Приближенное решение некоторых физических задач

Статья по информатике из журнала МИФ-2 №3 за 2001 год
Информатика 8-11 класс
Потопахин Виталий Валерьевич
Приближенное решение некоторых физических задач
Программирование – это, прежде всего, удобный инструмент решения различных
прикладных задач из различных областей знания. Можно сказать, что программирование
– это что-то вроде удобной кочерги, которой хорошо шевелить дрова в печке. Задание,
которое вам предложено в этом номере журнала, невелико по размеру, но очень важно.
Весь материал состоит из одной задачи из механики, разобранной подробно до алгоритма,
а также одной задачи, предложенной для самостоятельного анализа. На их примере нужно
попробовать применить алгоритмические знания для решения физической задачи, которая
точными методами решается исключительно сложно. На нашем с вами уровне она не
решается вовсе, так как описание движения тел в поле силы гравитации друг друга
приводят к системе дифференциальных уравнений, которые мы с вами решать не умеем.
Программистские умения помогут вам обойтись без высшей математики. В примере
рассмотрено движение двух тел, но на самом деле количество тел участвующих в
движении не играет роли.
Условие задачи
Найти закон движения двух тел, движущихся в поле тяготения друг друга. Назовём их
тело А и тело В. Предположим, для упрощения ситуации, что в начальный момент
движения тела находятся в покое и рассмотрим последующий процесс движения.
Решение
Во-первых, заметим что чем тела ближе друг к другу, тем больше сила
взаимодействия и следовательно тем больше скорость движения тел. А так как движение
тел происходит непрерывно, то сила, а с ней и ускорение, а следовательно и скорость
изменяются непрерывно от точки к точке. А в известные нам законы движения скорость и
ускорение входят как константы:
S = S0 + V0T - равномерное движение
S = S0 + V0T + (AT2)/2 - равноускоренное движение
С законом движения в котором и скорость и ускорение переменные величины мы не
умеем работать. Выход заключается в том, чтобы свести сложное движение к известному
простому. Чтобы понять как это сделать рассмотрим числовой пример с равноускоренным
движением которое попробуем свести к равномерному.
Возьмём следующий закон движения: S = 1 + 5t + t2 пусть начальный момент времени t0 =
0 тогда S0 = 1. Пусть конечный момент времени t1 = 1 тогда S1 = 7 и S = S1 - S0 = 6.
Теперь опустим ту часть закона движения которая отвечает за ускоренное движение.
Получим S = 1 + 5t - это ничто иное как формула равномерного движения. При t0 = 0 и t1
= 1 получим S0 = 1 и S1 = 6, S = S1 - S0 = 5. Относительная погрешность (6-5)/6*100 =
16,6%
Теперь уменьшим временной интервал. Пусть t0 = 0 и t1 = 0,5. Тогда S0 = 1 и S1 = 3,75
S = S1 - S0 = 2,75 и относительная погрешность будет равна = 6,7%.
Заметим, что с уменьшением временного интервала относительная погрешность также
уменьшается следовательно при достаточно маленьком временном интервале результаты
расчётов по двум формулам будут практически совпадать.
Предположим, что устраивающая нас погрешность будет на временном интервале t, а
процесс движения мы хотели бы наблюдать на интервале ]t0, t1[. Разобьём большой
интервал ]t0, t1[ на маленькие интервалы каждый по t. Выше мы выяснили, что для
таких интервалов можно считать тело движущимся равномерно, но закон равномерного
движения от интервала к интервалу будет изменяться. А именно на каждом интервале
нужно перерасчитывать скорость. Закон изменения скорости V=5t. Тогда для N-го
интервала V=5Nt и закон движения S = 1 + (5Nt)*t.
Хабаровская краевая заочная физико-математическая школа
Статья по информатике из журнала МИФ-2 №3 за 2001 год
Теперь вернёмся к исходной задаче. В ней переменными величинами являются не
только скорость, но и ускорение, и сводить такое сложное движение к равномерному
нецелесообразно. Допустим, что тела А и В движутся равноускоренно. Тогда
вычислительная схема будет следующей:
Разобьём интервал наблюдения ]t0, t1[ на достаточно малые интервалы. Тогда начало и
конец N-го интервала будут соответственно в точках Tн=(N-1) t и Tk = Nt При
достижении текущим временем начальной точки очередного интервала необходимо
произвести перерасчёт параметров закона движения. А именно нужно перевычислить
скорость и ускорение: V0 - для текущего интервала равна Vk достигнутой на предыдущем
интервале. Ускорение необходимо рассчитать.
Для первого тела a1 = (m2)/r2
Для второго тела a2 = (m1)/r2
При расчётах пройденного пути на каждом интервале будем пользоваться законом
равноускоренного движения S = S0 + V0T + (AT2)/2
Алгоритм
Ввести начальные значения:
Векторы скорости тела 1 и тела 2 (пусть они движутся в начальный момент
времени).
(Векторы скорости вводятся своими проекциями на оси координат.)
Массу тела 1 и тела 2.
Начальные координаты тела 1 и тела 2.
Исходное значение вектора ускорения = 0
Текущее время =0
Пока текущее время меньше конечного делать
Начало
1. Если значение текущего времени находится в пределах очередного
интервала то
a. По известным значениям скорости, ускорения, времени и старых
координат вычислить новые координаты.
b. Увеличить текущее значение времени на t
2. Если значение текущего времени перешло в новый интервал то:
a. Вычислить новые значения ускорений.
Конец
Контрольное задание
Ниже приводится текст задания для самостоятельного решения. Вам необходимо
решить эту задачу, оформить решение отдельно от решений по другим предметам и
выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
И8.1. Тело массы М неподвижно висит на пружине с коэффициентом упругости К. В
момент времени t0 тело сместили на расстояние +x (пружину растянули). После чего
тело было предоставлено само себе и начало совершать колебательное движение.
Построить график изменения величины растяжения пружины в зависимости от времени.
Силой трения во всех её проявлениях можно пренебречь.
Подсказки:
Движение тела будет происходить с переменным ускорением. Так как ускорение
определяется равнодействующей двух сил, силы тяжести и силы Гука. Сила Гука
определяется величиной деформации пружины и поэтому сила Гука будет переменной
величиной, а следовательно переменной будет и создаваемое ей ускорение.
Однако, так как нас интересует не точный результат а приблизительный, то можно
наблюдаемый интервал разбить на небольшие интервалы внутри которых силу Гука
можно положить постоянной величиной.
Хабаровская краевая заочная физико-математическая школа
Статья по информатике из журнала МИФ-2 №3 за 2001 год
Но в данной задаче может быть проще поступить немного иначе. Так как сила Гука
пропорциональна деформации, то можно положить, что она изменяется не для любой
величины деформации, а только тогда, когда величина деформации равная nx где n - это
натуральное число.
Хабаровская краевая заочная физико-математическая школа