Nemirovskii_Yu_V-Yankovskii_A_P - 22

1
УДК 539.3
Ю.В. Немировский, А.П. Янковский
ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНО-НАСЛЕДСТВЕННОГО
ПОВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТНЫХ
СРЕД
Разработана численно-аналитическая методика моделирования нелинейнонаследственного
поведения
позволяющая
дискретные
в
пространственно-армированных
моменты
времени
композитов,
рассматривать
такую
композицию как нелинейно-упругую с начальным напряженным состоянием.
Ключевые
слова:
армирование
пространственное,
структурная
теория,
наследственность нелинейная, ползучесть
UDC 539.3
Yu.V. Nemirovskii, A.P. Yankovskii
NUMERICAL
DIMENSIONAL
SIMULATION
OF
BEHAVIOUR
REINFORCEMENT
COMPOSIT
OF
THE
MATERIALS
THREEWITH
NONLINEAR MEMORY
The numerically-analytical technique of modeling of the behavior of the threedimensional reinforcement composites with nonlinear memory is developed, during
the discrete moments allowing to consider such composition as nonlinear-elastic with
an initial stress.
Keywords: three-dimensional reinforcement, structural theory, material with
nonlinear memory, creep
В самолето- и ракетостроении в настоящее время особое внимание к себе
привлекают композиционные материалы с пространственным расположением
арматуры [1 и др.]. Так как полимерные материалы, как правило, используемые
при
создании
таких
композитов,
обладают
ярко
выраженными
2
наследственными свойствами, то актуальной является проблема моделирования
механического поведения пространственно-армированных композитных сред
из нелинейно-наследственных материалов.
В
глобальной
декартовой
системе координат
x1, x2 , x3
рассмотрим
гибридный композит, армированный в произвольных направлениях
N
семействами волокон с интенсивностями k ( k  1, 2, ..., N ). Направление
армирования k-м семейством волокон задается направляющими косинусами
li(k ) ( i  1, 2, 3 ); если направление армирования задано с помощью двух углов
сферической системы координат (см. рисунок) – полярного расстояния  k и
долготы k , то
l1( k )  sin k cos k , l2( k )  sin k sin k , l3( k )  cos k , 1  k  N .
Обобщая
на
пространственный
случай
армирования
модель
Ю.В. Немировского с одномерным напряженным состоянием в волокнах,
впервые предложенную в [2] для случая плоского армирования, получим
следующие выражения для средних напряжений в композиции:
ij  1    ijm 
N
 k  1    km  k li(k )l (jk ) ,
i, j  1, 2, 3,
k 1

K
 k ,
(1)
k 1
где  – функция переключения, позволяющая выбрать вариант модели [3,
с. 242] (жесткий при   0 и мягкий при   1); ijm – напряжения в связующей
матрице;  k – продольное напряжение в арматуре k-го семейства; m
k –
одномерное напряженное состояние в фиктивных волокнах из материала
связующей матрицы, направленных по траекториям армирования
k-го
семейства [3].
Так как в волокнах k-го семейства реализуется одномерное напряженное
состояние, то при нелинейно-наследственном поведении фазовых материалов
можем записать определяющие соотношения в виде [4; 5]
3
t Lk


g k   k   k  k  t     Al( k ) exp   t    l( k ) k    d ,
0 l 1
t L


m
m
g m  k   k  m
k  t     M l exp   t    l  k    d 
0 l 1


t Ls

(1  k  N ),
(2)

g   , 0  ij  ij 0  sijm  t     Kls exp   t    ls sijm    d  (i, j  1, 2, 3),
0 l 1
t L0


g 0   , 0  0  0m  t     Kl0 exp   t    l0 0m    d ,
0 l 1
где
0 


3 3
1
1 m
m
m
  22
 33
,  k    ij li( k )l (jk ) ,
 11  22  33  , 0m  11
3
3
i 1 j 1
2m   , 0 
g   , 0  
, sijm  ijm  ij 0m (i, j  1, 2, 3, 1  k  N ),
3
 
2
3
(3)
2
2
2
  23
 31
 11  22 2   22  33 2   33  11 2  6  12
;
t – время; ij – компоненты тензора деформаций;  – интенсивность
деформаций;  k – продольная деформация в арматуре k-го семейства; m –
интенсивность напряжений в материале матрицы, связанная известным
соотношением с  ,  0 ; g0   , 0  – известная зависимость объемного модуля
от  ,  0 (функции g0   , 0  , g   , 0  или m   , 0  известны из диаграмм
мгновенного деформирования материала связующего; зависимость этих
функций
от
обоих
аргументов
позволяет
учитывать
свойство
разносопротивляемости материала связующей матрицы); gk    , gm    –
заданные функции, характеризующие диаграмму мгновенного деформирования
материалов арматуры k-го семейства (   g k     ) и связующей матрицы
(   gm     ) и известные из опытов на растяжение – сжатие; ij – символ
Кронекера; Al( k ) , M l , Kl0 , Kls – известные из экспериментов постоянные,
характеризующие ядра ползучести;
l( k ) , lm , l0 , sl
– известные из
4
экспериментов константы фазовых материалов, имеющие смысл характерного
времени ползучести. Представление в (2) разностных ядер ползучести в виде
линейных комбинаций экспоненциальных функций (с числом слагаемых Lk , L,
L0 , Ls ) позволяет аппроксимировать ядра более сложной структуры, в том
числе и некоторые виды слабосингулярных ядер [6, c. 192].
Определяющими соотношениями (2), (3) описывается механическое поведение
не только полимеров, но и некоторых металлов на стадии их активного
нагружения [4, c. 217].
Так как даже простейшие задачи неустановившейся ползучести для
изотропных элементов конструкций требуют привлечения численных методов
интегрирования по времени [7], то тем более это касается сложно
армированных композитных сред. Поэтому в настоящем исследовании
разработаем
поведения
численно-аналитическую
модель
пространственно-армированного
нелинейно-наследственного
композита.
С
этой
целью
дискретизируем задачу по времени t, т.е. будем рассматривать ее решения в
моменты времени tn ( n  0, 1, 2, ... , t0  0 ). Предполагаем, что в момент времени
tn (и во все предыдущие моменты) решение задачи уже известно. Построим
определяющие соотношения (2) для момента времени
tn 1  tn  n ,
n  0, 1, 2, ...,
(4)
где n – шаг по времени (возможно, переменный).
Введем в рассмотрение дискретные по времени функции:
n
n
km
n
n
(k )
Sl
 k   k  tn  ,
 k   k  tn  ,
 km
 tn  ,

tn

sijm
 tn  ,
n
0m
 0m
 tn  ,

tn

m
  m
k    exp  l d  (1  l  L),
tn


  sijm    exp  ls d  (i, j  1, 2, 3, 1  l  Ls ),
0
ij  ij  tn  ,

0
n
Sij(l )
n
  k    exp  l( k ) d  (1  l  Lk ),
0
n
m( k )
Sl
n
sijm
(5)
5
n
Sl0

tn

  0m    exp  l0 d  (1  l  L0 ),
0
которые по предположению в момент времени tn уже известны.
Записывая соотношения (2) для момента времени (4) с учетом обозначений
типа (5) и вычисляя интегралы, входящие в (2), на интервале tn  t  tn 1 по
формуле трапеций, а также используя вырожденность экспоненциальных
разностных ядер [6, c. 192], окончательно получим
 tn 1  (nk ) n
 n  n 
 n 1  n 1  n Lk ( k )  n 1 Lk ( k ) 
g k   k   k  1   Al  k   Al exp   ( k )  Sl  exp   ( k )   k  ,
  
  
2 l 1
2
l 1
 


 l 
 l  

n
n 1

 tn 1  m(
 n  nm 
 m L
 n 1  n 1  n L
k ) n
g m   k   k  1   M l  k   M l exp   m  Sl
 exp   m  k  ,
  
  
2 l 1 
2
l 1
 

l 

 l  

n 1
n 1  
 n 1 n 1  n 1
n Ls s  m
g   , 0  ij  ij 0   1   Kl  sij 
2 l 1 


 

 tn 1  n(l ) n
s
 Kl exp   s  Sij 
  
2
l 1
l 


Ls

 n  nm 
exp   s  sij  ,
  
 l  
n 1
 tn 1  n0 n
 n  nm 
 n 1 n 1  n 1  n L0 0  m L0 0 
g0   , 0  0  1   Kl  0   Kl exp   0  Sl  exp   0  0 .
  
  
2 l 1 
2
l 1



l 

 l  

Эти соотношения можно записать так
n
 n 1  n 1 n 1
g k   k   k  k  0k ,
 
n
n  n 1 n 1  n 1
n 1
n
 n 1  n 1
g m   k   k  km  km0
 
n
n 1 
g   , 0  ij  ij 0  



n 1
n
m
m0
sij  sij
(i, j  1, 2, 3),
(1  k  K ),
n
n 1
n
m
m0
 0   0  0  0 ,
 n 1 n 1  n 1
g 0   ,

(6)

где
1
 n 1   n Lk ( k ) 
 n 1 
g k  k   1   Al  g k  k  ,
2 l 1
  
 

n
1
 

g   , 0   1  n  Kls  g   , 0  ,
2 l 1 

 


n  n 1 n 1 
Ls
 n 1 n 1 
1

 n 1   n L
 n 1 
g m   k   1   M l  g m   k  ,
2 l 1 
  
 
n
(7)
6
1
 n 1 n 1   n L0 0 
 n 1 n 1 
g 0   , 0   1   Kl  g 0   , 0  ;
2 l 1 

 


n
n
0k
 n Lk ( k ) 
  1   Al 
2 l 1


n
m0
k
1 L
k
 n L

  1   M l 
2 l 1 



t

Al( k ) exp   n(k1)
 
l 1
 l


 (nk ) 
   n 
n
 Sl  exp   (nk )   k  ,

  
2

 l  
1 L
n

 tn 1  m(
 n  nm 
k ) n
 M l exp   m  Sl  exp   m  k  ,
2
l 1
 l 
 l  

1
 Ls
n
m0
sij
  Ls
  1  n  Kls 
2 l 1 

n
m0
0
 n L0 0 
  1   Kl 
2 l 1 


 tn 1  n(l ) n
s
Kl exp   s  Sij 
  
2
l 1

l 


1 L
0

 tn 1  n0 n
0
Kl exp   0  Sl 
  
2
l 1
l 



 n  nm 
exp   s  sij  ,
  
 l  
(8)
 n  nm 
exp   0  0 .
  
 l  
Умножим последнее равенство (6) на ij и результат сложим с третьим
равенством, тогда с учетом (3) получим
n 1
ijm
n  n 1 n 1  n 1
n 1 
n
 n 1 n 1  n 1
 g   , 0  ij  ij 0   ij g0   , 0  0  ijm0 (i, j  1, 2, 3),





n
(9)
где
n 1
ijm
n 1
n 1
m
 sij  ij 0m ,
n
m0
ij
Функции пространственных переменных
n
n
m0
m0
 sij  ij 0 .
n
0k
,
n
m0
k
,
n
m0
ij
(10)
, определенные по
формулам (8), (10), можно трактовать как начальные напряжения в
соответствующих фазовых материалах в момент времени tn 1 , которые
согласно (5), (8) в этот момент времени известны в каждой точке xi
композитного тела.
Таким образом, соотношения (9) и два первых равенства (6) в момент времени
tn 1
можно трактовать как определяющие соотношения для фазовых
материалов, поведение которых характеризуется зависимостями нелинейноупругого тела с начальным напряженным состоянием.
7
n 1
Подставим напряжения k ,
n 1 n 1
m
m
k , ij ,
определенные в (6), (9), в равенства (1)
при t  tn 1 , тогда с учетом обозначений типа (5) получим
n 1 
n  n 1 n 1  n 1
 n  n 1 n 1  n 1
ij  1     g   , 0  ij  ij  0   ij g0   ,  0   0  



 
 
n 1
n
n  n 1  n 1
n  n 1  n 1
(k ) (k ) 
  k li l j  g k   k   k  1    g m   k   k   ij0 , i, j  1, 2, 3,
k 1
  
  
(11)
N
где
n
ij0
 1   
n
K
 n0
(k ) (k )
m0
ij  k li l j  k 

k 1


1   
n 
m0
k .
(12)


n1 n1 n 1 n 1
Деформации 0 ,  , k , ij в (11) связаны зависимостями типа (3).
Равенства (11) с учетом (3) можно рассматривать как определяющие
соотношения для исследуемого композита в момент времени tn 1 . Напряжения
n
ij0
при этом можно трактовать как начальные напряжения в композиции,
известные в момент времени tn 1 (см. (12), (10), (8)). В общем случае
соотношения (11) с учетом (3) являются нелинейными относительно
n 1
деформаций ij .
Линеаризуем
g0   , 0  ,
соотношения
g k  k  ,
gm  k 
(11),
предполагая,
что
функции
g   , 0  ,
(см. (2), (3)) удовлетворяют достаточным
условиям сходимости метода итераций [5, c. 199], аналогичного методу
переменных параметров упругости. Если на некоторой m-й итерации известны
m-ые приближения
n 1
[ijm ]
деформаций в момент времени tn 1 , то согласно (3)
будут известны m-ые приближения функций
n 1
n 1
n 1
[m]
[m]
0 ,  , [km ] .
Для следующего
8
же ( m  1 )-го приближения деформаций
n 1
[ m 1]
ij
и напряжений
n 1
[ m 1]
ij
будут
справедливы линейные соотношения (см. (11), (3)):
n 1
[ m 1]
ij
 n  n 1 n 1  n 1 ij
 1     g  [m] , [0m]  [ijm 1] 

3
 

 n[m1] n[m1]  3 [nm11]  N

g0   , 0   ll    k

 l 1
3
 k 1


ij
3

n
3

l 1 p 1
n 1
[ m 1] ( k ) ( k ) ( k ) ( k )
lp ll l p li l j
где «начальные» напряжения
n
 ij0
n
ij0
,
3

l 1
n 1 
[ m 1]

ll


 n  n 1 
n  n 1  
[ m]
 g k   k   1    g m  [km]   



 



(13)
i, j  1, 2, 3,
изменяются в зависимости от номера n (от
момента времени tn ) и не зависят от номера итерации m.
При решении соответствующей нелинейно-вязкоупругой краевой задачи для
пространственно армированного композита в квазистатической постановке
n 1
осредненные напряжения в композиции ij или их приближения
n 1
[ m 1]
ij
(см.
(11), (13)) в момент времени tn 1 должны удовлетворять общеизвестным
n 1
уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, а деформации ij
(или их приближения
n 1
[ m 1]
ij
n 1
) должны быть связаны с перемещениями ui
( i, j  1, 2, 3 ) дифференциальными соотношениями Коши [4]. В случае же
решения задачи динамического деформирования рассматриваемого композита
из
полимерных
материалов
необходимо
соответствующим
образом
дискретизировать по времени уравнения движения. По мнению авторов,
наиболее целесообразный метод такой дискретизации изложен в [8], поэтому не
будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно. Отметим
лишь, что все неизвестные функции при этом, как обычно и предполагается в
наследственных задачах механики, принадлежат классу Хевисайда [4, с. 33].
9
Работа
выполнена
фундаментальных
при
финансовой
исследований
(код
поддержке
проекта
Российского
фонда
10-01-90402-Укр_а)
и
Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, номер проекта 72).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология:
учеб. пособие / под ред. А. А. Берлина. – СПб.: Профессия, 2009. – 560 с.
2. Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя
// ПМТФ. – 1969. – № 6. – С. 81 – 89.
3. Матвеев К. А., Пустовой Н. В. Вариационные методы исследования
устойчивости
анизотропных
пластин
при
температурно-силовом
нагружении: Монография. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. – 368 с.
4. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.:
Наука, 1977. – 384 с.
5. Ильюшин А. А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости / Составители:
Е.А. Ильюшина, В.Г. Тунгускова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 288 с.
6. Абросимов Н. А., Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики композитных
конструкций. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. – 400 с.
7. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Физматгиз, 1966.
– 752 с.
8. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Интегрирование динамических задач
механики деформируемого твердого тела обобщенными методами Рунге –
Кутты // Вычислительная механика сплошных сред. – 2008. – Т. 1, № 1. –
С. 68–79.
10
x3( k )
x3
k
x1( k )
k
k
x2( k )
x2
x1
Локальная система координат xi(k ) ,
связанная с волокном k-го семейства