементов, но эквивалентной исходной цепи.
Цепи считаются эквивалентными, если при их взаимной замене токи и
напряжения на интересующих нас участках цепи остаются неизменными.
1.2. Эквивалентные преобразования при последовательном
соединении резисторов
Последовательное соединение нескольких резисторов можно заменить
одним резистором с сопротивлением R ЭКВ (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Последовательное соединение сопротивлений
По второму закону Кирхгофа напряжение U складывается из падений
напряжения на каждом из резисторов R1, R2, и R3, т.е.
U = U1 +U2 +U3,
2
(1.1)
а так как ток I является одинаковым для всех резисторов, то (1.1) можно
записать в виде
U = IR1 + IR2 +IR3 = I(R1 +R2 +R3)=IRЭКВ пос,
(1.2)
откуда
R ЭКВ пос = R1 + R2 +R3 .
(1.3)
В общем виде эквивалентное сопротивление при последовательном
соединении элементов цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов
n
Rэквпос   Ri
(1.4)
i 1
где n- число резисторов.
Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из
трех
резисторов (R1= 1 Ом, R2=2 Ом и R3=3 Ом) соединенных последовательно.
По формуле (1.4) получаем Rэкв=6 Ом.
При
последовательном
соединении
резисторов
их
эквивалентное
сопротивление всегда больше большего из сопротивлений этих резисторов.
При последовательном соединении резисторов ток в цепи одинаков
I 
U
,
Rэкв
(1.5)
Напряжение Ui и мощность Pi на зажимах последовательно соединенных
элементов распределяется пропорционально их сопротивлениям, т. к . Ui = IRi,
Pi 2  I 2 Ri , а мощность, подводимая к цепи, равна сумме мощностей на
отдельных элементах
n
P  UI  U1 I  U 2 I  ...  U n I   Pi
(1.6)
i 1
1.3. Эквивалентные преобразования при параллельном соединении
резисторов
При параллельном соединении резисторов (рис. 1.2) все элементы цепи, в
том числе и эквивалентное сопротивление R
же напряжением U.
3
ЭКВ пар
находятся под одним и тем
Рис. 1.2. Параллельное соединение сопротивлений
Для цепи (рис. 1.2) по первому закону Кирхгофа
I = I1+ I2 + I3 ,
(1.7)
где по закону Ома
(1.8)
В то же время для эквивалентной схемы
I  U / Rэквпар
(1.9)
Подставляя значения токов в (1.18) и сокращая на U , получим
1
1
1
1
 

Rэквпар R1 R2 R3
(1.10)
Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из
трех
резисторов (R1= 3 Ом, R2=3 Ом и R3=3 Ом) соединенных последовательно.
По формуле (1.10) получаем Rэкв=1 Ом.
При
параллельном
соединении
резисторов
их
эквивалентное
сопротивление всегда меньше меньшего из сопротивлений этих резисторов.
При
параллельном
соединении
элементов
часто
пользуются
не
сопротивлениями элементов, а их проводимостью. Как известно электрической
проводимостью,
называется
величина,
обратная
сопротивлению.
Она
обозначается G и измеряется в сименсах (См) ; 1См = 1 / 1 Ом.
Тогда уравнение (1.10) можно переписать для проводимостей как
GЭКВ пар = G1 + G2 + G3 ,
или в общем виде для n- резисторов
4
(1.11)
n
Gэквпар   Gi .
(1.12)
i 1
Следовательно, при параллельном соединении элементов электрической
цепи эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей ее отдельных
параллельно включенных ветвей.
Ток в параллельных ветвях цепи согласно (1.8) распределяется обратно
пропорционально их сопротивлениям.
Напряжение на всех элементах параллельной цепи одинаково и
определяется выражением
U = IR ЭКВ пар
(1.13)
Мощность, подводимая к цепи с параллельно включенными резисторами,
равна сумме мощностей ее отдельных элементов
n
P  UI  UI1  UI 2  ...  UI n   Pi
(1.14)
i 1
1.4.
Эквивалентное
преобразование
схемы
при
смешанном
соединении резисторов
Смешанным соединением называют сочетание последовательного и
параллельного соединений резисторов. Большое разнообразие этих соединений
не позволяет вывести общую формулу для определения эквивалентного сопротивления цепи. Поэтому в каждом конкретном случае правило расчета свое.
При
смешанном
преобразования
соединении
пользуются
методом
элементов
для
последовательных
эквивалентного
эквивалентных
преобразований, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие
простое (только последовательное, или только параллельное) соединение
элементов.
Поясним это на конкретном примере расчета электрической цепи
(рис.1.3).
В схеме на рис.1.3а простое соединение имеют резисторы только
резисторы R3 и R4 – они соединены последовательно.
5
На первом этапе – преобразуем участок цепи с резисторами R3 и R4.
Поскольку
они
соединены
последовательно,
то
их
сопротивление R34 определяется из соотношения R34=R3+R4.
эквивалентное
В результате
эквивалентного преобразования этих резисторов получаем схему см. рис.1.3б.
Рис.1.3. Эквивалентные преобразования при смешанном соединении
На втором этапе, из анализа схемы на рис.1.3б следует, что простое
соединение имеют резисторы R2 и R34 - они соединены параллельно. Их
заменяем одним эквивалентным резистором R234= R34R2/(R2+R34). В результате
преобразования исходной схемы на втором этапе получаем схему см. рис.1.3в.
На третьем этапе, из анализа схемы на рис.1.3в, следует, что простое
соединение имеют резисторы R1 и R234 - они соединены последовательно. Их
заменяем одним эквивалентным резистором R1234= R1+R234=R1+ R2(R3+R4)/
(R2+R3+R4) = Rэкв
В результате преобразования исходной схемы на третьем этапе получаем
схему см. рис.1.3г. Она явна проще исходной схемы, поскольку состоит из
одного элемента.
1.4.
Эквивалентное
преобразование
резисторов
соединенных
треугольником в звезду и наоборот
В сложных электрических цепях часто встречаются ветви,
соединенные треугольником (рис. 1.4, а ) или звездой (рис. 1.4, б) .
6
Соединения такого вида очень распространены в трехфазных цепях, при
этом часто возникает необходимость перехода от одного вида соединения к
другому, но эквивалентному. Кроме того, такое преобразование часто
применяется для упрощения схемы.
Рис. 1.4. Схемное соединение резисторов треугольником (рис. 1.4, а) и
звездой (рис. 1.4, б)
Практический
интерес
представляют
соотношения
сопротивлений
резисторов этих цепей при их эквивалентных преобразованиях. Условие
эквивалентности преобразования этих цепей заключается в том, что при
одинаковых напряжениях между узлами 1, 2 и 3 , втекающие (вытекающие)
извне токи I1, I2, I3 в этих узлах также одинаковы, т.е. должны быть
одинаковыми сопротивления между этими узлами.
Рассмотрим эквивалентное преобразование звезды в треугольник и
треугольника в звезду на схемах приведенных на рис.1.5.
Рис.1.5. Схема для расчета правила эквивалентного преобразование
звезды в треугольник и треугольника в звезду
7
Для того, чтобы преобразование было эквивалентным, достаточно
равенства сопротивлений между точками 1 – 2, 2 – 3 и 3 – 1 в обеих схемах.
Запишем систему уравнений для сопротивлений между указанными точками
для обеих схем.
Для точек 1 – 2:
R1  R2 
R12  R23  R31 
R12  R23  R31
;
(1.15)
;
(1.16)
.
(1.17)
Для точек 2 – 3:
R2  R3 
R23  R12  R31 
R12  R23  R31
Для точек 3 – 1:
R1  R3 
R31  R12  R23 
R12  R23  R31
Если решить эту систему относительно сопротивлений R12, R23 и R31
получим формулы преобразования звезды в треугольник:
,
,
.
(1.18)
Если решить систему исходных уравнений относительно сопротивлений
R1, R2 и R3 получим формулы преобразования треугольника в звезду:
.
(1.19)
1.5. Применение эквивалентных преобразований для расчета
электрических цепей постоянного тока с одним источником энергии.
Последовательность расчета следующая:
1. при последовательном соединении резисторов в отдельных ветвях
находят их эквивалентное сопротивление;
2. при параллельном соединении резисторов находят их эквивалентное
сопротивление;
3. при наличии соединения треугольником или звездой для упрощения
схемы выполняют ее преобразование;
8
4. выполнив пункты 1, 2, 3 необходимое количество раз, находят
эквивалентное сопротивление всей цепи;
5. по закону Ома находят ток в неразветвленной части цепи;
6. для расчета токов в остальных ветвях схему "разворачивают" в
обратном порядке и по закону Ома находят токи.
Пример 1. Найти токи в схеме на рис. если R1=12 Ом, R2=R3=10 Ом,
R4=30 Ом, R5=R6=20 Ом, напряжение на входе цепи U=120 В.
Рис. 1.6. Преобразования электрической цепи в примере 1.
Решение. Задачу решаем методом эквивалентных преобразований.
Резисторы R5 и R6 соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление
R56 равно:
R56 
R5 R6
400

 10 Ом.
R5  R6
40
После преобразования схема принимает вид рис. В ней резисторы R4 и
R56 соединены последовательно. Их эквивалентное сопротивление R456=
R4+R56=30+10 =40 Ом.
Резисторы R3 и R456 соединены параллельно, Их эквивалентное
сопротивление R3456 равно R3456= R3 R456/( R3+ R456) = 400/50=8 Ом.
9
Резисторы R1, R2 и R3456 соединены последовательно. Их эквивалентное
сопротивление R123456, а следовательно и эквивалентное сопротивление всей
цепи Rэкв равно R123456 = Rэкв = R1+ R2 + R3456=12+8+10=30 Ом.
Далее найдем токи во всех ветвях схемы.
Ток в неразветвленной части I1 равен I1= U/Rэкв=4 А.
Для расчета токов I3 и I4 определим напряжение на участке ав по закону
Ома: Uав= I1 R3456=4.8=32 В. Отсюда ток I3= Uав/R3=32/10=3,2 А, а ток I4= Uав/
R456=32/40=0,8 А.
Для расчета токов I5 и I6 определим напряжение на участке cd по закону
Ома: Ucd= I4 R56=0,8.10 =8 В. Отсюда ток I5= Ucd/R5=8/20=0,4 А, а ток I6= Ucd/
R6=8/20=0,4 А.
Итак, все токи найдены.
Пример 2. Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 1.12, а, при
следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30
Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.
Рис. 1.7. Преобразования электрической цепи в примере 2.
Попытка определить общее сопротивления цепи на рис.1.7, не зная
правил эквивалентного преобразования треугольника в звезду и наоборот,
оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно,
ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает
преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
10
Решение. Решение выполняем преобразованием треугольника в звезду.
После преобразования треугольника, образованного сопротивлениями R1, R2
и R5, в звезду, получаем схему, показанную на рис. 1.12, б. Обращаем внимание
на то, что токи в непреобразованной части схемы (I, I3 и I4) остались теми же.
Сопротивления звезды определяем по сформулированному выше правилу:
Ra 
R1R2
 6 Ом;
R1  R2  R5
R1R5
 10 Ом;
R1  R2  R5
Rb 
Rc 
R2 R5
 15 Ом.
R1  R2  R5
Теперь общее сопротивление цепи легко находится:
RЭКВ  Ra 
 Rb  R3  Rc  R4   16,5 Ом.
Rb  R3  Rc  R4
Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной
схемах), равен
I  E / Rэкв  40 А.
Токи в параллельных ветвях:
I3  I
Rc  R4
 28 A;
Rc  R4  Rb  R3
I4  I
Rb  R3
 12 A.
Rc  R4  Rb  R3
Возвращаемся к исходной схеме (рис. 1.12, а) и находим:
I1 
U ab E  I 3 R3

 26 A;
R1
R1
I2 
U ac E  I 4 R4

 14 A.
R2
R2
Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1 – I3 = 26 –
2 8 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5
противоположно указанному на схеме.
11
2. ЗАДАНИЯ НА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И
МЕТОДИКА ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ
Задание 1. Эквивалентное преобразование последовательного и
параллельного соединения резисторов одним
1.1. Эквивалентные преобразования при последовательном соединении.
Соберите схему, приведенную на рис. 2.1а. Установите мультиметр в
режим измерения сопротивления.
Установите произвольные значения сопротивлений резисторов R1 и R2 и
запишите их в отчет R1=_____ и
R2=_____.
Измерьте сопротивление
относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rаб изм=____.
Рассчитайте эквивалентное сопротивление Rэкв для схемы на рис. 2.1а
относительно зажимов а и б и запишите его в отчет Rэкв. расч=____ .
Соберите схему, приведенную на рис. 2.1б.
Измерьте сопротивление
относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rэкв. изм=____.
Проверьте условие эквивалентности схем, т.е . Rаб изм= Rэкв. изм .
а)
б)
а)
Рис.2.1.
б)
Рис.2.2.
1.2. Эквивалентные преобразования при параллельном соединении.
Соберите схему, приведенную на рис. 2.2а. Установите мультиметр в
режим измерения сопротивления.
Установите произвольные значения сопротивлений резисторов R1 и R2 и
запишите их в отчет R1=___ и R2=___. Измерьте сопротивление относительно
зажимов аб и запишите его в отчет Rаб изм=____.
Рассчитайте эквивалентное сопротивление Rэкв для схемы на рис. 2.2а
относительно зажимов а и б и запишите его в отчет Rэкв. расч=____ .
12
Соберите схему, приведенную на рис. 2.2б.
Измерьте сопротивление
относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rэкв. изм=____.
Проверьте условие эквивалентности схем, т.е . Rаб изм= Rэкв. изм .
Задание
2.
Эквивалентные
преобразования
при
смешанном
соединении резисторов
Соберите схему, приведенную на рис. 2.3а. Установите мультиметр в
режим измерения сопротивления.
Установите произвольные значения сопротивлений резисторов R1, R2,
R3, R4 и запишите их в отчет R1=___, R2=___, R3=____, R4=_____. Измерьте
сопротивление относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rаб изм=____.
Рассчитайте эквивалентное сопротивление Rэкв для схемы на рис. 2.2а
относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rэкв. расч=____ .
Соберите схему, приведенную на рис. 2.2б.
Измерьте сопротивление
относительно зажимов аб и запишите его в отчет Rэкв. изм=____.
Проверьте условие эквивалентности схем, т.е . Rаб изм= Rэкв. изм .
Рис. 2.3
Задание
3.
Эквивалентные
преобразования
сопротивлений
соединенных треугольником в звезду и наоборот
3.1. Собрать схему электрической цепи (рис.2.4). Установить R1=1кОм,
R2=1 кОм, R3=1 кОм, а амперметры в режим измерения постоянного тока
(DC).
3.2. Измерить токи I1, I2, I3 и результаты записать в отчет, в табл. 2.1.
3.3. Рассчитать сопротивления эквивалентного треугольника R12, R23, R31
13
Рис. 2.4. Схема соединения сопротивлений треугольником
3.4. Собрать схему,электрической цепи (рис.2.5), в которой значения
сопротивлений R12, R23, R31 установить равными рассчитанным в задании 3.3.
3.5. Измерить токи I1, I2, I3 и результаты записать в отчет, в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
U12 U23 U31 I1
Υ
Υ Υ
Υ
I2
Υ
I3
Υ
U12 U23 U31 I1
Δ
Δ
Δ
Δ
I2
Δ
I3
Δ
Рис. 2.5. Схема соединения сопротивлений треугольником
3. 6. Сопоставить результаты измерения токов в обоих схемах и убедиться в
эквивалентности преобразований.
3.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет о работе составляется каждым студентом на двойном тетрадном
листе в клеточку и должен содержать:
Заголовок: название и номер работы, № группы, ФИО.
Цель работы.
Названия заданий к экспериментальным исследованиям
14
Схемы исследуемых цепей.
Результаты
экспериментальных
измерений
и
теоретических
расчетов. Временные диаграммы и графики, построенные по результатам
измерений и расчетов с указанием масштабов и единиц измерения по осям.
Выводы и сопоставление результатов измерений и расчетов.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
15