Моделирование роста народонаселения на основе социальной

Моделирование роста народонаселения на основе социальной тратификации
Балякин А.А., Жулего В.Г., Тараненко С.Б.
НИЦ «Курчатовский институт»
Balyakin_AA@nrcki.ru, Zhulego@mail.ru
Проблема роста народонаселения важна как сама по себе, в виду
опасной перспективы перенаселения Земли, когда будут исчерпаны все
физические ресурсы планеты, как то: пресная вода, пища, пахотные земли и
земли пригодные для проживания, так и в виду того, что согласно
современным воззрениям, темпы экономического роста напрямую зависят от
темпов роста народонаселения (например, модель Р. Солоу). Внимание к
этой проблеме впервые привлек Томас Мальтус, опубликовавший в 1798
году книгу «Очерк о законе народонаселения». В этой книге, по-существу, и
были заложены современные теории роста народонаселения, эта теория дала
толчок и развитию математических моделей популяционной биологии
(начиная с логистической модели Ферхюльста [4]). В последние годы к этому
вопросу было привлечено дополнительное внимание благодаря теории
профессора Капицы, описавшего т.н. «точку демографического перехода».
Следует сказать, что формула, предложенная П.С. Капицей [1,5] вполне
удовлетворительно описывает динамику роста народонаселения Земли на
текущем периоде.
T  t 
N (t )  K 2 arcctg  1

  
(1)
Здесь T1 - критический год (момент демографического перехода), τ –
параметр, характеризующий продолжительность перехода, K- число Капицы.
В соответствии с этой моделью население Земли достигнет численности в
10,5 млрд. человек и стабилизируется на этом уровне.
Трудности
модели
начинаются
тогда,
когда
мы
попытаемся
спрогнозировать на ее основе численность стран по отдельности: например,
1
численность Китая получается более 7 млрд. человек, а численность Индии
– около 6 млрд. человек (посчитано в ст. Акаева А.А. [1]). Суммарно уже
только две эти страны существенно превосходят предсказанную численность
населения Земли. Эта проблема послужила отправной точкой для поиска
более адекватных формул, позволяющих предсказать рост народонаселения.
В частности были предложены модели с режимом возврата: сначала
Акимовым была предложена модель с плавным апериодическим возвратом,
затем проф. Долгоносовым – с режимом возврата в колебательном режиме и
затем Акаевым А.А. (совместно с Садовничим В.А.) предложена модель (2) с
режимом возврата с затухающими колебаниями.

dN
Nt 

 rN 2 1 
dt
 K (N ) 
(2)
K(N) = N0 + γ(N – N0 ) exp [- k(N – N0 )]
Где N0 – численность населения в 1825 году, равная 1 млрд. человек, а r, γ, k –
постоянные параметры. Несмотря на наличие дополнительных подгоночных
параметров, которые улучшают совпадение рассчитанного по этим формулам
прогноза со статистическими данными, они не решают отмеченную выше
проблему, так как прямое суммирование населения стран не дает суммарную
численность населения Земли, рассчитанную по тем же формулам.
Представляется довольно странным, что указанную проблему пытались
решить за счет «режима возврата», поскольку совершенно очевидно, что
проблема суммирования населения стран связана с тем, что зависимость N от
t нелинейна и подправленные уравнения все равно не решают проблему. На
наш взгляд, проблему следует решать с учетом следующих обстоятельств:
1. Законы роста населения каждой страны имеют свои особенности
(связанные
с
историей,
менталитетом,
религией,
климатом,
временем вступления на путь индустриализации, и, возможно,
некоторые другие обстоятельства),
2
2. Имеет место миграция населения стран, в некоторых случаях такая
миграция
оказывает
очень
существенное
влияние
на
рост
народонаселения страны.
3. Внутри
каждой
страны
население
неоднородно,
в
первом
приближении можно выделить как минимум две страты населения,
законы роста которых могут отличаться не меньше, чем отличаются
законы роста народонаселения разных стран, а именно – это
сельское население и городское население.
Даже поверхностное
наблюдение за этими стратами показывает, что как менталитет и
образ жизни, так и рождаемость, продолжительность жизни и
многодетность этих слоев населения существенно отличаются.
Следовательно, при разработке модели роста народонаселения
страны, как минимум, необходимо учитывать эти различия,
следовательно,
модель роста народонаселения одной страны
должна быть двухфазной.
Первоначально мы использовали этот термин и назвали такую модель
двухфазной моделью роста народонаселения, однако, учитываю возможность
выделения и других страт населения в стране, более предпочтительной
считаем термин «стратовая модель роста народонаселения», который будем
использовать относительно модели роста народонаселения Земли. Считаем,
что
выделение
«точки
демографического
перехода»
довольно
искусственным, так как такая точка для каждой страны будет разной и в
нашей модели в явном виде она отсутствует.
Опираясь на сформулированные принципы, которые можно было бы
назвать структурным подходом к проблеме роста народонаселения, мы
поэтапно построим сначала двухфазную модель роста народонаселения
страны, а затем сформулируем стратовую модель роста народонаселения
Земли.
3
Формулировка задачи
Пусть имеется замкнутая территория (отсутствие эмиграции) с
неограниченным запасом ресурсов (страна). Пусть численность городского
населения – х, сельского населения – у, время - t
В простейшем случае народонаселение страны рассматривается как
состоящее из двух фаз (или страт) - «сельское народонаселение» и
«городское народонаселение», каждая фаза подчиняется своим законам
роста, однако, будем считать, что между ними существует тесная связь и
переток из одной фазы в другую [3].
Предполагается, что жители «деревни» дают основной вклад в прирост
населения, тогда как для жителей «города» смертность превышает
рождаемость. Основным источником сложной динамики в данной системе
является дополнительное слагаемое в модели, ответственное за внутреннюю
миграцию – переток сельского населения в города (вообще говоря – и
наоборот). Оно может как определяться естественным образом, так и
задаваться извне (в формате целенаправленной государственной политики).
Опуская
подробности
вывода
уравнений,
приведем
конечный
результат, предлагаемая двухкомпонентная (двухфазовая) модель сводится к
следующей системе:
dx
xt    yt   
 axt   
dt
x 2 t    2
dy
xt    y t   
 byt   cy 2 t   
dt
x 2 t    2
(3)
Здесь в случае   0 мы говорим о перетоке населения из деревни в
город, а в случае   0 горожане возвращаются в деревню. Ради удобства в
2
дальнейшем будем считать всегда   0 . Слагаемое  введено для
устранения особенности при х=0, и отражает минимальную численность
населения, необходимую для того, чтобы оно стало считаться «городским».
Из оценок популяционной динамики (подгонка параметров для формулы
4
гиперболического роста) известно, что это число порядка 60-70 тыс. человек
(размер человеческого сообщества, когда начинают играть роль не
личностные,
а
статистические
факторы).
Параметр
τ
характеризует
запаздывание реакции системы.
В целях уменьшения числа управляющих параметров проведем
перенормировку переменных.
t   t  , x  x  , y   y
И введем обозначения:
A  a , B  b , C  c , D    2
Тогда, опуская штрихи у новых переменных, получим систему:
dx
xt  1 yt  1
  Axt   D
dt
x 2 t   1
dy
xt  1 yt  1
 By t   Cy 2 t   D
dt
x 2 t   1
(3)
Из физического смысла рассматриваемой системы все переменные
должны быть положительными (на параметры A,B,C,D это требование было
наложено изначально). Время запаздывания теперь всегда равно 1.
Это и есть искомая двухфазная модель роста народонаселения страны.
Все коэффициенты могут быть определены из статистики наблюдения роста
народонаселения. Уравнение на неподвижные точки
системы (3) будет
четвертого порядка, т.е. система относительно богата возможностями
(сценариями)
и
может
иметь
самые
разные
режимы.
Численное
моделирование позволяет выделить несколько характерных областей
значений параметров, где возможны различные режимы.
5
Нами было изучено качественное поведение системы (3) в зависимости
от значений параметров в численных вычислениях, проводившегося методом
Рунге-Кутты 4 порядка, и были получены следующие выводы:
1. Результаты численного моделирования, показывают, что в модели
нет
«точки
демографического
перехода»,
но
есть
«область
демографического перехода», т.е. переход от быстрого роста к
стагнации происходит на продолжительном периоде.
2. Имеются области значений параметров, где возможны устойчивые
решения, однако есть области значений параметров, где могут
возникать периодические решения, периодические затухающие
решения, сложнопериодические решения и даже область хаоса.
3. Стационарная численность населения страны в большой степени
определяется уровнем рождаемости сельского населения.
4. Уровень смертности и уровень рождаемости городского населения
слабо влияют на общую численность населения страны.
5. Насыщение имманентно присуще модели, не требуется никаких
дополнительных гипотез.
6
6. Насыщение роста получает простое объяснение – при достижении
предельной плотности населения рост прекращается, что характерно
для любых живых систем.
Таким образом, именно ситуация в деревне (источнике пополнения
населения страны) оказывается решающей, следовательно демографическая
политика может быть нацелена лишь одну из групп населения – сельскую.
Вывод стратовой модели роста народонаселения Земли на основе
сформулированных выше ограничений приводит к следующей системе
уравнений:
dxi
x t    y t   
x t   x t   
 ai xi t    i i 2 i i 2 i    ik 2 i 2 i k 2 k 2
dt
x i t   x k t    i   k
xi t    i
k
dyi
x t    y t   
2
 bi yi t   ci yi i t    i i 2 i i 2 i
dt
xi t    i
(4)
Здесь i = 1,2,3,….. N обозначает номер страны, N – общее число стран
на Земле. Всего получится 2N дифференциальных уравнений. Последнее
слагаемое в первом уравнении описывает миграционные потоки между
странами. Очевидно, что данная модель (4) в основном будет иметь те же
особенности, что и изученная выше и может служить основой для расчетов
прогнозов роста народонаселения Земли на длительную перспективу.
Однако, очевидно также, что для этих расчетов необходимо обработать
большие массивы статистики по росту народонаселения по странам, по
миграции и т.д., что бы определить параметры модели. Все это крайне
трудозатратно и требует организации специального проекта, в рамках
которого возможно будет профинансировать эти работы.
7
Обсуждение результатов.
Наличие
городского
и
сельского
типов
поселения
открывает
принципиальную возможность длительного существования ряда важнейших
для
современного
общества
институций.
Так,
например,
возможно
рассмотрение модели, в котором условный «город», выполняя те или иные
институциональные роли, постоянно «вымирает». Именно это «вымирание»
освобождает ресурсы от необходимости обеспечения воспроизводства и
делает возможным их использование в «функциональных» целях. Условная
«деревня» при этом реализует две функции: воспроизводство населения, не
отягощенного
ресурсными
ограничениями
при
выполнении
«функциональных» задач, и обеспечение достаточного перетока населения из
условной «деревни» в условный «город».
В
модели
при
ряде
значений
параметров
реализуются
как
периодические режимы (характерные, в частности, для неолитических
культур, когда постепенное истощение ресурсов приводило к вымиранию
населения, после чего ресурсы восстанавливались), так и хаотические.
Последнее можно трактовать как ошибочно выбранное управленческое
решение, приводящее к дестабилизации системы. Отметим, что область
хаотической
динамики
на
плоскости
параметров
имеет
небольшую
протяженность по сравнению с другими аналогичными моделями.
Изучена возможность управления системой путем резкого изменения
динамических параметров (смены институтов). Показано, что в ряде случаев
предлагаемые изменения могут вести к потери устойчивости системой.
Предлагаемый взгляд на динамику роста народонаселения приводит не
только к новой математической модели роста народонаселения, но также
приводит к уменьшению числа произвольных параметров в модели (по
сравнению с аналогичными подходами [1,2,4-6]), и дает дополнительные
аргументы и рычаги для управления темпами роста народонаселения, что
немаловажно для стран, испытывающих проблемы с перенаселением, а также
8
для стран, где начался процесс депопуляции. Эта модель позволяет также по
новому интерпретировать периоды ускоренного роста промышленности в
станах, где происходил демографический переход. Предложенная модель
естественным образом допускает обобщение на случай многих стран, т.е.
позволяет построить модель «мировой динамики народонаселения», где
отсутствует проблема «сложения страновых динамик» (см. [3]).
Существенное
улучшение
прогностических
предложенной модели роста народонаселения позволит
возможностей
существенно
улучшить и прогнозы экономического роста, основанные на моделях Р.
Солоу или Мэнкью, Ромера, Уэйла, что и будет предметом наших
дальнейших исследований.
Работы выполнены при поддержке гранта РФФИ № 13-06-00842.
Цитируемая и использованная литература
1. Kapitsa S.P. Global population blow-up and after. The demographic
revolution and information society. M. 2006.
2. Малков С.Ю. Социальная самоорганизация и исторический процесс:
возможности математического моделирования. М. 2009
3. Balyakin A.A., Zhulego V.G. 2-Phase model for population growth // Chaos
2014. Proceedings. VII chaotic modeling and simulation conference. 7-10
June, Lisbon, Portugal. P. 33-44
4. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son
accroisment // Correspondence mathematique et physique. 1838. N 10, P.
113-121
5. Капица СМ.П, Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и
прогнозы будущего. М 1997
6. А.А.
Акаев
Математические
модели
для
долгосрочного
демографического
и
макроэкономического
прогнозирования.
Футурологический конгресс: будущее России и мира. Москва,
Научный эксперт , 2010 г. стр. 17-32
9