Решение уравнений, содержащих абсолютные величины

Управление образования
Администрация Сергиево-Посадского района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Физико-математический лицей»
Решение уравнений, содержащих
абсолютные величины
Семинар – практикум
с применением мультимедийных
средств обучения
9 класс
Учитель: Мрачковская Т.Г.
2009-2010 уч. г.
Тема урока: Решение уравнений, содержащих абсолютные величины.
Тип урока: урок развития и формирования навыков и умений.
Семинар-практикум с применением мультимедийных средств обучения.
Цели урока: 1) проверка усвоения учащимися понятия абсолютной величины числа, её свойств,
геометрического смысла модуля числа;
2) формирование и развитие у учащихся навыков решения уравнений, содержащих
абсолютные величины вида f  x   A; f  x   g  x  ; f  x   g  x  ;
3) развитие навыков применения ранее изученного материала к решению
уравнений с модулями
4) развитие навыков работы в коллективе, умений излагать изученный материал.
Обеспечение урока:
1) презентация к уроку;
2) карточка с задачами к уроку;
3) карточка с задачами для домашнего задания.
ХОД УРОКА
I часть. Повторение теоретического материала.
Проверка усвоения учащимися понятия абсолютной величины числа, её свойств,
геометрического смысла модуля числа проводится с применением интерактивной доски (ответ
комментируется и дублируется соответствующим слайдом).
1. Что называется модулем (или абсолютной величиной) числа а? Слайд №1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
a, a  0;
a 
 a, a  0.
2. В чем заключается геометрический смысл модуля? Слайд №2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
a
а
5 5
b
b
0
Х
 5     5  5
x2
x1
Х
x1  x2
3. Основные свойства модулей, которыми мы сегодня будем пользоваться, заключаются в
следующем: Слайд №3.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
1) a  0, a  a, a  R;
2) a   a ;
3) a  b  a  b ;
4)
a
a
 , b  0.
b
b
Комментируя второе свойство, учитель предлагает учащимся преобразовать выражения,
содержащие абсолютные величины, опираясь на это свойство:
2 x  x2;
3  x2  x  x2  x  3 ;
3 x
x3

;
x2
x2
1 x
x 1

.
2 x
x2
Записи ведутся в поле слайда.
II часть. Решение уравнений, содержащих абсолютные величины.
Учитель: Перейдем к основным способам решений уравнений с модулями.
1. К какому виду будут относиться уравнения, которые содержатся в 1 блоке карточки?
2. При каком условии для числа А возможно решение уравнения?
3. Объясните геометрическую интерпретацию записанного равенства.
4. Каким будет равносильный переход в решении уравнения такого типа?
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1) f  x   A
A0
 f  x   A;

 f  x    A.
Ответы учащихся дублируются на интерактивной доске (Слайд №4). Учащимся предлагается
приступить к решению задач 1 блока (5 мин.). Один ученик решает уравнение №3 на доске. По
истечении времени проводится проверка ответов решения через интерактивную доску. Во
время решения учитель дает консультации учащимся, испытывающим затруднения в решении
задач.
I
1) x 2  x  5  1; 2) 3 1  x 2  5; 3)
3x  x 2  2
 1.
x 2  3x  2
Решение уравнений.

 x  3,
2
2



x

x

5

1,
x

x

6

0,
1) x 2  x  5  1   2
 2
  x   2,

 x  x  5  1;
 x  x  4  0;
 x  1  17 .

2
1  17
Ответ: 3;  2;
.
2
5
 2
 2 8
x 1  ,

x  3 ,
5
2
3
2) 3 1  x 2  5  x 2  1   

 x2 .
5
2
3
3
 x2  1   ;
 x 2    ;


3
3
Ответ: 2
2
.
3
 x 2  3x  2
 x 2  3x  2  0,
 x   2, x  1,

1,
2

2
 2
3x  x  2

x

3
x

2
2
3) 2
1  2
   x  3x  2  x  3x  2,    x  0,
 x  0.
x  3x  2
 x  3x  2

 2


2
2
 x 2  3x  2  1;
  2 x   4  ;
  x  3x  2   x  3x  2;
Ответ: 0 .
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1) f  x   A
I 1)1;  2;
A0
2) 
 f  x   A;

 f  x    A.
1 17
;
2
2 2
;
3
3)0.
Учитель:
1. К какому виду будут относиться уравнения, которые содержатся во 2 блоке карточки?
2. Какие числа удалены от 0 на одно и тоже расстояние?
3. Каким будет равносильный переход в решении уравнения такого типа?
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
2) f  x   g  x 
 f  x  g  x ;

 f  x    g  x  .
II
1) x  3  2 x 2  x  5 ;
2) 3x 2  6 x  1  2 3  x ;
3)
x 1
 2x.
x 1
Решение уравнений.
 x   2,
 2 x 2  x  5  x  3,
 2 x 2  8,
 x 2  4,
1) x  3  2 x  x  5   2
 2
 2

 x  1  5 .
2
x

x

5


x

3;
2
x

2
x

2

0;
x

x

1

0;




2
1  5
Ответ:  2;
.
2
5
 2
 2 8
x 1  ,

x  3 ,
5
2 2
3
2
2
2) 3x  6 x  1  2 3  x  x  1   

 x
.
3
3
 x2  1   5 ;
 x 2   2  ;


3
3
2
Ответ:
2 2
.
3
 x 1
 x  1,
 x  1,
 x  1  2  x,


x 1
2
3)
 2 x  
   x  1   x  3x  2,    x 2  2 x  3  0  ,  x  2  3.
x 1
 x  1  x  2;

 2
2
  x  1  x  3x  2;
  x  4 x  1  0;
 x  1
Ответ: 2  3 .
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
2) f  x   g  x 
 f  x  g  x ;

 f  x    g  x  .
II 1)  2;
1 5
;
2
7 5
2) 1; ; ;
3 3
3) 2  3.
Учитель: Прежде, чем переходить к решению уравнения 3 блока (наиболее сложного, чем
предыдущие), в квадратном трехчлене x 2  5 x  9 выделите полный квадрат.
Решение задачи проводится на классной доске:
2
5
25 25
5
3

x2  5x  9  x2  2   x 

9x  2
2
4
4
2
4

3
4
1. Какие значения может принимать данный квадратный трехчлен? ( x 2  5 x  9  2 )
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
f  x  f  x
3) f  x   g  x 
f  x  0
 g  x   0;

 f  x   g  x  ;

  f  x    g  x  .
f  x   f  x
f  x  0
После повторения алгоритма решения уравнений 3 блока, проводится анализ решения
каждого уравнения этого блока. Записи первых равносильных переходов в каждом уравнении
остается на доске:
2  x  0,

1) x 2  3x  2  x    x 2  3x  2  x,
 2
  x  3x  x  2;...
 x  6  x 2  5 x  9,
2) x  6  x 2  5 x  9  
2
 x  6   x  5 x  9;...
3) 2 x  3  3  2 x  3  2 x  0...
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
III 1)1 3; 2  2;
2)1; 3;
3)   ;1,5.
Уравнения 4 блока в своих решениях объединяют алгоритмы решений уравнений блоков 1-3.
Прежде, чем учащиеся перейдут к самостоятельному решению уравнений блока, учитель
разбирает на доске решение подобных уравнений. На интерактивной доске остаются основные
схемы решений уравнений блоков 1-3.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1) f  x   A
 f  x   A;

 f  x    A.
2) f  x   g  x 
 f  x  g  x ;

 f  x    g  x  .
3) f  x   g  x 
 g  x   0;

 f  x   g  x  ;

  f  x    g  x  .
 2  x  1  3,  x  1  1,
 x  1  5,
 x  4,
1) 2  x  1  3  



 x  1   5;
 x   6.
 2  x  1   3;  x  1  5;
Ответ: 4;  6 .
 x7

 x  7  5  5,
 x7

2) x  7  5  3  2 

 x  7  5  1;
 x7
 x7

 x  7,
 x  3,
 10,

 x  17,
 0,

  x  1,
 6,
 x  13,

 4;
 x  3,
 x  11.

Ответ: 7; 3;  17;  1;  13;  3;  11. .
 x 2  2  x  1,  (1)
3) x  2  x  1  
 x 2  2  x  1.  (2)

2
 x  1,


1  13
 x  1  0,
 x  1,

x
,
1  13




 x
,
2

(1) x 2  2  x  1    x 2  2  x  1,    x 2  x  3  0,   

2


1  5
 2
 2

.

1

5
x 
  x  2   x  1;
  x  x  1  0;
 x 
;

2
 
2
 x  1,


1 5
 x  1  0,
 x  1,
,
x 
  x  1  5 ,


2

(2) x 2  2  x  1    x 2  2  x  1,    x 2  x  1  0,   

2


1  13
 2
 2

.
x

2


x

1;
x

x

3

0;

1
x 


  x   13 ;

2
2
 
Ответ: 1  5 ; 1  13 .
2
2
 x  4,

4) 3x  2  x  4  x    3x  2  4,  1
  3x  2  2 x  4.  2
 
 
(1)
2

x ,
3x  2  4,
3x  2  4  

3

3x  2   4;
x


2.

(2)
x  2
2 x  4  0,


  x   6,
3x  2  2 x  4   3x  2  2 x  4,   
 .
 3x  2  4  2 x;
 x  2 ;

 
5
 x  4,
2


Т.о.,   x  2 ,   x  3 ,


3

 x   2.
  x   2;
Ответ:
2
;  2.
3
Учащиеся переходят к самостоятельному решению уравнений 4 блока. Учитель контролирует
решение, консультирует учащихся испытывающих затруднения в решении. Уравнения 4 блока
- часть уравнений домашнего задания. В конце урока учитель выдает каждому ученику
карточку-задание с домашней работой.
Домашнее задание
IV 1) x  1  2  3;
x  6; x   4
2) 2  1  x  1;
x  0; x   2; x   4
3) 2 x  1  3  x  2;
x  0; x  2; x   4
4) 3  x 2  2 x  2 x.
x  1; x  2  7
5) 3x  2 x  5  x  5;
0 2,5;   
6) x3  x  1  x 2  3x  1 ;
x  0; x  1; x   2