АКАДЕМИЯ ВОЕННО-МОРСКИХ СИЛ

1
ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННО-МОРСКОЕ
ОРДЕНА КРАСНОЙ ЗВЕЗДЫ УЧИЛИЩЕ
имени П.С. НАХИМОВА
О.В. Яковлева
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Севастополь
2014
2
ББК 22.151.3
УДК 515
Я 474
Яковлева О.В. Сборник задач по начертательной геометрии. Часть I: методическое
пособие / Севастополь : ЧВВМУ им. П.С. Нахимова, 2014г.- 48с.
В сборник задач вошли задания по основным вопросам тем первого раздела первого
модуля начертательной геометрии. Задачи составлены с учётом программ специальностей
обучающихся в ЧВВМУ им. П.С. Нахимова. Выполнение задач позволит проработать
материал лекций курса и подготовиться к контрольной работе первого модуля.
В сборнике приводятся основные выкладки и правила разделов каждой темы.
Приводится последовательность решения сложных задач.
Методическое пособие предназначено для курсантов первого курса всех
специальностей.
Рис. 16, библ.2.
Рецензент В.А. Якимов, д.т.н., профессор
Редактор Н.П.Рыжкова, к.т.н., доцент
© ЧВВМУ им. П.С. Нахимова 2014
3
Методические указания к выполнению заданий по самоподготовке
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
I раздел. Проекция точки, прямой, плоскости
Задания по самоподготовке выдаются преподавателем в конце лекционных
или практических занятий для проработки материала лекций и подготовки к
практическим занятиям или контрольным работам по модулям или отдельным
темам.
Задачи выполнять в отдельной тетради в клеточку, объёмом в 12
листов.
Тетрадь подписать чертёжным шрифтом 5, 7. Указать номер класса, вариант и
фамилию. Вариант определяется по номеру в классном журнале.
Каждую
задачу вычертить на отдельном листе тетради, увеличить условие до формата
листа.
Над задачей указать её номер, и номер варианта. Решение оформлять
графически аккуратно, соблюдая толщину линий и написание шрифта по ЕСКД.
Использовать мягкий карандаш, чертёжные инструменты.
Преподаватель собирает тетради на проверку для определения уровня
усвоения материала и выставляет отдельную оценку за самоподготовку.
В случае возникновения вопросов при решении задач, указаны номера
страниц в учебнике имеющейся в библиотеке литературы.
Дополнительно
можно получить консультацию у преподавателя в дни консультаций.
Для получения оценки по первому разделу первого модуля обучающемуся
необходимо:
- выполнить все самостоятельные и контрольные работы, индивидуальные
задания в срок, с положительной оценкой;
- сдать тетрадь по самоподготовке с решёнными задачами;
- предъявить конспект лекций.
Указаны
страницы учебника:
начертательной геометрии”.
Р.М. Хмелева
“Краткий курс
4
Тема: Проецирование точки
Литература: Р.М. Хмелева “Краткий курс начертательной геометрии” – с. 14-22.
Цель:
- научиться строить проекции точки по её координатам;
- строить третью проекцию точки по двум заданным;
- определять положение точки в октантах пространства.
Плоскости проекций:
Z
Н – горизонтальная;
V
W
Za
a’
a”
A
V- фронтальная;
W
W – профильная.
Проекции точки:
X
xa
Yw
a’ –фронтальная;
ya
a
a
а- горизонтальная
проекция точки А;
a” –профильная.
H
y
H
Координаты точки А – X,Y,Z, где
X – расстояние точки до плоскости W;
Y – расстояние точки до плоскости V;
Z –расстояние точки до плоскости H.
Yh
Рис. 1. Проецирование точки
z
za
a'
x
xa
0
a
ya
yh
a"
yw
ya
45Å
×ò î áû ï î ñò ðî èò ü
ò ðåò üþ ï ðî åêöèþ
ò î ÷êè, í åî áõî äèì î
çí àò ü å¸ âûñî ò ó Za
è å¸ ðàññò î ÿí èå äî
ï ëî ñêî ñò èV - Ya.
Âñåãäà Yh=Yw .
Ï î ñò î ÿí í àÿ
Ì î í æà
Рис. 2. Комплексный чертёж точки
5
Задача 1. Построить три проекции точки по её координатам
¹
ÂÀÐÈÀÍ ÒÀ
B
Y
Z
30 - 40
20
X
A
Y
Z
1
10
20
30
2
20 10
40
10 - 30
3
4
5
30 40
20 10
30 10
10
30
20
- 10 - 30 20
- 20 0 40
30 - 20 0
6
7
8
9
10
11
12
30
20
30
20
40
40
40
20
30
20
40
30
20
10
10
40
40
30
20
30
30
0
40
10
30
20
- 30
10
13
14
15
16
10
30
30
40
40
40
20
10
30
20
30
20
- 30 0 - 40
- 30 - 40 0
20 - 40 0
30 0 - 40
¹
ÂÀÐÈÀÍ ÒÀ
X
A
Y
Z
X
X
20
- 10
30
0
- 40
- 10
- 30
B
Y
40
- 40
- 20
- 20
- 10
- 10
- 40
- 40
Z
6
Задача 2. Построить третью проекцию точки А по двум заданным.
Построить точку В симметричную точке А относительно заданных
плоскостей проекций или осей. Определить октант точек А и В.
1
Z
2
Z
a`
a
Yw
a
X
Yw
X
a`
Yh
Yh
Относительно H
3
Относительно Y
4
Z
Z
a`
X
a
Yw
a``
Yw
X
a`
Yh
Yh
Относительно W
Относительно H
7
Задача 2. Построить третью проекцию точки А по двум заданным.
Построить точку В симметричную точке А относительно заданных
плоскостей проекций или осей. Определить октант точек А и В.
5
Z
6
Z
a
Yw
X
Yw
X
a``
a`
a`
Yh
Относительно V
7
Yh
Относительно H
8
Z
Z
a
X
Yw
a`
Yw
X
a`
a
Относительно W
Yh
Yh
Относительно X
8
Задача 2. Построить третью проекцию точки А по двум заданным.
Построить точку В симметричную точке А относительно заданных
плоскостей проекций или осей. Определить октант точек А и В.
9
10
Z
Z
a
a`
a
a`
Yw
X
Yw
X
Yh
Yh
Относительно Х
11
12
Z
Yw
X
Относительно Z
Z
a`
X
Yw
a
a
a`
Yh
Yh
Относительно X
Относительно V
9
Задача 2. Построить третью проекцию точки А по двум заданным.
Построить точку В симметричную точке А относительно заданных
плоскостей проекций или осей. Определить октант точек А и В.
13
Z
14
Z
a`
a
Yw
X
a`
Yw
X
a
Относительно H
Yh
Относительно X
Yh
15
16
Z
Z
Yw
X
Yw
X
a
a`
a``
a`
Yh
Относительно Z
Yh
Относительно X
10
Тема: Проецирование прямой
Литература: Р.М. Хмелева “Краткий курс НГ”. с. 22 - 34.
Цель:
- научиться строить третью проекцию прямой по двум заданным;
- строить проекции следов прямой;
- определять положение прямой относительно плоскостей проекций;
- определять натуральную величину прямой способом прямоугольного треугольника;
- определять расстояние от точки до прямой частного положения по теореме
проецирования прямого угла.
Горизонтальная прямая
z
b’
a’
V
a’
b’
Xa
Xb
Yb
Ya
Yw
B
A
β
Xa
a”
Za Zb
x
X
b”
b
Yb
Xb
H
b
a
Ya
a
Yh
АВ // пл. Н  а’в’// ОХ;
Za = Zb
|AB| = |ab| ,
Угол β – действительный угол наклона прямой AB к плоскости V
Рис 3. Прямая частного положения, параллельная горизонтальной
плоскости
проекций, - горизонтальная прямая. Проекции горизонтальной прямой
11
a'
Yb
Â
-Y
a Bo È
Za
b
ÀÂ
a"
Ao
ÈÂ ÀÂ
a
Xb- X
Z
g
Zb
b"
b'
Xb
×90Å
Xa
b
Ya Yb Yw
a
Zb
Za-
a
Ya
ÈÂ ÀÂ
X
Yb
Yh
Bo
Äëÿ î ï ðåäåëåí èÿ ÈÂ î ò ðåçêà
ï ðÿì î é
í à î äí î é èç åãî ï ðî åêöèé
ï î ñò ðî èò ü ï ðÿì î óãî ëüí ûé
ò ðåóãî ëüí èê,
ó êî ò î ðî ãî î äí èì êàò åò î ì
áóäåò ï ðî åêöèÿ ï ðÿì î é, à
äðóãèì - î ò ëî æåí í àÿ ï î ä
ï ðÿì ûì óãëî ì ðàçí î ñò ü
ðàññò î ÿí èé äî ï ëî ñêî ñò è
ï ðî åêöèé, í à êî ò î ðî é
ï ðî èçâî äÿò ñÿ ï î ñò ðî åí èÿ.
Ãèï î ò åí óçà ï î ëó÷åí í î ãî
ò ðåóãî ëüí èêàÈ î ò ðåçêà ï ðÿì î é
<α угол наклона прямой АВ к плоскости Н;
<β - к плоскости V; <γ – к плоскости W
Рис. 4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего
положения и углов её наклона к плоскостям проекций методом
прямоугольного треугольника
Zc- Zk
c'
a'
b'
Zk
Zca
ÈÂ ÑÊ
k
90Å
k'
b
Äëÿ î ï ðåäåëåí èÿ ðàññò î ÿí èÿ î ò ò î ÷êè äî
ï ðÿì î é ÷àñò í î ãî ï î ëî æåí èÿ í åî áõî äèì î
î ï óñò èò ü ï åðï åí äèêóëÿð í à ï ðî åêöèþ èñò èí í î é
âåëè÷èí û ï ðÿì î é,- ck, î ï ðåäåëèò ü ò î ÷êó
ï åðåñå÷åí èÿ ï åðï åí äèêóëÿðà ñ ï ðÿì î é - Ê(ê,ê'),
ï ðî âåñò è ï ðî åêöèþ c'k' è í àéò è èñò èí í óþ
âåëè÷èí ó CK(ck,c'k')
ì åò î äî ì ï ðÿì î óãî ëüí î ãî ò ðåóãî ëüí èêà
c
Рис. 5. Проецирование прямого угла. Определение расстояния от точки
до горизонтальной прямой
12
Следы прямой – это точки пересечения прямой с плоскостями проекций
Z
Nn’
V
b’
B
a’
A
n
m’
X
b
a
Y
Mm
H
Z
p’
Nn’
b’
a’
X
p
Y
m’
n
b
a
Y
mM
M(m,m`) – горизонтальный след прямой АВ,
m - горизонтальная проекция горизонтального следа;
m` - фронтальная проекция горизонтального следа.
N(n,n`) – фронтальный след прямой,
n – горизонтальная проекция фронтального следа
n` - фронтальная проекция фронтального следа.
P(p,p`) – профильный след прямой АВ
Рис. 6. Следы прямой
13
Задача 3. Определить положение прямой в пространстве относительно
плоскостей проекций. Построить третью проекцию прямой. Построить следы
прямой.
1
Z
2
Z
a`
b'
a`
b`
X
X
Yw
b
a
a
Yh
Z
3
b
Yh
4
Z
b`
a`
X
b`
a`
X
a
a≡ b
b
Yh
Yh
14
Задача 3. Определить положение прямой в пространстве относительно
плоскостей проекций. Построить третью проекцию прямой. Построить следы
прямой.
Z
6
Z
5
b`
a`≡ b`
X
X
b
a`
b
a
a
Yh
Yh
Z
7
8
Z
a`
b`
b``
X
a``
X
a ≡b
Yh
Yh
a``
b``
15
Задача 3. Определить положение прямой в пространстве относительно
плоскостей проекций. Построить третью проекцию прямой. Построить следы
прямой.
9
10
Z
b`
Z
b``
b``
b`
a`
X
a``
X
a``
a`
Yh
Yh
Z
11
Z
12
b``
b`
a`
a``
X
X
b
b
a
a
Yh
Yh
16
Задача 3. Определить положение прямой в пространстве относительно
плоскостей проекций. Построить третью проекцию прямой. Построить следы
прямой.
Z
13
Z
14
b`
b``
b`
a`
X
a``
a`
X
Yw
b
a
Yh
Yh
15
16
Z
a`≡ b`
b``
Z
a`
a``
b`
a``≡ b``
X
X
Yh
Yh
17
Задача 4. Построить третью проекцию
прямой.
Определить
указанный угол наклона и натуральную величину прямой. Найти следы прямой.


Z
1
b`
Z
2
a`
a`
b`
X
X
a
b
a
b
Yh
Yh


Z
3
Z
4
b`
a`
a`
b`
X
X
a
b
b
a
Yh
Yh
18
Задача 4. Построить третью проекцию
прямой.
Определить
указанный угол наклона и натуральную величину прямой. Найти следы прямой.

Z
5

6
b`
Z
a`
X
X
a`
b`
a
b
a
b
Yh
7

Yh
Z
Z

8
a`
b`
.
X
X
b`
a`
a
b
Yh
a
Yh
b
19
Задача 4. Построить третью проекцию
прямой.
Определить
указанный угол наклона и натуральную величину прямой. Найти следы прямой .

9

10
Z
Z
b`
a`
a`
a
b`
b
X
X
a
b
Yh
Yh
11


Z
12
Z
b`
a`
b`
X
a`
b
a
X
b
a
Yh
Yh
20
Задача 4. Построить третью проекцию
прямой.
Определить
указанный угол наклона и натуральную величину прямой. Найти следы прямой.

13
Z
Z

14
b`
b`
a`
a`
X
X
a
b
a
b
Yh
Yh

15

16
Z
Z
a`
a`
b`
b`
X
X
b
a
a
Yh
b
Yh
21
Задача 5. Определить
расстояние от точки А до прямой ВС.
1
2
.
z
z
b`=c`
a`
b`
c`
a`
x
x
Yw
Yw
c
a
c
Yh
b
b
a
Yh
3
c`
4
Z
c``
z
c`
a``
a`
b`
b``
a`
b`
x
Yw
x
Yw
c
b
a
Yh
Yh
22
Задача 5. Определить расстояние
от точки А до прямой ВС.
5
z
6
a`
z
c`
c`
b`
a`
x
y
a
Yw
b`
x
b
a
c
y
8
z
7
Yh
b=c
b`
b`=c`
z
a`
a`
c`
y
x
b
y
x
a
a
c
b
y
c
y
23
Задача 5.Определить расстояние
9
10
z
b`
от точки А до прямой ВС.
z
b`=c`
a`
c`
a`
x
x
y
y
b
a
b
c
c
a
y
y
11
z
b`
12
z
c`
a`
c`
a`
y
c
a
b
b`
x
c
y
y
a
b
y
24
Задача 5.Определить расстояние от точки А до прямой ВС.
13
14
z
b`
z
a`
a`
c`
b`
c`
y
x
y
x
b
a
c
a
b=c
y
y
15
16
a`
z
z
c`
b`
b`
b``=c``
c`
y
a`
x
y
x
b
a
c
a
y
y
25
Тема: Проецирование плоскости
-
Литература: Р.М. Хмелёва. Краткий курс НГ с.34 – 53.
Цель научиться:
определять положение плоскостей относительно плоскостей проекций по
комплексному чертежу;
находить вторую проекцию точки или прямой, принадлежащих плоскости;
строить линии особого положения в плоскости;
строить проекции прямой, плоскости, параллельных заданной плоскости;
строить проекции прямой, плоскости , перпендикулярных заданной плоскости;
находить линию пересечения плоскостей;
находить точку пересечения прямой с плоскостью;
находить расстояние от точки до плоскости.
.
b`
a`
c`
c`
b`
b`
a`
a`
b`
c`
a
c
a
b
c
a`
a`
a
a
d
d
b
b
a
Проекциями:
трёх точек; прямой и точки;
параллельных
прямых;
c`
d`
d`
c`
c
b`
c
c
b
b
пересекающихся
прямых;
треугольника
Z
V
Pv
W
Pv
PP
Pw
Px
X
Ph
H
Y
Следами
Рис 7. Способы задания плоскостей на чертежах
Ph
26
Sv
b`
V
a`
P
Pv
A
B
Sx
x
a
b
a
Sh
Ph
H
Горизонтально-проецирующая P┴H
b
Фронтально-проецирующая S┴V
Рис. 8. Проецирующие плоскости
Qv
a`
b`
B
A
b`
V
a`
Q
x
V
x
ИВ
a
b
H
b
Sh
H
Горизонтальная - Q || H
a
Фронтальная - S || V
Рис. 9. Плоскости уровня, дважды проецирующие
b'
Ô
ÔÏ
è
ÿ
àë
íà
ëü î í ò
à
ð
ò
îí
ÿô
Ôð êöè
îå
1'
ïð
a'
ÔÏ Ã
c'
b'
d'
1'
Ôðî í ò àëüí àÿ
ï ðî åêöèÿ ãî ðèçî í ò àëè
c'
a'
c
a
ÃÏ Ô
1
a
ÃÏ Ã
c
1
Ãî ðèçî í ò àëüí àÿ ï ðî åêöèÿ
Ôðî í ò àëè
b
b
Построение фронтали начинать
с её горизонтальной проекции а1
Ãî ðèç
îíò
ï ðî åê àëüí àÿ
öèÿ ã
î ðèçî
í ò àë
d
è
Построение горизонтали начинать
с фронтальной проекции a'1'
Рис. 10. Линии особого положения в плоскости
27
Задача 6. Определить положение плоскости в пространстве.
Построить недостающую проекцию точки или прямой в плоскости.
1
2
Pv
d`
b`
Px
a`
b
c`
a
d
Ph
c
b
4
3
e`
d`
c`
Pv
b`
a`
Px
a
c
d
b
e
Ph
28
Задача 6. Определить положение плоскости в пространстве.
Построить недостающую проекцию точки или прямой в плоскости.
5
c`
d`
6
Qv
a`
e`
а
e
d
b
c
7
8
a`
Pv
b`
Px
c`
a
c
d
a
b
b
29
Задача 6. Определить положение плоскости в пространстве.
Построить недостающую проекцию точки или прямой в плоскости.
9
10
Pv
a`
b`
b`
a`
Px
Qh
Ph
11
d`
a`
c`
12
f`
d`
c`
b`
e`
b`
d
f
b
е
d
c
a
c
30
Задача 6. Определить положение плоскости в пространстве.
Построить недостающую проекцию точки или прямой в плоскости.
13
d`
14
Qv
e`
c`
f`
a
a
f
e
d
b
c
15
16
a`
f`
c`
d`
d`
f`
b`
c`
f
d
c
f
c
d
31
Задача 7. Построить линии особого положения в плоскости: горизонталь,
фронталь, линию наибольшего ската. Для построения проекции каждой линии
условие задания перечертить.
1
c`
b`
2
b`
c`
a`
d`
a`
d
c
a
a
c
b
b
3
4
b`
b`
c`
c`
a`
a`
c
c
a
a
b
b
32
Задача 7. Построить линии особого положения в плоскости: горизонталь,
фронталь, линию наибольшего ската. Для построения проекции каждой линии
условие задания перечертить.
5
b`
6
b`
d`
a`
a`
c`
c`
c
a
a
d
b
b
c
7
8
c`
c`
a`
a`
b`
d`
d`
b`
c
d
a
a
c
d
b
b
33
Задача 7. Построить линии особого положения в плоскости: горизонталь,
фронталь, линию наибольшего ската. Для построения проекции каждой линии
условие задания перечертить.
9
a`
c`
c`
10
b`
a`
d`
b`
b
b
a
a
d
c
c
11
b`
12
c`
b`
c`
a`
a`
a
b
b
a
c
c
34
Задача 7. Построить линии особого положения в плоскости: горизонталь,
фронталь, линию наибольшего ската. Для построения проекции каждой линии
условие задания перечертить.
14
13
b`
a`
c`
a`
b`
c`
d`
d`
a
d
c
a
c
b
a`
15
b
d
16
a`
d`
c`
b`
b`
c`
c
a
b
d
b
c
a
35
Построение линии пересечения плоскостей
Литература: Р.М. Хмелёва. Краткий курс НГ, с.57-64.
Qv
n`
Pv
ФПГ
b`
Qv
ФПГ
1`
a`
Px
c`
n
ГПГ
a
c
Ph
b
Пересечение плоскости, заданной следами
горизонтальной плоскостью
ГПГ
1
Пересечение плоскости, заданной
треугольником горизонтальной плоскостью
Линии пересечения плоскостей общего положения с горизонтальной плоскостью
горизонтали с проекциями ФПГ и ГПГ.
-
Рис.11. Пересечение плоскостей общего положения плоскостями уровня
a'
Pv
b'
1'
b'
1'
2'
a'
2'
d'
Qv
c'
c'
b
2
c
c
Ph
a
2
Qh
1
d
1
a
PÖ
V. PÞô
ABC ï î ï ðÿì î é I II(1'2',12)
b
QÖ
H. QÞï ëABÕ
CD ï î ï ðÿì î é I II(12,1'2')
Рис 12. Пересечение плоскостей общего положения проецирующими
плоскостями
36
Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Литература: Р.М. Хмелёва. Краткий курс НГ с.64-66.
Принцип построения точки пересечения прямой с плоскостью:
1.Заключить прямую в проецирующую плоскость;
Если в горизонтально – проецирующую, - ГПП, то след-проекцию
проводить через горизонтальную проекцию прямой, фронтальный след - OX.
Если во фронтально-проецирующую плоскость,ФПП, – через фронтальную
проекцию прямой провести след – проекцию, горизонтальный следOX.
2. Найти
линию пересечения вспомогательной, проецирующей
плоскости и заданной;
Если плоскости заданы следами, проекции линии пересечения проходят
через точки
пересечения одноимённых следов плоскостей (PvQvn`;
Ph Qhm). Линия пересечения MN(mn,m`n`).
Если плоскость задана геометрической фигурой, проекции линии
пересечения проходят через точки пересечения прямых плоскости со следом –
проекцией вспомогательной, проецирующей.
3. Найти точку пересечения прямой с плоскостью К(к,к`)
на
пересечении одноимённых проекций прямой и линии пересечения плоскостей.
c`
b`
c`
e`
Sv
b`
e`
e`
b`
k`
2`
1`
a`
d`
a`
d
b
1
e
a`
d`
b
e
Sv
c`
d
2`
1`
d`
b
1
e
d
k
a
c
a
c
2
a
2
c
Условие
задачи
1) Заключить прямую AB
в пл. SV – ФПП, Sv  a`b`,
2) Найти проекции линии пересечения
S и ∆DCE - S∩∆DCE по I II(12,1'2')
3) На пересечении
проекций ab 12  к,
точка k'  a’b’
Рис. 14. Последовательность решения задачи по нахождению точки
пересечения прямой с плоскостью треугольника
37
Задача 8. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью.
1
e`
b`
a`
d`
2
e`
d`
c`
b`
c`
a`
b
e
d
b d
c
f
a
c
a
e
3
4
b`
e`
a`b`
f`
d`
d`
c`
c`
a`
a
d
f
c
a
c
d
b
b
e
38
Задача 8. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью.
c`
a`
5
f`
e`
6
d`
a`
b`
c`
e`
d
`
d
b
`
a
e
a
e
c
b
f
b
d
c
8
7
c`
d
`
e`
a`b
`
f`
e
b
`
e`
a`
c`
d
`
e
f
a
a
d
d
b
c
c
b
39
Задача 8. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью.
9
10
b
`
d`
d
`
c`
c`
b`
a`
f`
a`
f`
e`
c
a
c
a
f
b
d
b
11
a`
12
l`
f
d
e
c`
a`
d
`
f`
b
`
c`
b
`
f`
d
`
f
d
a
c
f
a
b
c
l
b
d
40
Задача 8. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью.
14
13
a`
c`
d
`
e`
b
`
a`
c`
f`
d
`
f`
b
`
e
c
f
d
b
a
b
a
d
f
15
16
a`
c`
f`
c`
l`
a`
b
`
d
`
d
`
e`
c
b
`
d
b
d
e
f
l
c
a
a
b
c
41
Параллельность плоскостей
Литература: Р.М. Хмелёва. Краткий курс НГ с.54-56.
Если плоскости заданы геометрической фигурой или параллельными,
пересекающимися прямыми:
- две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной
плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При
этом одноимённые проекции пересекающихся прямых должны быть
параллельны.
Если плоскости заданы следами:
- две плоскости параллельны, если их одноимённые следы параллельны.
c`
e`
d`
a`
Pv
Qv
f`
b`
c
Px
a
Qx
e
f
b
d
Ph
Плоскость  BCD || плоскости[AEAF],
так как AF||CD; AE||BD (af||cd, a`f`||c`d`; ae||bd, a`e`||b`d`)
Qh
Плоскость Q||P –
Qv||Pv;Qh||Ph
Рис. 15. Параллельность плоскостей
42
Перпендикулярность плоскостей
Литература: Р.М. Хмелёва. Краткий курс НГ с. 68-77.
Две плоскости перпендикулярны, если:
-одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости;
-одна из них перпендикулярна прямой, лежащей в другой плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если её проекции перпендикулярны
одноимённым следам плоскости или соответствующим проекциям фронталей и
горизонталей
b'
ÔÏ
Ô
d'
1'
ÔÏ Ã
c'
2'
90Å
e'
f'
a'
d
c
90Å
ÃÏ Ô
a
1
ÃÏ
Ã
e
f
2
b
Ï ëî ñêî ñò ü EDFÖ
ô
ABC, ò àê êàê d'f'Ö
ÔÏ Ï Ô,dfÖ
ÃÏ Ã
Рис. 16. Перпендикулярность плоскостей
Для определения расстояния от точки до плоскости необходимо:
1) провести перпендикуляр к плоскости - горизонтальная проекция
перпендикуляра перпендикулярна ГПГ или горизонтальному следу Ph,
фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна ФПФ или Pv;
2) найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью, для чего:
2.1 – заключить перпендикуляр в проецирующую плоскость,
2.2 – найти линию пересечения плоскостей,
2.3 – найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
3) определить истинную величину полученного отрезка АК методом
прямоугольного треугольника.
43
Задача 9. Через точку А провести плоскость:
а) параллельную заданной плоскости; б) перпендикулярную заданной плоскости.
Задача 10. Определить расстояние от точки А до заданной плоскости.
Для каждой задачи условие вычертить отдельно.
2
a`
1
c`
f`
b`
b`
d`
d`
c`
a`
d
b
a
c
b
f
a
c
d
4
3
b`
c`
d`
b
c`
b`
a`
d`
a`
f`
b
d
d
a
c
f
a
c
44
Задача 9. Через точку А провести плоскость:
а) параллельную заданной плоскости; б) перпендикулярную заданной плоскости.
Задача 10. Определить расстояние от точки А до заданной плоскости.
Для каждой задачи условие вычертить отдельно.
5
c`
d`
6
d`
a`
d`
c`
a`
b`
b`
e`
c
c
a
a
b
d
b
d
e
8
7
b`
a`
a`
c`
d`
f`
c`
b`
d`
d
a
b
c
f
c
a
d
b
45
Задача 9. Через точку А провести плоскость:
а) параллельную заданной плоскости; б) перпендикулярную заданной плоскости.
Задача 10. Определить расстояние от точки А до заданной плоскости.
Для каждой задачи условие вычертить отдельно.
9
10
b
`
a`
d`
d
`
e`
b`
c`
.
c`
a`
a
d
d
e
a
c
b
b
c
b`
11
12
a`
b`
a`
f`
d`
d`
c`
c`
a
d
f
b
c
c
d
b
a
46
Задача 9. Через точку А провести плоскость:
а) параллельную заданной плоскости; б) перпендикулярную заданной плоскости.
Задача 10. Определить расстояние от точки А до заданной плоскости.
Для каждой задачи условие вычертить отдельно.
13
14
f`
c`
a`
b`
.
d`
b`
c`
a`
d`
d
b
c
b
c
a
f
d
a
d`
15
16
c`
b`
a`
d`
a`
f`
c`
b`
f
b
b
a
d
d
c
a
c
47
Литература
1. Гордон В.О., Семенцов – Огиевский М.К. Курс начертательной геометрии.
- М.:Физматгиз, 2004 – 360 с.
2, Королев Ю.К. Начертательная геометрия 2-е издание. Учебник для вузов. СПб:
- ПИТЕР,2010. - 257с.
3. Хмелёва Р.М. Краткий курс начертательной геометрии. – Севастополь:
СНИЯЭиП, 2003.- 152 с.
Содержание
Методические указания к выполнению заданий по самоподготовке
Тема Проецирование точки
Задача 1. Построить три проекции точки по её координатам
Задача 2. Построить третью проекцию точки А по двум заданным
Тема Проецирование прямой
Задача 3. Определить положение прямой в пространстве относительно
плоскостей проекций. Построить третью проекцию прямой.
Построить следы прямой
Задача 4. Построить третью проекцию прямой. Определить указанный
угол наклона и натуральную величину прямой. Найти следы прямой
Задача 5 Определить расстояние от точки А до прямой ВС
Тема Проецирование плоскости
Задача 6. Определить положение плоскости в пространстве.
Построить недостающую проекцию точки или прямой в плоскости
Задача 7. Построить линии особого положения в плоскости
Построение линии пересечения плоскостей
Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Задача 8. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью
Параллельность плоскостей
Перпендикулярность плоскостей
Задача 9. Через точку А построить плоскость: а) параллельную заданной
плоскости; б) перпендикулярную заданной плоскости
Задача 10. Определить расстояние от точки А до заданной плоскости
Литература
3
4
5
6
10
13
17
21
25
27
31
35
36
37
41
42
43
43
47
48
Ольга Владимировна ЯКОВЛЕВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Сдано в набор
Подписано в печать
Формат бумаги 60х84/
Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная.
Объём 6 печ.л. Изд.№ . Тираж
экз. Зак.
Типография ЧВВМУ им. П.С. Нахимова