Многогранные_фигурыx

Проект
«Многогранные фигуры»
Выполнял учащийся 4 «Б» класса
Покровский Алексей
Москва 2014 год
Цель проекта
1. Изучить развертки многогранников.
2. Изготовить их модели.
Задачи проекта
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Изучить названия и разновидности
правильных многогранников.
3. Совершенствовать навыки
построения геометрических фигур
и навыки работы с
геометрическими инструментами.
4. Провести мастер-класс и научить
моих одноклассников
изготавливать модель пирамиды.
МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,
НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ — КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ
И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ
И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,
КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ
ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.
Бертран Рассел
I.
Вступление
Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы,
украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади,
человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном
расположении предметов, он использовал свои геометрические знания,
полученные их наблюдений и опытов. Почти все ученые древности и
средних веков были выдающимися геометрами.
В природе существует пять правильных многогранников: тетраэдр,
куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его
грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится
одно и то же число ребер.
Таблица 1
Правильный
многогранник
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число граней
Число вершин
Число ребер
4
6
8
12
20
4
8
6
20
12
6
12
12
30
30
Я предлагаю вам познакомиться с моделями (развертками)
правильных многогранников, с помощью которых я сделал модели
многогранников и предлагаю вам тоже попробовать их изготовить, чтобы
вы украсили ими свои ёлки.
Для изготовления моделей я воспользовался рекомендациями, данными в
книге М. Винниджера «Модели многогранников», М., 1975. «Автор этой
книги, заражая своим энтузиазмом читателя, дает ему ясные и четкие
указания о том, как изготовить модели различных многогранников.
Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания
автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии
не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. В книге
представлены не только правильные многогранники, но и
полуправильные у которых все многогранные углы равны, а грани –
правильные многоугольники нескольких видов и правильные не
выпуклые многогранники называемые звёздчатыми.
М. Винниджер отмечает: «Время, которое затратил на изготовление
моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной
степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них
требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось
затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали
двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов
каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что
ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит «Если ты
собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг»*. За
первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору
путника видов заставит его забыть о трудностях пути».
После того, как я почитал эту книгу, мне захотелось самому
попробовать изготовить такие фигуры и научить своих одноклассников
сделать их с моей помощью.
Вот фигуры, которые я выполнял своими руками:
* ли - единица измерения расстояния в Китае, в древности ли составляла
300 или 360 шагов, стандартизированное метрическое значение — 500
метров.
II. Основное содержание.
1. Тетраэдр
Простейшим среди
многогранников
является тетраэдр. Его
четыре грани —
равносторонние
треугольники. Четыре — это
наименьшее число граней,
отделяющих часть
трёхмерного пространства.
Тем не менее, тетраэдр
обладает многими
свойствами, характерными
для однородных
многогранников. Все его
грани суть правильные
многоугольники, причём
каждая отделяется ребром в
точности от одной грани. Все
многогранные углы тетраэдра также равны между собой.
Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на
которой будут расположены все четыре треугольные грани. Однако в этом
случае все грани будут одного цвета. Подобным же образом все выпуклые
многогранники можно сделать с помощью одной развёртки и тем самым
одноцветными. Если же вы хотите сделать модель тетраэдра (как и
любого многогранника) разноцветной, следует приготовить развёртки
для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для тетраэдра
вам понадобится всего один трафарет в виде равностороннего
треугольника.
Сделайте четыре заготовки
разного цвета — например. Ж, С, О
и К. Не забудьте оставить
наклейки с каждой стороны, как
показано на рисунке справа.
Теперь склейте все четыре
заготовки вместе в положение, показанное слева.
Соедините несклеенные боковые грани и склейте
вначале только две из них между собой. Затем наложите клей на
оставшиеся наклейки и приклейте последнюю грань, как бы закрывая
коробку. Дальнейшее сделают внутренние напряжения в модели, ваши
пальцы, приложенные к её ребрам, и высыхающий клей.
Эту модель делать было очень легко. Я потратил на ее изготовление
полчаса.
2. Октаэдр
Октаэдр — это многогранник,
гранями которого являются
восемь равносторонних
треугольников. Так как его
противоположные грани
лежат в параллельных
плоскостях, то можно
превосходно обойтись всего
четырьмя красками.
Модель этого многогранника
вы начинаете делать,
склеивая четыре
треугольника, как показано
на рисунке справа. После того
как вы склеите между собой
грани 1 и 4, в ваших руках
окажется правильная
четырёхугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть
составляет ровно половину модели.
Вторая половина зеркальносимметрична первой. Тем не менее,
проще продолжить работу в такой
последовательности: сначала
приклейте наклейки четырёх
оставшихся треугольников к
соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания.
(Проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот
же цвет, нетрудно.) Затем последовательно склейте наклейки соседних
граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой.
Теперь вы можете заметить, что квадрат, только что послуживший
основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из
трёх квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При
этом рёбра квадратов лежат в трёх взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Эта модель тоже несложна в изготовлении. Я потратил на ее изготовление
также около 30 минут.
3. Гексаэдр (куб)
Несомненно, куб, или, как его иногда
называют математики, гексаэдр —
самый общеизвестный и широко
используемый многогранник. Все
шесть его граней — квадраты,
сходящиеся по два вдоль каждого
ребра и по три в каждой вершине. Вы
можете начать
постройку модели куба, выбрав один
квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке
справа. Затем вы склеите наклейки соседних боковых граней, причём
склеенные попарно наклейки, вновь образуют как бы жёсткий скелет
многогранника. Остаётся добавить последнюю грань, и это действие уже с
полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.
Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный
многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в
отношении других правильных многогранников. А объединение пяти
кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень
красивая модель.
Эта модель тоже простая. Я ее делал где-то 20 минут.
4. Икосаэдр
Икосаэдр —
один из
пяти
многогранн
иков, по
простоте
следующее за тетраэдром и
октаэдром. Их объединяет то
обстоятельство, что гранями
каждого являются
равносторонние
треугольники. При
изготовлении модели икосаэ
дра можно выбрать любую из
двух эффектных
возможностей распределения
пяти цветов.
Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины
встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные
грани не будут окрашены одинаково).
Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые
цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет
повторяться по кругу один цвет.
Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального
расположения пяти равносторонних треугольников, как показано на
рисунке вверху слева. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду
без основания. К сторонам её основания приклейте следующие пять
треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между
ними вы приклейте по одному треугольнику — это сделать несложно, если
обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней.
Завершая модель, приклейте последние пять треугольников.
Чтобы
облегчить
пользование
таблицами ра
скраски,
запомните:
первая строка
любой
таблицы
задаёт
раскраску
пяти
треугольников, окружающих
«северную
полярную» вершину икосаэдра. Последующие две строки указывают
раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся
равносторонних треугольников. Наконец, четвёртая строка показывает
раскраску граней у «южного полюса»
икосаэдра.
Если вас интересует порядок раскраски не
только вблизи «полюсов», но и у других
десяти вершин, то по нашим таблицам его
тоже легко найти. Надо совершить круговой
обход по таблице по следующему правилу:
начиная с двух соседних цветов в крайней
строке, опуститься (или подняться) на
следующую с
троку, затем
ещё на одну и
после этого
вернуться на
исходные. Нап
ример:
Это наводит
нас на мысль о
том, что
таблицы
раскраски
можно
задавать
совершенно
по-иному —
нумеруя
вершины и выписывая порядок чередования цветов у каждой из них.
Правда, это приведёт к тому, что каждая треугольная грань икосаэдра
будет поименована в такой таблице трижды, но всё же таблицы удобны: с
их помощью легче последовательно «обклеивать» вершину. Мы
воспользуемся ими впоследствии при построении более сложных моделей.
Для икосаэдра таблицы этого типа выглядят так:
Здесь указаны раскраски только шести вершин, причём вершина (0) —
снова «северный полюс» икосаэдра. Для обеих моделей вершины,
противоположные этим, имеют зеркально-симметричную раскраску. Её
можно получить, читая соответствующую строку в обратном порядке, то
есть справа налево. Как только вы немного поэкспериментируете с
построенной моделью, вы вполне уясните себе всё, чего не поняли в
этих объяснениях.
Икосаэдр- это трудная модель. Эту модель я делал где-то полтора часа.
5. Додекаэдр
В известном
смысле додекаэдр представляет
наибольшую привлекательность
среди многогранников,
соперничая с икосаэдром,
который почти ему не уступает (а
быть может, в чём-то и
превосходит). Пожалуй, пальму
первенства додекаэдр получает за
свои три звёздчатые формы,
описываемые ниже.
Модель этого многогранника
можно сделать четырёхцветной
двумя способами; если же
воспользоваться для раскраски
шестью цветами, то
противоположные грани легко сделать одноцветными.
Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звёздчатые
формы додекаэдра. Приводим описание.
Построение модели вы начинаете с приклеивания пяти разноцветных
пятиугольников — скажем, Ж, С, О, К, З — к одному центральному
пятиугольнику, например белого цвета (Б). После этого вам следует
склеить цветные пятиугольники между собой — и половина дела сделана.
(Об этой половине додекаэдра мы будем говорить впоследствии в связи с
моделями звёздчатых форм икосаэдра, для которых она может служить в
качестве строительной рамы. Правда, там нам придётся вывернуть её
наизнанку, но для построения модели додекаэдра этого делать не следует
— пусть наклейки останутся внутри модели.) Остаётся подклеить
остальные грани додекаэдра к уже сделанной половине таким образом,
чтобы противоположные грани были одноцветными.
На рисунке слева показана
четырёхцветная
раскраска додекаэдра.
Можно воспользоваться и
зеркально-симметричным
порядком цветов. Иногда
удобнее обращаться
именно к такой раскраске
— особенно для моделей,
имеющих симметрию додекаэдра. Поэтому мы сочли нужным привести её
здесь.
Модель додекаэдра я выполнил за 1 час.
III. Практическая часть. Мастер-класс.
Я предложил своим одноклассникам изготовить самую простую модель
многогранника - тетраэдр. Вот посмотрите, как это было и что получилось:
Вот что получилось у моих одноклассников с моей помощью:
Вывод из проекта.
Изучая многогранники, я вместе с одноклассниками узнал понятие
«правильные многогранники», узнал виды этих форм и научился делать
развёртки. Создание этого проекта позволило мне развить
пространственное воображение. Мне удалось увлечь ребят созданием
правильных многогранников. Материалы моей проектноисследовательской работы можно использовать на уроках геометрии и на
занятиях кружка по математике.