РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ № 8

Левкин Г.Г.
Логистика
Управление запасами и закупками
ОМСК - 2006
1. Основные понятия теории управления запасами
Все широко применяемые в настоящее время логистические системы используют запасы. Следовательно, для каждого предприятия важной задачей является разработка оптимальной стратегии управления запасами. В качестве запасов можно рассматривать сырье, полуфабрикаты и готовую продукцию. Задача управления запасами напрямую связана с организацией процесса закупок, а также со сбытом готовой
продукции. Методы и модели теории управления запасами позволяют определить оптимальные решения по управлению логистическими подсистемами снабжения, запасов, и сбыта, обеспечить эффективную и согласованную работу этих подсистем.
Задача управления запасами в общем случае формулируется следующим образом: определить оптимальный размер запаса, размер, частоту и сроки поставки заказа,
минимизирующие суммарные затраты. В затраты обычно входит стоимость закупки,
доставки и хранения продукции.
Ниже будут рассмотрены различные модели или задачи управления запасами,
соответствующие различным входным условиям и внутренним требованиям исследуемой системы. Расчет моделей позволяет минимизировать затраты на закупку, доставку заказов и хранение запасов, то есть оптимизировать работу логистической системы
предприятия.
Можно выделить следующие основные характеристики моделей управления запасами:
1. Спрос. Может быть детерминированным (определенным) или случайным.
2. Размер заказа. Запасы пополняются с помощью заказов. В общем случае размер
заказа зависит от величины запаса в момент подачи заявки на заказ.
3. Точка заказа или уровень повторного заказа. Размер запаса, при котором подается заявка на заказ, называется точкой заказа.
4. Время доставки заказа. Это время, прошедшее от момента заказа в точке заказа
до момента поставки заказа. Может быть детерминированным или случайным.
5. Стоимость закупки продукции.
6. Стоимость доставки заказа. Учитывает затраты на транспортное средство, заработную плату водителей, налоговые сборы при импортировании продукции или
оплату фирмы-посредника, занимающейся перевозками.
7. Стоимость хранения запасов. Является суммарной величиной, учитывающей затраты на непосредственное содержание складов, оплату персонала, работающего на складе, затраты на электроэнергию, а также убытки, связанные с замораживанием капитала в запасах, порчу и утерю хранимых материальных единиц.
8. Штраф за дефицит. Убытки, связанные с отсутствием требуемой продукции,
называются штрафом за дефицит.
Корректное определение последних трех величин во многом определяет верность решения при расчете моделей управления запасами.
9. Номенклатура запасов. Запас может однопродуктовым и многопродуктовым.
10. Структура складской системы. Склад может быть одиночным, может рассматриваться иерархическая система складов с различными периодами пополнения и
возможностями обмена продукцией между складами.
2
Процесс управления запасами – циклический (рис. 1). Снижение уровня запасов
определяется спросом. В точке заказа для пополнения запасов делается заказ. По истечении времени доставки заказ будет получен и уровень запасов возрастает.
Q
q
q1
q2
0
t1
t2
t3
t4
t5
T
Рис. 1. Общая схема управления запасами на предприятии
Условные обозначения:
Q – количество единиц продукции; T – период хранения запасов; t1 – момент времени, в который
делается заказ; t2 – момент времени получения заказа; t2 - t1 –
время доставки; t5 – t4 – время, когда запас отсутствует; q – размер запаса; q1, q2 –
точки заказа.
2. Модель управления запасами без дефицита
Ограничениями модели являются постоянный спрос, равномерность расходования
запаса, отсутствие дефицита (рис. 2).
Q
q*
q1
0
Т
tД
Рис. 2. Схема управления запасами без дефицита
В этой модели оптимальные размеры заказа и запаса совпадают.
Условные обозначения:
Q – количество единиц продукции; T – период хранения запасов; D – спрос; q –
размер заказа; q* – экономичный размер заказа; q1 – точка заказа; tД – время доставки заказа; n – число заказов за период Т; С1 – стоимость доставки одного заказа; С2
– стоимость хранения единицы продукции в единицу времени; СД – стоимость доставки заказов за период Т; СХ – стоимость хранения запасов за период Т; С – стоимость логистической системы за период Т.
Оптимальный размер запаса и заказа определяется по формуле Вильсона или
формуле экономичного размера заказа (EOQ – Economic Optimal Quantity). Для экономичного размера заказа EOQ стоимость доставки заказов равна стоимости хранения
запасов (рис. 3).
3
При небольшом размере определяющей величиной является стоимость его
доставки. Это означает, что заказы доставляются часто и небольшой величины. При
увеличении размера заказа определяющей становится стоимость хранения запаса. Такие запасы поставляются редко и значительно увеличивают размер хранящейся на
складе продукции.
С
Общая стоимость
Стоимость хранения
С1С2 DТ
2
Стоимость доставки
0
q* = EOQ
q
Рис. 3. График стоимости логистической системы
Расчет основных показателей модели управления запасами без дефицита:
1. Экономичный размер заказа:
2С1D
(1)
С2
q *  EOQ 
2. Число заказов за время Т
n
D
q*
(2)
3. Интервал времени между заказами
t
Ò
n
(3)
4. Точка заказа или уровень повторного заказа
q1  t Д
где
D
Т (4),
D
- потребление в единицу времени.
Т
5. Минимальная стоимость логистической системы управления запасами
Ñ1 D Ñ 2 q *
Ñ  * 
(5)
2
q
*
Задача 1
Фирма поставляет на рынок гибкие магнитные диски. Годовой спрос на диски у
этой фирмы составляет 4000 ед. Стоимость доставки одного заказа составляет 20 у.е.,
стоимость хранения одного диска в год – 1 у.е. В среднем доставка занимает 3 дня.
Предполагается, что в году 300 рабочих дней. Определить параметры логистической
системы управления запасами, минимизирующие ее стоимость. Расчеты осуществить
по формулам 1-5. Результат оформить в следующем виде: для получения минимальной годовой стоимости, равной nnn у.е. в год, нужно раз в nn дней делать заказ разме4
ром nnn единиц по достижении запасом уровня nn единиц, при этом число заказов за
год равно nn.
2. Оптовые закупки
При оптовых закупках стоимость логистической системы зависит от размера заказа. На большие заказы обычно предоставляются скидки. Заказы на крупные партии
ведут к увеличению стоимости хранения запасов, которая может компенсироваться
снижением закупочной цены.
Стоимость определяется формулой:
Ñ1 D Ñ2 q*
C * 
 Ñ3 D , (6)
q
2
где С3 – закупочная цена единицы продукции. Уровень заказа, начиная с которого устанавливается скидка, называется уровнем q0, нарушающим цену.
Если экономичный размер заказа не включается в интервал предоставления скидок, то следует пересчитать оптимальный размер заказа, соответствующий минимальной стоимости.
Задача 2.
Магазин закупает товар в упаковках по 2 у.е. за одну упаковку. Спрос на товар
составляет 500 упаковок в год. Величина спроса равномерно распределяется в течение
года. Доставка одного заказа равна 10 у.е., время доставки составляет 12 рабочих
дней. Предполагается, что в году 300 рабочих дней. Среднегодовая стоимость хранения одной упаковки оценивается в 20% от ее закупочной цены. Поставщик предоставляет следующие скидки на закупочные цены:
Следует ли администрации магазина воспользоваться одной из скидок?
Размер заказа,
Скидка, %
Цена за упаковку,
Стоимость
упаковок
у.е
хранения
0-199
0
2
200-499
10
1,8
500 и более
20
1,6
Решение:
D – 500 (ед); T – 300 (дн); C1 – 10 (у.е.); tД - 12 (дн.).
1. Расчет показателей логистической системы без учета скидок.
2.
С3 = 2 (у.е.); С2  Т 
2
 20  0,4( у.е.)
100
Экономичный размер заказа
q*  EOQ 
2С1D
2  10  500

 158(ед.).
С2
0,4
Для определения минимальной стоимости подставим в формулу (6) значения q*. Получим
С1 D С 2 q *
10  500 0,4  158
С*  * 
 С3 D 

 2  500  1063,2( у.е.).
2
158
2
q
3. Пересчет показателей логистической системы для скидки 10%
5
С3 = 1,8 (у.е.); С2  Т 
1,8
 20  0,36( у.е.)
100
q*  EOQ 
2С1D
2  10  500

 167(ед.).
С2
0,36
167<200, следовательно, расчет стоимости следует произвести для нижней границы предоставления скидки, равной 200.
q* = 200.
Ñ* 
Ñ1 D Ñ 2 q *
10  500 0,36  200

 Ñ3 D 

 1,8  500  25  36  900  961( ó.å.).
*
2
200
2
q
4. Пересчет показателей для скидки 20%.
1,6
 20  0,32( у.е.) (среднегодовая стоимость хранения одной
С3 = 1,6 (у.е.); С 2  Т 
100
упаковки).
q*  EOQ 
2С1D
2  10  500

 177(ед.).
С2
0,32
177<500. Минимально возможная стоимость будет получена для
q* = 500.
Ñ1 D Ñ2 q *
10  500 0,32  500
Ñ*  * 
 Ñ3 D 

 1,6  500  10  80  800  890( ó.å.).
2
500
2
q
Минимальная стоимость логистической системы с учетом закупочной цены соответствует оптовой закупке в размере 500 единиц один раз в год.
4. Модель управления запасами с дефицитом
При наличии дефицита возможны два случая:
- спрос на продукцию, возникающий в период отсутствия запасов, удовлетворяется
за счет следующего заказа (случай 1);
- спрос на продукцию, возникающий в период отсутствия запасов, остается неудовлетворенным (случай 2).
Пример 1.
Рассмотрим работу магазина, продающего бытовую технику. Администрация магазина принимает решение о сокращении запаса стиральных машин определенного вида, так как в этих запасах замораживаются большие финансовые средства. При этом
если покупатель хочет приобрести данную стиральную машину, то продавец может
принять заказ в период отсутствия товара на складе и обслужить покупателя после его
получения.
Пример 2.
Администрация продуктового магазина также может принять решение о снижении
запасов какой-либо продукции на складе. При этом если покупатель желает приобре6
сти продукт, отсутствующий в данном магазине, то он, естественно, не будет оставлять заказ, а просто уйдет в другой магазин.
Пример 1 соответствует случаю 1, а пример 2 – случаю 2. Различие этих двух случаев состоит в том, что во втором из них спрос покупателя в период отсутствия продукции так и остается неудовлетворенным, то есть максимальный размер запаса равен
размеру получаемого заказа. В первом случае часть продукции из полученного заказа
идет на удовлетворение спроса покупателя в предшествующий период времени, когда
запас отсутствовал, то есть максимальный размер запаса в этом случае равен разности
между размерами полученного заказа и максимального спроса покупателя в предшествующий период времени.
И в том, и в другом случаях в период отсутствия запасов на складе снижается объем продаж, а также возможна потеря клиентов и их доверия к данному магазину. Эти
издержки, как было указано выше, называются штрафом за дефицит. Следует сопоставить эти издержки и величину экономии, связанную с отсутствием запасов на
складе.
Основные показатели модели управления запасами с дефицитом при условии покрытия дефицита за счет нового заказа рассчитываются по следующим формулам:
1. Оптимальный размер заказа
q  EOQ
С 2  С4
(7)
С4
2. Максимальный уровень дефицита
S* 
2С1D
С2
(8)
С4
С2  С4
3. Максимальный размер запаса
q * - S* 
2С1D С 2  С 4
2С1D
С2
(9)

С2
С4
С 4Т С 2  С 4
4. Число заказов за период Т
n
D
q*
(10)
Т
n
(11)
5. Интервал времени между заказами
t
6. Точка заказа или уровень повторного заказа
q1=ROP-S* (12)
7. Минимальная стоимость логистической системы
С1D С 2 (q * - S* ) 2 С 4 (S* ) 2
*
С  * 

(13)
q
2q *
2q *
Задача 3.
Годовой спрос на один из товаров магазина электронной техники составляет 3000
единиц и равномерно распределяется в течение года. Год содержит 300 рабочих дней.
Закупочная цена товара составляет 50 у.е. Стоимость доставки одного заказа также
равна 50 у.е. и занимает 6 дней, а среднегодовые издержки хранения единицы товара
составляют 20% от его цены. Начальник логистического отдела магазина рассматривает вопрос о сокращении запасов данного товара на складе с целью высвобождения
7
соответствующих денежных средств. По его оценке расходы, связанные с отсутствием
запаса на складе, снижением объема продаж, частичной утратой доверия клиентов и
срочной доставкой заказа составляют 5 у.е. в год на единицу товара.
Определить оптимальные показатели логистической системы без дефицита и с дефицитом, при условии, что дефицит будет покрываться из новых поставок.
Определить величину экономии, которая достигается при введении системы планирования дефицита.
Решение.
D = 3000 (ед.); Т = 300 (дн.); С1 = 50 (у.е.); С2Т = 50 : 100 х 20 = 10 (у.е.); С4Т
= 5 (у.е.); tД = 6 (дн.).
I.
Расчет по формулам (1-5) для логистической системы без дефицита.
1. Экономичный размер заказа:
q *  EOQ 
2С1D
2  50  3000

 173(ед).
С2
10
2. Число заказов за время Т
n
D 3000

 18( з.)
173
q*
3. Интервал времени между заказами
t
Т 300

 17(дн.).
n
18
4. Точка заказа или уровень повторного заказа
q1  ROP  t Д
II.
D 6  3000

 60(ед).
Т
300
5. Минимальная стоимость логистической системы управления запасами
Ñ1D Ñ2 q * 50  3000 10 173
*
Ñ  * 


 1732( ó.å.).
2
173
2
q
Расчет по формулам (7-13) для логистической системы с дефицитом.
1. Оптимальный размер заказа
q *  EOQ
С 2  С4
10  5
 173
 300 (ед).
С4
5
2. Максимальный уровень дефицита
S* 
2С1D
С2
2  50  3000  10

 200(ед).
С4
С2  С4
(5(10  5)
3. Максимальный размер запаса
q * - S*  300  200  100(ед.).
4. Число заказов за период Т
n
D 3000

 10 (з.)
q * 300
5. Интервал времени между заказами
t
Т 300

 30 (дн.).
n 10
6. Точка заказа или уровень повторного заказа
8
q1=ROP-S* = 60-200 = -140 (ед).
Отрицательное значение соответствует тому, что повторный заказ делается, когда
размер дефицита достигает 140 единиц.
7. Минимальная стоимость логистической системы
С1D С2 (q * - S* ) 2 С4 (S* ) 2 50  3000 10 100 2 5  200 2
*
С  * 




 1000( у.е).
300
(2  300) (2  300)
q
2q *
2q *
Таким образом, годовая экономия от внедрения логистической системы планирования дефицита составляет:
Э = 1732 – 1000 = 732 (у.е.).
5. Учет колебаний спроса и времени доставки
На практике достаточно часто спрос и время доставки заказа меняются случайным
образом: спрос возрастает и падает, нарушаются интервалы доставки заказов. Обеспечить устойчивое функционирование логистической системы в этих случаях можно за
счет создания резервного запаса. Естественно, что расчеты могут быть корректно проведены только при наличии соответствующих данных. На основании статистических
исследований должны быть получены данные по значениям спроса и колебаниям времени доставки на достаточно большом временном интервале.
В основном используются две модели управления запасами: модель заказов фиксированного размера с переменными интервалами времени и модель с фиксированными
интервалами времени между заказами переменных размеров.
Условные обозначения:
Т – период хранения запасов;
D – спрос;
q – размер заказа;
q* - оптимальный размер заказа;
S – размер дефицита;
R – размер резервного запаса;
R* - оптимальный размер резервного запаса;
t - интервал между заказами;
tД – среднее время доставки заказа;
n – число интервалов между заказами;
q1 – точка заказа;
С1 – стоимость доставки одного заказа;
С2 – стоимость хранения единицы продукции в единицы времени;
С4 – штраф за отсутствие единицы продукции в единицу времени;
СД – стоимость доставки заказов за период Т;
СХ – стоимость хранения запасов за период Т;
СО - Штраф за отсутствие продукции в течение периода Т;
С – стоимость логистической системы за период Т.
Модель с фиксированным размером заказа и переменными интервалами времени между заказами
В данной логистической системе осуществляется заказ фиксированного количества продукции в разные моменты времени. Заказ на продукцию подается в точке заказа, определяемой как сумма среднего спроса в течение времени доставки заказа и
резервного запаса. Нужно найти такое значение резервного запаса, при котором стоимость логистической системы минимальна.
9
Стоимость логистической системы складывается из стоимости доставки заказа,
стоимости хранения запаса обычного размера, стоимости хранения резервного запаса
и штрафа за дефицит.
С = СД + СХ + С2R + C4S (14)
Задача решается в два этапа.
На первом этапе определяется фиксированный размер заказа, в качестве которого выбирается экономический размер заказа, рассчитываемый по формуле (1). Для
данного размера по формулам (2) и (4) определяется число заказов, которые необходимо сделать, и точка заказа, не учитывающая колебаний спроса за время доставки.
С1 D
, стоимость хранения стандартного запаса
q
Ñq
Ñ Õ  2 , q *  EOQ.
2
Стоимость доставки С Д 
Тогда формула общей стоимости запишется как
Ñ1 D Ñ 2 q *
Ñ * 
 Ñ 2 R  C 4 S (15)
2
q
На втором этапе определяется оптимальное значение резервного запаса R*, при
котором значение общей стоимости минимально. Поскольку два первых слагаемых в
формуле (15) фиксированы, данная задача сводится к определению значения R*, при
котором достигается минимум суммы двух последних слагаемых.
Ñ2 R  C4 S  min
Среднее значение спроса в течение времени доставки заказа равняется
tД D
Т
.
Если спрос в течение времени доставки не превышает своего среднего значения, на
основании которого рассчитан стандартный размер запаса q*, то дефицита нет. Дефицит продукции появляется только в том случае, когда спрос превышает среднее значение
tД D
Т
.
На основании построенного ряда распределения спроса на достаточно большом
временном промежутке определяют размер резервного запаса, необходимый для удовлетворения текущего спроса, и среднее значение (математическое ожидание) дефицита, соответствующего данному значению резервного запаса. Математическое ожидание дефицита считается как сумма произведений значений дефицита для различных
значений спроса на вероятность появления этих значений спроса. Для каждого из
найденных значений подсчитывают стоимости хранения резервного запаса и штраф за
дефицит сначала на одном интервале времени, а затем в течение всего периода управления запасами Т. Выбирают значение резервного запаса, соответствующее минимальному из полученных значений стоимости. Вычисления удобно оформлять в виде
таблиц.
Изменения спроса могут быть также заданы с помощью известных законов распределения, например нормального, показательного, Пуассона и других. В этом случае для выполнения описанных выше вычислений необходимо использовать статистические таблицы соответствующих распределений.
В формулах (14) и (15) под термином S следует понимать математическое ожидание дефицита, для простоты обозначенное одной буквой.
10
Задача 4.
Магазин, торгующий бытовой техникой, осуществляет закупку одного из видов
товара у производителя по цене 250 у.е. Средний объем продаж за год составляет 600
ед. товара данного вида. Год содержит 300 рабочих дней. Доставка каждого заказа
оценивается в 50 у.е., а среднегодовая стоимость хранения единицы продукции данного вида составляет 15% от его закупочной цены. Среднее время доставки одного заказа равняется 3 дням. На основе статистических исследований по последним 50 интервалам между заказами получены следующие значения спроса в течение времени доставки заказа (табл. 1).
Таблица 1
Спрос на продукцию в течение времени доставки
заказа
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число интервалов управления запасами
1 2 6 8 10 8 6 4 3 2
При отсутствии требуемого товара на складе убытки магазина, включая потерю
прибыли от невыполнения заказов покупателей и частичной утраты их доверия, оцениваются в среднем в 60 у.е. за единицу продукции.
Определить оптимальный размер и точку заказа, а также оптимальный размер
резервного запаса, при которых суммарная стоимость данной логистической системы
минимальна.
Решение.
Выпишем исходные данные.
Т = 300 (дн.); D = 600 (ед.); С1 = 50 (у.е.); С3 = 250 (у.е.); С2Т= 250 х 0,15 =
37,5 (у.е.); С4 = 60 (у.е.); tД = 3 (дн.).
Этап 1.
По формуле (14) найдем стоимость логистической системы:
С = СД + СХ + С2R + C4S.
q *  EOQ 
2С1D
2  50  600

 40.
С2
37,5
Таким образом, в качестве фиксированного размера заказа выбирается значение
равное 40.
600
 15 .
Число интервалов между заказами составит n 
40
Этап 2.
Определим оптимальный размер резервного запаса, при котором достигается
минимум суммы двух последних слагаемых в формуле (15).
Среднее значение спроса в течение времени доставки заказа:
tД D
Т

3  600
 6.
300
По исходным данным построим ряд распределения спроса. Для этого для каждого спроса разделим число интервалов доставки, в которых спрос принимает данное
значение, на общее число проанализированных интервалов. Например, спрос, равный
6, возникает в 6 интервалах из 50, следовательно, вероятность появления этого спроса
равна
6
 0,12. Расчеты запишем в таблицу 2.
50
11
Таблица 2
Спрос на продукцию в течение времени доставки заказа
Число интервалов
0
1
(1:50)
0,02
Вероятность спроса
1
2
0,04
2
6
3
8
4
10
0,12 0,16
5
8
0,20
6
6
0,16 0,12
7
4
0,08
8
3
9
2
0,06 0,04
Нужно проанализировать значения спроса, большие 6, так как спрос в течение
времени доставки заказа меньше 6, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса подсчитаны в таблице 3.
Таблица 3
Спрос в течение tД
Вероятность спроса
6
7
8
0,12
0,08
0,06
Резервный запас, необходимый
для удовлетворения спроса
0
1
2
9
0,04
3
Для определения оптимального размера резервного запаса используем так называемый метод «проб и ошибок» (табл. 4).
Таблица 4
Резервный
запас R
3
Удовлетворенный
спрос
9
Математическое ожидание S
На одном За период
интервале
Т
Дефицита
С4ТS
0
0
2
8
1  0,04  0,04 0,04  15 
0
1
7
2  0,04  1 
 0,06  0,14
0
6
3  0,04  2 
 0,06  1 
 0,08  0,32
0,6
0,14  15 
2,1
0,32  15 
4,8
Стоимость (у.е.)
Резервного
Общая С2R+C4S
запаса С2R
112,5
60  0,6  36
37,5  3 
112,5
37,5  2  75
60  2,1  126
37,5  1  37,5
60  4,8  288
0
37,5  126 
163,5
288
75  36  111
С уменьшением резервного запаса снижается стоимость хранения запасов и повышается штраф за дефицит. Минимальная стоимость, равная 111 у.е., соответствует
значению 2 для резервного запаса.
R* = 2,
S* = 0,6.
Точка заказа q1 = 6+2 = 8.
Подставив в формулу (15) значения q*, S*, R*, получим значение минимальной
общей стоимости данной логистической системы:
С
50  600
40
 37,5 
 37,5  2  60  0,6  1611( у.е).
40
2
Таким образом, для получения минимальной стоимости в размере 1611 у.е. администрация магазина должна периодически подавать заказ размером 40 единиц, когда уровень запасов исчерпывается до 8 единиц.
12
В данной модели в качестве случайно меняющейся величины можно было бы
выбрать не спрос, а интервал доставки. В этом случае в качестве исходных данных
необходимо использовать различные значения периодов доставки, полученные в результате статистических исследований на достаточно большом временном интервале.
На основании этих данных подсчитывается среднее значение времени доставки и
определяется спрос в течение каждого временного промежутка. Далее проводятся
расчеты, аналогичные приведенным выше.
Задача 5.
Пусть в задаче 4 не задано среднее время доставки и вместо информации об изменениях спроса приведены статистические данные о размерах 50 интервалов доставки заказов (табл. 5).
Таблица 5
Размер интервала доставки заказа (дн.)
1 2 3 4 5 6 7 8
Число интервалов
2 6 6 14 9 6 4 3
Необходимо определить оптимальный размер резервного запаса, оптимальный
размер и точку заказа, при которых суммарная стоимость логистической системы минимальна.
Решение.
Исходные данные:
Т = 300 (дн.); D = 600 (ед.); С1 = 50 (у.е.); С3 = 250 (у.е.); С2Т = 250  0,15
= 37,5 (у.е.); С4 = 60 (у.е.).
Этап 1.
По формуле (14) стоимость логистической системы составляет:
С = СД + СХ + С2ТR + C4TS
2С1D
2  50  600
q*  EOQ 

 40.
С2
37,5
Число интервалов между заказами составит n 
600
 15 .
40
Этап 2.
Определим оптимальный размер резервного запаса, при котором достигается
минимум суммы двух последних слагаемых в формуле (15).
Построим ряд распределения времени доставки заказа, разделив число интервалов с данным временем на общее число интервалов (табл. 6).
Таблица 6
Время доставки заказа (дн.)
1
2
3
4
5
6
7
8
Число интервалов
2
6
6
14
9
6
4
3
Вероятность спроса
0,04 0,12 0,12 0,28 0,18 0,12 0,08 0,06
Определим среднее время доставки заказа tД. Оно равняется математическому
ожиданию времени доставки:
tД = 1  0,04 + 2  0,12 + 3  0,12 + 4  0,28 + 5  0,18 + 6  0,12 + 7  0,08 + 8  0,06 = 4,42.
Для того чтобы проанализировать большее число вариантов, в качестве времени
доставки рассмотрим интервал, равный 3 дням.
D 600

 2.
Ежедневный спрос составляет:
Т 300
13
Среднее значение спроса для среднего времени доставки заказа:
tДD
Т

4  600
8
300
По ряду распределения времени доставки построим ряд распределения спроса,
умножив число дней на ежедневный спрос. Расчеты запишем в табл. 7.
Нужно проанализировать значения спроса, большие 8, так как если спрос в течение доставки заказа меньше 8, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный
запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса
подсчитаны в табл. 8.
Таблица 7
Время доставки заказа (дн.)
1
2
3
4
5
6
7
8
Спрос в течение времени доставки
2
4
6
8
10
12
14
16
Вероятность времени доставки
0,04 0,12 0,12 0,28 0,18 0,12 0,08 0,06
Нужно проанализировать значения спроса, большие 8, так как если спрос в течение доставки заказа меньше 8, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный
запас не нужен. Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса
подсчитаны в табл. 8.
Таблица 8
Спрос в течение tД
Вероятность спроса
8
0,28
Резервный запас, необходимый для
удовлетворения спроса
0
10
12
0,18
0,12
2
4
14
0,08
6
16
0,06
8
Определим оптимальный размер резервного запаса.
Таблица 9
Резерв- УдовлеМатематическое ожиный за- творенный дание S
пас R
спрос
На одном За период Дефицита
интервале
Т
С4 S
8
16
0
0
0
2  0,06  0,12 0,12  15  60  1,8  108
6
14
1,8
0,4  15 
6
0,92  15 
13,8
4
12
4  0,06  2 
 0,08  0,4
2
10
6  0,06  4 
 0,08  2 
 0,12  0,92
0
8
8  0,06  6 
1,8  15 
 0,08  4 
27
 0,12  2  0,18 
 1,8
60  6  360
60  13,8  828
60  27 
1620
Стоимость (у.е.)
Резервного за- Общая
паса С2R
С2R+C4S
37,5  8  300
300
37,5  6  225
225  108
 333
37,5  4  150
37,5  2  75
0
150  360 
510
75  828
 903
1620
В данном случае минимальная стоимость, равная 300 у.е., соответствует максимально возможному значению 8 для резервного запаса.
R* = 10,
14
S* = 0.
Точка заказа q = 8+10 = 18.
Новый заказ в размере 40 единиц делается, когда размер резервного запаса составляет 18 единиц. Дефицит не планируется.
Такие результаты характерны для производственной системы, в которой отсутствие требуемых материальных единиц на складе может привести к остановке производственного процесса, то есть штраф за дефицит является, как и в рассмотренной
выше задаче, достаточно большим.
Подставив в формулу (15) значения q*, S*, R*, получим значение минимальной
общей стоимости данной логистической системы:
С
500  600
40
 37,5 
 37,5  8  1800( у.е).
40
2
Модель с фиксированными интервалами времени между заказами и переменным размером заказа
В данной логистической системе в фиксированные интервалы времени делаются
заказы продукции переменного размера. Размер заказа должен быть таким, чтобы
обеспечить минимальное значение стоимости данной логистической системы:
С = СД + СХ + С2R + C4S (16)
Как и в предыдущем случае, задача решается в два этапа.
Этап 1. Подсчет величины интервала между заказами без учета колебаний спроса.
Этап 2. Определение оптимального размера резервного запаса и максимального
уровня всех запасов, при которых суммарная стоимость хранения резервного запаса и
штрафа за дефицит минимальна.
Интервал между заказами рассчитывается по формуле (3)
t
Ò
.
n
Найденное значение лучше скорректировать в соответствии с наиболее удобным
интервалом проверки наличия запасов. Например, если найденное t = 4,3 дня, то лучше взять интервал проверки наличия запасов, равный одной неделе.
Число интервалов между заказами:
n
Т
t
Выразим из формул (2) и (3) значение q* через t.
D
Т
Dt
, t  , следовательно, q * 
.
*
Т
n
q
ÑD Ñ
Отсюда стоимость доставки Ñ Ä  1*  1 ,
t
q
n
стоимость хранения Ñ Õ 
Ñ2 q * Ñ2 D

.
2
2
Подставив полученные выражения в (16), получим следующую формулу стоимости логистической системы:
Ñ
Ñ1 Ñ 2 D

 Ñ 2 R  Ñ4S (17)
t
2
Для фиксированного интервала между заказами t значения двух первых слагаемых также фиксированы.
15
На втором этапе нужно учесть колебания спроса на всем интервале между заказами. Используя статистические данные, формируют ряд распределения спроса и подсчитывают математическое ожидание дефицита и размер резервного запаса для различных уровней спроса. Затем определяются значения резервного запаса и дефицита
продукции, при которых сумма двух последних слагаемых в формуле (17), то есть
стоимости хранения резервного запаса и штрафа за дефицит, минимальна. Расчеты
удобно оформлять в виде таблиц.
Задача 6.
Пусть в задаче 4 получены следующие значения спроса в течение последних 50
интервалов управления запасами (табл. 10).
Таблица 10
Спрос на продукцию на
интервале
управления
запасами
Число интервалов
5
10
20
32
42
50
62
70
84
1
2
6
8
10
8
8
5
2
Штраф за дефицит единицы продукции составляет 20 у.е. Остальные исходные
данные не изменяются.
Определить интервал между заказами, оптимальный размер запасов и размер резервного запаса, при которых стоимость данной логистической системы будет минимальна.
Решение.
Исходные данные.
Т = 300 (дн.); D = 600 (ед.); С1 = 50 (у.е.); С3 = 250 (у.е.);
С2=
250  0,15 37,5

( у.е.) ;
300
300
С4 = 20 (у.е.); tД = 3 (дн.).
Этап 1.
Оптимальный размер заказа
q* 
2С1 D

С2
2  50  600
 40
37,5
Число заказов за период Т
n
D 600

 15
40
q*
Интервал между заказами
t
Т 300

 20(дн.).
n
15
Размер заказа, выдаваемого один раз в 20 дней, должен быть таким, чтобы уровень запасов возрос до величины, при которой стоимость хранения резервного запаса
и штрафа за дефицит будет минимальна.
Интервал между заказами равен 20 дням, следовательно, средний спрос от мо600
 20  40(ед.).
300
Т 300
 15.
Число интервалов между заказами n  
t
20
мента подачи заказа до момента его получения:
По аналогии с задачей 4 по исходным данным определим вероятности появления различных значений спроса и построим соответствующий ряд распределения.
Расчеты представлены в таблице 11.
16
Таблица 11
Спрос на продукцию в течение
времени доставки заказа
Число интервалов управления запасами
Вероятность спроса
5
10
20
32
42
50
62
70
84
1
2
6
8
10
8
8
5
2
0,02
0,04
0,12
0,16
0,20
0,16
0,16
0,10
0,04
Нужно проанализировать значения спроса, большие 40, так как при меньших
размерах спроса, дефицита не возникает, и, следовательно, резервный запас не нужен.
Значения резервного запаса для соответствующих значений спроса подсчитаны в таблице 12.
Таблица 12
Спрос на интервале управле- Вероятность появления спроса
ния запасами
42
0,2
Резервный запас, необходимый
для удовлетворения спроса
2
50
62
70
0,16
0,16
0,1
10
22
30
84
0,04
44
Подсчитаем стоимости хранения резервного запаса и штрафа за дефицит для
различных значений спроса (табл. 13).
Таблица 13
Резервный
запас R
44
Удовлетворенный
спрос
84
Математическое ожидание S
На одном За период Дефицита
интервале
Т
С4 S
0
0
0
0,56  15 
8,4
30
70
14  0,04 
 0,56
22
62
22  0,04  8  1,68  15 
 0,1  1,68
25,2
20  8,4  168
Стоимость (у.е.)
Резервного
запаса С2R
37,5  44 
Общая
С2R+C4S
1650
1650
37,5  30 
 1125
1125  168 
1293
20  25,2  504 37,5  22  825 825  504 
 1239
10
50
34  0,04  20 
 0,1  12 
 0,16  5,28
5,28  15  20  79,2 
79,2
1584
2
42
42  0,04  28 
 0,1  20 
 0,16  8  0,16 
 8,96
8,96  15 
134,4
20  134,4 
 2688
37,5  10 
375
375  1584 
 1959
37,5  2 
75
75  2688 
 2763
Минимальная стоимость соответствует значению 30 для резервного запаса.
R*=30.
Среднее значение дефицита при данном размере резервного запаса:
S*=8,4  9.
Следовательно, максимальный размер запаса на одном интервале составляет 40
+ 30 = 70 единиц товара. Во время каждой проверки наличия запасов, проводимой 1
17
раз в 20 дней, должен выдаваться новый заказ, размер которого должен увеличить
уровень запасов до 70 единиц.
Подставив в формулу (17) значения t, R* и S*, определяем стоимость логистической системы.
Заключение
Рассмотренные модели управления запасами являются лишь приближенным
описанием логистических процессов, наблюдаемых в действительности. В каждую из
моделей вводятся ограничения на реальные характеристики логистических процессов
и при формировании расчетных формул делается ряд допущений. Такая ситуация характерна не только для моделей управления запасами, но и для большинства других
экономико-математических моделей, применяемых для получения оптимальных решений практических задач. Чем сложнее исследуемая проблема, тем труднее построить для нее адекватную математическую модель и тем больше допущений надо делать
для того, чтобы провести аналитический или численный расчет. Однако это не означает, что не следует применять приведенные выше модели управления запасами для
оптимизации процессов снабжения и хранения материальной продукции. Полученные
при расчетах данных моделей значения, являющиеся оптимальными при ряде ограничений, следует использовать в качестве некой «отправной точки», научнообоснованной оценки конечного решения. Окончательное решение по управлению запасами и закупками должно приниматься на основе практического опыта и использования результатов расчета экономико-математических моделей.
Контрольные вопросы и задачи (по решенным задачам 1 - 6)
Сформулировать задачу управления запасами.
Указать основные причины создания запасов.
Определить основные характеристики моделей управления запасами.
Перечислить основные модели управления запасами.
Фирма занимается розничной продажей калькуляторов. Спрос на них составляет
30 калькуляторов в неделю и равномерно распределен в течение недели. Предполагается, что в году 50 недель. Фирма производит закупку калькуляторов по 5
у.е. за штуку. Стоимость доставки одного заказа составляет 20 у.е., стоимость
хранения 0,5 у.е. за единицу в течение года. Доставка заказа занимает в среднем
2 дня.
а) Определить оптимальные показатели логистической системы.
б) В настоящее время администрация фирмы заказывает калькуляторы партиями
500 штук. Какой будет величина экономии, если заказы будут иметь размер,
найденный в п. «а»?
в) Если бы стоимость доставки одного заказа снизилась до 10 у.е., каким образом администрация изменила бы решение, принятое в п. «а»?
6. Предприятие-посредник, занимающееся продажей автомобилей, реализует в
среднем 150 автомобилей в год. Стоимость доставки каждого заказа от производителя оценивается в 1500 у.е., а среднегодовая стоимость хранения одного автомобиля составляет 30% от закупочной цены. Если размер заказа меньше, чем
50 автомобилей, то цена закупки составляет 6000 у.е. Для заказов, имеющих
размер от 50 до 99 автомашин, предоставляется скидка на закупочную цену в
3%, заказам при покупке 100 и более автомобилей – скидка, равная 5%. Определить оптимальный размер заказа и стоимость логистической системы.
1.
2.
3.
4.
5.
18
7. Выбрать логистическую систему управления запасами в задаче 3 при условии,
что среднегодовой штраф за отсутствие единицы товара на складе оценивается в
20% от его цены.
8. Пусть в задаче 4 данные по спросу собраны на 100 интервалах управления запасами.
Спрос на продукцию в течение 0 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 12 14
времени поставки заказа
Число интервалов управления за- 3 5 6 9 20
пасами
15 15 8
5
5
4
3
2
Определить оптимальный размер заказа, точку заказа и уровень резервного запаса, для которых стоимость логистической системы минимальна.
9. Пусть в задаче 6 штраф за дефицит составляет 40 единиц в год на единицу продукции. Определить размер резервного запаса и уровень дефицита, минимизирующих стоимость логистической системы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Использованная литература
Хазанова Л.Э. Логистика. Методы и модели управления материальными потоками / Л.Э.Хазанова. – М., 2003. – С. 15-52.
Кузьбожев Э.Н. Логистика / Э.Н.Кузьбожев, С.А.Тиньков. – М., 2004. – С. 72108.
Неруш Ю.М. Логистика: учебник для вузов / Ю.М.Неруш. – 3-е изд., перераб. и
доп. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.
Осипова Л.В., Синяева И.М. Основы коммерческой деятельности: Учебник для
вузов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 324 с.
Осипова Л.В., Синяева И.М. Основы коммерческой деятельности: Практикум:
Учеб. пособие для вузов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ- 1997. – 215 с.
Гаджинский А.М. Практикум по логистике / А.М.Гаджинский. – М., 2001. – С.
40 – 51.
lewkin_gr@rambler.ru
19