Системы дифференциальных уравнений

1
Системы дифференциальных уравнений
dyi
 f i ( x1 , y1 , y2 ,, yn ) i  1, n
dx
Система
такого
дифференциальных
(1)
вида
уравнений
называется
(СНДУ).
нормальной
Для
системой
нормальной
системы
дифференциальных уравнений можно сформулировать теорему о существовании
и единственности такую же, как и для дифференциального уравнения.
Теорема. Если функции
f i определены и непрерывны на открытом
множестве Г , а соответствующие частные производные
df i
dy j
i, j  1, n тоже
непрерывны на Г , то тогда у системы (1) будет существовать решение
yi  i ( x) i  1, n
(2)
а при наличии начальных условий yi ( x0 )  y0 i  1, n
(3)
это решение будет единственным.
Эту систему можно представить в виде:
dY
 F ( x, y ) Y  ( y1 , y2 ,, yn )T
dX
F  ( f1 , f 2 ,, f n )T
(4)
Системы линейных дифференциальных уравнений
Определение. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной,
если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
n
dyi
  aij ( x) y j  fi ( x) i  1, n
dx j 1
(5)
Общий вид системы Дифференциальных Уравнений
dY
 AY  F
dX
(6)
Если задано начальное условие: Y ( x0 )  Y0 ,
(7)
то
решение
F непрерывна на
функции.
будет
Г
единственным, при
условии, что
вектор-функция
и коэффициенты матрицы А : aij ( x ) тоже непрерывные
2
Введем линейный оператор L[ y ] 
dY
 AY , тогда (6) можно переписать в виде:
dx
Ly  F ,
(8)
если F  0 то операторное уравнение (8) называется однородным и имеет вид:
Ly  0 .
(9)
Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:
Если Y решение однородной системы (9), то CY , C  const будет тоже
1.
решением уравнения (9).
Если Y1 ,Y2 являются решением (9), то Y1  Y2 тоже решение (9).
2.
Следствие. Линейная комбинация
n
C y ,
i 1
i
i
C  const , решение (9).
Если даны Y1,Y2 ,,Yn решений (9) и они линейно независимы, то все линейные
комбинации вида:
n
 Y ( x )  0,
i 1
(10)
i i
только при условии, что все i  0 . Это означает, что определитель, составленный
из решений (10):
W
y11
y21
y12
y22
y1n
y2 n
y n1
yn 2
ynn
 0.
Этот
определитель
называется
определителем
Вронского для системы векторов Y1,Y2 ,,Yn .
Теорема 1. Если определитель Вронского для
линейной однородной
системы (9) с непрерывными на отрезке a, b коэффициентами aij (x) , равен
нулю хотя бы в одной точке x0  a, b , то решение Y1,Y2 ,,Yn линейно зависимы
на этом отрезке и, следовательно, определитель Вронского равен нулю на
всем отрезке.
Доказательство: Так как aij (x) непрерывны, то система (9) удовлетворяет
условию Теоремы о существовании и единственности, следовательно, начальное
условие Y ( x0 )  0 определяет единственное решение системы (9). Определитель
Вронского в точке x0 равен нулю, следовательно, существует такая нетривиальная
3
система
Сi ,
для
которой
выполняется:
C1Y1 ( x0 )  C2Y2 ( x0 )    CnYn ( x0 )  0 .
Соответствующая линейная комбинация для другой точки x будет иметь вид
n
 C Y ( x)  Y ( x) ,
i 1
причем Y ( x ) удовлетворяет однородным начальным условиям,
i i
следовательно, совпадает с тривиальным решением, то есть Yi линейно зависимы
и определитель Вронского равен нулю.
Определение. Совокупность решений Y1,Y2 ,,Yn
системы (9) называется
фундаментальной системой решений на a, b если определитель Вронского не
обращается в ноль ни в одной точке a, b .
Определение.
Если для однородной системы (9) начальные условия
определены следующим образом - Y ( x0 )  E , то система решений Y1,Y2 ,,Yn
называется нормальной фундаментальной системой решений.
Замечание. Если Y1,Y2 ,,Yn - фундаментальная система или нормальная
фундаментальная система, то линейная комбинация
n
 C Y ( x ) - общее решение (9).
i 1
Теорема 2. Линейная комбинация
n
 C Y ( x)
i 1
i i
i i
n линейно независимых
решений Yi , i  1,...n однородной системы (9) с непрерывными на отрезке a, b
коэффициентами aij ( x ) будет общим решением (9) на этом же отрезке.
Доказательство: Так как коэффициенты aij (x) непрерывны на a, b , то система
удовлетворяет
условиям
теоремы
о
существовании
и
единственности.
Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что подбором
постоянных
Сi , можно удовлетворить некоторому произвольно выбранному
начальному
условию
(7).
Т.е.
n
уравнению:  CiYi ( x0 )  Y0 . Так как
i 1
можно
n
 C Y ( x)
i 1
i i
удовлетворить
векторному
- общее решение (9), то
система
разрешима относительно Сi , поскольку все Yi линейно независимы и W ( x0 )  0 .
Однозначно
определяем
W ( x)  0, x  a, b .
Сi ,
а
так
как
Сi
линейно
независимы,
то
4
~
~
~
Теорема 3. Если Y это решение системы (8), а Y решение системы (9), тогда
~
~ ~
Y + Y будет тоже решение (8).
~
~
~
~
~
~
Доказательство: По свойствам линейного оператора: L[Y  Y ]  L[Y ]  L[Y ]  F 
Теорема 4. Общее решение (8) на отрезке a, b с непрерывными на этом
отрезке коэффициентами aij ( x ) и правыми частями fi ( x) равно сумме общего
решения соответствующей однородной
системы (9) и частного решения
~
Y неоднородной системы (8).
Доказательство: Так как условия теоремы о существовании и единственности
n
~
Y ( x)   CiYi  Y будет
выполнены, следовательно, остается доказать, что
i 1
удовлетворять произвольно заданным начальным значением (7), то есть
n
~
Y ( x0 )  Y0   CiYi ( x0 )  Y ( x0 ) .
(11)
i 1
Для системы (11) всегда можно определить значения Сi . Это можно сделать
так как Yi - фундаментальная система решений.
Теорема 5(принцип суперпозиции). Решение системы Дифференциальных
m
Уравнений вида L[Y ]   Fi может быть представлено в виде
i 1
m
Y
i 1
i
, каждое из
m
m
m
i 1
i 1
i 1
которых удовлетворяет уравнению L[Yi ]  Fi i  1, m ,тогда L[Yi ]   L[Yi ]   Fi .
Замечание. Принцип суперпозиций можно распространить на случай m  
при условии, что ряд составленный из Yi , сходится и допускает почленное
дифференцирование.
Метод вариации постоянной
n
Пусть Y   CiYi - общее решение однородной системы (9). Будем искать
i 1
n
решение (8) в следующем виде: Y ( x )   Ci ( x )Yi ( x ) , где Ci (x) - неизвестные
i 1
функции.
Подставим
решение
Y ( x)
в
(8):
5
n
C
i 1
i
/
n
( x)Yi ( x)   Ci ( x)
i 1
n
dYi
 A Ci ( x)Yi ( x)  F ( x) , при этом учтем, что Yi - решения
dx
i 1
dYi
 AY i
dx
(9), то есть
i  1, n .
Получаем,
n
C
i
i 1
/
( x)Yi ( x)  F ( x) -
векторное
уравнение. Последнее соотношение можно записать в виде n-уравнений с nнеизвестными Ci (x) . При этом W  0 на a, b , так как Yi - фундаментальная
система решений (9) и, следовательно, мы можем однозначно определить
неизвестные функции:
Ci ( x)  i ( x) i  1, n .
/
(12)
~
Ci ( x)    i ( x)dx  Ci .
(13)
И тогда общее решение (8) будет иметь вид: Y ( x)     i ( x)dx  Ci Yi ( x) .
n
~
i 1
Метод Коши
Пусть дана неоднородная система ЛДУ:
dY
 AY  F
dx
(1)
Нормальная фундаментальная система решений, соответствующая системе (1)
известна:
dY
 AY  0
dx
(2)
И известна нормальная фундаментальная система решений системы (3):
dY1
 A*Y1  0
dx
(3)
Система (3) называется сопряженной к системе (2).
Пусть 1, 2 ,, n  -
нормальная фундаментальная система решений (2);
1,2 ,,n  - нормальная фундаментальная система решений (3).
Начальные
 ( x ), ( x )  
i
0
j
0
условия
ij
-
Y ( x0 )  E, Y1 ( x0 )  E .
Скалярное
. Покажем, что во всех точках отрезка
произведение равно  ij , то есть
произведение
a, b , скалярное
6
 ( x), ( x)  
i
j
Покажем, что
ij
x  a, b
(4)
d
i ( x), j ( x)  0 ,
dx
d
i ( x), j ( x)   di ( x) , j ( x)   i ( x), d j ( x)   ( Ai , j )  (i ( x), A* j )  0 .
dx
dx 
 dx
 
Построим решение нашего Дифференциального Уравнения методом Коши.
n
Будем его искать в виде: Y ( x)   i ( x)U i ( x) ,
(5)
i 1
где U i (x) - неизвестные скалярные функции. Подставим (5) в (1):
n
n
 U ( x)   ( x)U
i 1
/
i
i
i 1
i
n
/
i
( x)  A i ( x)U i ( x)  F ( x) ,
i 1
n
 ( x)U
i 1
i
/
i
( x)  F ( x) .
(6)
Так как функции i ( x) - решение однородной системы ДУ (1).
Умножим
(6)
скалярно
на
j :
n
 ( , )U ( x)  ( F , ) ;( , )U ( x)  ( F , ) ,
i 1
i
j
/
i
j
j
j
/
i
j
x
U j ( x)   ( F , j )dx  C j ,
x0
x

Y ( x )     ( F , j )dx  C j  j ( x ) .
j 1 
 x0

n
(7)
Метод Коши применяется, когда мы можем построить две взаимно
ортогональных системы нормальных фундаментальных решений.
Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
dY
 AY ,
dx
(1)
где A - матрица с постоянными коэффициентами.
dY
 AY  F
dx
неоднородная система ДУ.
(2)
7
Решение (1) будем искать в виде Y   e X ,
(3)
где   (1 , 2 ,..., n )T - вектор,   const .
Подставив решение в (1), получим: e x  A e x , ( A   E )  0 , e x  0
- -
собственные значения,  - собственные векторы.
1. Все корни характеристического уравнения действительны и различны.
Y1  1e1x
Это значит, -
- частные решения однородной системы.
Yn   n en x
следовательно, общее решение однородной системы имеет следующий вид:
 Cn n e n x
Y ( x )  C11e 1x  C2 2e 2 x 
(4)
Воспользуемся основной теоремой алгебры о представлении вещественной
матрицы:
D  TAT 1 , A  TDT 1 
dY
d (T 1Y )
dZ
 TDT 1Y ,
 DT 1Y , Z  T 1Y 
 DZ , D  diag 1 ,
dx
dx
dx
Проинтегрировав
систему
dZ
 DZ
dx
покомпонентно,
zi ( x )  Ci e i x , i  1,...n . Тогда общее решение однородной системы ДУ
, n 
получаем:
Y ( x )  TZ ( x ) ,
где матрица T  [e1 ... en ] состоит из собственных векторов матрицы А.
2. Характеристическое уравнение имеет комплексный корень i  p  iq .
Если матрица A вещественная, то будет существовать комплексно сопряженный
корень характеристического уравнения. Общее решение (1) может быть
представлено в виде (4).
Согласно следующей теореме:
Теорема. Если оператор L[Y ] 
dY
 AY - вещественный, а U ( x),V ( x) -функции
dx
принимающие действительные значения, а
W ( x)  U ( x)  iV ( x) -решение
однородного уравнения L[W ]  0 , тогда U ( x),V ( x) будут тоже действительными
решениями L[Y ]  0 .
8
То есть, если A вещественная матрица, то паре комплексно сопряженных
корней
характеристического
уравнения
будет
соответствовать
пара
действительных решений, а именно: Y (1)  Im( e( piq ) x ),Y (2)  Re( e( piq ) x ) .
3. Корень характеристического уравнения имеет кратность  .
В этом случае для матрицы A строится Жорданова Нормальная Форма и общее
решение СЛДУ имеет вид:
Y ( x)  ( A0( s )  A1( s ) x 
 Ap( s ) x 1 )es x ,
~
Ai( s ) постоянные
векторы. Максимальная степень полинома соответствует максимальной степени
элементарного делителя для характеристического числа s .
A  PJP 1 , J  P 1 AP,
dY
dZ
dZ
 PJP 1Y ;
 JZ , Z  P 1Y 
 JZ ,
dx
dx
dx
J -соответствующая
Жорданова Нормальная Форма. Допустим, что у нас есть одна клетка Жордана
размерности n , соответствующая собственному числу  :
 1 0 0


0  1 0
J 
.
   


0 0 0 
Тогда покомпонентно система
 dz1
 dx

 dz 2
 dx


 dz
 n
 dx
 dz n

 dx
dZ
 JZ будет иметь вид:
dx
 z 1  z 2
 z 2  z 3

 z n 1  z n
 z n
Начнем интегрировать эту систему с n -го уравнения:
z n ( x )  Cn e  x .
9
Затем решим (n  1) -ое уравнение методом вариации постоянных, используя
уже известное решение zn ( x ) .
dz n 1
~ .
 z n 1  C n e x , z n 1 ( x )  C n 1 e x  C n/ 1 ( x )  C n  C n 1 ( x)  C n x  C
n 1
dx
Продолжая процесс интегрирования получим все компоненты вектора Z ( x ) .
Общее решение однородной системы ДУ имеет вид: Y ( x )  PZ ( x ) , где матрица Р
состоит
из
собственных
и
присоединенных
векторов
матрицы
А,
соответствующих собственному числу  .
Матричные дифференциальные уравнения.
Пусть дано матричное дифференциальное уравнение:
 y11 ( x)
 y ( x)
где Y ( x)   21


 yn1 ( x)
dY
 A( x)Y ( x) ,
dx
y12 ( x)  y1n ( x) 
y22 ( x)  y2 n ( x)




yn 2 ( x)  ynn ( x) 
(1)
(2)
с начальными значениями: Y ( x0 )  Y0 .
(3)
Теорема. Если матрица A(x ) непрерывна на a, b , а определитель матрицы
Y0  0 , то на
a, b существует единственное решение
Y (x ) уравнения (1) и
определитель Вронского этого решения не обращается в ноль ни в одной
точке a, b .
Будем рассматривать одновременно с системой (1) систему вида:
dZ
  ZA( x )
dx
(4)
Уравнение (4) называется сопряженным для уравнения (1).
Теорема. Пусть Y (x ) - решение (1), а матрица A(x ) непрерывна на a, b ,
тогда Y 1 ( x) - существует на a, b и является решением системы (4).
10
Доказательство: По предположению теоремы решение
Y (x )
на
a, b
существует и определитель этого решения не равен нулю в любой точке a, b ,
следовательно, существует обратная матрица Y 1 ( x) . А так как Y ( x)Y 1 ( x)  E , то


d
Y ( x)Y 1 ( x)  0
dx
продифференцировав это соотношение, получаем:
,
dY 1 ( x) dY ( x) 1
Y ( x)

Y ( x)  0
dx
dx
где
-
Y (x )
решение
уравнения
(1),
следовательно,
dY
dY 1 ( x )
 A( x )Y ( x )  Y ( x )
 A( x )Y ( x )Y 1 ( x )  0.
dx
dx

dY 1 ( x )
1
 Y ( x ) A( x )
dx
Рассмотрим
систему
n-
линейно
независимых
неоднородных
дифференциальных уравнений
dY ( x)
 A( x)Y ( x)  F ( x) .
dx
(5)
Будем искать решение этой системы методом вариации постоянной.
~
Обозначим Y ( x) - решение (1). Будем искать решение системы (5) в виде:
~
Y ( x)  Y ( x)C ( x) ,
(6)
где C (x) - неизвестная вектор-функция.
Подставим (6) в (5):
~
dY
~ dC ( x)
~
C ( x)  Y ( x)
 A( x)Y ( x)C ( x)  F ( x)
dx
dx
x
~
dC ~ 1
~ dC ( x)
~
Y
 F ( x),
 Y ( x) F ( x), C ( x)   Y 1 ( ) F ( )d  C
dx
dx
x0
Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид:
x
~
~  ~
Y ( x)  Y ( x)   Y 1 ( ) F ( )d  C 
 x0

(7)
Теорема. Общее решение неоднородной системы (5) можно представить в
x
виде: Y ( x )   ( x)  [  Y ( x)Y 1 ( ) F ( )d ] ,
x0
(8)
11
где  (x) - общее решение соответствующей однородной системы.
Замечание. Пусть матрица A постоянна и
начальные условия имеют вид:
 dY
 AY ( x)

 dx
Y (0)  E
(9)
Покажем, что решение уравнения (9) - Y ( x ) удовлетворяет функциональному
уравнению:
Y ( x   )  Y ( x)Y ( ) .
При любом фиксированном  матрицы Y ( x   ) и
(10)
Y ( x )Y ( )
будут решением (9).
При x  0 эти матрицы будут совпадать в силу начальных условий и,
следовательно, по теореме о существовании и единственности они будут
совпадать для любых x . Если воспользоваться (10), то можно записать (сделав
замену x  x  , и умножив соотношение (10) справа на Y 1 ( ) ):
Y ( x)Y 1 ( )  Y ( x   )Y ( )Y 1 ( )  Y ( x   ) .
(11)
Сравнив (11) и (7), сделаем вывод о том, что общее решение неоднородной
системы ДУ с постоянной матрицей А может быть представлено в виде:
x
~
Y ( x)   ( x)   Y ( x   ) F ( )d .
x0
(12)