IEEE Transactions on Magnetics

1
УДК 533.951
ВЛИЯНИЕ ЗАХВАЧЕННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ НА ФАЗОВУЮ СКОРОСТЬ ЦИРКУЛЯРНОПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ
А.И. Матвеев

Южный федеральный университет, технологический
институт, пер. Некрасовский 44, 347928, г. Таганрог, ГСП
17а, Ростовской обл., Россия,
E-mail : mtv.apl.@yandex.ru
Аннотация.
Описан
процесс
возникновения
поперечной волны с фазовой скоростью, меньшей
скорости света, которая может существовать в плазме без
замедляющей структуры в отсутствии магнитного поля.
Он заключается в трансформации поперечной волны с
захваченными электронами в замагниченной плазме в
замедленную поперечную волну после исчезновения
магнитного поля. В процессе эволюции волны с
захваченными электронами индукция магнитного поля
очень медленно уменьшается. Скорость, на которой
электроны резонансно взаимодействуют с волной, растет,
поэтому они опускаются на дно потенциальных ям.
Фазовая скорость волны с уменьшением индукции
магнитного поля также медленно уменьшается и
становится меньше скорости света. В момент
исчезновения
магнитного поля она сравнивается со
скоростью,
на
которой
электроны
резонансно
взаимодействуют с волной. Показано, что поперечная
волна со скоростью, меньшей скорости света, может
существовать и в отсутствии магнитного поля, роль
замедляющей структуры в этом случае играет поток
захваченных ею электронов.
PACS: 52.35.Mw
Ключевые
слова:
захваченные
электроны;
гидродинамическая модель; циркулярно-поляризованная
волна; дисперсионное уравнение.
Введение
Известно, что электроны плазмы не испытывают
черенковский резонанс   kVz с поперечными волнами,
так как их фазовая скорость больше скорости света. С
другой стороны в [1-3] показано, если предположить, что
в потенциальные ямы поперечной волны каким-то
образом захватывается некоторое количество электронов,
то они способствует замедлению волны. Поперечная
волна с захваченными электронами при определенных
условиях может существовать в плазме со скоростью,
меньшей скорости света без замедляющей структуры в
отсутствии магнитного поля. В указанных выше работах
нет строго обоснования, как возникают эти странные
волны. В постановке задачи [1-3] предлагалось
возбуждать такую волну с помощью внешних источников
поля, однако глубина проникновения (скин слой)
поперечных волн мала, они быстро затухают в плазме.
Поэтому вопрос о физической реализации таких волн, в
плазме без каких-либо искусственных замедляющих
структур, используемых в СВЧ-электронике, по-прежнему
требует дополнительного изучения.
1. Постановка задачи
Рассмотрим
пространственную
эволюцию
циркулярно-поляризованной волны конечной амплитуды с
частотой, большей циклотронной частоты   B , в
однородной плазме вдоль магнитного поля B 0 ,
направленного по оси z. Направление вращения
векторного потенциала
Ax  A(z ) cos  , Ay  A(z) sin  ,   t   kdz (1)
совпадает с направлением вращения электрона в
магнитном поле, то есть волна является необыкновенной.
Предполагается, что продольная скорость, на которой
электроны испытывают резонанс с волной, меньше
скорости света Vr  u  B k  c , u   k . Поэтому
электроны с этой скоростью захватываются в
потенциальные ямы волны. Захват электронов волной
происходит, например, в процессе слабой подпитки волны
полем внешних источников. Тогда ее амплитуда
увеличивается от нуля при z   до некоторого
конечного значения А при z=0. В области z>0 на
расстоянии L  2u B магнитное поле очень медленно
уменьшается вплоть до полного исчезновения. При
уменьшении индукции магнитного поля возникает
поперечная составляющая магнитного поля B 0  , однако,
если это уменьшение очень медленное, то ее величина
мала | B0  || B0 | , и влиянием поперечной составляющей
на движение электронов можно пренебречь. В
рассматриваемом приближении необходимо определить
нелинейное дисперсионное уравнение для поперечной
волны, распространяющейся в плазме вдоль убывающего
магнитного поля, и выяснить, что произойдет с
поперечной волной после исчезновения магнитного поля в
области z>L.
2. Уравнения движения электрона в поле волны
круговой поляризации с продольным магнитным
полем
Поперечное движение электрона в поле циркулярнополяризованной волны (1) с продольным магнитным
полем B 0 описывается уравнением
dp 
e
e dA 
,
(2)
  [V B 0 ] 
dt
c
c dt
где p  , A  – поперечные составляющие импульса и
векторного потенциала,
V
– поперечная скорость
2
электрона. В случае B 0 =const из второго уравнения (2)
получим интеграл движения
P  p   m[ Br ]  A ,
здесь и далее введено обозначение A  (e c)A  ,
 B  ecB0  , r – составляющая радиус-вектора
электрона, перпендикулярная вектору B 0 . Интеграл
движения можно упростить, если учесть, что движение
электрона в отсутствии поля волны описывается
уравнением p   m d dt  m[B] , где  – радиус вектор
электрона, то есть электрон движется по окружности
радиуса  |  | . В случае малых амплитуд A  mB
воздействие поля волны можно рассматривать как
возмущение движения электрона по ларморовской
окружности. Это возмущение, как и движение по
окружности является периодическим, поэтому среднее
значение обобщенного импульса, а значит и сам
обобщенный импульс в процессе эволюции волны равны
нулю P  P  0 . С учетом этого замечания
(3)
p   PB  A ,
где PB  m[Br ] . В приближении малых амплитуд, когда
осцилляцией радиус-вектора можно пренебречь r   ,
величина вектора PB постоянна PB0 | PB | mB .
Наибольший интерес представляет движение
электрона в системе отсчета, где происходит его
резонансное взаимодействие с волной. В случае малых, но
конечных
амплитуд,
это
движение
является
нерелятивистским. Так как система отсчета, в которой
происходит резонансное взаимодействие электрона с
волной, движется со скоростью Vr  u  uB , то полную
энергию электрона в этой системе отсчета, используя (3),
запишем в виде
m
A
W  Vz  (u  u B )2  PB0 1  cos  ,
(4)
2
m
где
если
u B  B k ,
    B   ,
B  Bt ,
PBx  PB cos B , PBy  PB sin B , то    B
– угол между
векторами A и PB . В (4) все постоянные в квадрате
поперечного импульса отнесены к полной энергии.
Очевидно сходство между (4) и уравнением движения
нелинейного осциллятора. Как и в случае нелинейного
осциллятора, уравнение (4) описывает колебание
электрона относительно равновесного состояния   0 .
При создании гидродинамической модели движения
электронов в поле циркулярно-поляризованной волны
будем считать, что все захваченные электроны
сосредоточены на дне потенциальных ям   0 . Поэтому
эти электроны с фиксированной координатой z в системе
отсчета, где они взаимодействуют с волной резонансно,
движутся
с
одинаковой
поперечной
скоростью
V  PB  A  m . Она направлена в противоположную
сторону
относительно
поперечной
составляющей
векторного потенциала A . Из (4) определим продольную
скорость электрона
Vz  u  u B  m 1 2 PB 0 w  A(1  cos )  ,
где w  mW PB0 . У электронов с энергией mW  2 APB 0
диапазон изменения угла  неограничен, такие электроны
являются пролетными, если mW  2 APB0 , то они
захвачены в потенциальные ямы волны.
Для описания продольного движения электрона, так
как его потенциальная энергия по форме такая же, как у
нелинейного
осциллятора,
удобно
использовать
адиабатический инвариант [2]:

I  (1 / 2m) p z2 d . Его
вычисление для захваченных электронов дает
8
J  Vr APB0  2 B ,

где
B  E  1  2 K  2 ,
E (1 )


 
(5)

эллиптический интеграл второго рода,   mW (2 APB0 ) .
Из найденного адиабатического инварианта следует, что с
увеличением скорости Vr , на которой происходит
резонанс электронов с волной, их параметр захвата 
уменьшается, они опускаются на дно потенциальных ям
волны. Эта особенность движения электрона используется
далее для построения гидродинамической модели
поперечной волны.
3. Трансформация циркулярно-поляризованной
волны, распространяющейся в плазме вдоль
магнитного поля, в замедленную поперечную
волну, которая существует без магнитного поля
Поперечный ток электронов, находящихся в
равновесном состоянии   0 , в гидродинамическом
приближении равен jtr  entrVtr A A , где A | A | , ntr ,
2
Vtr  концентрация и поперечная скорость захваченных
электронов,
Для
получения
Vtr  PB0  A m .
дисперсионного уравнения, в котором учитывается
влияние
захваченных
электронов,
воспользуемся
уравнением Максвелла   B  4j c , записав его для
тока захваченных электронов в обычных обозначениях
2A
4
  jtr .
c
z 2
Это уравнение описывает магнитостатическую волну в
системе отсчета, движущейся со скоростью, на которой
электроны резонансно взаимодействуют с волной.
Подстановка в это уравнение формул A  A0eikz ,
jtr  entrVtr A A дает связь между величиной поперечной
скорости и потенциалом k 2c 2 A  4e2 ntrVtr . Последнее
выражение с учетом вклада нерезонансных электронов
плазмы, который хорошо известен из линейной теории,
перепишем в виде дисперсионного уравнения
N2 
где
tr2 Vtr mc
e2
k 2c 2
,

1


2
2 c A (  B )
tr2  4e2ntr m ,
e  4e 2 n m 
(6)
плазменная
частота, n  концентрация плазмы. Анализируя
полученное дисперсионное уравнение, отметим, что вклад
3
захваченных волной электронов в правой части уравнения
положителен, и частично компенсирует отрицательный
вклад нерезонансных электронов. Это приводит к
уменьшению фазовой скорости волны, которая, в начале
эволюции больше скорости света. С уменьшением
магнитного поля циклотронная частота уменьшается,
вместе с ней уменьшается вклад нерезонансных
электронов. Если концентрация электронов плазмы
настолько мала, что после исчезновения магнитного поля
вклад захваченных электронов по абсолютной величине
больше вклада нерезонансных электронов, то правая часть
(6) будет больше единицы. То есть у поперечной волны с
захваченными
электронами
после
исчезновения
магнитного поля фазовая скорость становится меньше
скорости света. Этим формально доказана возможность
трансформации поперечной волны с захваченными
электронами, которая распространяется вдоль магнитного
поля, в поперечную волну с захваченными электронами,
способную существовать в однородной равновесной
плазме без магнитного поля. Чтобы приведенные
рассуждения были справедливыми, нужно показать, что в
процессе уменьшения магнитного поля захваченные
электроны не покидают потенциальных ям волны.
Выразим из (6) скорость Vr  u  B k  c , на
которой происходит черенковский резонанс
Vr 

(1  B )3 / 2 c
(1  g )(1  B )  e2 2
,
(7)

где g  tr2 2 Vtr cmc A . Выражение (7) имеет
смысл, если выполняется условие
m(1  g )
(8)
n
(  B ) .
4e 2
Из анализа (7) следует, что при уменьшении индукции
магнитного поля до нуля B  0 , B  0 скорость, на
которой происходит резонанс, увеличивается. Вследствие
этого согласно адиабатическому инварианту (5) электроны
в процессе эволюции волны остаются жестко
захваченными. Наибольшее количество электронов
захватывается в начале эволюции волны, когда ее
скорость резонансного взаимодействия невелика. С
увеличением скорости резонансного взаимодействия
число захваченных электронов экспоненциально падает,
поэтому их концентрация в процессе эволюции становится
постоянной. Вычислим эту концентрацию, полагая, что
число захваченных электронов определяется в основном
величиной их функции распределения f 0  Vr20 2T
на
начальной стадии эволюции

ntr 
n0 2 PB 0
2m
2 A 1

0  1


f 0  Vr20 2T dwd
w  A(1  cos )


 V2 
Jm
(9)
f0   r0  ,
2mV r  2T 
где n0 , Vr 0  концентрация и скорость, на которой
происходит резонанс, в начале эволюции, J m  J (  1) ,

1 
J m  (8 )Vr A0 PB 0 ,
корень
уравнения
w  A(1  cos ) . Отметим, что функции продольного и




поперечного распределения f 0  Vr2 2T , f  p2 2T
нормированы на единицу. В качестве поперечной
скорости возьмем ее среднее значение
Vtr  m 1 PB0  A  PB 0 m 

2
m
Подставив (9), (10) в
постоянную

 f p
g  

2

0
2
tr

2T p 2 dp .
(10)

2 mVtr A , вычислим эту
 V2 
(11)
f 0   r 0  ,
A
m
 2T 
где e0  плазменная частота вначале эволюции.
В процессе уменьшения магнитного поля фазовая
скорость волны также уменьшается
c
u
.
(12)
2
1  g  e ((  B ))
g
4e20
 2
PB 0
PB 0
Сравнивая (7) с (12) отметим, что когда магнитное поле
исчезает, фазовая скорость волны и скорость, на которой
происходит резонанс электронов с волной, становятся
одинаковыми:
c
.
u  Vr 
1  g  e2 2
Для слабых магнитных полей в качестве условия
возникновения замедленной волны удобно использовать
неравенство g  e2 2 . Подставив в него (11), получим
ограничение на амплитуду для замедленной волны
A 
где
mc
V
e
3

2
4  Vr20  
f 
,
  0  2T  




V  PB0 m . Так в случае нерелятивистской
плазмы
V  10 7
см/с,
Vr 0  5 2T ,
вычисление
наибольшей величины амплитуды, при которой
существует замедленная волна, дает A  0.3 В.
Выводы
Известно, что в однородной равновесной плазме
поперечные волны не могут существовать без
замедляющих структур в отсутствии магнитного поля. В
[1] показано, что достаточно небольшого количества
захваченных волной электронов, по сравнению с их
основной массой, чтобы фазовая скорость этой волны
стала меньше скорости света. То есть электроны,
захваченные в потенциальные ямы волны, играют роль
своеобразной замедляющей структуры. Выше описан
естественный процесс возникновения замедленной
поперечной волны, способной существовать в однородной
равновесной
плазме
без
магнитного
поля.
В
замагниченной плазме, если скорость, на которой
электроны резонансно взаимодействуют с поперечной
волной, меньше скорости света, то в ее потенциальные
4
ямы захватываются электроны плазмы. С уменьшением
индукции магнитного поля, вдоль которого в однородной
плазме распространяется поперечная волна, захваченные
электроны опускаются на дно ее потенциальных ям. У
всех захваченных электронов продольная и поперечная
составляющие скорости становятся одинаковыми. В этом
случае для описания движения электронов и эволюции
волны удобно использовать гидродинамическую подход.
Нелинейная поправка, обусловленная захваченными
электронами, в дисперсионном уравнении волны
положительна, и частично компенсирует отрицательный
вклад нерезонансных электронов плазмы. Фазовая
скорость волны под действием этой поправки
уменьшается, однако этого уменьшения не достаточно для
того, чтобы она стала меньше скорости света. С другой
стороны с уменьшением магнитного поля фазовая
скорость волны также уменьшается и может стать меньше
скорости света, если отрицательный вклад нерезонансных
электронов в уравнение дисперсии уменьшается до
величины, меньшей вклада захваченных волной
электронов. Последнее возможно, когда концентрация
плазмы, определяющая вклад нерезонансных электронов в
уравнении дисперсии, невелика. Таким образом, вклад
захваченных волной электронов уменьшает фазовую
скорость волны и при небольшой концентрации
электронов этого уменьшения достаточно, чтобы ее
фазовая скорость стала меньше скорости света.
Описанная здесь поперечная волна, существующая в
однородной равновесной плазме без магнитного поля,
может найти применение в плазменной электронике, так
как для ее поддержания не нужны специальные
замедляющие
структуры.
Такие
волны
могут
существовать в солнечной короне или в магнитосфере
Земли, зарождаясь в областях с магнитным полем, и
распространяясь затем в области, где это поле очень
слабое или отсутствует.
Литература
[1] Давыдовский В.Я., Матвеев А.И., “Адиабатическое
включение замедленной электромагнитной волны в
равновесной плазме”, Физика плазмы, Т. 13, С. 443-448,
1987.
[2] Матвеев А.И., “Резонансное взаимодействие
электронов с замедленной поперечной волной в
слабонеоднородной плазме”, Физика плазмы, Т. 35, С.
351-361, 2009. Plasma Phys. Reports. “Resonance Interaction
of Electrons with a Slow Transverse Wave in a Weakly
Inhomogeneous Plasma”, V. 35, P. 315-326, 2009.
[3] Krasovsky V.L., “Trapped particle effect on the velocity of
circularly polarized electromagnetic waves in an isotropic
plasma”, Physics Letters, A 374, P. 1751, 2010.
5
Краткая профессиональная биография автора.
С 1979 г. по 1996 г. ассистент, а с 1996 г. по 2009 г. доцент
кафедры физики Таганрогского радиотехнического
института. С 2009 г. по 2011 г. доцент кафедры
электротехники и мехатроники технологического
института Южного федерального университета. В 2010 г.
закончил докторантуру Южного федерального
университета.
Сведения об авторе.
МАТВЕЕВ Александр Иванович,
к.ф.-м.н., доцент.
ул. Пушечная 30, 347905, г. Таганрог, Ростовской обл.
Служ. тел. 8(8634) 37-16-94.
Дом. Тел. +79185759743 (мобильный тел.)
E-mail mtv.apl@yandex.ru
Переписку вести по адресу:
каф. ЭиМ, Матвееву А.И.,
пер. Некрасовский 44,
347928, г. Таганрог, ГСП 17а, Ростовской обл.
E-mail mtv.apl @yandex.ru
Дом. Тел. +79185759743 (мобильный тел.).