Уравнения и системы уравнений с параметрами

МИФ-2, №1, 2000 год
Математика, 11 класс
Колегаева Елена Михайловна
Уравнения и системы уравнений с параметрами
Рассмотрим уравнение f x, a   0.
1. Если ставится задача отыскать все пары x, a  , при которых уравнение превращается в
верное равенство, то имеем уравнение с двумя неизвестными x и a.
2. Если же рассматривать a как некоторое фиксированное число, а x – переменную, то
говорят об уравнении с одним параметром. В этом случае ставится задача: для
каждого а из некоторого множества А решить уравнение относительно переменной x.
Множество А называют областью изменения параметра а.
Например: Пусть дано уравнение
aa  1x  1
и пусть область изменения параметра а: A   1; 0;1. тогда уравнение имеет вид:
2 x  2, если a  1;

0  x  1, если a  0;
0  x  0, если a  1.

В дальнейшем, если не оговорено обратное, под областью изменения параметра будем
понимать все значения aR, при которых имеет смысл уравнение. Поэтому, чтобы
решить уравнение с параметром, выделяют “контрольные значения параметра”, при
которых происходит качественное изменение уравнения.
Пример 1. Решим уравнение: aa  1x  a  1.
(1)
Решение. Уравнение (1) – линейное уравнение. Качественное изменение уравнения
происходит при тех значениях а, при которых коэффициент при x обращается в ноль. То
есть, контрольные значения параметра:
a  0; a  1.
1) При а=0 уравнение примет вид:
0  x  1.
Это уравнение не имеет решений.
2) При а=1 уравнение имеет вид:
0  x  0.
Это уравнение имеет бесконечно много решений, решение – любое xR.
3) Если а0, а1, то уравнение имеет единственное решение:
1
x .
a
Ответ: При а=0 уравнение не имеет решений. При а=1 уравнение имеет решением любое
1
xR. При а0, а1 уравнение имеет единственное решение x  .
a
Аналогично рассматривается уравнение
f x, a, b  0 с двумя параметрами.
Ставится задача: для всех возможных значений параметров a и b найти решения x
уравнения. Обычно, параметр обозначается буквами: a; b; c; k; p; q.
Пример 2. Решить уравнение: a 2  9x  a 3  27.
Решение. 1. Пусть a 2  9  0. Тогда x 


a  3 a 2  3a  9 ; x  a 2  3a  9
a 3  27
;
x

a3
a2  9
a  3a  3
- единственное решение.
2. Пусть a 2  9  0 , то есть a  3 , то:
а) при а=3 имеем: 0  x  54 - нет решений.
b) при а=-3 имеем: 0  x  0 - любое xR – решение.
a 2  3a  9
; при а=3
a3
уравнение не имеет решений; при а=-3 уравнение имеет решением любое xR.
Ответ: При а3 уравнение имеет единственное решение x 
1
1
1 1

  .
xa xb a b
Решение. Область допустимых значений уравнения: x  a; x  b; a  0; b  0.
xb xa ab

.
x  a x  b ab
2x  a  bab  a  bx  ax  b ;
Пример 3. Решить уравнение:
a  b x 2  a  b 2 x  aba  b   2abx  aba  b   0;
a  bx 2  a 2  4ab  b 2 x  2aba  b  0.
а) Если а+b=0,то есть a=-b, тогда a 2  4ab  b 2  b 2  4b 2  b 2  2b 2  0, тогда x=0.
b) Если a+b0, то
a
a
x
2
 4ab  b 2


2


a
2
 4ab  b 2
2a  b

 
2
 8aba  b 


 4ab  b 2  a 4  b 4  2a 2 b 2
a 2  4ab  b 2  a 2  b 2

;
2a  b 
2a  b 
2ab
x2 
.
x1  a  b;
ab

2
Ответ: x=0 при a=-b0; x=a+b и x 
2ab
при a-b, a0, b0.
ab
x  a ab  1

.
a  x ab  1
Решение. Область допустимых значений: xa; ab1.
ab  1x  a  a  xab  1, выполнив преобразования, получим: 2abx  2a.
a) Если а=0, то x – любое, отличное от нуля.
b) Если а0, b=0, то уравнение не имеет решений.
2a 1
 .
c) Если ab0, ab1, то x 
2ab b
Пример 4. Решить уравнение:
Пример 5. При каких значениях а уравнение:
a  1x 2  a  4   A  7x  0 имеет равные корни?
Решение. Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант равен 0, то
2
есть: a  4  4a  1a  7   0;
a 2  8a  16  4a 2  24a  28  0;
3a 2  16a  44  0;
a
 8  64  132  8  14

;
3
3
a1  
22
; a 2  2.
3
Ответ: Уравнение имеет равные корни при а=2 и а= 
22
.
3
Пример 6. При каких значениях m уравнение не имеет действительных корней?
a) x 2  x  m 2  0;
b) mx 2  m  1x  2m  1  0.
Решение. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант
отрицателен.
1
1
1
1
a) x 2  x  m 2  0; 1  4m 2  0; m 2  ; m  ; m  
или m  .
4
2
2
2
1
1
Ответ: m  ; m   .
2
2
2
2
b) mx  m  1x  2m  1  0; m  1  4m2m  1  0; m 2  2m  1  8m 2  4m  0;
7m 2  6m  1  0; 7m 2  6m  1  0;
3  9  7 3  16 3  4
1


; m1  1; m 2   .
7
7
7
7
1
m  1; m   .
7
m
1
Ответ: m  1; m   .
7
Пример 7. При каких значениях k уравнение: k  12x 2  2k  12x  2  0 имеет два
действительных различных корня?
Решение. Корни действительные и различные получаются при положительном
дискриминанте.
k  122  2k  12  0; k  12k  12  2  0; k  12k  14  0;
k  14; k  12.
Ответ: k  14; k  12.
Пример 8. Решить систему уравнений:
 x 3  2ax  ay;
 3
 y  ax  2ay.
Решение. Заменим первое уравнение системы суммой уравнений, а второе – разностью
уравнений системы.
После преобразований имеем:



2
2

 x  y  x  xy  y  3a  0;
или

2
2



x

y
x

xy

y

a

0
/


 x  y  0;

 x  y  0;
 x  y  0;

 x 2  xy  y 2
 2
2
 x  xy  y

 x  y  0;

 x 2  xy  y 2

 x 2  xy  y 2
 a  0;

 3a  0;
 3a  0;
 a  0.
 x  0;

 y  0;
 y   x;

  x 2  a;

 y  x;
 x 2  3a;

  x 2  y 2  2 a;

2 xy  2a.
 y   x;
(2):  2
 x  a.
 x  a ;
 x   a ;
1) Если а0, то:  1
или  2
 y1   a ;
 y 2  a .
2) Если а<0, то нет решений.
 y  x;
(3):  2
 x  3a.
 x3  3n ;
 x   3n ;
1) Если а0, то: 
или  4
 y 4   3n .
 y 3  3n ;
2) Если а<0, то нет решений.
 x 2  y 2  2a;
(4): 
 x  y 2  0;
 y   x;
  2
- совпадает с системой (2).
x

a
.

Ответ: Если а<0, то 0;0; если а0, то 0;0;



a ; a ;  a ; a ;


3a ; 3a ;  3a ; 3a .
Задачи для самостоятельного решения
Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо
решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и
выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Решите уравнения:
xa xb

 2;
М11.7.1.
xb xa
М11.7.2.
a
b

;
1  bx 1  ax
М11.7.3.
m
n
mn


;
xm xn x p
М11.7.4.
ab ab
a
b



.
xa xb xa xb
М11.7.5. При каких значениях а уравнение a  2x 2  2a  2x  2  0 не имеет
действительных корней?
М11.7.6. При каких значениях а уравнение x 2  2a a 2  3x  4  0 имеет равные корни?
М11.7.7. При каких значениях а один корень уравнения x 2  3a  2x  a 2  0 в девять
раз больше другого?
М11.7.8. В уравнении x 2  4 x  p  0 найдите р так, чтобы сумма квадратов его корней
была равна 16.
М11.7.9. Найдите сумму кубов корней уравнения 3x 2  ax  2a  1  0 .
М11.7.10. Вычислите
1
x1
3

1
x2
3
, где x1 и x2 – корни уравнения 2 x 2  3ax 2  0.
М11.7.11. При каком наименьшем целом а трехчлен a  2x 2  8 x  a  4 положителен
при всех значениях x?
М11.7.12. Найдите все значения а, при которых оба корня уравнения
x 2  6ax  2  2a  9a 2  0 больше 3.
М11.7.13. Найдите коэффициенты p и q уравнения x 2  px  q  0 так, чтобы его корни
были равны p и q.
a  3x  2 y  3;
М11.7.14. Решить систему уравнений 
ax  y  3.
2
2
3

 x  y x  y   3a ;
М11.7.15. Решить систему уравнений 
2
2
3

 x  y x  y   15a .