ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4].
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка
задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ
полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо);
6) тексты программ.
Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.
Фрагмент решения задачи 2.1 дан в ПРИЛОЖЕНИИ 2.B.
10
Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью   10
все корни уравнений,
содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью
встроенной функции root пакета MATHCAD.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.
2. Используя пакет MATHCAD, локализовать корни f(x)=0 графически.
3. Используя программу bisec (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.B), найти корни уравнения f(x)=0 с точностью  с
помощью метода бисекции.
4. Используя встроенную функции root пакета MATHCAD, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью  .
5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.
6
Задача 2.2. Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью   10 , двумя способами.
а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].
b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину
отрезка локализации из п. а).
Сравнить число итераций в п. a), b).
5
Задача 2.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью   10 , используя метод простой
итерации. К виду x=(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.
0  m  f '( x)  M , а x принадлежит
a) Преобразовать уравнение к виду x=x-f(x), где =2/(M+m),
отрезку локализации [a, b].
b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.
Использовать критерий окончания итерационного процесса вида
q=(M-m)/(M+m), в п. b)
| x( n)  x( n 1) |
1 q
,
q
где в п. a)
q  max  ( x) .
x[ a,b]
Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).
8
Задача 2.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью   10 , используя методы простой
итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).
Задача 2.5. Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью
  105 , используя модификацию* метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По
числу итераций определить кратность корня.
5
12
Задача 2.6. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью   10
и   10
, используя
метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по
числу итераций) для каждого значения  .
5
12
Задача 2.7. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью   10
и   10
, используя
метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих**. Сравнить скорость сходимости методов (по
числу итераций) для каждого значения  .
*
**
Расчетная формула модификации метода Ньютона для поиска кратных корней дана в ПРИЛОЖЕНИИ 2.C.
Расчетные формулы упрощенного метода Ньютона и метода секущих даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.C.
5
Задача 2.8. Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью   10
используя метод Ньютона.
УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.
,
7
Задача 2.9. a) Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью   10 , используя метод
Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода
Ньютона для случая кратного корня с m=1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?
8
b) Рассмотреть уравнение f(x)+=0, где   10 . Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона.
Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли
найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями.
Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.
Задача 2.10. Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений
функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с
точностью
  107 ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.
N
Выполняемые задачи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.1.1,
2.1.2,
2.1.3,
2.1.4,
2.1.5,
2.1.6,
2.1.7,
2.1.8,
2.1.9,
2.1.10,
2.2.1,
2.3.1,
2.4.1,
2.5.1,
2.6.1,
2.7.1,
2.2.2,
2.3.2,
2.4.2,
2.5.2,
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.
Схема вариантов к лабораторной работе 2
N
Выполняемые задачи
N
2.10.1
2.9.1
2.8.1
2.10.2
2.9.2
2.8.2
2.10.3
2.9.3
2.8.3
2.10.4
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2.1.11,
2.1.12,
2.1.13,
2.1.14,
2.1.15,
2.1.16,
2.1.17,
2.1.18,
2.1.19,
2.1.20,
2.6.2,
2.7.2,
2.2.3,
2.3.3,
2.4.3,
2.5.3,
2.6.3,
2.7.3,
2.2.4,
2.3.4,
2.9.4
2.8.4
2.10.5
2.9.5
2.8.5
2.10.1
2.9.1
2.8.1
2.10.2
2.9.2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Выполняемые задачи
2.1.21,
2.1.22,
2.1.23,
2.1.24,
2.1.25,
2.1.26,
2.1.27,
2.1.28,
2.1.29,
2.1.30,
2.4.4,
2.5.4,
2.6.4,
2.7.4,
2.2.5,
2.3.5,
2.4.5,
2.5.5,
2.6.5,
2.7.5,
2.8.2
2.10.3
2.9.3
2.8.3
2.10.4
2.9.4
2.8.4
2.10.5
2.9.5
2.8.5
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 2
N
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
f(x)
5
1
sin x 
6
6
7
1
 sin x 2  sin x 
12
12
1
1
 sin x 2  sin x 
30
30
2
1
 cos x 2  cos x 
35
35
1 1
1
 cos x 2     cos x 
4 2
 2 4
1
1
 cos x 2  cos x 
2
18
 sin x 2 
Таблица к задаче 2.1
g(x)
 sin x 2  sin x 
[a, b]
1
4
2
1
sin x 
3
9
2
1
 sin x 2  sin x 
5
25
2
1
 cos x 2  cos x 
7
49
2
1
 cos x 2  cos x 
2
2
1
1
 cos x 2  cos x 
3
36
 sin x 2 
0,1
 1,0
 0.5,0.5
0,2
0,1.5
0,2
2.1.7.
2.1.8
 ln x 2  5ln x  6
 ln x 2  ln x  2
2.1.9
 ln x 2 
2.1.10
 tgx 2  (
2.1.11
 tgx 2 
2.1.12
2.1.13
2.1.14
2.1.15
2.1.16
2.1.17
2.1.18
2.1.19
2.1.20
2.1.21
2.1.22
2.1.23
2.1.24
2.1.25
3
1
ln x 
4
8
3  1)tgx  3
28
1
tgx 
9
3
53
3
 tgx 2  tgx 
6
2
x4  7 x2  10
10
x4  x2  1
3
13
x4  x2  3
2
5
1
 sin x 2  sin x 
6
6
7
1
 sin x 2  sin x 
12
12
1
1
 sin x 2  sin x 
30
30
2
1
 cos x 2  cos x 
35
35
1 1
1
 cos x 2     cos x 
4 2
 2 4
1
1
 cos x 2  cos x 
2
18
5
2
 lg x 2  lg x 
3
3
3
 lg x 2  lg x 
4
3
1
 lg x 2  lg x 
4
4
1
1
 tgx 2  (1  )tgx 
3
3
 ln x 2  4ln x  4
 ln x 2  2ln x  1
 ln x   ln x 
2
1
4
 tgx 2  2tgx  1
 tgx 2  6tgx  9
 tgx 2 
1
1
tgx 
3
36
[5,25]
[0.1,10]
[0.1,2]
 1.2,1
0,1.5
0.5,1.5
x4  4 x2  4
x4  6 x2  9
[0,3]
1
x x 
4
2
1
 sin x 2  sin x 
3
9
1
1
 sin x 2  sin x 
2
16
1
1
 sin x 2  sin x 
3
36
2
1
 cos x 2  cos x 
5
25
1
1
 cos x 2  cos x 
2
16
2
1
(cos x)2  cos x 
3
9
2
1
 lg x 2  lg x 
3
9
9
 lg x 2  3lg x 
4
2
 lg x   2lg x  1
[0,3]
 tgx 2  2tgx  1
0,1
4
2
[0,2]
 1,0
0,1
 0.5,0.5
0,3
0,2
0,2
[0.001,3]
[0.1,35]
[0.01,3]
2.1.26
2.1.27
2.1.28
2.1.29
2.1.30
N
2.2.1
7
1
 tgx 2  tgx 
4
2
37
 tgx 2  tgx  1
6
x4  11x2  24
26
x4  x2  1
5
21
x4  x2  5
2
e
x
[-0.5,1.5]
 tgx 2  12tgx  36
[-1.5,0]
x4  6 x2  9
x4  10 x2  25
[1,3]
x4  x2 
[0,3]
[0,5]
1
4
Таблица к задаче 2.2
Таблица к задаче 2.3
f(x)
Найти корень
N
отрицательный
2.3.1
2
2 x
f(x)
sin x  2 x  4 x
2.2.2
xe x  x  1
2.2.3
e x  1  9  x2
2.2.4
( x  1)  e x 1  x  2
2.2.5
1
1
 tgx 2  tgx 
2
16
x  cos x
2
положительный
2.3.2
e x  lg(1  x2 )  2
положительный
2.3.3
наибольший по
модулю
2.3.4
sin( x  2)  x2  2 x  1
( x  1) sh( x  1)  x
все корни
2.3.5
x  e x
2
Таблица к задаче 2.4
f(x)  P5 ( x) 
N
a4
x5  a4 x4  a3x3  a2 x 2  a1x  a0
a3
a2
a1
2.4.1
4.545004
-3.055105
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
-2.656764
-4.556062
7.809249
-13.0072
-3.406111
2.93309
16.28542
60.24546
N
2.5.1
-18.06895
4.002429
10.89372
-1.752935
9.274868
-10.32081
-2.771356
-27.95304
-122.0716
105.6798
Таблица к задаче 2.5
f(x)
36cos x  18 3x  9 x    18  6 3  6 x
2
2
a0
4.722482
-3.423612
0.422098
-11.33921
-30.19201
[a, b]
[0.8,1.2]
2.5.2
144sin x  12 3  36 x 2   2  72  12 x  72 3x
[0.3,0.7]
2.5.3
32 2 sin x  8  16 x2   2  32  8 x  32 x
[0.5,1]
2.5.4
ctgx  2 x   x  1   2  2 x2   2 8
[0,1]
2.5.5
N
2.6.1
3ctgx  4 3x  4 x  3  2
ex  3
3  12 x2   2 3
[0,0.7]
Таблица к задаче 2.6
Таблица к задаче 2.7
f(x)
Метод*
N
f(x)
упрощенный метод
2.7.1
2
x
x ln x  x  3x  1
Ньютона
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.6.5
2  x2  e x
ln x  2cos x
xecos x  1
e( x 1)  x2  2 x  1
Таблица к задаче 2.8
N
2.8.1
3
2.8.2
2.8.3
2.8.4
2.8.5
N
2.10.1
2.10.2
метод ложного
положения
метод простой
итерации
метод
секущих
метод Стеффенсена
Таблица к задаче 2.9
N
2.9.1
f(x)
x  2x  5
x4  2.7 x3  3
x4  2.7 x3  x  1
x5  3x4  2 x3  1
x5  2 x4  4 x3  5x  2.7
2.9.2
2.9.3
2.9.4
2.9.5
2.7.2
x3  0.9 x 2  x  0.1
2.7.3
e x  5x2  10 x
2.7.4
ln(2 x  x2 )  2  x
2.7.5
x  x 2  10
f(x)
3x  77 x  605x  1331
3x3  35x2  125x  125
x3  7 x2  15x  9
x3  5.5x2  9.5625x  5.0625
3x3  28x2  80 x  64
3
2
Таблица к задаче 2.10
F(x,y)


x 

sh  ye y    arctg 20 ye y  x  0.5 , 1  x  5 ,
20 

x 
1

ch  ye y   
 13 , 1  x  5 ,
20  arctg (20 ye y  x)

2.10.3
e xy  cos( xy3 ) ,
2.10.4
e xy  cos x 3 y
2.10.5
ln( xy)  sin( yx2 )


0.1  y  1.2
0.5  x  1.5 , 1.3  y  0.3
4.5  x  7.2 , 1.2  y  0.2
,
1  x  2.5 ,
,
0.5  y  2.5
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. В
Фрагмент решения задачи 2.1.0
f ( x)  (cos x)2 
1  y  1.5
1
1
cos x  =0,
12
24
[a,b]=[0,
]
Аналитическое решение задачи:
1 
1

1
f ( x)   cos x     cos x   , x1  arccos   =1.31811607652818,
4 
6

4
1
x2    arccos   =1.738244406014586
6
Численное решение задачи: Локализация корней для численного решения задачи:
Метод бисекции
bisec( f  a  b   )
an
a
bn
b
k
0
an )  2  
while ( bn
an
xn
bn
2
fa
f( an )
fb
f( bn )
fxn
f( xn )
bn
xn if fa  fxn 0
an
xn otherwise
k
xn
k
an
1
bn
2
res
xn
k
res
ПЕРВЫЙ КОРЕНЬ
bisec
 f ,1,1.5,1010   
1.318116071692202

32

Встроенная функция пакета MATHCAD
x0 : 1- задание начального приближения
root ( f ( x0), x0)  1.317959944516193
Значение корня отличается от найденного с помощью функции bisec , так как по умолчанию величина
погрешности при работе встроенных функций равна 0.001.
Переопределим параметр для задания погрешности
root ( f ( x0), x0)  1.318116071652817
TOL : 1010
Значение корня с заданной точностью 1.3181160717.
ВТОРОЙ КОРЕНЬ
bisec
 f ,1.5,2,1010   
1.738244406005833

32

Значение корня с заданной точностью 1.7382444060, число итераций 32.
x0 : 1.8 - задание начального приближения
root ( f ( x0), x0)  1.738244406014586 .
Значения корней в пределах заданной точности совпадают.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.C
Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения f ( x)  0 .
Упрощенный метод Ньютона:
Метод ложного положения:
f ( xn )
, n=0,1,…
f ( x0 )
c  xn
xn 1  xn 
f ( xn ) , n=0,1,…;
f (c)  f ( xn )
xn 1  xn 
c-фиксированная точка из окрестности корня
Метод секущих:
Метод Стеффенсена:
xn 1  xn
f ( xn ) , n=0,1,…
f ( xn 1)  f ( xn )
f ( xn )
xn 1  xn 
f ( xn ) , n=0,1,…
f ( xn  f ( xn ))  f ( xn )
xn 1  xn 
Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней:
xn 1  xn  m
f ( xn )
f ( xn )
, n=0,1,…, m=1,2,…
ЛИТЕРАТУРА
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа,
1994.