5-11 класс

5 класс
1. (3 балла) Сколько всего трехзначных чисел?
Ответ: 11 ботинок
Решение. Если Вася возьмет 20 ботинок, ему может попасться 10 черных на одну ногу (левую
или правую) и 10 коричневых на одну и ту же ногу. Пары из них не составишь. Если взять еще
один ботинок, то он будет либо черный, либо коричневый, и обязательно на другую ногу, так
как на каждую ногу есть всего 10 ботинок каждого цвета.
2. (3 балла) Отметьте на одной прямой четыре точки A, B, C, D так, чтобы расстояние между
точками A и B было равно 10 см, между A и C – 3 см, между B и D – 5 см, а между D и C – 8
см.
Ответ. см. рисунок.
3. (4 балла) Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала,
третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она
решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?
Ответ: времени не осталось
Решение. Спала 24:2=12ч., танцевала 24:3=8
12+8+4=24,поэтому на подготовку нет времени.
ч.,
пела
24:6=4.
Всего
потратила
4. (5 баллов) Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к
станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один
из них насчитал еще 2 скамейки. Сколько насчитали остальные?
Ответ: 5 и 10 скамеек.
Решение. Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть перрона, насчитал
большее число скамеек. Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как
первый насчитал на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй
увидит эти 3 скамейки, т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий
насчитает на 8 скамеек больше, чем первый. Раз кто-то насчитал 2 скамейки, то это мог быть
только первый. Значит, остальные насчитали 2+3=5 и 2+8=10 скамеек.
Ответ без обоснования - 2 балла.
5. (5 баллов) Восстановите математическую запись примера:
АННА
+ ВАЛЯ
4809
Здесь разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы - одинаковые цифры.
Ответ:
1661
+3148
4809
Комментарий: за каждую восстановленную правильно цифру – по 1 баллу.
6класс
1. (3балла) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается
на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
Ответ. Не может.
Решение. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних
кустах вместе нечетное число ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно
сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах вместе не может
быть 225 ягод.
2. (3 балла) Как из 13 прямоугольников размерами 1х1, 2х1, 3х1, …, 13х1 составить
прямоугольник, у которого все стороны больше 1?
Ответ. Один из возможных примеров приведены на рисунках.
Комментарий 1 (как можно догадаться до примера). Если группировать прямоугольники:
самую длинную полоску длины 13 оставить одну, а оставшиеся сгруппировать по принципу
(самую короткую с самой длинной и т.д.): 13,1+12, 2+11, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7. Приложив
получившиеся полоски длины 13 друг к другу, получаем примеры, приведенные ниже.
3. (4 балла) В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвуют 50
боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
Ответ. 49.
Решение. После каждого боя из соревнований выбывает один боксер, проигравший в этом
бою. Поскольку всего
к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев
независимо от того, как составляется расписание.
4. (5 баллов) Семья состоит из трех человек: отца, матери и сына. В настоящее время сумма их
возрастов составляет74 года, а 10 лет назад эта сумма составляла 47 лет. Сколько лет сейчас
отцу, если он старше сына на28 лет?
Ответ. 35 лет.
Решение. Из того, что (74 - 47) - 2 • 10 = 7, следует, что сейчас сыну 7 лет, Значит отцу
7+28=35 лет.
5. (5 баллов) Малыш и Карлсон по очереди достают из коробки конфеты, при этом каждый
берет на 1 конфету больше или меньше, чем перед этим взял другой, не брать конфеты из
коробки в свою очередь нельзя. Вначале в коробке было 24 конфеты, и Малыш и Карлсон
договорились, что если в какой-то момент в коробке останется ровно 4 или 14 конфет, то
тому, чья очередь брать конфеты, достанется торт. Сможет ли Карлсон, который первым берет
конфеты, выиграть торт, если вначале он имеет право взять 1 или 2 конфеты?
Ответ. Карлсон сможет выиграть.
Решение. Выигрышная стратегия такова: К — 1 => М — 2, К — 3 => М — 2 (если сейчас
Малыш возьмет 4 конфеты, то их останется 14), К - 1 =$ М — 2, К - 1 => М — 2, К — 1 =>
=> М - 2, К - 1 => М - 2, и Карлсон выиграл, так как осталось 4 конфеты.
7класс
1.(3 балла) Расставьте скобки, чтобы равенство стало верным: 0,5 + 0,5 : 0,5 + 0,5: 0,5 = 5 .
Ответ: ((0,5 0,5) : 0,5 0,5) : 0,5 5 .
2.(3 балла) Рядовой Петров взял ведро нечищеной картошки и за 1 час её почистил. При этом
25% картошки ушло в очистки. За какое время у него набралось полведра очищенной
картошки?
Ответ. За 40 минут.
Решение. Так как четверть картошки ушло в очистки, то Петров получил за 1 час три четверти
ведра почищенной картошки. Значит, четверть ведра почищенной картошки Петров получил
за 20 минут, а половину ведра – за 40 минут.
3.(4 балла) Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 4 равные части:
Ответ: Способ показан на рисунке:
4. (5 баллов) Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2
минуты, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает
только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей
из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг
друга на руках нельзя).
Ответ: Сначала мама с папой – 2 минуты, папа обратно – 1 минута, бабушка с
малышом – 10 минут, мама обратно – 2 минуты и вместе с папой обратно – 2
минуты. Итого 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.
5. (5 баллов) Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она
была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре будет
вместе 100 лет?
Ответ: Игнату 40 лет сейчас.
Решение: По условию задачи составим таблицу:
Игнат Сестра
Тогда
2х
х
Сейчас
4х
3х
Через 15 лет 4х+15 3х+15
Составим уравнение: (4х+15)+(3х+15)=100, 7х+30=100, х=10 → 4∙10=40 (л) –
сейчас Игнату.
Критерии оценивания: верно указанный, но необоснованный (или неверно обоснованный)
ответ – 1 балл; верно составленное по условию задачи уравнение, при решении которого
допущены ошибки – 3 балла; правильный и обоснованный ответ – 5 баллов; другое – 0
баллов.
8 класс
1. (3 балла) Восстановить цифры, которые заменены звёздочками, в записи деления
2* * 1 : 13 = *2*.
Ответ: 2951 : 13= 227
2.(3 балла) В школе прошли три олимпиады. Оказалось, что в каждой из них участвовало по
50 человек. Причем, 60 человек приходило только на одну олимпиаду, а 30 человек - ровно на
две. Сколько человек приняло участие во всех трех олимпиадах?
Ответ: 10.
Решение. Пусть х человек приняло участие во всех трех олимпиадах. Подсчитаем, сколько раз
ученики заполняли титульные листы своих работ. Те, кто приходили один раз, делали это 60
раз; те, кто приходили дважды - также 60 раз (2∙30 = 60); те, кто приходили трижды - 3х раз.
Так как всего работ было 3∙50 = 150, то составляем и решаем уравнение: 60 + 60 + 3x = 150; x =
10.
3. (4 балла) Поставить вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.
Ответ: 322357176.
Решение. Чтобы число делилось на 72, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 8 и
на 9. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось число,
составленное из трех последних его цифр в том же порядке. Для числа 17* это 176, то есть
последняя цифра 6. Для делимости на 9 необходимо и достаточно, чтобы сума цифр числа
делилась на 9. Вместо оставшейся звездочки может стоять только 2.
4. (5 баллов) На стандартном тетрадном листе в клетку нарисован угол (см. рисунок).
Найдите его величину, не используя измерительные инструменты. Ответ обоснуйте.
Ответ. 45°.
Решение. Соединим две «крайние» точки отрезком (как на рисунке). Получившийся
треугольник – равнобедренный, так как две его стороны АВ и ВС являются диагоналями
трёхклеточных прямоугольников. Диагональ АВ делит угол прямоугольника с вершиной В на
два угла, дополняющих друг друга до прямого. Треугольники ADB и CEB равны по двум
катетам, значит, равны их соответствующие углы. И значит, угол CBE дополняет угол ABE до
прямого. Таким образом, треугольник АВС – равнобедренный и прямоугольный. Его углы А и
С при основании АС равны по свойству равнобедренного треугольника и имеют величину 45°
по теореме о сумме углов треугольника.
Комментарий. Если соединить точку В с серединой АС, мы также получим равнобедренный
прямоугольный треугольник. Рассуждения аналогичны.
5. ( 5 баллов) Вася, Коля, Петя и Степа – ученики 4, 5, 6 и 7 классов, пошли по грибы
Шестиклассник не нашел ни одного белого гриба, а Петя и ученик 4 класса нашли 8 штук.
Вася и пятиклассник нашли много подосиновиков. И позвали Николая. Семиклассник,
шестиклассник и Коля смеялись над Стёпой, сорвавшим мухомор. Кто в каком классе учится?
Ответ: Коля учится в 4 классе, Степа - в 5 классе, Петя в 7 классе, а Вася в 6 классе.
Решение. Составим таблицу.
4
5
6
7
Вася
+
Коля
+
Петя
+
Стёпа
+
1. Шестиклассник не нашел ни одного белого гриба, Петя и ученик 4 класса – 8 штук.
Значит, Петя не в 4 и не в 6 классах.
2. Вася и пятиклассник нашли подосиновики и позвали Колю. Вася и Коля не
пятиклассники.
3. Семиклассник, шестиклассник и Коля смеялись над Стёпой, сорвавшим мухомор. Коля и
Стёпа не шестиклассники и не семиклассники.
5. Коля учится в 4 классе, а остальные не учатся в нем. Степа - в 5 классе, тогда Петя в 7
классе, а Вася в 6 классе.
9класс
1.(3 балла) К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное
число делилось на 36. Найдите все возможные решения.
Ответ. 04 или 40 или 76.
Решение. Заметим, что 36 = 94. По признаку деления на 9 сумма двух последних цифр
полученного числа может быть либо 4, либо 13. В первом случае искомые две цифры – это 04
или 40 (другие варианты 13, 22 и 31 не подходят из-за признака деления на 4). Во втором
случае получаем только вариант 76 (т.к. варианты 94, 85, 67, 58 и 49 не подходят ). Другой
способ решения: поделим с остатком 201200 на 36, неполное частное равно 5588, умножим
следующие числа, а именно 5589, 5590, 5591 на 36, тогда последние две цифры произведения
дадут ответ.
2. (3 балла) Внуку столько же месяцев, что и деду лет, а вместе им 65 лет. Сколько лет внуку?
Ответ: 5 лет.
Решение: Пусть внуку х месяцев, то деду 12 х месяцев. Х +12х = 65*12
13х =780, х =60
месяцев внуку, 60 :12=5 лет внуку.
3. (4 балла) Замените две звездочки двумя числами так, чтобы получилось тождественное
равенство: (3x  )(2 x  5)  x  6 x 2  2(5x  ) .
Ответ. 2 и 5.
Решение. Обозначим через А и В числа, соответствующие первой и второй звездочкам. Тогда
перемножая скобки по алгебраическим правилам и приравнивая коэффициенты при х и
свободные члены, получим: 14  2 A  10,  5 A  2B . Отсюда А = 2, В = 5.
4.(5 баллов) На отрезке АВ отмечена точка С. На отрезках АС и ВС по одну сторону
построены равносторонние треугольники АМС и ВКС. Докажите, что середины сторон АК и
МВ вместе с точкой С служат вершинами равностороннего треугольника.
Ответ: Треугольники АСК и МСВ равны по двум сторонам и углу между ними.
Воспользуемся тем, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам
равны, то СЕ=СН, где Е и Н середины сторон АК и МВ. Заметим также, что угол АСЕ= углу
МСН то угол ЕСН = углу АСН-угол АСЕ= угол АСН-угол МСН= углу АСМ=600..
Следовательно, треугольник ЕСН - равносторонний.
5. (5 баллов) В полдень из пункта А в пункт В выехал “Москвич”. Одновременно с ним из В в
А выехали “Жигули”. Через час “Москвич” находился на полпути от А до “Жигулей”. Когда
он окажется на полпути от “Жигулей” до пункта В? (скорости автомобилей постоянны, но
различны)
Ответ: в 2 часа дня.
Решение. Пусть скорости “Москвича” и “Жигулей” v и u соответственно. Из условия задачи
следует, что если бы скорость “Москвича “ равнялась 2v, то его встреча с “Жигулями” бы
произошла через час после начала движения. Отсюда следует, что если бы скорость “Жигулей
равнялась u/2 то их встреча с “Москвичом” произошла бы через 2 часа после начала движения.
Значит именно в этот момент времени (2 часа по полудни) при данных (v и u ) скоростях
“Москвич” будет находиться на полпути от “Жигулей” до пункта В.
10 класс
1. (3балла) Линейная функция f{x) = ах + b такова, что
Найдите а и b.
Решение. Очевидно,
Отсюда
а = 8, (а + а + 1)b = 21. Тогда а = 2, 7b = 21, b = 3.
3
2
2. (3балла) Изобразите на координатной плоскости множество точек (х,у), координаты которых
удовлетворяют неравенству
Решение. При
имеем у ≤ 4 – х2 , а при у > 3 получаем у
фигура, ограниченная дугами двух парабол, изображена на рис.9.3.
3. (4балла) Сколько существует целых чисел n, при которых дробь
числом.
Ответ: 4
Решение.
4n  7 4n  12 - 12  7 4(n  3)
5
5
,



 4
n3
n3
n3
n3
n3
5
- целое число.
n3
Возможные случаи:
1) n +3 = 5,
2) n + 3 = -5, 3) n + 3 = 1, 4) n + 3 = -1
n = 2.
n = - 8.
n = - 2.
n = - 4.
4  2  7 15

 3 - целое число.
23
5
4  (8)  7  25
Если n = - 8, то

 5 - целое число.
83
5
4  (2)  7  1
Если n = -2, то

 1 - целое число.
23
1
4  ( 4 )  7  9
Если n = - 4, то

 9 - целое число.
43
1
Если n = 2, то
4.(5баллов) Решить в целых числах уравнение x 2  3xy  2 y 2  3 .
Ответ: (-1; - 2), (5; 2), (1; 2), (- 5; - 2)
Соответствующая
4n  7
является целым
n3
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения:
x 2  3xy  2 y 2  ( х 2  2 ху  у 2 )  2 ху  у 2  3ху  2 у 2 
 ( х  у) 2  у 2  ху  ( х  у) 2  у( х  у)  ( х  у)( х  2 у) .
Но можно разложить на множители по - другому:
квадратный
трёхчлен
x 2  3xy  2 y 2 3у  9 у 2  8у 2 3у  у
х1, 2 

, например, х.
2
2
Его корни:
относительно,
х1 =2у, : х2 = у
получаем
x 2  3xy  2 y 2  ( х  2 у)  ( х  у) .
( х  у )( х  2 у )  3
,
х, у – целые числа,
3 = 1*3 = 3*1 =(-1) *(-3) = (-3)*(-1)
Возможны 4 случая:
 х  у  1;

 х  2 у  3.
 х  у  3;

 х  2 у  1.
1)
 х  у  1;

 х  2 у  3.
2)
 х  у  3;

3)  х  2 у  1. 4)
При решении систем в каждом системе вычитаем из первого уравнения второе.
Решаем 1  х  1; систему:
 у  2 .
 х  у  1;

 х  2 у  3,
 х  5;

2  у  2. систему:
Решаем
 х  у  3;

 х  2 у  1,
Решаем 3 систему:
 х  у  1;  х  1;


 х  2 у  3,  у  2.
Решаем
4  х  5; систему:

 у  2 .
 х  у  3;

 х  2 у  1,
Ответ: (-1; - 2), (5; 2), (1; 2), (- 5; - 2)
5. (5баллов) Окружность, построенная на основании AD трапеции ABCD как на диаметре,
проходит через середины боковых сторон и касается основания ВС. Найдите углы трапеции.
Первое решение. Ответ: два угла по 75° и два угла по 105°.
Пусть точки О, М, N и К являются серединами отрезков AD, АВ, CD и MN соответственно.
Тогда, трапеция AMND вписана в данную окружность, следовательно, эта трапеция —
равнобокая. Так как MN — средняя линия трапеции ABCD, то и трапеция ABCD —
равнобокая. К — середина MN, значит, OKM = 90°, то есть треугольник ОМК является
прямоугольным.
OK 
1
1
R  OM .
2
2
Значит, KMO = 30° = AOM, а так как О А = ОМ, то M АО = 75°. Отсюда получаем, что
A =D = 75°; B = C = 105°.
Второе решение. Пусть М — середина АВ. Обозначим  = MAO = OMA. Также
обозначим AM = а, О А = ОМ = R. По теореме синусов в треугольнике АОМ имеем
Отсюда sin 2 = a sin  /R. Опустим перпендикуляр из М на АО. В полученном
прямоугольном треугольнике напротив угла а лежит катет R/2.
Поэтому
Подставив это в предыдущее равенство, получим
1
sin2   .
2
Отсюда 2 = 30° или 2 = 150°. Первый случай невозможен, так как в этом случае прямые
АВ и CD пересекаются внутри окружности, и трапеции ABCD не существует.
Второй случай дает  = 75°.
11класс
1.(3 балла) Число а на 1 больше числа b. Могут ли числа а2 и 𝑏 2 быть равными?
Ответ. Могут.
1
1
Решение. Если а = 2, b = -2, то а = b+1 и а2 = 𝑏 2 .
2
2
Также можно решить систему уравнений: { а = 𝑏 ,
а = 𝑏 + 1.
Критерии проверки.
 Верный ответ с указанием чисел a и b – 3 балла.
 Составлена система уравнений, но при ее решении допущена арифметическая ошибка –
2 балла.
 Только ответ – 1 балл.
х2
2. (3 балла) Постройте график функции у =|х|
Ответ. См. рисунок.
Решение. Т.к. х2 = |х|2, то у=|х|,
0. Можно также, используя определение
х, если х > 0,
модуля, получить, что у={
(при х=0 функция не определена).
−х, если х < 0.
Критерии проверки.
 Верный график с объяснением – 3 балла.
 Верный график без каких-либо пояснений – 2 балла.
 График функции у=|x| без выколотой точки – 1 балл.
3.(4 балла) Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых
четырёх носков хотя бы два принадлежат одному хозяину. А среди любых пяти носков не
больше трёх имеют одного хозяина. Сколько детей разбросало носки, и сколько носков
принадлежит каждому ребенку?
Ответ. Детей трое, каждому принадлежит по три носка.
Решение. Ни одному из детей не принадлежало более трех носков, так как в противном случае
условие «среди любых пяти носков не больше трех имели одного хозяина» было бы не
выполнено. Всего носков 9, поэтому детей не менее трех. С другой стороны среди любых
четырех носков есть два носка одного ребенка, поэтому детей меньше четырех. Таким
образом,
в семье трое детей, причем каждый разбросал не более трех носков, а всего носков 9. Значит,
каждому ребенку принадлежит 3 носка из найденных мамой.
Критерии проверки.
 Полный ответ с верным объяснением – 4 балла.
 Обосновано, что детей трое – 3 балла.
 Верные соображения, но решение не доведено до конца – 1-2 балла.
 Ответ без обоснования – 0 баллов.
4.(5 баллов) Дан куб. А, В и С – середины его ребер (см. рисунок). Чему равен
угол АВС?
Ответ. 120°.
Решение. 1 способ.
Проведем диагонали DЕ||ВС и EF||AB и пусть К – точка на продолжении диагонали DE за
точку Е (см. рис.). Тогда ∠АВС=∠FEK. Но треугольник DEF –равносторонний,
поэтому∠DEF=60°, а значит, ∠FEK=120°.
2 способ. Пусть ребро куба равно 1. Тогда по теореме Пифагора АВ=ВС=
DС=
√5
,
2
√2
,
2
3
АС=√А𝐷2 + 𝐷С2 = √2. Теперь по теореме косинусов из треугольника АВС находим,
что cos АВС= -0,5.
Критерии проверки.
 Получен верный ответ со всеми обоснованиями – 5 баллов.
 Ход решения правильный, но ответ неверен из-за арифметической ошибки – 4 балла.
 Получен ответ 60° – 3 балла.
 Только ответ (в том числе – верный) – 0 баллов.
1
1
1
5. (5 баллов) Числа а+𝑏, а+с, 𝑏+с образуют арифметическую прогрессию.
Верно ли, что числа а2 , 𝑏 2 , с2 также образуют арифметическую прогрессию?
Ответ. Да.
Решение. Так как указанные три числа образуют арифметическую прогрессию, то верно
1
1
1
1
равенство: а+с − а+𝑏 = 𝑏+с − а+с . Тогда, приводя к общему знаменателю, получаем:
𝑏−с
(а+с)(а+𝑏)
а−𝑏
= (а+с)(𝑏+с) . Отсюда: (b+c)(b-c)=(a-b)(a+b) или 𝑏 2 -с2 =а2 -𝑏 2 , что в соответствии с
определением и означает, что числа а2 , 𝑏 2 , с2 образуют арифметическую прогрессию. Можно
также использовать характеристическое свойство арифметической прогрессии: числа х, у, z
образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда х+z=2у.
Критерии проверки.
 Полное доказательство – 5 баллов.
 Только ответ – 0 баллов.