Модуль_2

Случайные величины
Случайная величина – это величина, для которой нельзя точно предсказать какое
значение она примет при измерении, но можно дать вероятностный прогноз на значения
которые она принимает.
Случайные величины бывают двух основных типов
Дискретные
Непрерывные
§1. Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина принимает конечное или счётное число значений. Распределение дискретной случайной величины задаётся рядом распределения.
Ряд распределения – это набор значений, каждому из которых в соответствие поставлена
вероятность принятия этого значения случайной величиной. Значения в ряду распределения располагаются в порядке возрастания. Сумма вероятностей в ряду =1. В общем виде
ряд распределения выглядит следующим образом:
X
P
X1
p1
…
X2
p2
Xn-1
pn-1
Xn
pn
Пример 1.
Распределение дискретной случайной величины X задано рядом распределения:
X
P
1
0,2
2
0,1
4
0,5
6
0,1
8
0,05
10
0,05
Видно, что самые большие шансы на появление имеет значение 4, а наименьшие
шансы на появление имеют значения 8 и 10 (сумма вероятностей в ряду равна 1).
Хотя X – это случайная величина, но для неё можно вычислить устойчивые постоянные числовые характеристики.
Математическое ожидание – это среднее ожидаемое значение случайной величины. Математическое значение случайной величины рассчитывается по формуле:
n
MX   X i pi
(1.1)
i 1
Для нашего примера математическое ожидание имеет следующее значение:
MX  1  0,2  2  0,1  4  0,5  6  0,1  8  0,05  10  0,05  3,9
Дисперсия – это среднее ожидаемое значение отклонения случайной величины
от своего математического ожидания в квадрате. Дисперсия случайной величины
рассчитывается по формуле:
1
n
DX   ( X i  MX ) 2 pi
(1.2)
i 1
Для нашего примера дисперсия имеет следующее значение:
DX  (1  3,9) 2  0,2  (2  3,9) 2  0,1  (4  3,9) 2  0,5  (6  3,9) 2  0,1 
 (8  3,9) 2  0,05  (10  3,9) 2  0,05  5,19
Среднее квадратическое отклонение  X для случайной величины X рассчитывается по формуле
X 
DX - это корень из дисперсии, оно реально характеризует средний раз-
брос случайной величины относительно своего математического ожидания:
Для нашего примера среднее квадратическое отклонение имеет следующее
значение:
5,19  2,28
Чтобы рассчитать вероятность нашей случайной величины попасть в интервал
надо просуммировать вероятности значений, которые попадают в этот интервал. Вероятность рассчитывается по формуле:
(1.3)
P( X [a; b])   pi
i : X i [ a; b ]
Для нашего примера :
P{ X [2;6]}  P{ X  2}  P{ X  4}  P{ X  6}  0,1  0,5  0,1  0,7
P{ X [2;6)}  P{ X  2}  P{ X  4}  0,1  0,5  0,6
P{ X  (2;6)}  P{ X  4}  0,5
Некоторые основные (именные) дискретные распределения:
1. Биномиальное распределение:
Пусть проводится n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p . Рассматривается с.в. X -- число успехов в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. X в
формульном виде выглядит следующим образом:
k
k nk
P{ X  k}  C n p q
, k  0, n,
Ограничения на параметры: 0  p  1, n  N (1.4)
q  1 p
Говорят, что с.в. X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p .Это
дискретная случайная величина с конечным множеством значений.
MX  np
DX  npq - числовые характеристики для биномиального распределения
Частный случай: при n  1 говорят, что с.в. X имеет распределение Бернулли с параметром p . Ряд распределения c.в. X выглядит следующим образом:
X 0 1
P q p
Задача (пример на применение биномиального распределения)
2
Вероятность приёма самолётом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Рассматривается с.в.
X -- число принятых сигналов при шестикратной передаче.
Найти распределение с.в. X.
Решение:
Найти распределение дискретной с.в. --- это значит построить ряд распределения.
Видно, что случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами
n =6 и p =0.7 (успех-это принятие сигнала)
Запишем ряд распределения в формульном виде.
P{X  k}  C6k (0,7) k (0,3) 6k , k  0,6 .
Можно произвести расчёт и записать ряд распределения в виде таблицы.
2. Геометрическое распределение
Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p до достижения первого успеха. Рассматривается с.в. X --- число неудач в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. X выглядит в формульном виде следующим образом :
k
k
P{X  k}  q  p  (1  p)  p, k  0, 
Ограничения на параметры: 0  p  1 (1.5)
Говорят, что с.в. X имеет геометрическое распределение с параметром p . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений.
MX 
q
p
DX 
q
p2
- числовые характеристики для геометрического распределе-
ния
Задача (пример на применение геометрического распределения).
Ведётся стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.8 и неограниченным боезапасом до первого попадания. Рассматриваются 2 случайные величины:
X – число выстрелов
Y – число промахов
Найти распределение с.в. X и Y. С.в. X имеет сдвинутое геометрическое распределение, а с.в. Y
имеет геометрическое распределение. Ряды распределения в формульном виде имеют вид:
P(X  k )  0,2 k 1  0,8, k  1,2,...
P(Y  k )  0,2 k  0,8, k  0,1,2...
§2. Непрерывные случайные величины
Множество значений непрерывной случайной величины непрерывно. Это либо отрезок, либо луч, либо вся числовая прямая R
Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью плотности p  ( x )
Условие нормировки:

  p  (u )du  1
(2.1)
(если плотность задана с точностью до константы, то константа ищется из условия
нормировки)
Пример: Непрерывная случайная величина  задана своей плотностью
3
2 x, x  (0,1)
p ( x )  
0, x  (0,1)
2
2 x 1
0
0
0.5
1
x
Если бы случайная величина была задана с точностью до константы a, то константу искали бы с помощью условия нормировки (см. выше):
ax, x  (0,1)
p ( x )  
0, x  (0,1)
1
a  x 1
=> a  2
0
Для непрерывной случайной величины также можно вычислить основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение)
M  


xp  ( x )dx - формула для расчёта математического ожидания непрерывной
случайной величины
(2.2)
В нашем примере:
x3
M    xp ( x)dx   x  2 xdx  2 
3
0
1

1
0
1
2
 2  (  0)  -среднее ожидаемое зна3
3
чение

D    x 2 p ( x)dx ( M) 2 формула для расчёта дисперсии непрерывной случайной величины
В нашем примере:
(2.3)

D    x 2 p ( x)dx ( M) 2 =
1
2
4
x
 2
 x  2  x  dx   3   2  4
0
2
1

0
4
1
4 1 4 98 1
 2(  0)    
  0,67
9
4
9 2 9
18 18
- средний разброс случайной величины своего относительно математического ожидания в квадрате
4
Среднее квадратическое отклонение – это корень из дисперсии (это средний разброс
с.в. относительно своего математического ожидания). В нашем примере
   D 
1
 0,24
18
Расчет вероятности попасть в интервал производится по формуле:
P{x1  X  x 2 }  P{x1    x 2 }  P{x1    x 2 }  P{x1    x 2 } 
x2
 p  (u)du
(2.4)
x1
В нашем примере:
P{0.3    0.7}  P{0.3    0.7} 
0.7
0.7
 p ( x)dx   2 xdx 0.4
0.3
вероятность в непре-
0.3
рывном случае не зависит принадлежат концы интервалу или нет
Основные (именные) непрерывные распределения:
1. Нормальное распределение:
Плотность нормального распределения с параметрами m и  ( m  R ,   R ,  0) имеет вид:
 m,  ( x ) 

1
2
e
( x  m) 2
2 2
, xR
Функция распределения нормального распределения с параметрами m и  в явном виде не
выражается : её можно записать только как интеграл от плотности:
x
 m,  ( x ) 
  m,  (u )du

У нормального распределения m --- параметр расположения, а  --- параметр масштаба. Параметра формы у нормального распределения нет.
Графики плотности нормального распределения m  3, m  6,  1   2
0.199
0.2
dnorm( x 3  2)
dnorm( x 6  2)
0.1
6
7.99210
0
3
3
0
3
6
9
x
12
12
5
График сплошной соответствует значению m  3 , а график пунктирный соответствует
значению m  6. При изменении параметра m график сдвигается вдоль оси x.
График плотности нормального распределения m1  m2  0,  1  2,  2  4
График сплошной соответствует значению   2 , а график пунктирный   4.
0.2
dnorm( x 0  2)
dnorm( x 0  4)
0.1
0
10
0
10
x
При уменьшении параметра  график плотности сжимается, а при увеличении растягивается.
Гистограмма для выборки из нормального распределения : m  0,   10
Объём выборки=600.
185
200
f
F( int )
100
0
0
40
20
 30.867
0
20
int
40
33.133
Histogram
Normal distribution
Гистограмма относительных частот для выборки из нормального распределения :
m  0,   10 с наложенной плотностью нормального распределения:
0.043
0.06
0.04
f
F( int )
0.02
0
0
40
20
 30.867
0
20
int
40
33.133
Histogram
Normal distribution
6
Нормальное распределение имеет рост человека, вес человека, погрешность измерений
некоторой величины и т.д.
DX   2
MX  m
-числовые характеристики нормального распределе-
ния.
2. Равномерное распределение.
Плотность равномерного распределения на отрезке [a;b]:
 1
, x  (a ; b )

p  (x)   b  a
0, x  (a; b)
График плотности распределения для равномерного распределения на отрезке
[1;3]
1
1
dunif ( x 1  3)
2
1
1
0 1
2
3
4
5
1
2
x
5
Гистограмма для выборки из равномерного распределения на отрезке [0;10]
Объём выборки равен 600 наблюдений.
82
100
f
F( int )
50
0
0
0
0.333
5
10
int
15
10.333
Histogram
Uniform distribution
Гистограмма относительных частот с наложенной теоретической плотностью для
выборки из равномерного распределения на отрезке [0;10]/
Объём выборки равен 600 наблюдений.
7
0.123
0.1
f
F( int )
0.05
0
0
0
5
10
0.333
15
int
10.333
Histogram
Uniform distribution
ab
2
пределения.
MX 
DX 
(b  a ) 2
12
числовые характеристики для равномерного рас-
3. Экспоненциальное распределение
Плотность экспоненциального распределения с параметром  (  0) .
0, x  0
p  (x)  
  e  x , x  0
Экспоненциальное распределение используется для моделирования времени
между поступлениями заявок в систему (например, звонков на АТС или запросов в
базу данных)
График плотности экспоненциального распределения с параметром   2
1
1
dexp ( x 2)
10
1
0
10
x
10
1
 10
Гистограмма для выборки из экспоненциального распределения с параметром
  0.2 Объём выборки =600 наблюдений.
8
217
300
200
f


F( int )
100
4.37110
3
0
0
5
0.617
10
15
int
20
19.117
Histogram
Exponential distribution
Гистограмма относительных частот с наложенным графиком теоретической
плотности распределения для выборки из экспоненциального распределения с параметром   0.2 Объём выборки =600 наблюдений.
0.177
0.2
f

 0.1
F( int )
4.05410
3
0
0
5
0.617
10
15
int
20
19.117
Histogram
Exponential distribution
1

распределения.
MX 
DX 
1
2
числовые характеристики для экспоненциального
9