ТЕМА 3. Функции и их свойства

ТЕМА 3. Функции и их свойства
Литература
1. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский,
П.В.Семенов. Единый государственный экзамен 2009. Математика.
Универсальные материалы для подготовки учащихся//ФИПИ, М.:
Интеллект-Центр, 2009.
2. Ф.Ф. Лысенко. Алгебра. 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации2009// Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008.
3. Ф.Ф. Лысенко. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные
испытания // Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008.
4. С.С. Минаева, Л.О. Рослова. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к
итоговой аттестации (по новой форме). 9 класс //М.: Издательство
«Экзамен», 2008.
5. Л.О.Денищева, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов, И.Н.Сергеев. ЕГЭ-2008.
Федеральный банк экзаменационных материалов (открытый сегмент).
Математика// ФИПИ, М.: Эксмо, 2007.
6. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский,
П.В.Семенов. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебнотренировочные материалы для подготовки учащихся//ФИПИ, М.:
Интеллект-Центр, 2007.
7. В.И.Ишина, Е.М.Бойченко, Г.А.Захарова. Единый государственный
экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы 2007//
ФИПИ, М.: Вентана-Граф, 2007.
8. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания //
Ростов-на-Дону, Легион, 2007.
9. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные
материалы: Репетиционная сессия 1. // М.: Вентана-Граф, 2006.
10. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные
материалы: Репетиционная сессия 2. // М.: Вентана-Граф, 2006.
11. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев,
Ю.А.Глазков. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные
измерительные материалы: Репетиционная сессия 3. // М.: Вентана-Граф,
2007.
12. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев,
Ю.А.Глазков. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные
измерительные материалы: Репетиционная сессия 4. // М.: Вентана-Граф,
2007.
13. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый
государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные
материалы: Репетиционная сессия 5. // М.: Вентана-Граф, 2007.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Найдите наименьшее значение функции f ( x) 
|x-5,5|≤2,5.
2x
при
x  16
2
1) 0,1
2) 0,3
3) 0,5
4) 0,2
Решение:
1) |x-5,5|≤2,5  -2,5≤x-5,5≤2,5  3≤x≤8.
2) f ( x) 
2( x 2  16)  2 x  2 x
16  x 2
.

2

( x 2  16) 2
( x 2  16) 2
f ( x)  0 при x=4 и x=-4. Заметим, что -4[3;8]. Имеем:
f (3) 
6
8
16
 0,24 , f (4) 
 0,25 , f (8) 
 0,2 .
25
32
80
Наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [3;8] равно 0,2 (ответ
0,2).
Пример 2. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и
является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой
функции при −2≤x≤1. Найдите значение выражения f(-5)-f(-1)+f(12).
1) -3
2) -4
3) 4
4) 0
Решение:
Обозначим период данной функции через T. Согласно условию T=3,
откуда
f(-5)-f(-1)+f(12)= f(-5+T)-f(-1)+f(12-4T)= f(-2)-f(-1)+f(0)=-3-3+2=-4
(ответ -4).
Пример 3. Функция y=f(x) определена на промежутке (a;b). На рисунке
изображен график её производной. Укажите число точек максимума функции
y=f(x) на промежутке (a;b).
1) 3
2) 5
3) 4
4) 7
Решение:
Дифференцируемая функция достигает максимума в некоторой точке,
если в левой полуокрестности этой точки её производная положительна, а в
правой – отрицательна. На заданном графике таких точек четыре (ответ 4).
Пример 4. Укажите наибольшее целое число из области определения
функции y=(35-|3x-11|)-0,5.
1) 15
2) 10
3) 14
4) 16
Решение:
Область
определения
данной
функции
задается
неравенством
35-|3x-11|>0. Решим его:
1
3
35-|3x-11|>0  |3x-11|<35  -35<3x-11<35  -24<3x<46  -8<x<15 .
Тем самым область определения данной функции есть интервал
1
3
(-8; 15 ). Наибольшее целое число из этого интервала равно 15 (ответ 15).
Пример 5. Найдите значение функции у =
3 f ( x)  2 f (  x)
в точке х0, если
2 g ( x)  3 g (  x)
известно, что функция у = f(x) — четная, функция у = g(x) — нечетная,
f(x0)=5, g(x0) = 1.
1) 2
Решение:
2) 5
3) 8
4) 1
1) Так как функция у = f(x) — четная, то по определению для любого
значения из области определения функции выполняется равенство f(-x)= f(x).
Следовательно, f(-x0)=f(x0)=5.
2) Так как функция у = g(x) — нечетная, то по определению для
любого значения из области определения функции выполняется равенство
g(-x)= -g(x). Следовательно, g(-x0) =-g(x0) =- 1.
3) Подставив заданные и полученные значения функций в формулу,
имеем: у =
3 f ( x0 )  2 f ( x0 )
35  2 5

 1 (ответ 1).
2 g ( x0 )  3g ( x0 ) 2  1  3  (1)
Пример 6. Какая из данных функций убывает на всей области
определения?
1) у = sinx; 2) у = ln x; 3) у = |х|; 4) у = -x.
1) 1
2) 4
3) 3
4) 2
Решение:
1) Функция у = sinx возрастает на одних и убывает на других частях
области определения.
2) Функция у = lnx — логарифмическая с основанием е > 1,
следовательно, она возрастает на всей области определения.
3) Функция у = |х| убывает на промежутке (-; 0] и возрастает на
промежутке [0; +).
4) Функция у = 
-x
1

1
< 1, то функция  
x
 
— показательная, так как 
x
1
= ( )    . Так как
 
-x
1 x
(а значит, и функция -x) убывает на всей области
определения (о т в е т 4).
Пример 7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = 7х - 5sinx в точке с абсциссой х0 =

.
2
1)
5 2
2
2)2
3) 3,5-7
4)7
Решение:
Угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке с
абсциссой х0 равен значению производной этой функции в данной точке х0.
Найдем производную данной функции: у'= 7 - 5cosx. Вычислим ее значение
при заданном значении аргумента: у' = 7 - 5cos
Пример
8.
y  8x  6 x 2 , x 
1)
11
8
Найдите
площадь

= 7 - 50 = 7 (о т в е т 7).
2
фигуры,
ограниченной
линиями
1
, x  1, y  0 .
2
2)
1
8
3) 6
4)
13
5
Решение:
1
x2
x3
S=  (8 x  6 x )dx  (8  6 )
2
3
1
1
2
2
2
3
1
1
1
 (4 x 2  2 x 3 ) 1  (4  2)  (4     3    ) 
2
2
2
1
2
3
3 11
11
 2  (1  )  1  
(ответ ).
8
8 8
8
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найдите область определения функции y  6 1  log 0,7 x .
2.
Найдите множество значений функции у = 6х –12.
3.
Найдите наибольшее значение функции f (x) =х (2x−3)6 при |x−1,5|≤0,5.
4.
Найдите наибольшее значение функции y 
40
х
2 3
х
на промежутке
[1; 7].
5.
Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции
при −2≤x≤1. Найдите значение выражения
6.
f (1)  f (9)
.
f ( 2 )
Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 6. При −2≤ x< 4 она задается формулой f (x)
=|x−2|−3. Найдите значение выражения 4 f (11) −2 f (−15).
7.
Функция у = f (x) определена на промежутке (– 2; 7). На рисунке
изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у=f(x)
на промежутке (−2;7).
8. Функция
y  f x 
определена на промежутке (–3;
7). График ее
производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума
функции y  f  x  на промежутке (–3; 7).
y
y = f (x)
1
1
0
x
9. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения
функции у = ln( х  2 x  3 ) .
10. Найдите значение функции у = f(-x)g(x)-g(-x) в точке х0, если известно, что
функция у = f(x) — четная, функция у = g(x) — нечетная, f(x0) = 2, g(x0) = 2.
11. Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.
1
3
1) у = x ; 2) у = ctgx; 3) y= cosx; 4) y = |-x|.
12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 5  x и
3
4
у = - x + 6.
13. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику
функции у = 
4
в его точке с абсциссой х0 = - 2.
x
14. На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в
точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.