Глава 3. Логические основы компьютеров

29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Глава 3. Логические основы компьютеров
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа № 1.
Синтез логических выражений
Постройте и упростите логические выражения, соответствующие приведённым таблицам
истинности. В каждом случае выбирайте наиболее простой способ синтеза. В вашем решении
опишите все шаги алгоритма.
Вариант 1
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
X
1
1
0
0
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
1
0
0
0
1
1
1
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
0
1
1
1
1
1
1
X
1
0
1
0
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
0
1
0
0
1
1
1
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
1
1
1
0
1
0
1
X
0
0
1
1
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
1
1
1
0
1
0
0
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
0
1
0
1
1
1
1
Вариант 2
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Вариант 3
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Вариант 4
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
X
0
1
0
1
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
1
1
1
0
0
1
0
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
1
1
1
1
1
0
0
X
0
1
1
0
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
0
1
0
1
0
0
1
1
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
1
1
1
0
0
1
1
X
1
0
0
1
2)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
1
0
0
0
0
1
1
3)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
X
1
1
1
1
1
0
1
0
Вариант 5
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Вариант 6
1)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Ответы по вариантам:
Ваpиант 1
1. A
2. A  B  B  C
3. A  B
Ваpиант 2
1. B
2. A  C  C  B
3. A  C
Ваpиант 3
1. A
2. A  B  B  C
3. A  C
Ваpиант 4
1. B
2. A  C  C  B
3. A  B
Ваpиант 5
1. A  B  A  B
2. A  B  A  C
3. A  B
Ваpиант 6
1. A  B  A  B
2. A  B  A  B
3. A  C
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Самостоятельная работа № 2.
Построение предикатов
1-4. Задайте с помощью предиката P ( x, y ) множество точек, соответствующее
заштрихованной области на плоскости.
5. Введите предикат и запишите заданное высказывание, используя кванторы.
6. Запишите отрицание высказывания, записанного в п. 5, в словесной форме и с помощью
кванторов и введённого предиката.
Вариант 1
Вариант 2
y
y
1
1.
Вариант 3
y
1
x
y
2
y
x
x
y  x
y
2
2
0
2.
2
0
-2
x
y
-2
x
y
yx
x2  y 2  4
0
x
y
x2  y 2  4
x2
x
x
3.
x
x2
x  2
y  x
y
y
y  x
x2  y 2  4
y
yx
yx
x2  y 2  1
4.
x2  y 2  1
y  x2  2
x
y  x
yx
«Для любой реки существует
5. море, в которое она
впадает».
Вариант 4
x
«Для любого моря
существует река, которая в
него впадает».
Вариант 5
«Существует река, которая
впадает во все моря».
Вариант 6
y
y
x
y  x
yx
y
yx
1.
x
-2
2.
x
y  x
y
4
y
x
y
0
x
0 x
-2
2
0
2 x
-4
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Вариант 4
y
Вариант 5
y  sin x
Вариант 6
y  sin( x)
y
y
y  sin( x)
y 1
y  0,5
3.
x

x
x
y  1
y  x 1
y
y
y
y 1
y 1
y  1 x
y  2x
2
y  x 1
4.
x
x 1
0
5.
x2  y 2  1
x
«Существует море, в которое
впадают все реки».
«Найдется такая гора, что ни
одна птица не может
подняться выше неё».
x
x2  y 2  1
x 1
«Для каждой горы найдется
птица, которая не может
подняться выше неё».
Ответы по вариантам:
Ваpиант 1
1. P( x, y ) : y  1
2.
P( x, y) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  1
3.
P( x, y) : x 2  y 2  4 and y  x and y  0 and x  2
4. P( x, y) : y  x 2  2 and ( y  x or y   x)
5. rm : P (r , m) , где P (r , m) : «река r впадает в море m »
6. «Найдется такая река, для которой не существует моря, в которое она впадает».
rm : P (r , m)
Ваpиант 2
1. P( x, y ) : x  1
2.
P( x, y) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  1
3.
P( x, y) : x 2  y 2  1 and y   x and y  0 and x  2
4. P( x, y) : x 2  y 2  1 and ( y  x or x  0)
5. mr : P (r , m) , где P (r , m) : «река r впадает в море m »
6. «Найдётся такое море, для которого нет рек, которые в него впадают».
mr : P (r , m)
Ваpиант 3
1. P( x, y ) : y   x
2.
P( x, y) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  1
3.
P( x, y) : x 2  y 2  1 and y   x and y  0 and x  2
4. P( x, y) : x 2  y 2  1 and ( y  x or y   x)
5. rm : P(r , m) , где P (r , m) : «река r впадает в море m »
6. «Нет такой реки, которая впадает во все моря».
rm : P (r , m)
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Ваpиант 4
1. P( x, y ) : y  x
2.
P( x, y) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  1
3.
P( x, y ) : y  sin x and y  x  1 and y  1 and x  

2
4. P( x, y) : x  1 and y  1  x and ( y  2 x or x  0)
5. mr : P (r , m) , где P (r , m) : «река r впадает в море m »
6. «Нет такого моря, в которое впадают все реки».
2
mr : P(r , m)
Ваpиант 5
1. P( x, y ) : y   x
2.
3.
P( x, y) : x 2  ( y  2) 2  4
P( x, y ) : y  sin x and y  0,5 and y  0 and x  0 and x  
4.
P( x, y) : x  0 and ( x 2  y 2  1 or ( y  1 and y  x  1))
5. gb : P(b, g ) , где P (b, g ) : «птица b может подняться выше горы g »
6. «Не существует такой горы, что ни одна птица не может подняться выше неё».
gb : P (b, g )
Ваpиант 6
1. P( x, y ) : y  x
2.
3.
P( x, y) : x 2  ( y  2) 2  4
P( x, y ) : y  0 and x  0 and x   and y  1 and ( y  sin x or x   / 2)
4.
P( x, y) : x 2  y 2  1 or ( x  0 and x  1 and y  0 and y  1)
5. gb : P (b, g ) , где P (b, g ) : «птица b может подняться выше горы g »
6. «Существует такая гора, что любая птица может подняться выше неё».
gb : P(b, g )
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
Самостоятельная работа № 3.
Построение схем на логических элементах
1. Постройте схему, соответствующую заданной логической функции, на логических элементах
«И», «ИЛИ» и «НЕ». Предварительно преобразуйте выражение так, чтобы количество
использованных логических элементов было минимальным.
2. Постройте схему, соответствующую заданной логической функции, на логических элементах
«И», «ИЛИ» и «НЕ» (в базисе «И-ИЛИ-НЕ»). Предварительно преобразуйте выражение так,
чтобы количество использованных логических элементов было минимальным.
3. * Используя формулу A  B  A  B  A  B (она следует из закона двойного отрицания и
закона де Моргана), постройте схему, соответствующую логической функции из п. 1,
используя только логические элементы «И-НЕ» (в базисе «И-НЕ»).
4. * Используя формулу A  B  A  B  A  B (она следует из закона двойного отрицания и
закона де Моргана), постройте схему, соответствующую логической функции из п. 1,
используя только логические элементы «ИЛИ-НЕ» (в базисе «ИЛИ-НЕ»).
Вариант 1
1. X  A  B  A  C
2. X  ( A  B)  ( B  C )
Вариант 2
1. X  A  B  C  A
2. X  ( A  C )  (C  B)
Вариант 4
1. X  A  B  C
2. X  B  (C  A)  ( A  B)
Вариант 3
1. X  A  B  A  C
2. X  ( B  C )  (C  A)
Вариант 5
1. X  A  B  C
2. X  C  ( A  B )  ( B  C )
Вариант 6
1.
2.
X  C  A B
X  A  (B  C)  ( A  C )
Ответы по вариантам:
Вариант 1
1. X  A  ( B  C )
2.
X  ( A  B  A  B)  (B  C)  A  B  A  B  C
3.
X  A B C  A B C
A
B
C
4.
&
&
A B C
&
X
B C
X  A  (B  C )  A  (B  C )
A
B
C
1
A
1
B
1
1
1
X
B C
C
Вариант 2
1. X  A  ( B  C )
2.
X  ( A  C  A  C )  (C  B)  A  C  A  B  C
3.
X  A  B C  A  B C
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
&
A
B
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
A
&
B
&
&
A  B C
&
X
&
X
B C
C
4.
X  A  (B  C )  A  (B  C )
1
A
B
C
1
1
X
BC
C
Вариант 3
1. X  A  ( B  C )
2.
X  ( B  C  B  C )  (C  A)  B  C  A  B  C
3.
X  A  B C  A  B C
&
A
A
B
C
4.
&
&
&
B C
C
X  A  (B  C)  A  (B  C)
A
B
A  B C
1
B
1
1
X
B C
C
Вариант 4
1.
X  A  (B  C)
2.
X  B  (C  A)  ( A  B)  B  (C  A)
3.
X  A  B C  A  B C  A  B C
&
A
A
B
C
4.
&
B
&
&
B C
&
&
A  B C
&
X
B C
C
X  A  (B  C)  A  (B  C)
1
A
B
C
1
BC
1
X
BC
Вариант 5
1.
2.
X  A B C
X  C  ( A  B )  (B  C)  C  ( A  B )
http://kpolyakov.spb.ru
29.04.2016
Информатика, 10 класс
3.
X  A B C  A B C  A  B C
&
A
&
X
A
B
C
4.
К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин
&
B
&
&
B C
C
X  A B C  A B C
1
A
B
C
1
A B C
1
X
BC
Вариант 6
1. X  C  A  B
2. X  A  ( B  C ) ( A  C )  A  ( B  C )
3.
X C  AB C  AB C AB
&
C
A
&
A
&
X
AB
B
4.
X  C  A B  C  A B
1
C
C
A
B
1
1
1
C  A B
1
X
A B
B
http://kpolyakov.spb.ru