Document 390606

С2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 3, AD = 2,
AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от
вершины B . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точки A, O и C1.
С4. Две окружности касаются внешним образом в точке K . Прямая AB касается первой
окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в
точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4
и 1.
С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а диагональ
боковой грани равна √5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания
призмы.
В10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос
о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите
вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Рассмотрим событие: вытянуть вопрос о грибах.
Всего два вопроса о грибах, поэтому всего благоприятных исходов два, а всего исходов
25.
Искомая вероятность равна 2/25=0,08.
Pассмотрим противоположное событие: не вытянуть вопрос о грибах, вытянуть любой
другой вопрос
Общая вероятность событий: "вытянуть вопрос о грибах" и "не вытянуть вопрос о грибах"
равна 1, потому что других вариантов нет.
Итак, вероятность события "не вытянуть вопрос о грибах" равна: 1-0,08=0,92
Ответ: 0,92
С3.Решите систему неравенств:
С4. На стороне BA угла ABC , равного 30º, взята такая точка D, что AD = 2 и BD =1.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.
В12. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он
находится, описывается формулой h(t ) = -5t2 +18t , где h –высота в метрах, t – время в
секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не
менее 9 метров.
Задача сводится к решению неравенства: -5t2 +18t≥9
-5t2 +18t-9≥0
5t2-18t+9≤0
D=324-180=144
Корень из дискриминанта равен 12
х1,2=(18±12)/10
Корни: 3 и 0,6
Решим неравенство методом интервалов:
Итак, камень находился на указанной высоте в течение3-0,6=2,4 (сек)
Ответ: 2,4
В13. Весной катер идёт против течения реки в
раза медленнее, чем по течению.
Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения
в1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
На общую скорость катера влияют два параметра: собственная скорость Vс катера - она
постоянна и летом, и весной, а также скорость течения Vтеч: для разных сезонов скорость
течения обозначим как Vтв (весной) и Vтл (летом).
Скорость катера по течению: Vc+Vтеч
Скорость катера против течения: Vc-Vтеч
В соответствии с вышесказанным, перепишем условие задачи в виде системы:
(Vc+Vтв)/(Vc-Vтв) = 5/3
(Vc+Vтл)/(Vc-Vтл) = 3/2
Vтл=Vтв-1
(Vc+Vтв)/(Vc-Vтв) = 5/3
(Vc+Vтв-1)/(Vc-Vтв+1) = 3/2
Vтл=Vтв-1
Упростим первое уравнение:
3Vc+3Vтв=5Vc-5Vтв
-2Vc=-8Vтв
Vc=4Vтв
Подставим полученное во второе уравнение и упростим его:
(5Vтв-1)/(3Vтв+1) = 3/2
10Vтв-2=9Vтв+3
Vтв=5
Итак, скорость течения весной равна 5 километров в час.
Ответ: 5
В14. Найдите наибольшее значение функции:
В11. Объём первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше,
а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в
м3).
Объем цилиндра: V=πr2h. Из условия следует, что r2=(1/2)*r1. Также из условия следует,
что h2=3*h1.
Далее следует цепочка несложных преобразований:
V2=π(r2)2h2
V2=π(0,5*r1)2*3h1
V2=0,25*3*π(r1)2*h1
V2=0,25*3*12
V2=9
Ответ: 9
Найдите сумму координат вектора
.
Решение.
Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор
имеет координаты
, вектор
имеет координаты
. Координаты разности
векторов равны разности соответствующих координат. Тогда вектор
наты
, их сумма равна
имеет коорди-
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько
минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение.
За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну
двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает
ку она прополет за 30 минут.
грядки. Всю гряд-
О т в е т : 30.
Решение.
Имеем:
В правильной треугольной пирамиде
с основанием
известны ребра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер
и
Решение.
Пусть
и
— середины ребер
и
соответственно.
— медиана правильного тре-
угольника
следовательно, находится по формуле
Прямая
проецируется на плоскость основания и прямую
Поэтому проекция точки
— точка
— лежит на отрезке
Значит, прямая
является проекцией прямой
следователь-
но, угол
— искомый.
где
поэтому
угольника
— центр основания, значит,
. Тогда
находим:
Из прямоугольного треугольника
— средняя линия треугольника
и
Из прямоугольного тре-
находим:
Значит, искомый угол равен
Ответ:
Решите неравенство
.
Решение.
Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:
.
Обозначим
, тогда
. Решим неравенство методом интервалов:
Тогда
.
Ответ:
.
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты
дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Решение.
Пусть литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает
литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:
.
Значит, первая труба пропускает 10 литров, а вторая — 11 литров воды в минуту.
О т в е т : 10.
Решите уравнение
Решение.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет
смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:
Решив уравнение системы как квадратное относительно
Если
то
Если
то есть
то
находим
либо
Следовательно,
В этом случае с учетом условия
системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих
решениям уравнения
нужно оставить только ту, для которой
Это
точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид
Ответ:
В кубе
найдите косинус угла между плоскостями
и
Решение.
Пусть точка — центр куба, а
— середина
треугольника
, поэтому
Треугольник
следовательно, искомый угол равен углу
а
— средняя линия
— равносторонний,
Примем длины ребер куба за . Найдем стороны треугольника
находим
из равностороннего треугольника
поскольку — середина диагонали
теорему косинусов:
то
Из треугольника
находим
Теперь применим к треугольнику
Ответ:
Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Решение.
В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза
меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит сечением является квадрат
со стороной 0,5. Тогда площадь сечения
.
О т в е т : 0,25.
Ваш ответ: нет ответа. Правильный ответ: 0,25
В правильном тетраэдре
найдите угол между высотой тетраэдра
боковой грани
.
и медианой
Решение.
, значит,
Пусть и
— средняя линия треугольника
и, следовательно,
. Кроме того,
.
Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем:
. Тогда
Ответ:
.
Решите неравенство
.
Решение.
Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:
.
Обозначим
, тогда
. Решим неравенство методом интервалов:
Тогда
.
Ответ:
.
Около окружности, радиус которой равен
сти, описанной около этого квадрата.
, описан квадрат. Найдите радиус окружно-
Решение.
Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали.
Поэтому
О т в е т : 4.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в раза
больше первого? Ответ выразите в см.
Решение.
Объем цилиндрического сосуда выражается через его диаметр и высоту как
При увеличении диаметра сосуда в 2 раза высота равного объема жидкости
уменьшится в 4 раза и станет равна 4.
О т в е т : 4.
Ваш ответ: нет ответа. Правильный ответ: 4
.
Решите уравнение
.
Решение.
Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла:
Поскольку
Ответ:
, то
. Поэтому
.
.
В прямоугольном параллелепипеде
Найдите объем пирамиды
причем
Решение.
заданы длины ребер
если
— точка на ребре
Заметим, что
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в
основании, равна половине произведения катетов:
Основание пирамиды лежит в плоскости
ляться перпендикуляр, опущенный из точки
на прямую
Поскольку
и
зок
является высотой пирамиды:
поэтому высотой пирамиды будет явна эту плоскость. Опустим перпендикуляр
в силу того, что
отре-
Треугольник
значит,
подобен треугольнику
Ответ: 50.
Решите неравенство
Решение.
Запишем неравенство в виде:
Сделаем замену
и приведем левую часть к общему знаменателю:
Решая получаем:
следовательно,
Основание равнобедренного треугольника равно
косинус угла при вершине равен
Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон
вдвое больше другой.
Решение.
Пусть вершины и прямоугольника
лежат на основании
равнобедренного
треугольника (точка — между и ), а вершины и — на боковых сторонах и
соответственно.
Обозначим
.
Тогда
Предположим, что сторона
прямоугольника вдвое больше его стороны
Из прямоугольного треугольника
Тогда
Откуда
а так как
Тогда
Следовательно,
то
находим, что
Положим
Пусть теперь сторона
прямоугольника вдвое больше его стороны
Из прямоугольного треугольника находим, что
а так как
откуда
. Тогда
то
Следовательно,
Ответ: 512 или 800.
Положим
. Тогда
Ответ: