Тренажер по теме &quot

ТРЕНАЖЕР К УРОКУ
по теме «Методы решения рациональных уравнений»
Решить уравнения:
1
1
1
1



 0.
1.
x 8 x 6 x 6 x 8
Идея: метод группировки – сложим по отдельности первую с последней и вторую с третьей дроби,
приведение всех дробей к общему знаменателю сопровождается довольно громоздкими
вычислениями
x3 x3 x6 x6



.
x 1 x 1 x  2 x  2
Идея: выделение в дроби целой и рациональной частей, например,
x  3 ( x  1)  2
2

1
.
x 1
x 1
x 1
Так необходимо поступить с каждой дробью.
2.
x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  4 x  6 x 2  6 x  12
.



x 1
x4
x2
x3
Идея: выделение в дроби целой и рациональной частей, в частности, для первой дроби имеем
2
x 2  2 x  2  x  1  1
1

 x 1
,
x 1
x 1
x 1
и так далее.
4
9
12


 3.
4.
x  4 x  9 x  12
Идея: Перепишем уравнение в виде
 4
  9
  12

 1  
 1  
 1  0 .

 x  4   x  9   x  12 
В каждой скобке приведем к общему знаменателю. Дальнейшее очевидно.
3.
5.
3x  39
x  18
x  10
2 x  38
x2
4 x  16
40 x  163
 2
 2
 2
 2
 2
 2
 0.
x  4 x  21 x  x  12 x  11x  28 x  2 x  24 x  6 x  8 x  4 x  12 x  5 x  14
Идея: в этом примере используется прием, суть которого в следующем. Пусть имеется рациональная
дробь
Ax  B
,a  b.
 x  a  x  b 
Попробуем найти такие числа C и D , что выполняется тождество
Ax  B
C
D
,


 x  a  x  b  x  a x  b
т.е. осуществим операцию, в некотором смысле, обратную приведению к общему знаменателю (эта
операции называется разложением рациональных дробей на простейшие дроби).
Приведем правую часть в последнем равенстве к общему знаменателю и приравняем числители
левой и правой частей, получим
Ax  B  C  x  b   D  x  a  .
2
В полученное равенство подставим сначала x  a , а затем x  b , в результате получим
Aa  B
Ab  B
C
, D
.
ab
ba
Запоминать эти формулы нет никакой необходимости, так как они выводятся достаточно просто.
Далее разложим в нашем уравнении на множители и воспользуемся приведенным выше методом.
После приведения подобных уравнение значительно упрощается.
Теорема 1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если все
коэффициенты уравнения
a0 x n  a1 x n1   an1 x  an  0, a0  0 ,
(1)
p
целые, и x0  (несократимая дробь, p  Z , q  N ) – корень уравнения, то a0 делится нацело на q ,
q
a an делится на p .
Следствие. Если a0  1 , то все рациональные корни уравнения (1) целые.
Теорема 2 (Безу). Остаток от деления многочлена Pn  x   a0 xn  a1xn1   an1x  an на
x  
равен R  Pn   , т.е. Pn  x  можно представить в виде
Pn  x    x    Qn1  x   Pn     x    Qn1  x   R ,
Qn1  x   b0 xn1  b1xn2   bn2 x  bn1 .
Схема Горнера

a0
a1
a2
...
an2
an1
an

 b1
...
a0
 b0
a1   b0
a2   b1
...
 bn 3
an2   bn3
 bn  2
an1   bn2
 bn 1
an   bn1
 b0
 b1
 b2
...
 bn2
 bn1
R
b0  a0 , b1  a1   b0 ,
b2  a2   b1 , ,
bn2  an2   bn3 ,
bn1  an1   bn2 ,
R  an   bn1
Пример. Разделить многочлен P  x   3x4  5x3  3x  2 на  x  2  с остатком.
Решение. По схеме Горнера
3
5
3 2
0
6 2
4 14

3
7 16
2
1
2
Тогда
P  x    x  2   3x 3  x 2  2 x  7   16 .
Следствие из теоремы Безу. Для того, чтобы многочлен Pn  x  делился на  x    без остатка
необходимо и достаточно, чтобы Pn    0 .
Pn  x    x    Qn1  x   Pn    0 .
6. x3  2 x 2  5 x  6  0 .
Идея: подбор корней, в данном случае, так как коэффициент при старшем коэффициенте равен
единице, поэтому согласно теореме 1 корни будем искать среди чисел, являющихся делителями
числа 6 , т.е. 1,  2,  3,  6 (в принципе, в любом уравнении полезно проверять значения 0 и 1 ).
Если нам повезет, и мы найдем корень, далее, используя следствие из теоремы Безу и схему Горнера,
разложим многочлен третьей степени на множители.
7. 9 x3  13x  6  0 .
Идея: подбор рациональных корней, здесь p может быть равным 1, 3, 9 , a q – 1, 2,3, 6 . Поэтому
p
в этом примере возможными кандидатами на решение являются числа вида :
q
1 1 2 2
1, 2, 3, 6,  ,  ,  ,  .
9 3 9 3
8. 25 x 4  10 x 2  25 x  6  0 .
Идея: попытаемся разложить на множители методом неопределенных коэффициентов.
Предположив, что многочлен в левой части раскладывается на произведение двух квадратных
трехчленов с целыми коэффициентами, т.е.
25 x 4  10 x 2  25 x  6   ax 2  bx  c  px 2  qx  r  .
Раскроем скобки, приведем подобные и приравняем коэффициенты в левой и правой частях при
одинаковых степенях x . Получим систему, которую решаем перебором, поскольку в силу нашего
предположения все коэффициенты в правой части целые.
Замечание. Данный способ может оказаться довольно трудоемким или невозможным при реализации, поэтому он
«работает» не всегда! Следующие примеры – яркая тому иллюстрация.
9. x 4  4 x  1  0 .
Идея: разложение на множители с помощью представления в виде разности квадратов.
x 4  2 x 2  1  2  x 2  2 x  1  0;
x
x
2
 1  2  x  1  0;
2
 1 
2
2
2

2  x  1

2
 0.
..........................................
10. 5 x3  6 x 2  6 x  2  0 .
Идея: выделяем полный куб, представляем в виде разности кубов, затем разлагаем на множители.
11. x 6  6 x5  15 x 4  20 x 4  15 x 2  6 x  1  0 .
Идея: попробуйте выделить шестую степень суммы, используя формулу
6
 a  b   a 6  6a5b  15a 4b 2  20a 3b3  15a 2b 4  6ab5  b 6 .
12.  x  1 x  7  x  4 x  2   40 .
Идея: Перемножаем скобки так, чтобы сумма свободных членов была одинакова, в данном случае
первую с третьей, вторую с четвертой. Далее – замена.
13.  x 2  3x  1 x 2  3x  2  x 2  9 x  20   30 .
Идея: разложим скобки на множители и перемножим полученные скобки так, чтобы можно было
произвести замену.
14.  6 x  5 3x  2 x  1  28 .
Идея: в качестве новой переменной возьмем одну из скобок, например, t  6 x  5  x 
t 5
.
6
15.  x  3 x  4 x  6 x  2  10 x2 .
Идея: сгруппировать скобки и перемножить их так, чтобы можно было сделать замену. Подумайте
какую!!!
Задания для самостоятельного решения
2
2
2
2
2
1
11
9
10
4. x  4 x  4  2 x  6  x  x  1  2 x  9 7.  x  6 x   2  x  3  81



1.
x4
x2
x 1
x3
x  1 x  11 x  9 x  10
5
4
3
2
2 x  1 3x  1 x  7
5. x  5 x  6 x  44 x  8 x  96  0
8. 8 x3  36 x  27  0


4
2.
x 1 x  2 x 1
4
3
2
30
30
8
8
9. x 4  2 x3  x  12  0



 56 6. x  2 x  3x  2 x  1  0
3.
x 1 x 1 x  4 x  4