ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального
образования
Кемеровский профессионально-технический техникум
Аксиомы стереометрии
(статья)
Подготовил студент группы МА-145
Камозин Захар
Кемерово 2015
Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур.
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур
на плоскости.
Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур
в пространстве.
Планиметрия
Стереометрия
(от греч. metrеo – измерять, и (от греч. stereos – пространственный,
лат. planum – плоскость) – раздел, stereon - объем) – раздел, изучающий
изучающий свойства фигур на свойства фигур в пространстве
плоскости.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены.
Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе
простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в
виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д.
Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а
точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко
это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома – это утверждение, которое не надо доказывать.
Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат
в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через
прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости,
то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость
имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Теорема 1.
Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и
притом только одна.
Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при
том только одна.
Задача 1. Даны две прямые, которые пересекаются в точке М. Докажите, что
все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые,
лежат в одной плоскости.
Решение: Нам даны две прямые а и b, которые пересекаются в некоторой
точке М. Возьмем произвольную прямую с, которая не проходит через
точку М, но пересекает исходные прямые а и b в точках А, В, соответственно.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только
одна,
согласно
2
теореме.
Значит
через
пересекающиеся
прямые а и b проходит единственная плоскость, обозначим ее .
Две разные точки А и В прямой с принадлежат плоскости . А из того, что
две точки прямой принадлежат плоскости, вытекает, что все точки прямой
принадлежат плоскости, т.е. вся прямая лежит в плоскости. Значит,
прямая с принадлежит этой плоскости.
Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие А и В, но не
проходящие через М, лежат в одной плоскости.
Задача2. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все
отрезки лежат в одной плоскости.
Решение: Пусть нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что
отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости.
Если точка С лежит на прямой АВ, то ответ очевиден. Предположим, что
точка С не принадлежит прямой АВ. Тогда через три точки A, B, C, не
лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу
аксиомы 1. Обозначим эту плоскость
Прямая АВ целиком лежит в плоскости , потому что две ее точки лежат в
этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости .
Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости , потому
что две ее точки В и С лежат в плоскости , значит, и отрезок ВС лежит в
плоскости .
И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости . Что и требовалось доказать.
Задача3. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли 2 другие вершины
параллелограмма в плоскости ?
Решение:
Пусть дан параллелограмм АВСD. Известно: точка А, точка В, точка О –
точка пересечения диагоналей, лежат в плоскости . Нужно проверить, лежат
ли вершины С и D лежат также в этой плоскости.
Через три точки А, В и О проходит плоскость, и притом только одна. Это
плоскость . Прямая АО целиком лежит в этой плоскости, потому что две ее
точки лежат в плоскости. Значит, точка С, точка прямой АО, лежит в
плоскости .
Аналогично, прямая ВО целиком лежит в плоскости , значит, точка D этой
прямой тоже лежит в плоскости .
Ответ: Да, вершины С и D лежат в плоскости .
Задача4. Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что
все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную
прямую, лежат в одной плоскости.
Решение: Нам дана прямая а и некоторая точка М, которая не лежит на этой
прямой. Нам нужно доказать, что все прямые, которые проходят через
точку М и пересекают прямую а лежат в некоторой единственной плоскости.
Мы знаем, что в силу 1 теоремы через прямую а и точку М проходит
единственная плоскость, обозначим через . Теперь возьмем произвольную
прямую, которая проходит через точку М и пересекает прямую а, например, в
точке А. Прямая МА лежит в плоскости , потому что две ее точки М и А,
лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая лежит в плоскости , в силу 2
аксиомы.
Итак, мы взяли произвольную прямую, которая удовлетворяет условиям
задачи, и доказали, что она лежит в плоскости . Значит, все прямые,
проходящие через точку М и пересекающие прямую а лежат в плоскости ,
что и требовалось доказать.
Основные источники:
1. Атанасян Л.С. Геометрия
(текст): учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кодомцев. -16-е изд. доп. – М.: Просвещение, 2008 – 256 с.
2. Богомолов Н.В. Математика (текст): учебник для сред. проф. образ. /
Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 6-е изд., стериотип. – М.: Дрофа,
2009. – 365с.
3. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике : учебное пособие для
сред. проф. образ. / Н.В. Богомолов. – 5-е изд., стериотип. – М.: Дрофа
2009.- 204с.
Дополнительные источники:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для образ. учережд. реализ.
программы нач. и сред. проф. образ../ М.И. Башмаков. – М.: ИЦ
«Академия», 2010. – 256 с.
2. Богомолов, Н.В сборник дидактических заданий по математике:
учебное пособие для сред. проф. образ
Богомолов Н.В, Л.Ю.
Сергеенко. – 3-е изд. стериотип М.: Дрофа, 2009. - 236с.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для сред. проф. образ. / И.Д.
Пехлецкий. – 3-е изд. стериотип. – И.Ц. «Академия», 2006. – 304 с.
Интернет-ресурсы:
4. Вся математика в одном месте математический портал
http://www.allmath.ru
5. Математический сайт http://www.allmatematika.ru
6. Свободная математика http://www.free-math.ru