Математика в авиации. Тишин Сергей Александрович

Математика в авиации.
Тишин Сергей Александрович
г. Калуга, МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №46»,
7 «Б» класс.
Содержание.
I. Введение.
II. Основная часть.
1. Прокладка маршрута.
2. Длина маршрута.
3. Продолжительность полета.
4. Расчет топлива.
5. Высота полета.
6. Загрузка самолета.
7. Набор высоты и посадка.
8. Влияние ветра на взлет.
9. Скорость полета.
10. Навигационная счетная линейка.
III. Заключение. Выводы.
IV. Используемая литература.
V. Приложения.
1. Вычислительные и измерительные приборы пилота.
2. Модель самолета.
3. Презентация.
1
I. Введение.
Полет – это математика.
В. Чкалов
Математика неразрывно связана со сферами человеческой деятельности, в том числе и
с авиацией. В сложной и быстро меняющейся воздушной обстановке полета экипаж
воздушного судна не всегда имеет возможность произвести точное определение
интересуемого параметра с помощью измерительных инструментов или выполнить
необходимые штурманские расчеты с применением различного рода навигационных
устройств. Поэтому летчик или штурман, имеющий навык в приближенных расчетах в
уме, может предохранить себя и воздушное судно от грубых ошибок при пилотировании
в условиях нехватки времени. Твердые навыки в выполнении приближенных расчетов в
уме позволяют также осуществлять оценку работы бортовых навигационных комплексов,
обеспечивать правильные действия в случае их отказа. В современной авиации
существует много параметров, связанных с математикой. Это и размеры самолетов,
высота, расстояние, скорость полета, количество грузов и пассажиров, заправка топливом.
В общем, без математики не обходится ни один из полетов самолетов.
Свою жизнь я хочу связать с авиацией, а именно стать пилотом гражданской авиации.
Поэтому я и решил более детально познакомиться с использованием математических
расчетов в авиации, научиться производить их самому.
Цель работы: 1. Изучить, как математика помогает пилоту на практике.
2. Научиться использовать формулы по вычислению различных величин при
помощи решения практических задач по нахождению скорости, пути,
времени и т.д.
Методы исследования: опрос пилотов о необходимых в полете подсчетах, изучение
теории из справочной литературы и ознакомление с применени ем расчетов на борту самолета.
Практическая значимость: полученные теоретические знания, практические навыки
помогут ближе познакомиться с будущей профессией и
доказать необходимость математической грамотности в жизни.
2
3
I. Основная часть.
Расчет полета подразделяется на предварительный и окончательный.
Предварительный расчет полета производят по истинной воздушной скорости полета
без учета ветра. Данные этого расчета наносят на карту и записывают в левую часть
бортового журнала штурмана и в таблицу расчета полета летчика. В зависимости от
заданного времени выхода на цель предварительно рассчитывают продолжительность
полета, потребное количество топлива, время взлета и т.д. К предварительному расчету
относится инженерно-штурманский расчет полета, который выполняют согласно
инструкции по расчету дальности и продолжительности полета самолета данного типа.
Исходными данными для расчета являются: запас горючего на самолете, масса нагрузки,
маршрут, высота и скорость полета по этапам, время на полет, маневры и посадку,
направление и скорость ветра, температура наружного воздуха. В результате инженерноштурманского расчета определяют: общее расстояние и продолжительность полета,
расход горючего по этапам полета и его остаток после посадки.
Окончательный расчет полета выполняют перед вылетом с учетом данных о ветре,
полученных от разведчиков погоды по маршруту, или на основании метеорологических
данных давностью не более 3 ч.
Для каждого маршрутного полета устанавливается безопасная высота полета,
исключающая возможность столкновения с земной поверхностью и искусственными
препятствиями, необходимое количество заправляемого топлива.
4
1. Прокладка маршрута.
Прокладка маршрута по полетной карте включает:
- прокладку линии пути;
- отметку основных точек маршрута;
- разметку путевых углов и отрезков пути по времени.
При прокладке маршрута необходимо учитывать радиус разворота самолета.
Поворотные пункты маршрута в этом случае принимают за точки начала разворота на
очередные участки маршрута. Для определения и нанесения точки начала разворота на
карту рассчитывают линейное упреждение разворота ЛУР по формуле:
где
R – радиус разворота самолета,
УР – угол разворота.
Например, самолет должен сделать разворот на 130о, радиус разворота 4750 м.
Значит,
Следовательно, чтобы вписаться в поворот, самолет должен не долететь до ППМ 2
(поворотного пункта маршрута) 10км 186м
ЛУР
ППМ2
R
УР
ППМ3
R
ППМ1
5
2. Длина маршрута.
Расчет длины маршрута производится по маршруту от аэродрома вылета до аэродрома
назначения. Для этого необходимо сложить величины между основными точками
маршрута.
Например: самолет вылетел из Новосибирска в Иркутск. Находим по полетной карте
расстояние между точками маршрута. Далее находим сумму:
S = 230 + 590 + 900 = 1720км
Итак, длина маршрута равна 1720 км.
6
3. Продолжительность полета.
Продолжительность полета – время пребывания самолета в воздухе с момента вылета
до момента посадки.
Общая продолжительность полета рассчитывается по формуле:
где
Tобщ = tдо ИПМ + tм+ tц +tпосле КПМ ,
tдо ИПМ – время вылета из исходного пункта маршрута,
tм – время полета по маршруту,
tц – время, затрачиваемое на маневр в районе цели (повторный заход на посадку),
tпосле КПМ – время полета от КПМ (конечного пункта маршрута) до посадки.
Предположим, что самолет должен вылететь из аэропорта в 9 часов 10 минут. На взлет
и набор высоты затрачено 0,5 ч. Расстояние, которое ему необходимо пролететь – 1720
км, скорость полета – 430 км/ч. На повторный заход на посадку время не затрачено.
Время на посадку – 0,5 ч.
Решение:
1. Сначала узнаем время полета по маршруту:
t=S:V ,
где t – время,
S – расстояние,
V – скорость.
t = 1720 : 430 = 4 ч.
2. Затем находим общую продолжительность полета:
tобщ = 0,5 + 4+ 0,5 = 5 ч
Для учета влияния ветра на полет самолета к найденной сумме добавляют 1-3%
tобщ = 5 + (1-3%) 5 ч 5 мин
Время посадки определяется по формуле:
Тпос = Твзл + tобщ ,
где Тпос – время посадки,
Твзл – время взлета,
tобщ – общая продолжительность полета.
Тпос = 9ч 10мин + 5ч 5 мин= 14ч 15мин
7
4.
Расчет топлива.
Экономичность полетов является важным показателем гражданской авиации.
Поэтому большой практический интерес представляет определение тех условий полета,
при которых обеспечивается наименьший расход топлива при наибольшей коммерческой
загрузке. Одним из путей повышения экономических показателей является определение
и выполнение полетов на наивыгоднейших высотах. Наивыгоднейшей называется высота
полета, при которой обеспечивается наименьший суммарный расход топлива, то есть
требуется меньшая заправка самолета перед вылетом.
При выполнении особо важных полетов, полетов на предельную дальность,
технических рейсов и при открытии новых воздушных линий штурман воздушного судна
совместно с инженером производят расчет полета. На основе исходных данных о
протяженности маршрута и выбранном режиме полета производится расчет, по которому
определяются:
- потребное количество топлива на полет;
- остаток топлива после посадки;
- необходимая заправка топливом;
- рубежи возврата и остаток топлива на них.
Рассмотрим пример:
Для самолета ИЛ-76ТД требуется:
- топливо, расходуемое на запуск, прогрев двигателей и руление 0,7т;
- топливо, расходуемое при полете по кругу, посадке и подруливании 2,0т;
- невырабатываемый остаток топлива 2,0т;
- гарантийный запас топлива 10т.
При полете за 1 час самолет расходует 1 тонну топлива. На полет продолжительностью
6 часов потребуется 6 тонн топлива. Теперь определим, сколько топлива необходимо
заправить в бак: 0,7 + 2,0 + 2,0 + 10 + 6 = 20,7т
С поправкой на навигационный запас в 5% получим 22т
8
5. Высота полета.
Для каждого маршрутного полета устанавливается безопасная высота полета,
исключающая возможность столкновения с земной поверхностью и искусственными
препятствиями. Определяется высота эшелона полета в зависимости от давления на
аэродроме.
Например, высота полета по прибору 1800м, давление по аэродрому 750 мм рт.ст.
Определяем высоту эшелона полета по формуле:
Нэш = Нпр + 11 (760 - Раэр) ,
где Нэш – высота эшелона,
Нпр – высота по приборам,
760 – атмосферное давление,
Раэр – давление по аэродрому.
Произведем расчет:
Нэш = 1800 + 11 (760 – 750) = 1910 м
9
6. Загрузка самолета.
Перед каждым вылетом по маршруту экипаж должен знать результаты расчета
предстоящего полета с учетом фактической загрузки самолета. По результатам расчета
полета на основании загрузочной ведомости определяются центровки для фактических
значений взлетной и посадочной масс в соответствии с Руководством по центровке и
загрузке самолета.
Произведем расчет возможного количества груза, который необходимо перевезти.
Имеются контейнеры Type 5-IATA размером 3175 х 2235 х 1626 мм, максимальный вес
брутто 6033 кг, объем 991 м3 в количестве 18 шт.
Объем грузового люка самолета ИЛ-76 245000 х 48000 х 345000 мм
Вычислим объем грузового люка самолета. Для простоты расчета переведем в метры:
Vг.л. = 24.5 х 4,8 х 3,45 = 405,720 м3
объем контейнера
Vк = 3,175 х 2,235 х 1,626 = 11,538 м3
Определим, сколько контейнеров войдет в грузовой люк самолета:
Vг.л.: Vк = 405,720 : 11,538 35
Проверим на схеме:
7 контейнеров
2 контейнера
2 контейнера
Практически в грузовой люк самолета ИЛ-76 войдет 7 х 2 х 2 = 28 контейнеров.
Следовательно, 18 контейнеров Type 5-IATA войдут в грузовой люк самолета ИЛ-76.
10
7. Набор высоты и посадка.
Каждый полет начинается со взлета. Взлет самолета может быть с разбегом или
вертикальным. Большинство современных самолетов способно совершать взлет лишь с
разбегом.
Взлетом называется ускоренное движение самолета от момента начала разбега до
набора высоты 25 м. Нормальный взлет состоит из трех этапов: разбега, отрыва и разгона
с подъемом. Взлет представляет собой один из видов неустановившегося полета.
Схема взлета самолета.
Допустим самолету необходимо набрать высоту 6 км. Скорость взлета 250 км/ч.
Рассчитаем время, необходимое для набора высоты.
t=S:V
t = 6 : 250
t = 0,024 ч или 1,44 мин
Во время полета диспетчер дает команду экипажу снизиться до 4500 км за 5 минут.
Пилотам необходимо рассчитать, на какой скорости необходимо снижаться.
1) 6000 – 4500 = 1500 (м) – на такую высоту необходимо снизиться.
2) 1500 : 5 = 300 (м/мин) – скорость снижения.
Самолет подлетает к конечному пункту и экипажу нужно готовиться к посадке. За сколько
километров необходимо снижаться, если скорость самолета 330 км/ч, а снижаться
необходимо за 30 мин до посадки?
1) 330 : 60 = 5,5 (км/мин) – скорость самолета.
2) 5,5 × 30 = 165 (км) – расстояние до аэропорта.
Следовательно, снижение необходимо производить за 165 км до аэропорта.
11
12
8. Расчет влияния ветра на взлет.
Взлет самолета, как правило, выполняется против ветра, так как встречный ветер
сокращает разбег и взлетную дистанцию и облегчает управление самолетом.
Скорость отрыва самолета ЯК-55 составляет Vотр = 100 км/ч . Это значит, что крылья
самолета будут обдуваться встречным потоком с соответствующей скоростью; на этой
скорости подъемная сила уравновесит вес самолета, который в данный момент оторвется
от земли.
Рассмотрим взлет самолета при встречном ветре U = 36 км/ч. Это значит, что когда
самолет стоит на старте, то он уже обдувается встречным потоком воздуха со скоростью
36 км/ч. Так как для отрыва самолета от земли необходима скорость Vотр = 100 км/ч, то,
следовательно, для самолета не хватает скорости, равной разности 100 – 36 = 64 км/ч.
Таким образом, при разбеге против ветра самолет оторвется уже в тот момент, когда его
скорость относительно земли будет составлять 64 км/ч.
При взлете с попутным ветром картина будет обратная. Когда самолет достигнет
скорость 36 км/ч относительно земли, то относительного воздушного потока его скорость
будет равна нулю (V = 0). А так как для отрыва необходима скорость Vотр = 100 км/ч, то
самолет должен увеличивать скорость, и поэтому его скорость относительно земли будет
равна 100 + 36 = 136 км/ч.
Формула длины разбега с учетом попутного или встречного ветра:
Lотр =
,
где Lотр – длина разбега,
Vотр – скорость отрыва,
U – скорость ветра,
Iср – среднее ускорение на разбеге,
± - взлет при попутном / встречном ветре.
Как видно из задачи, длина разбега против ветра меньше, чем по ветру.
13
9. Скорость полета.
Расчет истинной воздушной скорости по показанию стрелки КУС (комбинированного
указателя скорости) производится по формуле:
Vист = Vпр + DVи + DVа + DVсж + DVпл
,
где Vист – истинная воздушная скорость,
Vпр – скорость согласно показаниям прибора,
DVи – инструментальная поправка,
DVа – аэродинамическая поправка,
DVсж – поправка на изменение сжимаемости воздуха с высотой,
DVпл – поправка на изменение плотности воздуха с высотой.
Например:
Приборная скорость полета на высоте Нэш=7800м равна Vпр=450 км/ч. Фактическая
температура наружного воздуха tн= -40оС. DVи= +5км/ч, DVа - -8км/ч. Определить
истинную воздушную скорость.
Решение:
1. Учитывая инструментальную и аэродинамическую поправки: Vпр + DVи + DVа =
450+(+5)+(-8)=447 км/ч.
2. По графику находим поправку на изменение сжимаемости DVсж = -13км/ч;
учтя ее получим Vпр+DVи+DVа+DVсж= 447+(-13)= 434 км/ч
3. Найдем Vист , для чего на НЛ (навигационной линейке) учтем поправку на
изменение плотности воздуха Vист = 650 км/ч.
14
15
10. Навигационная счетная линейка.
Навигационная счетная линейка НЛ-10 предназначена для выполнения необходимых
расчетов в полете и на земле при подготовке к полету. Она обладает рядом достоинств.
При сравнительно небольших размерах счетная линейка позволяет довольно просто и с
достаточной для практических вычислений точностью решать большинство задач по
самолетовождению, бомбометанию, воздушной стрельбе и т.д. Счетная линейка
позволяет производить расчеты с учетом методических ошибок барометрических
высотомеров и аэродинамических указателей скорости. В настоящее время она считается
необходимым счетным инструментом штурманов и летчиков и служит для приближенных
вычислений.
Навигационная линейка обеспечивает:
1) определение исправленной воздушной скорости по показаниям комбинированного
указателя скорости КУС-1200;
2) расчет элементов разворота самолета;
3) определение пройденного самолетом пути за время от 1 минуты (секунды) до 16,6 часа
(16,6 минуты);
4) измерение расстояний на картах;
5) определение исправленных значений высот по показаниям барометрического
высотомера до 24000м.
При помощи линейки НЛ-10 значительно упрощается также решение задач по
возведению чисел в квадрат и извлечению квадратных корней из них, решение
комбинированных задач, в которых одновременно происходит умножение и деление как
чисел, так и тригонометрических функций углов и т.д.
16
Рассмотрим пример использования навигационной линейки:
Расчет пройденного расстояния, времени полета и путевой скорости.
- Пройденное расстояние определяется по формуле:
-
S = Wt,
где S—пройденное расстояние, км (м); W — путевая скорость, км/ч; t — время полета, ч и
мин (мин и сек).
Для определения пройденного расстояния на НЛ-10М необходимо установить
треугольный индекс шкалы ^ 2 на значение путевой скорости по шкале 1 и против
деления шкалы 2, соответствующего времени полета, отсчитать на шкале 1 искомое
расстояние в километрах
Пример. W=420 км/ч; t=9 мин. Определить пройденное расстояние S.
Решение. S=420х(9:60)=63 км.
Если время полета выражено в секундах, то пройденное расстояние определяется в таком
порядке: установить круглый индекс шкалы 2 на значение путевой скорости по шкале 1 и
против деления шкалы 2, соответствующего времени полета, отсчитать на шкале 1
искомое расстояние в метрах или километрах.
Пример. W=300 км/ч; t=45 сек. Определить пройденное расстояние S.
Решение. S=300х(45:3600)=3,750 км.
-- Время полета определяется по формуле:
t=S:W
Чтобы определить время полета на НЛ-10М, необходимо треугольный индекс шкалы ^ 2
установить на значение путевой скорости по шкале 1 и против деления шкалы 1,
соответствующего данному расстоянию, отсчитать по шкале 2 искомое время полета.
Пример. W=510 км/ч; S = 187 км. Определить время полета t.
Решение. t=(187:510)х60=22 мин.
Если данное расстояние выражено в метрах, то время полета определяется в таком
порядке: установить круглый индекс шкалы ^ 2 на значение путевой скорости по шкале /и
против деления шкалы 1, соответствующего данному расстоянию, отсчитать искомое
время полета.
Пример. W=270 км/ч; S = 4900 м. Определить время полета
Решение. t=(4900:270000)х3600=65 сек.
17
-- Путевая скорость определяется по формуле:
W =S:t
Для определения путевой скорости на НЛ-10М необходимо установить риску визирки
против деления шкалы ^ 1, соответствующего пройденному расстоянию, и подвести под
риску деление шкалы 2, соответствующее времени полета, затем против треугольного
индекса шкалы 2 отсчитать на шкале 1 искомое значение путевой скорости в километрах в
час.
Пример. S = 72 км; t=10 мин. Определить путевую скорость.
Решение. W=72:10х60=432 км/ч.
Если пройденное расстояние небольшое и время полета выражено в секундах, то путевая
скорость отсчитывается против круглого индекса. Для этого необходимо установить риску
визирки на деление шкалы 1, соответствующее пройденному расстоянию, и подвести под
риску деление шкалы 2, соответствующее времени полета в секундах, затем против
круглого индекса шкалы 2 отсчитать на шкале 1 искомую путевую скорость в километрах в
час.
Пример. S = 3000 м; t = 20 сек. Определить путевую скорость.
Решение. W =3:20х3600=540 км/ч.
18
III. Заключение. Выводы.
Как видно из моей работы в авиации применяются различные действия, изучаемые
нами на уроках математики. Это построение и использование графиков, различные
формулы (от простейших на нахождение суммы до тригонометрических), геометрические
знания (вычисление объема), умение пользоваться логарифмической линейкой, и как
более сложным ее аналогом – навигационной счетной линейкой.
Авиация не стоит на месте. Она в прямом и переносном смысле «летит вперед». На
борту самолета используются все более сложные приборы, которые помогают экипажу во
время полета. Но и им требуется помощник – математические знания пилотов. Им
находится применение и в расчете полета, и в заполнении маршрутной карты, и в
корректировке параметров приборов. А уж если в экстренной ситуации откажут
некоторые приборы, то быстрая реакция и расчеты спасут жизни многих людей.
19
IV. Используемая литература.
1. Ш.С.Самаржаян Расчеты и глазомер в авиации, - М.: Воениздат, 1980. – 128 с.
2. И.Б.Качоровский Распределение и переключение внимания при полетах по
приборам, - М.: Воениздат, 1972. – 104 с.
3. М.А.Черный, В.И.Кораблин Самолетовождение, - М.: изд-во Транспорт, 1973.
– 368 с.
4. А.В.Честнов Летная эксплуатация самолета, - М.: Воениздат, 1962. – 265 с.
5. Уголок неба – большая авиационная энциклопедия [электронный ресурс ]. – Режим
доступа: www.airwar.ru
20
Приложение:
диск с презентацией, выполненной в программе Microsoft Power Point.
21