Интерактивные задачники по комбинаторике и целым числам

ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
ЗАДАЧИ НА КАРТАХ
Задача 1-1. Сколько дам, столько и червей.
Указание к решению.
В наборе обязательно есть дама
червей. Для выбора дам есть 2
варианта. Для выбора двух
оставшихся карт червовой масти
остаётся 8 карт (кроме дамы
червей).
*Задача 1-2. Десяток и чёрных больше половины.
Указание к решению.
Комбинации можно разделить на 4
группы:
1) в наборе четыре десятки и одна
чёрная карта;
2) в наборе три десятки, из них две
чёрных, одна красная, а две
остальные карты имеют разный
цвет;
3) в наборе три десятки, из них две
чёрных, одна красная, а две
остальные карты чёрные;
4) в наборе три десятки, из них
одна чёрная, две красные, а две
остальные карты чёрные.
Задача 1-3. Всего по две.
Указание к решению.
Выбор масти для тузов можно
сделать тремя способами.
При этом выбор масти для королей
можно сделать двумя способами
(нельзя использовать те же масти,
что для тузов).
Для дам остаются
неиспользованные масти.
Задача 2-1. Одна из двух красная.
Указание к решению.
Комбинации можно разделить на 2
группы:
1) в наборе четыре одна красная и
одна чёрная карта;
2) в наборе две красных карты.
Задача 2-2. Есть чёрные, есть красные.
Указание к решению.
Найти искомое число можно
вычитанием из общего числа
наборов число наборов, в которых
есть только красные или только
чёрные карты.
Задача 3-1. Одна из двух красная, другая пиковая.
Указание к решению.
Для выбора пиковой масти есть 9
вариантов, для выбора красной 18.
2
Задача 3-2. Туз бубен и дама.
Указание к решению.
Для выбора дамы есть 4
варианта. Для выбора оставшейся
карты есть 31 вариант (кроме туза
бубен и дам).
Задача 3-3. Три туза.
Указание к решению.
Три туза можно выбрать 4
способами, а для выбора двух
оставшихся можно взять любые
две, кроме тузов.
Задача 3-4. Всех мастей по одной.
Указание к решению.
Карту каждой масти можно
выбрать 9 способами.
3
Задача 4-1. Все чёрные.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 18
возможных карт чёрного цвета.
Задача 4-2. Все бубны.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 9
возможных карт бубновой масти.
Задача 4-3. Все красные и валет бубен.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 17
возможных карт красной масти
(исключая валет бубен).
4
Задача 4-4. Дама и король червей.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 28
возможных карт (исключая
королей и дам).
Задача 4-5. Ни одной пики.
Указание к решению.
Все четыре карты выбираются из
27 возможных карт (исключая
карты пиковой масти).
Задача 4-6. Ни одной картинки.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 20
возможных карт (исключая
«картинки»).
5
Задача 4-7. Нет туза.
Указание к решению.
Все пять карт выбираются из 32
возможных карт (исключая тузов).
Задача 5-1. Три бубны, остальные чёрные.
Указание к решению.
Три карты бубновой масти
выбираются из 9 возможных, а
оставшиеся две чёрных из 18
возможных.
Задача 5-2. Нет пик, остальных поровну.
Указание к решению.
Две карты одной масти выбираем
из 9 возможных карт, а три пары
карт одной масти комбинируются
между собой.
6
Задача 6-1. Есть все картинки.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на два
вида:
1) у которых пятая карта не
является картинкой;
2) у которых пятая карта является
картинкой.
Задача 6-2. Красных больше половины.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на три
вида:
1) у которых три красных карты;
2) у которых четыре красных
карты;
3) у которых пять красных карт.
Задача 6-3. Королей больше чем дам.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на три
вида:
1) у которых три дамы и два
короля;
2) у которых три дамы и один
король;
3) у которых четыре дамы и один
король.
7
Задача 6-4. Две чёрных и два туза.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на три
вида:
1) у которых два чёрных туза;
2) у которых один чёрный и один
красный туз;
3 у которых два красных туза.
8
ЗАДАЧИ НА ЧИСЛАХ
Задача Ч-1-1. Каждая - сумма следующих.
Указание к решению.
Последние две цифры всегда
одинаковы, а первая равна их
сумме.
Задача Ч-2-1. Трёхзначные восьмеричные числа.
Указание к решению.
Первая цифра может принимать 7
значений (кроме 0), а каждая из
двух остальных цифр 8 значений.
Задача Ч-2-2. Цифры разные.
Указание к решению.
Первая цифра может принимать 9
значений (кроме 0), вторая также
9 (любая из десяти, кроме той,
которая уже использована на
первом месте), третья – 8 и т.д.
9
Задача Ч-2-3. Соседние разные.
Указание к решению.
Первая цифра может принимать 8
значений (любая цифра из девяти,
кроме 0), вторая также 8 (любая из
девяти, кроме той, которая уже
использована на первом месте),
третья – 8 и т.д.
Задача Ч-4-1. Цифры убывают.
Указание к решению.
Поскольку цифры упорядочены и
различны, достаточно выбрать
любые пять цифр из десяти и
построить из них число.
Задача Ч-4-2. Цифры возрастают.
Указание к решению.
Поскольку цифры упорядочены и
различны, достаточно выбрать
любые пять цифр из девяти и
построить из них число. Ноль
нельзя использовать, так как
число не может начинаться с нуля.
10
Задача Ч-6-1. Первая - больше.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на
девять видов:
1) начинающиеся с 1 – такое
число одно 10000;
2) начинающиеся с 2 – остальные
цифры могут принимать два
значения 0 или 1; и т.д.
Задача Ч-6-2. Первая - меньше.
Указание к решению.
Все комбинации разобьём на
восемь видов:
1) начинающиеся с 1 – каждая из
остальных цифр может принимать
восемь значений от 2 до 9;
2) начинающиеся с 2 – каждая из
остальных цифр может принимать
семь значений от 3 до 9 и т.д.
*Задача Ч-8-1. Первая - не больше.
Указание к решению.
Каждую комбинацию можно
закодировать набором из нулей и
единиц: Например, комбинация на
рисунке кодируется набором:
11001101101100. Единицы –
разделители, нули соответствуют
отдельным цифрам. До первой
единицы стоят нули,
соответствующие цифрам «1» (в
нашем числе их нет), между
первой и второй единицей стоят
нули, соответствующие цифрам
«2» (их тоже нет), между
следующими единицами стоят
нули, соответствующие цифрам
«3» (их у нас две) и т.д.
11
*Задача Ч-8-2. Первая - не меньше.
Указание к решению.
Каждую комбинацию можно
закодировать набором из нулей и
единиц: Например, комбинация на
рисунке кодируется набором:
10001111111001. Единицы –
разделители, нули соответствуют
отдельным цифрам. До первой
единицы стоят нули,
соответствующие цифрам «9» (в
нашем числе их нет), между
первой и второй единицей стоят
нули, соответствующие цифрам
«8» (их у нас три) и т.д. При этом
набор 00000 числом не является.
*Задача Ч-8-3. Первая равна сумме остальных.
Указание к решению.
Построим взаимно однозначное
соответствие с другим
множеством комбинаций: если
заменить первую цифру
дополнением до 9, то сумма цифр
числа будет равна 9.
В нашем примере это число 22041.
Такие числа модно закодировать
бинарными наборами. Для нашего
примера набор 0010011000010.
Количество нулей соответствуют
цифрам числа.
*Задача Ч-8-4. [1]+[2]= [3]+[4].
Указание к решению.
Построим взаимно однозначное
соответствие с другим
множеством комбинаций: если
заменить первые две цифры
дополнениями до 9, то сумма
цифр числа будет равна 18.
В нашем примере это число 7434.
Такие числа модно закодировать
бинарными наборами. Для нашего
примера набор
00100000100010000. Количество
нулей соответствуют цифрам
числа. Нужно учесть, что цифры
не могут быть больше 9.
12
*Задача Ч-8-5. Счастливые билеты.
Указание к решению.
Построим взаимно однозначное
соответствие с другим
множеством комбинаций: если
заменить первые три цифры
дополнениями до 9, то сумма
цифр числа будет равна 27.
В нашем примере это число
724806.
Такие числа модно закодировать
бинарными наборами. Для нашего
примера набор
001000000010000010000000011000000.
Количество нулей соответствуют
цифрам числа. Нужно учесть, что
цифры не могут быть больше 9.
Задача Ч-8-6. Счастливые по-питерски и по-московски.
Указание к решению.
Можно доказать, что все
счастливые по-питерски билеты, у
которых 2-ая и 5-ая одинаковы,
счастливы и по-московски.
Задача сводится к счастливым
билетам из 4 цифр, в которые
можно вставить два раза любую
из 10 цифр.
13
ЗАДАЧИ НА СЛОВАХ
Задача Б-1-1. Двухбуквенные палиндромы.
Указание к решению.
Для выбора каждой из первых
трёх букв есть две возможности.
Последние две буквы
определяются по соображениям
симметрии.
Задача Б-2-1. Чередуются, повторяясь.
Указание к решению.
Возможны два вида чередования:
начиная с гласной или согласной
буквы.
Для выбора каждой из двух
гласных есть 9 вариантов, для
выбора каждой из двух согласных
– 21.
Задача Б-3-1. Чередуются, не повторяясь.
Указание к решению.
Возможны два вида чередования:
начиная с согласной или гласной
буквы.
В первом случае для выбора
первой согласной есть 21 вариант,
для выбора второй 20, для выбора
третьей 19 и т.д..
14
Задача Б-3-2. Чередующиеся палиндромы.
Указание к решению.
Возможны два вида чередования:
начиная с согласной или гласной
буквы.
Достаточно рассмотреть
комбинации первых трёх букв, так
как остальные определяются по
соображениям симметрии.
Задача Б-3-3. ТРОНДХЕЙМ.
Указание к решению.
Возможны три вида слов:
1) из 4 согласных;
2) из 3 согласных и гласной;
3) из 2 согласных и 2 гласных.
Задача Б-5-1. РОКОКО.
Указание к решению.
Выберем три места из шести для
букв «о». Перебёрём все варианты
расстановки двух согласных на
три места.
15
ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ
Задача 2-1. Двузначное число не меняется.
Указание к решению.
При перестановке цифр
двузначное число не изменится,
если его цифры равны.
Задача 2-2. Двузначное число уменьшается в 10 раз.
Указание к решению.
Из условия следует, что число
должно быть кратно 10. С другой
стороны, каждое число, кратное
10, при вычёркивании цифры
единиц уменьшается в 10 раз.
Задача 2-3. Двузначное число увеличивается в 11 раз.
Указание к решению.
Обозначим двузначное число как
10a + b. Тогда условие можно
записать в виде
100 + 10a + b = 11(10a + b).
Отсюда 10a + b = 11.
16
Задача 2-4. Двузначное число увеличивается в 5 раз.
Указание к решению.
Обозначим двузначное число как
10a + b. Тогда условие можно
записать в виде
100 + 10a + b = 5(10a + b).
Отсюда 10a + b = 25.
Задача 2-5. Двузначное число увеличивается в 6 раз.
Указание к решению.
Обозначим двузначное число как
10a + b. Тогда условие можно
записать в виде
400 + 10a + b = 6(10a + b).
Отсюда 10a + b = 80.
Задача 2-6. Двузначное число увеличивается в 26 раз.
Указание к решению.
Обозначим двузначное число как
10a + b. Тогда условие можно
записать в виде
400 + 10a + b = 6(10a + b).
Отсюда 10a + b = 16.
17
Задача 3-1. Трёхзначное число увеличивается в 9 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
9(100a + 10b + с) = 1000 + 100a +
10b + с.
Отсюда 100a + 10b + с = 125.
Задача 3-2. Трёхзначное число увеличивается в 5 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
5(100a + 10b + с) = 1000 + 100a +
10b + с.
Отсюда 100a + 10b + с = 250.
Задача 3-3. Трёхзначное число увеличивается в 21 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
21(100a + 10b + с) = 6000 + 100a +
10b + с.
Отсюда 100a + 10b + с = 300.
18
Задача 3-4. Трёхзначное число увеличивается в 41 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
41(100a + 10b + с) = 6000 + 100a +
10b + с.
Отсюда 100a + 10b + с = 150.
Задача 3-5. Трёхзначное число уменьшается в 100 раз.
Указание к решению.
Из условия следует, что число
должно быть кратно 100. С другой
стороны, каждое число, кратное
100, при вычёркивании последних
двух цифр уменьшается в 100 раз.
Задача 3-6. Трёхзначное число уменьшается в 5 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
5(10b + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 4(10b + с) = 100a.
10b + с = 25a.
19
Задача 3-7. Трёхзначное число уменьшается в 6 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
6(10b + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 5(10b + с) = 100a.
10b + с = 20a.
Задача 3-8. Трёхзначное число уменьшается в 11 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
11(10b + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 10(10b + с) = 100a.
10b + с = 10a.
Задача 3-9. Трёхзначное число уменьшается в 21 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
21(10b + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 20(10b + с) = 100a.
10b + с = 5a.
20
Задача 3-10. Трёхзначное число уменьшается в 26 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
26(10b + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 25(10b + с) = 100a.
10b + с = 4a.
Задача 3-11. Трёхзначное число при вычёркивании
второй цифры уменьшается в 10 раз.
Указание к решению.
Обозначим трёхзначное число как
100a + 10b + с. Тогда условие
можно записать в виде
10(10a + с) = 100a + 10b + с.
Отсюда 10с = 10b + с.
Задача 4-1. Четырёхзначное число уменьшается в 6 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
6(100b + 10с + d) = 1000a + 100b +
10с + d.
Отсюда 5(100b + 10с + d) = 1000a.
100b + 10с + d = 200a.
21
Задача 4-2. Четырёхзначное число уменьшается в 5 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
5(100b + 10с + d) = 1000a + 100b +
10с + d.
Отсюда 4(100b + 10с + d) = 1000a.
100b + 10с + d = 250a.
Задача 4-3. Четырёхзначное число уменьшается в 9 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
9(100b + 10с + d) = 1000a + 100b +
10с + d.
Отсюда 8(100b + 10с + d) = 1000a.
100b + 10с + d = 125a.
Задача 4-4. Четырёхзначное число уменьшается в 11 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
11(100b + 10с + d) = 1000a + 100b
+ 10с + d.
Отсюда 10(100b + 10с + d) = 1000a.
100b + 10с + d = 100a.
22
Задача 4-5. Четырёхзначное число уменьшается в 21 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
21(100b + 10с + d) = 1000a + 100b
+ 10с + d.
Отсюда 20(100b + 10с + d) =
1000a.
100b + 10с + d = 50a.
Задача 4-6. Четырёхзначное число уменьшается в 51 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
51(100b + 10с + d) = 1000a + 100b
+ 10с + d.
Отсюда 50(100b + 10с + d) =
1000a.
100b + 10с + d = 20a.
Задача 4-7. Четырёхзначное число увеличивается в 3
раза.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
3(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000
+ 1000a + 100b + 10с + d.
Отсюда 2(1000a + 100b + 10с + d)
= 10 000.
23
Задача 4-8. Четырёхзначное число увеличивается в 5 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
5(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000
+ 1000a + 100b + 10с + d.
Отсюда 4(1000a + 100b + 10с + d)
= 10 000.
Задача 4-9. Четырёхзначное число увеличивается в 6 раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
6(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000
+ 1000a + 100b + 10с + d.
Отсюда 5(1000a + 100b + 10с + d)
= 10 000.
Задача 4-10. Четырёхзначное число увеличивается в 9
раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
9(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000
+ 1000a + 100b + 10с + d.
Отсюда 8(1000a + 100b + 10с + d)
= 10 000.
24
Задача 4-11. Четырёхзначное число увеличивается в 5
раз.
Указание к решению.
Обозначим четырёхзначное число
как 1000a + 100b + 10с + d. Тогда
условие можно записать в виде
11(1000a + 100b + 10с + d) = 10 000
+ 1000a + 100b + 10с + d.
Отсюда 10(1000a + 100b + 10с + d)
= 10 000.
25
АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ
Задача 1-1. Остаток от деления 120 на 11.
Указание к решению.
120 = 110 + 10.
Задача 1-2. Остаток от деления 2008 на 13.
Указание к решению.
Число 1300 + 650 кратно 13.
Задача 1-3. Остаток от деления 7*99999-2 на 7.
Указание к решению.
Уменьшаемое кратно 7.
26
Задача 1-4. Остаток от деления 6*7777+5 на 3.
Указание к решению.
Первое слагаемое делится на 3.
Задача 1-5. Остаток от деления 4*88+3 на 2*88.
Указание к решению.
Число 4 * 88 кратно числу 2 * 88.
Задача 1-6. Остаток от деления 220 на 3.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 3
нескольких первых степеней числа
2.
27
Задача 1-7. Остаток от деления 6*7777+5 на 3.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 3
нескольких первых степеней числа
5.
Задача 1-8. Остаток от деления 58 + 224 на 3.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 3
каждого из двух слагаемых.
Задача 1-9. Остаток от деления 316 на 4.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 4
нескольких первых степеней числа
3.
28
Задача 1-10. Остаток от деления 56 на 4.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 4
нескольких первых степеней числа
5.
Задача 1-11. Остаток от деления 58 + 312 на 4.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 4
каждого из двух слагаемых.
Задача 1-12. Остаток от деления 418 на 5.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 5
нескольких первых степеней числа
4.
29
Задача 1-13. Остаток от деления 216 на 5.
Указание к решению.
Найдите остатки от деления на 5
нескольких первых степеней числа
2.
Задача 1-14. Остаток от деления 77 на 10.
Указание к решению.
Найдите последнюю цифру для
нескольких первых степеней числа
7.
Задача 1-15. Остаток от деления 116 + 146 на 10.
Указание к решению.
Найдите последнюю цифру
каждого из слагаемых.
30
КОЛИЧЕСТВО РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ.
Задача 1.
Указание к решению.
Нетрудно заметить, что эта задача
эквивалентна задаче о разбиении
25 шаров по 5 коробкам, когда в
каждой коробке есть хотя бы один
шар. Эта задача в свою очередь
эквивалентна задаче о расстановке
между 25 шарами 4 перегородок.
Перегородок 4, возможных мест
для них 25, значит ответ С(24,4)
Задача 2.
Указание к решению.
Эта задача эквивалентна задаче о
разбиении 20 шаров по 5
коробкам, когда допустимы
пустые коробки. Эта задача в свою
очередь эквивалентна задаче о
расстановке 20 шаров и 4
перегородок. Из 24 предметов 4
должны быть перегородками,
значит, ответ С(24,4)
Задача 3.
Указание к решению.
Эта задача сводится к задаче,
аналогичной одной из двух
предыдущих, при помощи замены
переменных. Например, положив
y k = x k − 1 , получаем уравнение
y1 + y2 + y3 + y4 = 33, где y k натуральные числа.
31
Задача 4.
Указание к решению.
Эта задача решается при помощи
аналогичной замены: y k = x k − 3 .
Получаем уравнение
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 11, где
y k - натуральные числа.
Задача 5.
Указание к решению.
Давайте заметим, что если целое
число больше четырех, то оно не
превосходит пяти. Значит, эта
задача может решаться аналогично
двум предыдущим. Однако гораздо
проще заметить, что среди x k три
числа 5 и одно число 6.
Задача 6.
Указание к решению.
После замены y j= x j− j получаем
уравнение
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 19.
32
Задача 7.
Указание к решению.
Количество решений этого
уравнения – это количество
решений уравнения без
ограничения на x 1 минус
количество решений уравнения
при условии x 1 > 12.
Задача 8.
Указание к решению.
Из количества решений уравнения
без дополнительных ограничений
на переменные надо вычесть
количество решений уравнения,
где одна из переменных хотя бы
10. Количество способов выбрать
эту переменную – С(5,1)
умножается на количество
решений где фиксированная
переменная хотя бы 10. Но, считая
таким образом, мы два раза вычли
те решения, у которых две
переменные хотя бы 10. Значит, их
надо добавить обратно. На этом
формула заканчивается, потому
что решений, где хотя бы три
переменные слишком большие, не
бывает.
Задача 9.
Указание к решению.
Из количества решений уравнения
без дополнительных ограничений
на переменные надо вычесть
количество решений уравнения, в
которых какая-то из переменных
больше соответствующей
константы. При этом те решения, у
которых две переменные больше
своих констант, вычтутся два раза.
Значит, их надо прибавить
обратно.
33
ИНДЕКСАЦИЯ СЛОВ
Задача 1. Номер слова (буквы могут повторяться).
Указание к решению.
Каждому 5-буквенному слову в
данном алфавите соответствует не
более чем пятизначное число в
троичной системе счисления.
Соотвестствие достигается заменой
буквы а на 0, б на 1 в на 2. Слову
аббав таким образом соответствует
троичное число 1102, которое при
переводе в десятичную систему
превращается в
133+132+031+230=38. Это тридцать
девятое число, если считать от нуля,
который соотвествует слову ааааа.
Задача 2. Индексация палиндромов
Указание к решению.
Палиндром целиком определяется
своей первой половиной, в данном
случае — ваб. Каждому
трехбуквенному слову в данном
алфавите соответствует не более чем
трехзначное число в 4-чной системе
счисления. Соотвестствие
достигается заменой буквы а на 0, б
на 1 в на 2, г на 3. Слову ваб таким
образом соответствует 4-чное число
201, которое при переводе в
десятичную систему превращается в
242+041+140 = 33. Это тридцать
девятое число, если считать от нуля,
который соотвествует слову ааа.
34
Задача 3. Гласные и согласные чередуются.
Указание к решеню.
Все слова, которые начинаются на
гласную о, идут по алфавиту позже
слова молоко. Среди оставшихся слово
молоко занимает такое же место, как
слово млк в алфавите из букв м, л, к.
Каждому трехбуквенному слову в
данном алфавите соответствует не более
чем трехзначное число в троичной
системе счисления. Соответствие
достигается заменой буквы м на 0, л на
1, к на 2. Слову млк таким образом
соответствует троичное число 210,
которое при переводе в десятичную
систему превращается в
232+131+030=21. Это двадцать второе
число, если считать от нуля, который
соответствует слову ккк.
Задача 4. После каждой гласной идет согласная.
Указание к решению.
Все слова, предшествующие слову
абзац, начинаются на аб. Слов,
начинающихся на аба среди них
32= 9 , начинающихся на абб 4 2− 4= 12 (из всех таких слов
вычитаем кончающиеся на а); кроме
того есть еще слова абзаб и абзаз.
Таким образом, слово абзац имеет
номер 9+12+2+1=24.
35
Задача 5. Согласных меньше, чем гласных.
Указание к решению.
Согласных в рассматриваемых словах
либо 1, либо нет вообще. Слову аура
предшествуют 4 слова начинающихся
на аа без согласных, 322 = 12 слов на
аа с одной согласной, по 4 слова на аб,
аз и ар, 5 слов на ауа, слова ауба, аубу,
ауза, аузу. Всего 37 слов, значит, аура
- номер 38.
Задача 6. Согласных больше, чем гласных.
Указание к решению.
Рассмотрим слова из нашего множества,
предшествующие слову арбуз. Первая
буква у них обязательно а, кроме нее
может быть еще не больше одной. Слов,
3
начинающихся на аа – 3 (3 способа
выбрать каждую из оставшихся букв); слов
на аб и аз без второй гласной – также по
27; слов на аб и аз со второй гласной – по
2332 (2 способа выбрать гласную, 3
способа выбрать место для нее и 9
способов выбрать остальные две буквы);
2
слов на ара – 3 ; слов на арб –
52− 22− 1 (из 25 слов на арб надо вычесть
4 слова, оканчивающиеся на 2 гласные, а
также слово арбур, которое идет после
слова арбуз). Сложив эти числа, получаем
ответ
36