Document 387347

Приложение 2
Графические приемы решения задач с параметрами
I.
Графические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная –
параметр».
1.Задачи для знакомства с методом.
1.Найти значения а, при которых уравнение (а-|х-2|+1)·(а-х2+4х-1)=0
имеет ровно 3 корня.
Решение. Выражаем параметр как функцию от х: а=lх-2l-1 или
а= х2 − 4х + 1 . В плоскости (х;а) строим графики. График этой
совокупности - объединение «уголка» и параболы.
Проводим прямые, перпендикулярные оси а. Находим значения а, при
которых прямая и графики имеют 3 общие точки. Лишь прямая а=-1
пересекает полученное объединение в трёх точках.
Ответ: а=-1 .
2.Найти значения а, при которых уравнение (а+4х-х2-1)·(а+1+|х-2|)=0 имеет ровно 3 корня.
Ответ: а=-1 или а=-3.
3.Найти значения, при которых уравнение (a-|𝑥 − 1| − 1)(𝑎 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 2) = 0 имеет ровно 3
действительных корня.
Ответ: а=1 или а=3.
4.Найти значения а, при которых уравнение (а+3)-а|х-4|=(8х-х2-10)·|х-4|-(8х-х2-10)·(а+3) имеет
ровно 2 корня.
−5+√13
Ответ: а=
или а ∈ (-6;-3).
2
5.Для всех а решить неравенство: |2х-3|+6а-4≤0 Решение. l2х-3аl≤ 4 − 6а .
По свойству модуля неравенство lpl≤q заменим на двойное неравенство -q≤p≤q.
2х − 3а ≤ 4 − 6а
Получим систему {
.
2х − 3а ≥ 6а − 4
х ≤ 2 − 1,5а
Выразим х через а {
и изобразим систему графически в плоскости (а;х).
х ≥ 4,5а − 2
Систему неравенств на плоскости задает пересечение полуплоскостей. Так как неравенства
нестрогие, то точки на ограничивающих полупрямых являются решением неравенства.
2
Уточним координаты точки пересечения прямых А(3;1). Проводим прямые,
перпендикулярные параметрической оси.
2
2
При каждом значении а< , решением неравенства является отрезок, при а= решением
3
2
а>3
3
является ордината точки А, при
прямые не пересекают нужную часть плоскости и
неравенство решений не имеет.
2
2
2
Ответ: если а<3 ,то х ∈ [4,5а-2; 2-1,5а]; если а=3 , то х=1; если а>3 , то решений нет.
2. Задачи, для решения которых применяется
формула разложения квадратного трёхчлена на множители.
1.Найти все значения параметра а, при которых
х2 −(3а−1)х+2а2 −2
уравнение
= 0 имеет одно решение.
х2 −3х−4
Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен
нулю, а знаменатель не равен. D=(3a-1)2-4(2a2-2)=(a-3)2;
3а−1±|а−3|
;
2
х=
х = 2а − 2
х1=2а-2, х2=а+1; { х = а + 1 ;
х ≠ −1; х ≠ 4
1
Ответ: а=-2, а=2.
2.Найти все значения параметра а, при которых
уравнение
х2 −(3а+1)х+2а2 +3а−2
х2 −6х+5
=0 имеет одно решение. Ответ: а=1, а=-1.
3.При каких значениях а уравнение 4х-(а+3)·2х+4а-4=0 имеет 1 корень?
t>0
Решение. Пусть 2х=t. Тогда найдем а, при которых система { 2
𝑡 − (a + 3) · t + 4a − 4 = 0
имеет единственное решение.
Раскладываем квадратный трехчлен на множители
𝑡>0
{
𝑡 = 𝑎 − 1 или 𝑡 = 4
t>0
Выражаем а через t {
a = t + 1 или t = 4
В координатной плоскости (t,а) строим графики.
Находим а, при которых прямая, перпендикулярная оси а
пересекает график совокупности в одной точке.
Ответ: а≤1 или а=5.
4.При каких а уравнение 25х-(а-4)·5х-2а2+10а-12=0 не имеет
корней? Ответ: 2≤а≤3.
1
5.При каких а уравнение 36х+(а-1)·6х+а-2а2=0 имеет два различных корня? Ответ: 0<а<3 или
1
1
<а< .
3
2
6.Определить а, при которых уравнение (х2-а)2=6х2-4х-2а имеет 3
различных корня.
Решение. Уравнение х4-2х2а+а2=6х2-4х-2а рассмотрим как
квадратное относительно а.
Тогда а2+2(1-х2)а+(х4-6х2+4х)=0;
D=4(1-2х)2; а1=х2-2х, а2=х2+2х-2.
В плоскости (х,а) строим график совокупности.
Находим а, при которых прямая, перпендикулярная оси а
пересекает график совокупности в трёх точках. Уточняем
координаты точки пересечения парабол.
3
Ответ: при а=-1, при а=-4 уравнение имеет три различных корня.
7.При каких значениях параметра а уравнение х4+6х3+2(4-х)·х2+2(1-3х)+а2-1=0 имеет ровно 3
корня? Ответ: при а=0 или а=4.
8.При каких значениях параметра а уравнение 16х4-8(2+а)·х2-8х+а2-1=0 имеет два различных
корня? Ответ: при -2<а<0.
9.При каких значениях параметра а уравнение х4-2(2+а)·х2-4х+а2-1=0 имеет 4 различных корня?
1
1
Ответ: при 0<а< или а> .
4
4
10.Для всех значений а решить уравнение √2а + √2а − х=х.
х≥0
х2 − 2а ≥ 0
Уравнение сводится к системе {
2а − х = (х2 − 2а)2
Рассматриваем уравнение как квадратное относительно а, получаем
х≥0
а≤
{
1
1
х2
2
1
1
1
а = 2 х2 + 2 х или а = 2 х2 − 2 х + 2
1
1
1+√8а−3
Ответ: при а<0 или 0<а<2 решений нет, при а=0 х=0, при а≥2 х= 2 .
3.Задачи, для решения которых используется уравнение окружности.
1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует
хотя бы одно значение х, удовлетворяющее условиям х2+а2=4 и
х2+(5а+2)х+4а2+2а<0.
Решение.
Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и
радиусом, равным 4. Неравенство раскладываем на множители.
(х+а)(х+4а+2)<0 .
Строим прямые х=-а и х=-4а-2. Неравенство задает часть плоскости,
которая находится внутри пары вертикальных углов, ограниченных
прямыми х=а и х=-4а-2. (Нужная часть выбирается, подставляя координаты произвольной точки из
внутренней части угла в неравенство).
Итак, условия задают две дуги окружности с концами в точках В и С, D и Е.
Проводим прямые, перпендикулярные параметрической оси. Уточняем абсциссы точек В, С, D, Е,
2
2
2
2
решая системы { х + а = 4 и {х + а = 4
х = −4а − 2
х = −а
16
Ответ: при -√2<а<-17или 0<а<√2.
𝑥 2 + (4𝑎 + 5)𝑥 + 3𝑎2 − 5𝑎 < 0
3.Найдите все значения а, при каждом из которых система {
𝑥 2 + 𝑎2 = 25
имеет решения.
5√2
<а<-3
2
Ответ: -
5√2
.
2
и 0<а<
4. Найдите все значения а, при каждом из которых система {
𝑥 2 + (8𝑎 + 4)𝑥 + 7𝑎2 + 4𝑎 < 0
𝑥 2 + 𝑎2 = 16
имеет решения.
28
Ответ: -2√2<а<- или 0<а<2√2
25
5. Найдите все значения а, при каждом из которых система {
𝑥 2 + (6𝑎 + 3)𝑥 + 5𝑎2 + 3𝑎 < 0
𝑥 2 + 𝑎2 = 9
имеет решения.
3√2
15
<а<-13
2
Ответ: -
3√2
2
или 0<а<
𝑥 2 + (5𝑎 + 6)𝑥 + 4𝑎2 + 6𝑎 < 0
6. Найдите все значения а, при каждом из которых система {
𝑥 2 + 𝑎2 = 36
имеет решения.
48
Ответ: -3√2<а<-17или 0<а<3√2.
II.
Графические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная –
переменная».
1.Параллельный перенос одного из графиков.
а) параллельный перенос прямой.
(х2 +х)|х|
1. Постройте график функции y=
х+1
с графиком ни одной общей точки.
Ответ: с=-1.
(х2 −2х)|х|
и определите, при каких значениях с прямая y=c не имеет
2. Постройте график функции y=
и определите, при каких значениях с прямая y=c не
х−2
имеет с графиком ни одной общей точки.
Ответ: с=4.
2x + 1, если х < 0
3. Постройте график функции y={−1,5х + 1, если 0 ≤ х < 2 и определите, при каких значениях с
х − 4, если х ≥ 2
прямая y=с имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ:
1,5х + 2, если х < 0
4. Постройте график функции y={ 2 − х, если 0 ≤ х < 1 и определите, при каких значениях с
х, если х ≥ 1
прямая y=с имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ:
5. При всех значениях а решить неравенство |х-2|+|х-1|≥2а+3.
Ответ: при а≤-1 любое х является решением, при а>-1 х ∈(-∞;-а] или [а+3;+∞).
6.Найдите все значения а, при которых график функции f(x)=х2-lх2+2х-3l-а пересекает ось абсцисс
более, чем в двух различных точках.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию g(x)= х2-lх2+2х-3l.
Раскроем знак модуля по определению, получим кусочно-заданную
−2х + 3, если х ≤ −3
функцию g(x)={2х2 + 2х − 3, если − 3 < х < 1.
−2х + 3, если х ≥ 1
График функции f(x) пересекает ось абсцисс в трёх или более точках, если уравнение g(x)=а имеет
более двух различных корней.
График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение g(x)=а
имеет более двух корней, только если
1
1
g(-2 )< а <g(1). g(-2)=-3,5; g(1)=1.
Ответ: -3,5< а < 1.
7. Найдите все значения а, при которых график функции f(x)=х2-3х+2-lх2-5х+4l-а пересекает ось
абсцисс менее, чем в трех различных точках.
Ответ: а≤ −2; а ≥ 0.
8.В зависимости от значения параметра а определите количество корней уравнения
(х-3)|х − 3| − 2х = а
Ответ: если а< −7 или а > 5, то уравнение имеет один корень;
если а = −7 или а = −5, то уравнение имеет два решения; если − 7 < а <
−5, то уравнение имеет 3 корня.
9.Найти все значения параметра а, при которых уравнение
|х2 − 1| + |х2 − х − 2| = х2 + 3х + а имеет 3 различных корня.
1
Ответ: а=2 или а=33.
10.Найти наибольшее натуральное число а, при котором уравнение х3+3х2-9х=а имеет два корня
(для построения графика функция y= х3+3х2-9х исследуется с помощью производной).
Ответ: 27
1
1
11. Найти наименьшее натуральное число а, при котором уравнение3 х3+2х2-12х=а имеет один
корень.
Ответ: 33
12.При каких целых значениях а уравнение х2(х-4)+а=0 имеет ровно 3 корня?
Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
13.Найти значения а, при которых уравнение 7-2cos х = а(1 + 𝑡𝑔2х) имеет хотя бы одно решение.
Используя тригонометрические формулы и подстановку
а = 7𝑡 2 − 2𝑡 3
t=cos х , уравнение сводится к системе {
0 < |𝑡| < 1
Ответ: 0< а ≤ 9.
2а
14.При каких значениях а уравнение 3cos 2х + sin х=-17 имеет корень?
Ответ: 0< |а| ≤ 7.
б) Параллельный перенос «уголка».
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎
1.При каких значениях параметра а система уравнений {
имеет ровно 2 решения?
𝑦 − |𝑥| = 𝑎
Ответ: при а=-√2 или -1< а < 1.
2.Найти все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства √3 − х +
|х − а| ≤ 2 является отрезок.
5
Ответ: 1< а < 1 или < а < 5.
4
3. Найти все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства √5 − х +
|х + а| ≤ 3 является отрезок.
Решение. Имеем √5 − 𝑥 ≤ 3 − |𝑥 + 𝑎|.
Правая часть этого неравенства задает
семейство «уголков», вершины
которого лежат на прямой y=3. Если
вершина «уголка» находится между
точками А и В, то обязательно
найдутся промежутки области
определения, на которой график
левой части неравенства не выше
графика правой части. На рис.
Показано одно из промежуточных
положения «уголка» с вершиной С. В этом
E F
случае решением исходного неравенства будут все точки отрезка MN. Точка В получается при а=8, точка А –при а=4. Легко показать, что при а∈ (-8;4) вершина «уголка» находится между точками
А и В, и возникает желание считать промежуток (-8;4) искомым ответом. Но условие задачи
требует, чтобы решением неравенства был отрезок числовой прямой. А если вершина «уголка»
совпадает с любой из точек отрезка EF, включая E и не включая F(рис. ,точка F соответствует
моменту касания), то решением неравенства будет или отрезок, или точка, или два отрезка.
Определяем координаты точек E и F.
9
Ответ: -8< а ≤ − 4 или -2< а < 4.
4.Найти все значения параметра а, при которых уравнение |2х − а| + 1 = |х + 3| имеет
единственное решение.
Ответ: а=-8 или а=-4.
в) Параллельный перенос окружности.
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
1.Найти все значения параметра p, при которых система { 2
имеет
𝑥 + 𝑦 2 + 𝑝2 = 2𝑥 + 2𝑝𝑦
решения.
1
Ответ: -2≤ 𝑝 ≤ 4.
2
(𝑥 − 𝑐√3) + 𝑦 2 − 2𝑦 = 0
2. Найти наименьшее значение с, при котором система {
имеет
√3|𝑥| − 𝑦 = 4
единственное решение.
2
(𝑥 − 𝑐√3) + (𝑦 − 1)2 = 1
{
𝑦 = √3|𝑥| − 4
2
3.Найти наибольшее значение с, при котором система уравнений {
(𝑥 + 𝑐√3) + 𝑦 2 + 6𝑦 + 8 = 0
√3|𝑥| + 𝑦 = 6
имеет единственное решение.
11
Ответ: с=
3
2.Параметр –угловой коэффициент прямой.
|𝑥|−4
1.Постройте график функции y=
𝑥 2 −4|𝑥|
и определите, при каких значениях k прямая y=kx не будет
иметь с построенным графиком ни одной общей точки.
1
1
Ответ:0; -16 ; 16.
2. Постройте график функции y=
|𝑥|−2
𝑥 2 −2|𝑥|
и определите, при каких значениях k прямая y=kx не будет
иметь с построенным графиком ни одной общей точки.
1 1
Ответ: 0; -4; 4.
3.Найдите все значения а, при которых уравнение |2х − |х − 3|| − ах − 4 =
0 имеет не менее двух корней.
Ответ: -3< а < 1.
3х + а𝑦 = 5
4.Найти значения параметра а, при которых система уравнений { 2
имеет
𝑥 + 𝑦 2 = 2,5
единственное решение.
Ответ: при а=±1.
𝑦 = 𝑎𝑥 + 2
1
5.В зависимости от а найти количество решений системы { 1
+
= 1. Решение.
log(−𝑥 ) 5
log𝑦 5
Используя определение и свойства логарифмов, перепишем систему в виде:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 2
5
𝑦=−
𝑥
𝑥<0
𝑦>0
𝑥≠1
{ 𝑦≠1
1
Ответ: при 0< а < 2 решения;
5
при а< −3 или − 3 < а ≤ 0 1 решение;
1
при а=-3 или а> 5 нет решений.
𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 7𝑥 − 14𝑦 + 49 = 0
6.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система {
𝑦 = 𝑎𝑥 + 1
𝑥≥3
имеет единственное решение.
Ответ: -1< а ≤ 0 или 1 < а ≤ 2.
3.Окружность с меняющимся радиусом.
1.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
𝑥 2 + 𝑦 2 = 2(1 − 𝑎)
имеет два решения.
{
(𝑥 + 𝑦)2 = 16
Ответ: при а=-3.
2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
𝑥 2 + 𝑦 2 = 2(1 + 𝑎)
имеет два решения.
{
(𝑥 + 𝑦)2 = 14
Ответ: при а=2,5.
3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos(√а2 − х2 ) = 1 имеет
ровно 8 решений.
𝑦≥0
𝑦 = √𝑎2 − 𝑥 2
Решение. (√а2 − х2 ) = 2𝜋𝑘; {
; {𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2
𝑦 = 2𝜋k
𝑦 = 2𝜋k
Первые два условия задают полуокружности с изменяющимся
радиусом и с центрами в начале координат (семейство
гомотетичных полуокружностей). Последнее равенство – семейство
прямых, параллельных оси абсцисс. С увеличением радиуса растет число корней исходного
уравнения. Их будет ровно 8, если 6𝜋 < r < 8𝜋.
Так как r=|𝑎|, то -8𝜋 < а < −6𝜋 или 6 𝜋 < а < 8𝜋.
Ответ: при -8𝜋 < а < −6𝜋 или 6 𝜋 < а < 8𝜋.
4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sin(√а2 − х2 ) =0 имеет
ровно 8 решений.
Ответ: при -8𝜋 < а < −6𝜋 или 6 𝜋 < а < 8𝜋.
5.Найдите все значения а, при которых уравнение |х2 + 𝑦 2 − 𝑎| + |𝑦 − 4 + |𝑥 − 3||=0 имеет
нечетное число решений.
1
Ответ: ; 24,5; 25.
2
6.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
|𝑥 + 2𝑦 + 1| ≤ 11
имеет единственное решение.
{
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 2𝑎)2 = 2 + 𝑎
Ответ: -2;3.
7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
|3𝑥 − 𝑦 + 2| ≤ 12
имеет единственное решение.
{
(𝑥 − 3𝑎)2 + (𝑦 + 𝑎)2 = 3𝑎 + 4
4
Ответ: -3; 2.
8.Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
(|𝑥| − 6)2 + (𝑦 − 12)2 = 4
имеет единственное решение.
{
(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2
Решение. Если 𝑥 ≥ 0, то уравнение
(|𝑥| − 6)2 + (𝑦 − 12)2 = 4 задает окружность 𝜔1 с
центром в точке С1 (6; 12) радиуса 2, а если x<0, то оно
задает окружность 𝜔2 с центром в точке С2 (-6;12) того же
радиуса.
При положительных значениях параметра а уравнение
(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2 задает окружность 𝜔 с центром в
точке С(-1;0) радиуса а. поэтому задача состоит в том,
чтобы найти все значения параметра а, при каждом из
которых окружность 𝜔 имеет единственную общую точку
с объединением окружностей 𝜔1 и 𝜔2 .
Из точки С проведем луч СС1 и обозначим А1 и В1 точки
его пересечения с окружностью 𝜔1 , где А1 лежит между С
и С1. Так как СС1=√(6 + 1)2 + 122=√193, то СА1=√193-2, СВ1=√193+2.
При а<СА1 или а>СВ1 окружности 𝜔 и 𝜔1 не пересекаются.
При СА1<а<СВ1 окружности 𝜔 и 𝜔1 имеют две общие точки.
При СА1=а или СВ1=а окружности 𝜔 и 𝜔1 касаются.
Аналогично рассуждаем с окружностями 𝜔 и 𝜔2.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность
𝜔 касается ровно одной из двух окружностей 𝜔2 и 𝜔1 и не пересекаются с другой. Так как
СА2<CA1<CB2<CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа а=11 и а=√193 + 2.
Ответ: 11, √193 + 2.
9. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
(|𝑥| − 9)2 + (𝑦 − 5)2 = 9
имеет единственное решение.
{
(𝑥 + 3)2 + 𝑦 2 = 𝑎2
Ответ: √61 − 3; 13.