Имеем

4. МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
4.1. Цепи Маркова
Пусть T – подмножество множества [0; ) неотрицательных вещественных чисел и пусть X – конечное или счетное множество.
Определение 1. Случайный процесс {(t ), t  T} , принимающий значения из множества X , называется цепью Маркова (ЦМ), если для любого натурального n  1, 2, ... , любых вещественных t 0 , t1 , ..., t n  T , таких
что t 0 t 1 ...  t n и любых x0 , x1 , ..., xn  X имеет место равенство
P{(t n )  x n (t 0 )  x0 , ..., (t n1 )  x n1}  P{(t n )  x n (t n1 )  x n1}. (4.1)
В дальнейшем элементы множества X будем называть состояниями
процесса (t ) .
Очевидно, свойство (4.1) означает, что при установленном состоянии x n 1 процесса (t ) в момент времени t n 1 его дальнейшее поведение
не зависит от того, каким образом процесс оказался в этом состоянии
(будущее при известном настоящем не зависит от прошлого).
Отметим, что цепи Маркова представляют собой частный случай так
называемых марковских процессов.
Процесс ξ (t ) (в общем случае многомерный) с множеством состояний E , где t  T , называется марковским, если для любого целого n  1,
любых состояний x1 , ..., x n , x  E , всех t1 , ..., t n , t , таких что
t1  ...  t n  t , любого множества состояний A  E и любого   0 справедливо равенство
P{ξ(t  )  A ξ(t1 )  x1 , ..., ξ(t n )  x n , ξ(t )  x}  P{ξ(t  )  A ξ(t )  x} .
Ясно, таким образом, что ЦМ – это марковский процесс, множество
состояний которого конечно или счетно. Понятно также, что можно анализировать многомерные ЦМ. Далее для простоты изложения мы будем
говорить об одномерных ЦМ, соответствующие обобщения являются
очевидными с точки зрения теории.
В дальнейшем будем считать, что X  {i}, i  0, 1, ... (например, все
состояния X процесса (t ) перенумерованы). Типичным примером такого процесса является процесс (t ) , где (t ) – число требований, находящихся в системе в момент времени t.
35
Цепь Маркова называется однородной, если условная вероятность
P{(t  t 0 )  j (t 0 )  i} , где t 0 , t  0 , при известных состояниях i, j  X
не зависит от t 0 , а зависит только от t.
В частности, для однородной ЦМ имеет место соотношение
P{(t  t0 )  j (t0 )  i}  P{(t )  j  0  i} , где  0  (0) . В дальнейшем
мы будем анализировать только однородные ЦМ.
Несколько более общим является понятие однородного марковского
процесса: марковский процесс ξ (t ) называется однородным, если функция P{ξ(t  )  A ξ(t )  x} не зависит от t, а зависит только от
 , х и А.
ЦМ, для которой T  {0, 1, 2, ...} называется ЦМ с дискретным временем; ЦМ, для которой T  {t : t [0; )} , называется ЦМ с непрерывным временем.
Введем обозначения Pi j (t )  P{(t )  j  0  i} , Pj (t )  P{(t )  j} ,
где t  0 ; i, j  X . Функции Pi j (t ) называются вероятностями перехода
из состояния i в состояние j за время t. Функции Pj (t ) представляют собой безусловные вероятности того, что в момент времени t процесс
находится в состоянии j. В случае ЦМ с дискретным временем примем
обозначения Pi (jn )  Pi j (n) , n  1, 2, ... . Величины Pi (nj ) называются вероятностями переходов из состояния i в состояние j за n шагов. Вероятность
перехода из состояния i в состояние j за один шаг pi j  Pi (j1) будем называть просто вероятностью перехода из состояния i в состояние j.
Набор вероятностей {Pj (0), j  X} , где  Pj (0)  1 , называется
jX
начальным распределением ЦМ.
Определение 2. Цепь Маркова называется эргодичной, если при
t   для всех ее состояний j  X существуют пределы Pj (t )   j ,
  j  1.
jX
Если для всех j  X имеем  j  0 , то эргодичная ЦМ называется
строго эргодичной. Набор чисел {  j , j  X } называется эргодическим
распределением ЦМ, вероятности  j называются конечными (финальными) вероятностями ЦМ.
36
Определение 3. Вероятностное распределение { p j , j  X} , где
p j  0,  p j  1, называется стационарным распределением цепи МарjX
кова, если для любого состояния j  X и любого t  0 выполняется равенство p j   pi Pi j (t ) .
iX
Если в произвольный момент времени ЦМ характеризуется стационарным распределением, то это означает, что безусловные вероятности
ее состояний не зависят от времени; такая ЦМ называется стационарной.
В частности, отсюда следует, что для любой стационарной ЦМ начальное распределение {Pj (0)} является стационарным (т.е. Pj (0)  p j для
любого j  X ), поскольку оно удовлетворяет уравнениям, записанным в
определении 3.
Эргодическое распределение ЦМ (если оно существует), очевидно,
является стационарным, следовательно, его финальные вероятности также определяются системой уравнений, представленных в определении 3.
Это означает, что если ЦМ (t ) с начальным распределением
{Pj (0), j  X} и переходными вероятностями Pi j (t ) , i  X , эргодична и
характеризуется финальными вероятностями  j , j  X , то существует
стационарная ЦМ 1 (t ) с такими же переходными вероятностями и
начальным распределением Pj1 (0)   j .
В некотором смысле, таким образом, поведение эргодичной ЦМ с
переходными вероятностями Pi j (t ) , независимо от ее начального распределения, с течением времени все менее отличается от поведения стационарной ЦМ 1 (t ) . Говорят, что в этом случае существует единственное стационарное распределение цепи (t ) , совпадающее с ее эргодическим распределением.
Определение 4. Цепь Маркова называется неприводимой, если для
любых двух ее состояний i, j  X существует такое конечное число
t i j (0  t i j  ) , что Pi j (t i j )  0 .
Неприводимость ЦМ означает практическую возможность перехода
в течение конечного времени из произвольного состояния i  X в произвольное состояние j  X (вероятность такого перехода отлична от нуля).
37
Ниже рассматриваются различные частные случаи ЦМ.
1. Цепь Маркова с дискретным временем и конечным множеством состояний X  {0, 1, ..., r  1}. Для ЦМ с дискретным временем и
конечным множеством состояний имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. (Эргодическая теорема Маркова – Бернштейна.) Если
существуют такое состояние j  X и такое натуральное число k  1,
что для произвольного состояния i  X выполнено неравенство
Pi (jk )    0 , то цепь Маркова является эргодичной, существует единственное стационарное распределение этой цепи, совпадающее с ее эргодическим распределением. Наоборот, если цепь Маркова эргодична,
то существует такое состояние j  X , что для произвольного состояния i  X при достаточно больших k  1 выполняется неравенство
Pi (jk )    0 .
Теорема 2. Если существует целое число k  1, такое что
min Pi (jk )  0 , то цепь Маркова является строго эргодичной. Наоборот,
i , jX
если цепь Маркова строго эргодична, то существует такое целое число
k  1, что min Pi (jk )  0 .
i , jX
2. Цепь Маркова с дискретным временем и конечным или счетным множеством состояний X  {0, 1, ...}.
Определение 5. Неприводимая цепь Маркова с дискретным временем называется непериодической, если для некоторого из ее состояний
i  X (а вследствие неприводимости и для всех ее состояний) имеет место следующее свойство: наибольший общий делитель всех n, таких что
Pi (in )  0 , равен 1.
Теорема 3. (Эргодическая теорема Феллера.) Неприводимая непериодическая цепь Маркова с дискретным временем относится к одному из
следующих двух классов:
a) или все состояния цепи невозвратные (нулевые), т. е. для произвольной пары состояний i, j  X имеем Pi (jn)  0 при n   , и в
таком случае не существует стационарного распределения цепи;
38
б) или все состояния цепи положительные (эргодические), т. е. при
n   имеем Pi (jn )  p j  0 . В таком случае { p j } является стационарным распределением цепи и не существует других ее стационарных распределений.
В частности, для произвольного начального распределения цепи
{Pj (0)} существует предел lim  Pi (0) Pi (jn) , равный нулю в случае a и
n
iX
равный p j в случае б.
Можно показать, что из теоремы 3 следует теорема 4.
Теорема 4. (Эргодическая теорема Фостера.) Необходимым и достаточным условием наличия у непериодической цепи Маркова стационарного распределения { p j } , такого, что p j  0 для произвольного состояния j  X (т. е. условием строгой эргодичности цепи), является
существование ограниченного ненулевого решения {x i , i  X} системы
уравнений
x j   xi p i j , j  X
iX
(т. е. такого решения, что
 xi
  ). В этом случае существует
iX
единственное стационарное распределение цепи, с точностью до нормирующего множителя совпадающее с решением {x i , i  X} , которое
совпадает также с ее эргодическим распределением.
Последнее предложение теоремы 4 означает, что стационарным распределением цепи является такое ограниченное ненулевое решение {xi }
указанной системы уравнений, для которого выполняется условие нормировки  xi  1 .
iX
3. Цепь Маркова с непрерывным временем. ЦМ с непрерывным
временем называется стохастически непрерывной, если для произвольных состояний i, j  X имеем lim Pi j (t )  Pi j (0)    i, j , где  i, j – симt 0
вол Кронекера, определяемый следующим образом:
1, если i  j;
 i, j  
0, если i  j.
39
Можно доказать, что для стохастически непрерывной ЦМ существуют пределы
1  Pi i (t )
Pi j (t )
(4.2)
 i  lim
;  i j  lim
, i  j,
t 0
t 0
t
t
где 0   i  , 0   i j   .
Число  i называется интенсивностью выхода из состояния i,
а  i j – интенсивностью перехода из состояния i в состояние j. Если
 i   , состояние i называется мгновенным, в противном случае
(  i   , т. е.  i является конечным числом) состояние i называется
немгновенным (или задерживающим). Немгновенное состояние i  X
называется поглощающим, если  i  0 .
Можно доказать, что всегда выполняется неравенство  i    i j .
j i
Немгновенное состояние i называется консервативным, если выполняется равенство  i    i j . Если для состояния i справедливо
j i
строгое неравенство  i    i j , состояние i называется неконсерваj i
тивным.
Если все состояния цепи консервативны, то ЦМ называется консервативной.
Если все состояния ЦМ немгновенны, то из соотношения (4.2) следует
(4.3)
Pi j (t )   i j t  o(t ) ; i, j  X; i  j ;
Pii (t )  1   i t  o(t ) , i  X .
(4.4)
Если множество состояний X конечно, легко доказать, что все состояния цепи немгновенны и консервативны, следовательно, в этом случае ЦМ является консервативной.
Пусть X  {0, 1, ..., r  1} – конечное множество, t – малое положительное число. Из формулы полной вероятности следует, что
Pi j (t  t )   Pi k (t ) Pk j (t ) .
kX
Используя соотношения (4.3) и (4.4), находим
Pi j (t  t )  Pi j (t ) [1   j t  o(t )]   Pi k (t ) [ k j t  o(t )] ,
k j
откуда следует, что
40
(4.5)
Pi j (t  t )  Pi j (t )
(4.6)
  j Pi j (t )    k j Pi k (t )  o(1) .
t
k j
Из соотношения (4.5) следует, что функция Pi j (t ) непрерывна по t.
Из существования предела при t  0 правой части равенства (4.6) следует существование аналогичного предела левой части, т.е. существует
производная Pij (t ) . Поэтому из равенства (4.6) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
(4.7)
Pij (t )   j Pi j (t )    k j Pi k (t ) ; i, j  X
k j
с начальными условиями Pi j (0)   i , j . Система (4.7) называется системой прямых уравнений Колмогорова.
Снова воспользуемся формулой полной вероятности.
Pj (t  t )   Pk (t ) Pk j (t ) 
kX
 Pj (t ) [1   j t  o(t )]   Pk (t ) [ k j t  o(t )] ,
k j
откуда аналогичным образом получаем систему уравнений Колмогорова
для безусловных вероятностей:
Pj (t )   j Pj (t )    k j Pk (t ) , j  X ,
(4.8)
k j
с начальными условиями Pj (0)  p (j0) , где { p (j0) , j  X} – начальное распределение анализируемой цепи. Заметим, что соотношение (4.8) следует также из формулы (4.7), если обе ее части умножить на Pj (0) и просуммировать по всем i  X .
Приведенные рассуждения справедливы для случая конечного множества X , однако они будут не всегда справедливы в том случае, если
множество X счетно, поскольку в этом случае бесконечная сумма величин o(t ) не всегда равна o(t ) . Поэтому в случае счетного множества
состояний X уравнения Колмогорова имеют место при выполнении некоторых дополнительных условий. Оказывается, что в случае когда
множество X счетно для справедливости прямых уравнений (4.7) и
уравнений для безусловных вероятностей (4.8) достаточно, чтобы ЦМ
была стохастически непрерывной консервативной и, кроме того, чтобы
сумма   k Pi k (t ) была конечна для каждого состояния i  X и каждого
kX
t  0.
41
Определение 6. Цепь Маркова называется регулярной, если число
изменения ее состояний на любом конечном промежутке времени конечно с вероятностью 1 независимо от начального состояния цепи.
Можно показать, что достаточным условием регулярности ЦМ является ограниченность интенсивностей выхода  i , т. е. существование такого числа C  0 , что  i  C для всех i  X . Оказывается, что справедливость прямых уравнений (4.7) и уравнений для безусловных вероятностей (4.8) для стохастически непрерывной ЦМ следует также из ее регулярности.
Определение 7. Состояние j стохастически непрерывной цепи
Маркова называется достижимым из состояния i, если или i  j , или
 i j  0 , или существует такая последовательность состояний
i1 , ..., in  X , что  ii1  i1i2 ... in j  0 .
Для ЦМ с непрерывным временем справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. (Эргодическая теорема Фостера.) Консервативная цепь
Маркова с непрерывным временем и счетным множеством состояний
эргодична, если она неприводима и система уравнений
i j
x j   xi
; j  X,  i  0 ,

iX
i
имеет нетривиальное решение {x i , i  X} , такое что  xi   . В этом
iX
случае существует стационарное распределение цепи, с точностью до
нормирующего множителя совпадающее с решением {x i , i  X} , которое
совпадает также с ее эргодическим распределением.
Поскольку стационарные вероятности не зависят от времени и являются постоянными величинами, то при t   производные Pij (t ) и
Pj (t ) стремятся к нулю, поэтому уравнения (4.7) и (4.8) принимают вид
  j p j    k j p k  0, j  X , или
k j
 j p j    k j pk , j  X .
k j
42
(4.9)
Уравнения (4.9) называются уравнениями равновесия. Они имеют
следующий вероятностный смысл. Назовем произведение  j p j интенсивности выхода из состояния j и вероятности этого состояния потоком
вероятности из состояния j. Произведение  kj p k назовем потоком вероятности из состояния k в состояние j. Тогда из формулы (4.9) следует,
что в стационарном режиме поток вероятности из произвольного состояния уравновешивается суммой потоков вероятности из всех других состояний в данное состояние. Например, для ЦМ с тремя состояниями
(рис. 2) получаем следующие уравнения равновесия:
( 0   2 ) p 0   0 p1   2 p 2 , (1   0 ) p1   0 p 0  1 p 2 ,
( 2  1 ) p 2   2 p 0  1 p1 .
Представлением ЦМ в виде ориентированного графа можно воспользоваться также для быстрого выписывания прямых уравнений Колмогорова и уравнений для безусловных вероятностей.
2
0
0
2
2
1
2
1
1
Рис. 2. Цепь Маркова, представленная в виде ориентированного графа
4.2. Процессы рождения и гибели
Процессы рождения и гибели играют важную роль в теории массового обслуживания. Например, траектория процесса (t ) (число требований, находящихся в системе в момент времени t) возрастает на единицу в момент поступления требования (в случае ординарного входного
потока) и уменьшается на единицу в момент окончания обслуживания
требования.
Если процесс (t ) является при этом ЦМ с непрерывным временем
и счетным множеством состояний, то он представляет собой так называемый процесс рождения и гибели.
43
Процессом рождения и гибели называется однородная ЦМ (t ) с
непрерывным временем и счетным множеством состояний
X  {0, 1, ...}, для которой из состояния n (n  1) возможен непосредственный переход только в состояния n  1 и n  1, а из состояния 0 
только в состояние 1.
Состояние такого процесса может быть интерпретировано как число
особей в некоторой популяции, переход n  n  1  как рождение особи
в популяции из n особей, переход n  n  1  как гибель особи в популяции, состоящей из n особей. При этом не исключается возможность самозарождения (переход 0  1 ).
Предположим, что анализируемый процесс рождения и гибели стохастически непрерывен, а все состояния ЦМ консервативны. С целью
упрощения записи примем обозначения  n n1   n ,  n n1   n . Тогда
соотношения (4.3) и (4.4) принимают вид
(4.10)
Pn n1 (t )   n t  o(t ) , n  0, 1, ...;
(4.11)
Pn n1 (t )   n t  o(t ) , n  1, 2, ...;
(4.12)
Pn n (t )  1  ( n   n )t  o(t ) , n  0, 1, ...,  0  0 .
Будем считать, что  0  0 .
В соотношениях (4.10)–(4.12)  n t есть с точностью до o(t ) вероятность рождения новой особи в популяции из n особей за время t , а
 n t есть с точностью до o(t ) вероятность гибели особи в такой популяции за время t .
Наглядно анализируемый процесс представляется в виде ориентированного графа (рис. 3).
1
0
0
2
1
1
n
 n1
n 1
...
2
n 1
n
n
...
 n1
Рис. 3. Граф состояний процесса рождения и гибели
Из общих условий выполнения прямых уравнений Колмогорова для
консервативной ЦМ следует, что в случае процесса рождения и гибели
должно выполняться неравенство  Pik (t )( k   k )   для каждого соkX
44
стояния i  X . Можно доказать, что для процесса рождения и гибели выполнение прямых уравнений Колмогорова следует также из равенства
Pkj (t )  o(t ) , имеющего место для всех таких k , j, что k  j  2 .
При выполнении указанных условий уравнения Колмогорова (4.7)
для процесса рождения и гибели принимают вид
Pij (t )   j 1 Pi j 1 (t )  ( j   j ) Pi j (t )   j 1 Pi j 1 (t ) ,
где i, j  0, 1, ...;  0  0 ,  1  0 . Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей (4.8) выполняются при тех же условиях и принимают
вид
Pj (t )   j 1 Pj 1 (t )  ( j   j ) Pj (t )   j 1 Pj 1 (t ) .
В случае если величины  k достаточно быстро возрастают с увеличением k, процесс за конечное время с положительной вероятностью
может выйти из фазового пространства X  {0, 1, ...} и перейти в «бесконечно удаленную точку» (это означает, что особей в популяции будет
бесконечно много). Иначе говоря, для конечных t в этом случае имеем
P{(t )  }  0 , а это означает, что равенство

 Pk (t )  1
(4.13)
k 0
не выполняется.
Оказывается, что для выполнения равенства (4.13) достаточно, чтоk


бы расходился ряд   i , т. е.
k 1 i 1  i
k


(4.14)
  i   .
k 1 i 1 i
Если, наряду с выполнением условия (4.14), выполняется условие
k


(4.15)
  i 1   ,
k 1 i 1
i
то процесс (t ) эргодичен, существуют финальные вероятности
p k  lim Pk (t ) , k  0, 1, ... , и существует единственное стационарное расt 
пределение этого процесса, совпадающее с его эргодическим распределением.
Условия (4.14), (4.15) выполняются, например, если существует состояние N  X и такое число  ( 0    1), что для всех состояний i  N
выполняется неравенство
45
i
 .
(4.16)
 i 1
Система уравнений равновесия в этом случае имеет вид
0   0 p 0  1 p1 ;
(4.17)

0


p

(



)
p


p
,
j

1
,
2
,
...
.
j 1 j 1
j
j
j
j 1 j 1

Примем обозначения z k   k p k   k 1 p k 1 ; k  0, 1, ... . Тогда уравнения равновесия (4.17) представляются в виде
z0  0; z j  z j 1  0; j  1, 2, ... ,
откуда следует, что z k  0 для всех k  0, 1,  , и, следовательно,




p k  k 1 p k 1  k 1  k  2  ...  0 p 0 ,
k
 k  k 1
1
или
k

(4.18)
p k   i 1 p 0 .

i 1
i
Поскольку { p k } является распределением вероятностей, имеем
p 0  p1  ...  1 , откуда следует, что
1
k


 
p 0  1    i 1  .
 k 1 i 1  i 
4.3. Общее рассмотрение марковских систем
Пусть (t ) – число требований, находящихся в системе в момент
времени t (к (t ) относятся требования, ожидающие обслуживания, и
обслуживаемые в момент времени t). В том случае, если процесс (t ) является марковским, соответствующая СМО также называется марковской. В частности, марковскими являются все СМО типа M / M / n / m ,
где 1  n  , 0  m   .
Действительно, в общем случае (например, для СМО GI / G / n / m )
распределение числа требований (t ) после некоторого момента времени  (t  ) определяется:
1) числом требований, находящихся в системе в момент времени  ;
2) моментами поступления требований в систему после момента
времени  ;
3) моментами окончания обслуживания требований после момента
времени  .
46
Поскольку входной поток требований в системе M / M / n / m является простейшим (т. е. обладает свойством отсутствия последействия),
моменты поступления требований после момента времени  не зависят
от поведения системы до момента  . Аналогично, поскольку время обслуживания требования распределено экспоненциально, то из свойства
отсутствия памяти у экспоненциального распределения следует, что моменты окончания обслуживания требований после момента  зависят
только от числа требований в системе в момент  и не зависят от ее поведения до момента  . Следовательно, процесс (t ) является марковским с конечным (1  n  , 0  m   ) или счетным ( n   или m   )
множеством состояний. Поэтому для нахождения вероятностей
Pj (t )  P{(t )  j}, j  0, 1, ..., следует решить систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей с учетом начальных условий.
В случае существования стационарного режима (эргодического распределения) стационарные (финальные) вероятности p j  lim Pj (t ) ,
t 
j  0, 1, ... , можно определить из уравнений равновесия. В соответствии с
тем, что уравнения Колмогорова получаются вероятностным переходом
при t  0 , описанный метод называется методом t .
Если n   или m   , то, очевидно, процесс (t ) является процессом рождения и гибели, граф состояний которого представлен на рис. 3,
а уравнения равновесия имеют вид (4.17). Если со вторым уравнением
при j  1 сложить первое, получим  1 p1   2 p 2 . Затем, если со вторым
уравнением при j  2 сложить уравнение, полученное на первом шаге,
имеем  2 p 2   3 p 3 . Продолжение этого процесса приводит к системе
 n 1 p n 1   n p n ; n  1, 2, ....
(4.19)
Наоборот, из системы (4.19) следует система (4.17).
Вероятностный смысл уравнений (4.19) выясняется с помощью следующей геометрической интерпретации. Проведем на графе, представленном на рис. 3, вертикальное сечение между состояниями n  1 и n
(пунктирная линия на рис. 4).
Тогда поток вероятности через это сечение с левой стороны  n1 p n1
в стационарном режиме равен потоку вероятности  n p n с правой стороны.
В дальнейшем в данном разделе мы будем использовать следующие
обозначения: a – параметр (интенсивность) простейшего входного потока требований,  – параметр экспоненциального распределения времени
обслуживания (  имеет смысл среднего числа требований, обслуживае-
47
мых одним прибором, работающим беспрерывно, в течение единицы
времени),   a ( n) (в случае n   ); в случае n   будем применять
обозначение y  a  .
 n1
…
n–1
n
…
n
Рис. 4. Пояснение к выводу уравнений равновесия
4.4. Система M/M/n/m, 1  n < , 0  m < 
Для СМО M / M / n / m, 1  n  , 0  m   , множество состояний X
конечно. Поэтому в случае   a (n)   , как следует из теоремы 5, существует единственное стационарное распределение. Граф состояний
(граф переходов) показан на рис. 5.
a
a
0
1

…
a
n 1
n
…
nm
n  m 1
n
n
Рис. 5. Граф состояний СМО M / M / n / m
Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей для данной
системы имеют следующий вид:
P0 (t )  aP0 (t )  P1 (t ) ;
Pk (t )  aPk 1 (t )  (a  k) Pk (t )  (k  1)Pk 1 (t ), 0  k  n ;
Pk (t )  aPk 1 (t )  (a  n) Pk (t )  nPk 1 (t ), n  k  n  m ;
Pn m (t )  aPn  m1 (t )  nPn  m (t ) .
48
Из данной системы уравнений при t   следуют уравнения для
стационарных вероятностей p i  lim Pi (t ), i  0, n  m , однако решение
t 
стационарной системы уравнений получается проще, если выписать
уравнения равновесия, пользуясь соответствующими сечениями на
рис. 5.
Имеем
apk 1  kp k , 1  k  n ;

apk 1  np k , n  k  n  m ,
откуда следует, что
(n) k
a
n
pk 
p k 1 
p k 1 
p0 , 1  k  n ;
k
k
k!
a
n nk
k n
pk 
p k 1  p k 1   p n 
p0 , n  k  n  m .
n
n!
Следовательно, окончательно получаем
 (n) k
p0 , 0  k  n ;

k!
pk   n k
n  p , n  k  n  m.
 n! 0
Вероятность p 0 найдем из условия нормировки
 n (n) k (n) n
p0 

k
!
n!
 k 0
m

k 1

nm
 pk
 1 , т. е.
k 0
 k   1,
откуда имеем
1
 n (n) k n n  n1 (1   m ) 
p0   

 .
k
!
n
!
(
1


)
k

0


Математическое ожидание числа требований, находящихся в системе в стационарном режиме, вычисляется следующим образом:
k

n n  n 1 
1   m 
 n (n)

m
E   kp k  p 0 

n  (n  m) 
 ,
1   

k 0
k 1 (k  1) ! n !(1  ) 

где (t )   при t   в смысле сходимости по распределению.
В частном случае m  0 (для СМО M / M / n / 0 ) получаем известные
формулы Эрланга:
nm
49
yk
pk 
k!
yk
 , k  0, n ,
k  0 k!
n
где y  n  a  .
Эти формулы, как будет показано в разделе 6, имеют место в случае
более общей СМО M / G / n / 0 , для которой   a1 n  y n , где 1 –
момент первого порядка времени обслуживания.
Заметим, что величина p n  m в системе M / M / n / m играет роль вероятности потери требования.
4.5. Система обслуживания M/M/n/
Граф состояний СМО M / M / n /  представлен на рис. 6.
a
0
a
1
…
n 1
a
n 1
n
n

…
n
Рис. 6. Граф состояний СМО M / M / n / 
Процесс (t ) является в нашем случае процессом рождения и гибели. Если выполняется неравенство   a (n)  1, то, как следует из формулы (4.16), существует единственное стационарное распределение процесса (t ) . Уравнения равновесия для вертикальных сечений, проведенных в графе на рис. 6, имеют вид
apk 1  kp k , 0  k  n ;

apk 1  np k , k  n  1,
откуда вытекают соотношения, аналогичные полученным в п. 4.4:
 (n) k
p0 , 0  k  n ;

k!
pk   n k
(4.20)
n


p , k  n  1.
 n! 0
Условие нормировки в этом случае имеет вид

 n (n) k n n  k 
p

p
 k 0   k!  n!     1,
k 0
k  n 1 
 k 0
50
откуда следует, что
1
 n (n) k
n n  n1 
p0   

 .
k
!
n
!
(
1


)
 k 0

Стационарный первый момент числа требований, находящихся в системе, в этом случае вычисляется следующим образом:

 n (n) k
n n  n 1 [1  n(1  )] 
E   kp k  p 0 

.
2
(
k

1
)
!
n
!
(
1


)
k 0
k 1

Заметим, что такие же результаты мы получили бы, если бы перешли к пределу при m   в соответствующих формулах для СМО
M / M / n / m , дополнительно предположив, что   1.
Анализируемая система представляет собой СМО с ожиданием, поэтому для нее имеет смысл определение ФР W (t ) стационарного времени ожидания W, где Wk  W при k   (здесь Wk – время ожидания
k-го требования).
Заметим, что полученное распределение числа требований в СМО
M / M / n /  не зависит от очередности их обслуживания, но подобное
утверждение не является, очевидно, справедливым в отношении распределения времени ожидания. Далее будем считать, что очередность обслуживания требований соответствует порядку их поступления в систему (дисциплина FIFO).
ФР W (t ) представим в виде
W (t )  P{W  t}  1  P{W  t} ,
(4.21)
где

P{W  t}   p k P{W  t |   k} ,
(4.22)
k 0
P{W  t |   k}  Pk {W  t} – условная вероятность выполнения неравенства W  t для прибывающего требования при условии, что в момент его
поступления в системе находилось k (  k ) других требований (или, более кратко, система находилась в состоянии k).
Очевидно, для всех k  n и t  0 имеем Pk {W  t}  0 , поскольку в
таком случае в момент поступления в системе имеются свободные приборы (точнее, число таких свободных ОП равно n  k ). Поэтому соотношение (4.22) можно представить в виде

P{W  t}   p k Pk {W  t} ,
k n
51
(4.23)
где величины p k определяются соотношениями (4.20). Введем обозначение   k  n;   0, 1, .... Тогда Pk {W  t} представляет собой вероятность выполнения неравенства W  t при условии, что в момент поступления требования все ОП заняты, и, кроме того, в системе находится 
требований, ожидающих обслуживания.
Очевидно поэтому, что, с другой стороны, Pk {W  t} есть вероятность того, что в течение t единиц времени после поступления требования состоится не более  освобождений ОП (или, что то же самое, не
более  требований будет обслужено).
Пусть q r (t ), 0  r   , есть вероятность того, что состоялось r освобождений ОП за время t при условии, что все ОП в течение этого времени были заняты. Тогда поток освобождений (последовательность моментов времени окончания обслуживания требований), очевидно, является
простейшим с параметром n . Имеем, следовательно,
r
 n t ( n t )
q r (t )  e
, 0  r  ,
r!
откуда следует, что
r
k n
 n t (n t )
Pk {W  t}   e
, k  n.
r!
r 0
Из формулы (4.22) имеем

k n

k n
(n t ) r
(n t ) r
n nk
P{W  t}   p k  e n t
 e n t 
p0 

r
!
n
!
r
!
k n
r 0
k n
r 0

n n  n e  n t
(n t ) r

p0 
n!
r!
r 0

n n  n t
n  e
n!

(n t )
r!
r 0
p0 
r

  k n 
k n r

k n r

k n  r
n n


(n t) r n  p 0 (1) n t
n n  n e  n t
,
p0 

e
n !(1  )
r
!
n
!
(
1


)
r 0
откуда с учетом соотношения (4.21) получаем
(n) n p 0 (1) n t
W (t )  1 
e
.
n!(1  )
Очевидно, время пребывания требования V в стационарном режиме
равно V W   , где  – время обслуживания требования, при этом СВ
W и  независимы. Следовательно, ФР V (t ) СВ V можем определить
следующим образом:

52
t
t
0
0
V (t )  P{V  t}   W (t  u )dB(u )    e  uW (t  u )du ,
 t
где B(t )  P{  t}  1  e .
Ясно, что для рассматриваемой СМО стационарная вероятность того, что требование не сразу после своего поступления в систему начнет
обслуживаться, а будет ожидать обслуживания в очереди, равна
(n) n p 0
P{W  0}  1  W (0) 
.
n!(1  )
Первый момент стационарного времени ожидания равен

n n2  n p0
.
w1  EW   tdW (t ) 
2

(
1


)
(
n

1
)
!
0
В свою очередь, первый момент времени пребывания есть

n n2  n p0
1
.
v1  EV   tdV (t )  E  EW  1  w1  
2


(
1


)
(
n

1
)
!
0
Например, в случае n  1 (для СМО M / M / 1 /  ) получаем
p k  (1  ) k , k  0, 1, ... ;
W (t )  1   e  (1) t ; V (t )  1  e  (1) t ;
1 

.
w1  
; E 
 1 
1 
Легко убедиться, что для анализируемой СМО оказываются справедливыми формулы Литтла.
4.6. Система M/M/
В СМО M / M /  число ОП бесконечно. Поэтому все прибывающие
требования обслуживаются без ожидания (время пребывания равно времени обслуживания). Граф состояний такой СМО представлен на
рис. 7.
a
0
a
1
…
k 1
a
k 1
k

k
(k  1)
Рис. 7. Граф состояний СМО M / M / 
53
…
Для достаточно больших k имеем a (k)    1 . Тогда, как следует
из соотношения (4.16), существует единственное стационарное распределение числа требований, находящихся в системе M / M /  , которое
можно определить из уравнений равновесия
ap k 1  kp k , k  1, 2, ... ,
откуда следует, что
yk
pk 
p0 ,
k!
где y  a  ,
1
  yk 
p0      e  y ,
 k  0 k! 
следовательно, окончательно
yk y
(4.24)
pk 
e , k  0, 1, ... .
k!
Точно такой же результат можно получить с помощью перехода к
пределу при n   в соответствующих соотношениях для СМО
M / M / n / m.
54