1, Сведения из математики и механики

Преподавание ТММ
УДК 621.833.001
В.В.ЕЛИСЕЕВ, А.Н.ЕВГРАФОВ, Ю.А.СЕМЕНОВ
О МЕТОДЕ ОГИБАНИЯ В ТЕОРИИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
1. Сведения из математики и механики
1.1. Кривые на плоскости и в пространстве
На плоскости с декартовыми осями x, y кривую можно задать в явном
или в неявном виде
y  f (x)
(1.1)
F ( x, y)  0 ,
(1.2)
но чаще бывает удобным параметрическое задание кривой
(1.3)
x  x( q),
y  y ( q).
Если обозначить через r  xi  yj радиус-вектор точки M ( x, y ) , то уравнения (1.3)
можно записать в векторной форме
r(q)  x(q)i  y(q)j,
(1.4)
где i, j - орты декартовых осей.
Если координата q является временем, то уравнение
r  r(q)
(1.5)
дает закон движения точки по траектории. Уравнение прямой линии в такой форме
имеет вид
r  r0  vq ,
(1.6)
а уравнение эллипса
r  a1 cos qi  a 2 sin qj ,
(1.7)
где r0 , v, a1 , a 2 - константы.
Вектор производной
r ( q)  dr /dq  x ( q)i  y ( q) j
(1.8)
направлен по касательной к кривой.
В трехмерном пространстве кривая также задается уравнением (1.5), но в этом
случае
r(q)  x(q)i  y(q) j  z ( q)k 
3
 xm i m , i1  i, i 2  j, i 3  k.
(1.9)
m 1
Если параметр q является дуговой координатой s , то для производных справедливы формулы Френе:
(1.10)
r ( s)  t, t ( s)  kn  D  t , n( s)  kt  b  D  n,
где D   t  kb - вектор Дарбу; t, n, b  t  n - орты касательной, главной нормали и
бинормали (рис.1); k ,  - кривизна и кручение кривой.
Формулы (1.9) и (1.10) лежат в основе дифференциальной геометрии кривых.
1.2 . Огибающая семейства кривых
Рассмотрим семейство кривых на плоскости x, y , заданное уравнением
r  r(q, t ) ,
где q - координата на линии; t - параметр, определяющий линию семейства.
42
(1.11)
http://tmm.spbstu.ru
О методе огибания в теории зацепления
Рис. 1
Огибающей семейства (1.11) называется линия, которая в каждой своей точке


касается одной из линий семейства (рис.2). В точке касания q  q(t ) или t  t (q ) , так
что радиус-вектор точки на огибающей

R  r[ q, t ( q)] .
(1.12)

Зависимость t (q) находится из условия совпадения касательных к линии семейства и огибающей:
R ( q) 
Поскольку
R ( q) 
то условие (1.13) запишется в виде
r
 0.
q
(1.13)
r r 
 t ( q) ,
q t
r r
  0.
q t
(1.14)
(1.15)

Условие (1.15) определяет точку касания при каждом значении t , т.е. q (t ) .
Рис. 2
Рис. 3
Представление об огибающей исключительно важно для синтеза зубчатых зацеплений. При плоском зацеплении достаточно рассмотреть соответствующее семейство
линий в плоскости.
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
43
Преподавание ТММ
Пример. Пусть семейство кривых в плоскости x, y задано уравнением
r  (t  a cosq)i  a sin qj ,
определяющим окружности радиуса a с центром в точке x  t , y  0 (рис.3). Координатой q является угол между радиусом a и осью x . Без вычислений видно, что
прямые y   a – огибающие семейства окружностей. Убедимся, что уравнение (1.15)
дает такое же решение. Поскольку
r
r
 i,
 a(  sin qi  cos qj),
t
q
то условие (1.15) запишется в виде
r r
  a cos qj  i  0,
q t
отсюда
cos q  0; sin q  1; r  ti  aj .
1.3 . Эволюта и эвольвента
Эволютой называется геометрическое место центров кривизны кривой. По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой. Если эвольвента –
окружность, то эволюта вырождается в точку – центр окружности.
Пусть R(s) – радиус вектор точки на эвольвенте как функция дуговой координаты s. На рис. 4 кривая 1 – эволюта; кривая 2 – эвольвента. Для этих плоских кривых
справедливы формулы Френе:
R ( s)  t, t ( s)  kn ,
n( s )  kt .
(1.16)
Поскольку центр кривизны эвольвенты лежит на
положительном направлении главной нормали на расстоянии радиуса-кривизны   k
ус- вектор точки на эволют
1
( k  0), то ради-
r( s)  R( s)  ( s)n( s) .
(1.17)
Это параметрическое представление эволюты, в котором координата s уже не является дуговой.
Рассмотрим замечательные свойства эволюты и
Рис. 4
эвольвенты. Дифференцируя обе части уравнения (1.17)
по s , получим
r (s)  R   n  n  t  n   k t  n , (1.18)
т.е. касательная к эволюте является нормалью к эвольвенте.
Эволюта есть огибающая семейства нормалей к эвольвенте. Для доказательства
рассмотрим семейство нормалей к эвольвенте. На этом семействе радиус-вектор точки
(1.19)
r(q, s)  R( s)  qn( s) .
Найдем огибающую этого семейства
r r
  n  (R   qn)  n  ( t  tq / )  0,
q s
откуда следует q   . Следовательно, точки на огибающей представляют собой центры кривизны эвольвенты, а огибающая – эволюта.
44
http://tmm.spbstu.ru
О методе огибания в теории зацепления
Заметим еще, что дифференциал дуги эволюты dr  d . Следовательно, эвольвента является разверткой эволюты.
В зубчатых зацеплениях чаще всего встречается эвольвента окружности – плоская кривая 2, описываемая любой точкой M прямой линии 3, которая перекатывается
по окружности 1 без скольжения (рис.5). Окружность, используемая для образования
эвольвенты, называется основной или базисной; ее радиус обозначается через rb . Прямую 3, с помощью которой образуется эвольвента, называют производящей. Она представляет собой подвижную центроиду, в то время как неподвижной центроидой является основная окружность.
Рис. 5
Рис. 6
Положение текущей точки M эвольвенты можно задать полярным радиусом R и
полярным углом  , определяющим положение точки M относительно полярной оси
OA , проходящей через основание A эвольвенты. Эти параметры определяются с помощью одного независимого переменного; в качестве такого переменного выбирают
угол профиля  - острый угол между векторами rb и R .
Поскольку прямая 3 катится по базису 1 без скольжения, то
(1.20)
()  tg    ,
R( )  rb / cos  .
(1.21)
Уравнения (1.20) и (1.21) являются уравнениями эвольвенты основной окружности, записанными в параметрической форме относительно полярных координат R и  , выраженных через независимый параметр  . В теории зацепления тригонометрическую
функцию, стоящую в правой части уравнения (1.20), называют эвольвентным углом
или инволютой и обозначают
(1.22)
tg     inv  .
Более удобными для расчетов являются уравнения эвольвенты в декартовой системе координат. В этом случае за независимый параметр принимают угол поворота
q     прямой 3 около центра базиса O , называемый углом развернутости эвольвенты. Направив ось x из центра окружности в O начало эвольвенты A , будем иметь
(1.23)
R  xi  yj , rb  rb (cos qi  sin qj) .
r (s ) описывает окружность drb  rb dq  d , откуда при нулевых начальных условиях получим   rb q . Тогда из рис.5 получаем следующие уравВ случае, если
нения эвольвенты
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
45
Преподавание ТММ
x ( q)  rb (cos q  q sin q). y ( q)  rb (sin q  q cos q) .
(1.24)
Дифференцируя (1.24) по q , получим
x ( q)  rb q cos q, y ( q)  rb q sin q.
(1 .25)
При q  0 производные x (q ) и y (q) обращаются в нуль, а это значит, что в
точке A происходит нарушение регулярности эвольвенты. Эту особую точку называют
точкой возврата.
Поскольку модуль радиус-вектора
R  x 2  y 2  rb 1  q 2 ,
(1.26)
то кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси абсцисс (при    q  0 и 0  q   ) с общей точкой возврата. Таким образом, эвольвента не имеет точек внутри основной окружности. Из формулы (1.26) следует, что
форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности.
С помощью полученных выше формул можно определить дифференциал дуги
эвольвенты
ds  ( x ) 2  ( y ) 2 dq  rb qdq
(1.27)
и производные
R ( )  rb sin  / cos 2  , ()  tg 2  , ( R) 
1
rb2

1
R
2

1
.
R ()
(1.28)
Уравнения
x  rb [cos( q  )  q sin( q  )] ,
y  rb [sin( q  )  q sin( q  )]
определяют повернутую на угол  эвольвенту (рис.6).
(1.29)
2. Плоское зацепление
2.1. Центроиды колес. Профили зубьев
Рассмотрим плоское зацепление зубчатых колес, вращающихся с угловыми скоростями 1 и 2 . В плоскости относительное движение колес сводится к перекатыванию друг по другу окружностей 1 и 2 с радиусами R1 и R 2 , являющихся центроидами
(рис.7). Точка P касания центроид является мгновенным центром скоростей в относительном движении. В теории зацепления эта точка называется полюсом зацепления. Поскольку в полюсе зацепления абсолютные скорости совпадают, то передаточное число
u12  1 / 2  R2 / R1  1 / u21 .
(2.1)
Для зацепления центроиды снабжены зубьями. На рис.7 показана лишь одна пара контактирующих зубьев.
В точке касания K профили зубьев имеют общую нормаль n . Нормальные компоненты скоростей v 1 и v 2 в точке контакта должны совпадать:
( v 2  v1 )  n  0,
46
(2.2)
http://tmm.spbstu.ru
О методе огибания в теории зацепления
в противном случае произошло бы либо расхождение профилей, либо их взаимное проникновение.
Равенство (2.2) выражает основную теорему зацепления [1, 2]. При этом общая нормаль n в контактной точке К должна проходить через полюс зацепления Р, поскольку относительная скорость
v r  v 2  v 1 должна быть перпендикулярна отрезку РК, проведенному из мгновенного центра
скоростей в относительном движении P .
2.2. Построение сопряженного профиля
Основная теорема зацепления определяет
геометрические условия сопряжения профилей, передающих движение с заданным передаточным
числом. В системе отсчета колеса 2 ведущий профиль 1 с течением времени t образует семейство
кривых. Ведомый профиль 2, обеспечивающий
движение второго колеса с заданным передаточным
числом, должен быть огибающей этого семейства.
Рис. 7
Для построения таких сопряженных профилей в
литературе предложено несколько методов [1,2].
Ниже будет использован метод, основанный на представлении об огибающей.
Обратимся к рис.7, введя векторы x  O1 K , ξ  O2 K , a  O1O2 ,
где a  a  R1  R2 – межцентровое расстояние. Можно принять 1  1 , тогда
2  1 / u12   .
На ведущем профиле имеем
x
2
 x m ( q )i m (t ) ,
(2.3)
m 1
где q – параметр на профиле, а i1 и i 2 – орты декартовых осей x1 и x 2 , жестко связанных с ведущим колесом (рис.8). В начальный момент i1 (0)  i10 , i 2 (0)  i 20 .
Ведомый профиль пока неизвестен, на нем
2
    m e m (t ) .
(2.4)
ω1  k  i1  i 2 , ω 2  k ,
(2.5)
m 1
Вводя векторы угловых скоростей
Рис. 8
Теория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
47
Преподавание ТММ
будем иметь
di m
dem
 ω1  i m  k  i m ,
 ω 2  e m  k  e m .
dt
dt
(2.6)
В точке касания профилей выполняется соотношение (1.15), в данном случае принимающее форму:
ξ   ξ  0 .
(2.7)
Уравнение огибающей (2.7) имеет тот же смысл, что и уравнение (2.2) – относительная
скорость должна быть направлена по касательной к профилю.

Раскроем соотношение (2.3), учитывая, что ξ  x  a , ξ  ξ / q , а ξ есть
производная в системе осей, связанной со вторым колесом:
ξ 
2
  m e m  ξ  k  ξ .
(2.8)
m 1
В результате получим
(2.9)
[x  a  k  (x  a)]  (x   a)  0 .
  k  x , [(1  )x  ai10 ]  x   0 , a  R1 (1   1 ) , то
Поскольку a  a   0 , x
уравнение (2.9) запишется в форме
R 1x  x   i10  x   x  cos t  y  sin t .
(2.10)
Уравнение (2.10) связывает координату в контактной точке q с моментом времени t . Переписав уравнение (2.10) в форме
a cos t  b sin t  c  A cos( t  t0 ) ,
(2.11)
найдем
c
(2.12)
t  t0  arccos  2n , ( n  0,1,...)
A
2
2
где A  a  b ; cos t 0  a / A ; sin t 0  b / A. Добавка 2 n может быть отброшена, поскольку не меняет положения ведущего колеса.

Найдя t (q) , построим ведомый профиль
1  (x  a)  e1  x1 cos(1  )t  x 2 sin( 1  )t  a cos t ,
 2  (x  a)  e 2   x1 sin( 1  )t  x 2 cos(1  )t  a sin t. (2.13)
Выразив x m и t через q , получим  m (q ) .
В полярных координатах (рис. 9) имеем
x  r ( )e r [( )] , e r ( )  cos i  sin j ,
e   e r () ,
x ( )  r ( )e r  r ( )( )e  ,
i10  x   r ( ) cos(   t )  r ( )( ) sin(   t )  R 1rr . (2.14)
Рис. 9
48
Уравнение (2.14) аналогично (2.10).
http://tmm.spbstu.ru
О методе огибания в теории зацепления
2.3. Эвольвентное зацепление
Пусть ведущий профиль 1 – эвольвента с уравнениями
  tg     inv  , R ( )  rb1 / cos  .
Тогда соотношение (2.14) преобразуется к виду
sin 
cos2 
cos(  t ) 
r sin 
tg 2 
sin(   t )  b1 3 ,
cos
R1 cos 
откуда
cos(    t ) 
rb1
.
R1
(2.15)
В декартовых координатах имеем
x1  rb1 (cos q  q sin q), x 2  rb1 (sin q  q cos q),
x1  rb1q cos q,
R 2  rb21 (1  q 2 ) ,
r
x 2  rb1q sin q, cos(q  t )  b1 ,
R1
(2.16)
что совпадает с (2.15).
Выбирая единственное решение уравнения (2.16), учтем, что на ведущем профиле контакт у основания зуба наступает до пересечения межосевой линии, т.е.

t (0)  0 . Тогда
q  t  arccos
где  - угол зацепления,
rb1
 ,
R1
(2.17)
2
r 
r
cos   b1 , sin   1   b1  .
R1
 R1 
(2.18)
Далее по формулам (2.13) строим ведомый профиль 2:
1  rb1 cos(  t )  rb1q sin(   t )  a cos(  t   ) 
 ( rb1  a cos  ) cos(  t )  ( rb1q  a sin  ) sin(   t ) 
 rb2 cos(Q  )  Q sin(Q  ),
(2.19)
 2  rb2 sin( Q  )  Q cos(Q  ),
где
rb 2  a cos   rb1 
rb1R2
, Q  (a sin   rb1q) / rb 2  (1  ) tg   q,
R1
(2.20)
    (1  )inv .
Пришли к известному классическому результату: ведомый профиль тоже эвольвента. Она повернута на угол  (от e 1 к e 2 ).
В течение контакта параметр
q
монотонно возрастает от
q min до q max , а Q
монотонно убывает от Qmax  (1  ) tg   qmin до Qmin  (1  ) tg   q max .
Длительность контакта пары сопряженных профилей t  qmax  qmin . Контакт
на следующей паре сопряженных профилей должен начинаться до размыкания предыТеория Механизмов и Машин. 2004. №1. Том 2.
49
Преподавание ТММ
дущей пары, поэтому минимальное число зубьев на ведущем колесе должно быть
ближайшим числом, превосходящим 2 / t , т.е.
z1 
2
 1.
t
Соответственно, на ведомом колесе
z2 
(2.21)
2
 1.
t
(2.22)
Равенство z1 / z 2   – приближенное, но его погрешность исчезает с ростом числа
зубьев.
Геометрическое место точек касания сопряженных профилей в неподвижной
плоскости называется линией зацепления. Траекторию точки касания профилей (см.
рис.7) можно описать уравнением
x  x1 (costi10  sin ti 20 )  y (sin ti10  costi 20 ) 
 rb1 (cos   q sin  )i10  rb1 (sin   q cos  )i 20 .
(2.23)
Уравнение (2.23) является параметрическим уравнением прямой линии с параметром
q . Следует отметить, что эвольвента окружности – единственная кривая, дающая прямую линию зацепления. Прямая касается основных окружностей и проходит через полюс зацепления при q  tg  .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968.-584 с.
2. Евграфов А.Н., Коловский М.З., Петров Г.Н. Теория механизмов и машин.
Учеб.пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2003. 238 с.
Поступила в редакцию 17.10.2003
После доработки 23.12.2003
50
http://tmm.spbstu.ru