11 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
19.12.10  класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
19.12.10  класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
В треугольнике АВС 4sinA+9cosB=5, 9sinB+4cosA=12. Найдите
угол С.
В каждой вершине 2010-угольной призмы стоит число 1 или -1.
Докажите, что найдётся грань призмы, в которой произведение
чисел равно 1.
Существует ли выпуклый многогранник, отличный от пирамиды, в
котором сумма плоских углов при двух вершинах равна сумме
плоских углов при остальных вершинах?
Все коэффициенты квадратного трёхчлена ax2+bx+c –
положительные числа. По этому трёхчлену строится новый
трёхчлен по следующему правилу: каждый коэффициент
заменяется на произведение двух других коэффициентов
(например, из трёхчлена 2x2+x+3 получается трёхчлен 3x2+6x+2).
Затем то же делается с полученным трёхчленом и так далее, пока
не будет получено 2010 трёхчленов, включая исходный. Сколько
из полученных трёхчленов имеют отрицательный дискриминант?
Привести все варианты ответа и доказать, что других вариантов
нет.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в
точке Х. Точки K, L, M, N – основания перпендикуляров,
опущенных из точки Х на стороны AB, ВC, СD и DА
соответственно. Докажите, что KL+MN=LM+KN.
Имеется система дорог, образующих правильный n-угольник. В
одной из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту
какие-то две дороги из шести открываются для движения и за это
время автомобиль, если может, успевает переехать на соседний
перекресток, где еще не был. Известно, что никакая пара дорог не
открывается более одного раза. В итоге автомобиль добрался до
первоначальной вершины. Какое время он мог находиться в пути?
1. В треугольнике АВС 4sinA+9cosB=5, 9sinB+4cosA=12. Найдите
угол С.
2. В каждой вершине 2010-угольной призмы стоит число 1 или -1.
Докажите, что найдётся грань призмы, в которой произведение
чисел равно 1.
3. Существует ли выпуклый многогранник, отличный от пирамиды, в
котором сумма плоских углов при двух вершинах равна сумме
плоских углов при остальных вершинах?
4. Все коэффициенты квадратного трёхчлена ax2+bx+c –
положительные числа. По этому трёхчлену строится новый
трёхчлен по следующему правилу: каждый коэффициент
заменяется на произведение двух других коэффициентов
(например, из трёхчлена 2x2+x+3 получается трёхчлен 3x2+6x+2).
Затем то же делается с полученным трёхчленом и так далее, пока
не будет получено 2010 трёхчленов, включая исходный. Сколько
из полученных трёхчленов имеют отрицательный дискриминант?
Привести все варианты ответа и доказать, что других вариантов
нет.
5. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в
точке Х. Точки K, L, M, N – основания перпендикуляров,
опущенных из точки Х на стороны AB, ВC, СD и DА
соответственно. Докажите, что KL+MN=LM+KN.
6. Имеется система дорог, образующих правильный n-угольник. В
одной из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту
какие-то две дороги открываются для движения и за это время
автомобиль, если может, успевает переехать на соседний
перекресток, где еще не был. Известно, что никакая пара дорог не
открывается более одного раза. В итоге автомобиль добрался до
первоначальной вершины. Какое время он мог находиться в пути
Предварительные результаты олимпиады на сайте olymp.omich.net
Просмотр работ участников олимпиады и апелляция 26 декабря, в 9-30,
ауд. 301. Награждение победителей в 10-30.
Предварительные результаты олимпиады на сайте olymp.omich.net
Просмотр работ участников олимпиады и апелляция 26 декабря, в 9-30,
ауд. 301. Награждение победителей в 10-30.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
11 класс. Решения задач.
1. Ответ: C=90о.
Решение: Возводя оба выражения в квадрат и складывая, получаем:
169=16+81+72sin(A+B), откуда sin(A+B)=1 и А+В=90о. Тогда
C=180 – (A+B) =90о.
2. Решение. Рассмотрим 1005 боковых граней призмы через одну. Если на
каждой из них произведение равно -1, то в каждой такой грани нечётное
число раз встречается -1, а значит и во всей призме количество чисел -1
нечётно. Но тогда на одном из оснований количество таких чисел чётно и
произведение чисел в этой грани равно 1.
3. Ответ: Да, существует.
Решение: Возьмем треугольную пирамиду у которой три грани при одной
вершине – прямоугольные треугольники. К четвёртой грани приклеим
такую же пирамиду. Тогда в двух вершинах будет по три прямых плоских
угла – сумма 540о, а сумма всех плоских углов есть сумма всех углов в
шести треугольниках – 1080о.
4. Ответ: 2010 или 1005.
Решение: Проследим за изменением коэффициентов трёхчлена: ax2+bx+c
bcx2+аcх+ab а2bcx2+b 2аcх+abс2=abc(ax2+bx+c)… Отсюда видно, что у
трёхчленов этой последовательности с номерами n и n+2 дискриминанты
отрицательные или неотрицательные одновременно. Дискриминант первого
трёхчлена D1=b2–4ac, второго D2= a2c2–4acb2= ac(ac–4b2), так как a>0 и c>0,
то оба этих дискриминанта не могут быть положительными одновременно.
Поэтому возможны лишь следующие варианты:
а) первый и второй многочлен имеют отрицательные дискриминанты, и
тогда все многочлены имеют отрицательные дискриминанты;
б) дискриминант первого отрицательный, а второго неотрицательный, тогда
отрицательный дискриминант будут иметь лишь многочлены с нечётными
номерами;
в) дискриминант первого неотрицательный, а второго отрицательный, тогда
отрицательный дискриминант будут иметь лишь многочлены с чётными
номерами;
В качестве примера для случая а) можно рассмотреть первый многочлен
x2+x+1 (тогда все остальные будут такими же), для случая б) в качестве
первого многочлена подойдет 2x2+x+2 (случай в) отличается от б) лишь
тем, что мы можем начинать не с первого а со второго многочлена).
5. Решение.
Около четырехугольника BKXL можно описать
окружность с диаметром ВХ. Тогда по теореме синусов
KL=BXsinABC. Аналогично LM=CXsinBCD, MN=DXsinADC,
NK=AXsinBAD. Тогда KL+MN= BXsinABC+ DXsinADC=
BDsinAВC=2RsinВCDsinAВC. Аналогично
LM+KN=АСsinВCD=2RsinAВCsinВCD. Значит,
KL+MN=LM+KN.
6. Ответ: от n до n(n-1)/2
Решение: Заметим, что всего существует n(n-1)/2 различных пар дорог.
Поскольку автомобиль добрался до первоначальной вершины, то самый
длительный маршрут будет тот, при котором успели закрыться все пары
дорог, т.е. n(n-1)/2 минут. Самый быстрый маршрут, очевидно, тот, при
котором автомобиль двигался без остановок, т.е. n минут.
Покажем, что такие маршруты существуют. Пусть автомобиль движется
по часовой стрелке (возвраты невозможны!) и пронумеруем дороги: 1, 2,…n.
а) Пусть пары дорог открываются в следующем порядке: (1,2), (2,3), (3,4),
…, (n-1, n), (n,1). Все это время автомобиль движется без остановок,
длительность маршрута n.
б) Пусть сначала открываются всевозможные пары дорог, номера которых
со 2-й по (n-1)-ю, все это время автомобиль стоит на месте. Затем будем
открывать пары дорог (1,n), (2,n), …, (n-2,n), (1,n-1), все это время он
движется без остановок и тормозит перед n-й дорогой. Затем (1,2), (1,3), …,
(1,n-2) и все это время он стоит. Наконец открываем последнюю пару дорог
(n-1,n) и автомобиль попадает в первоначальную вершину. Поскольку были
открыты всевозможные пары дорог, то длительность маршрута n(n-1)/2
минут.
Теперь покажем, что существует маршрут с произвольной
длительностью от n до n(n-1)/2. Пусть имеется маршрут длительностью k<
n(n-1)/2, тогда из него легко построить маршрут длительностью k+1.
Очевидно, что какая-то пара дорог не закрывалась, например (a,b).
Достаточно выбрать какую-нибудь вершину X, не смежную ни с a, ни с b, и
когда автомобиль будет в этой вершине, закрыть пару дорог (a,b).
Остальную последовательность открытия дорог оставить прежней, тогда
получим маршрут длительностью k+1.
Критерии проверки (из расчета 7 баллов за задачу)
1. 7 баллов – полное решение.
4 балла – найдено, что sinC=0,5, но не пояснено, почему C не равен 150о.
0 баллов – иначе.
2. 7 баллов – полное решение.
0 баллов – иначе.
3. 7 баллов – описан многогранник и объяснено, почему он удовлетворяет
условию;
6-4 балла – описан многогранник, но нет объяснения, почему он
удовлетворяет условию (в зависимости от очевидности нахождения
нужной пары вершин).
0 баллов – иначе.
4. 7 баллов – пояснено, что существует лишь два варианта и приведены
примеры для каждого из возможных ответов.
4-5 баллов – пояснено, что существуют лишь два ответа, но не приведены
примеры показывающие, что обе возможности реализуются.
2 балла – замечено, что дискриминанты через одни имеют один знак.
5.
6. 7 баллов – полное решение, то есть построение всех возможных
вариантов.
0 баллов - отсутствие варианта
построение) .
(если из текста не следует его