1.4. распределение больцмана.1.5. длина свободного пробега

1.4. Распределение Больцмана
1.4.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10 21кг. Во
сколько раз уменьшится их концентрация при увеличении высоты на
h = 10 м? Температура воздуха остаётся постоянной Т = 300 К.
Решение:
1. Запишем уравнение распределения частиц в силовом поле, в данном случае, в поле силы тяжести
 U 
 ,
(1)
n  n 0 exp  
 k BT 
где n концентрация частиц в искомой точке пространства, n0 концентрация частиц на уровне, принятом за нулевой, U потенциальная энергия частиц, kB постоянная Людвига Больцмана, Т абсолютная температура.
2. Как известно, в поле силы тяжести, частицы, имеющие массу, обладают потенциальной энергией U = mgz, где z расстояние от поверхности земли до данной частицы. Таким образом, поверхность планеты
выбирается как эквипотенциаль нулевого уровня. Уравнение (1) в этой
связи можно переписать следующим образом
 mgz 
 .
(2)
n  n 0 exp  
 k BT 
3. Чтобы определить во сколько раз изменится концентрация пылинок при изменении высоты на h = 10м, необходимо найти отношение
их концентраций. Примем начальную высоту за h, тогда уравнение (2)
для заданных условий можно переписать следующим образом
 mgh 
 mg (h  h 
 , n 2  n 0 exp  
 ,
(3)
n 1  n 0 exp  
k BT
 k BT 


4. Поделим уравнения (3) друг на друга
 mg h 
n1
 10 21 10 10 
  exp 
  e 23,8  2,2 10 10 .
 exp 
(4)
23
n2
k
T
1
,
4

10

300


 B 
1.4.2. Одинаковые частицы массой m = 1015 кг каждая распределены в однородном гравитационном поле напряжённостью G = 210 7
H/кг. Определить отношение концентраций частиц n1/n2, отстоявших
74
на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии z = 10 м. Температуру считать постоянной и равной Т = 290 К.
Решение
1. Напряжённость гравитационного поля G [Н/кг] по размерности
эквивалента размерности ускорения свободного падения g [м/с2], поэтому для определения отношения концентраций можно воспользоваться уравнением (4) предыдущей задачи
 mG z 
n1
 10 15  2 10 7 10 
  exp 
  e 0,5  1,63 .
(1)
 exp 
23
n2
k
T
1
,
4

10

290


 B 
1.4.3. В некой неубранной комнате при постоянной температуре Т
= 300 К витают в воздухе взвешенные частички массой m = 110 21 кг.
Отношение концентрации пылинок на высоте h = 1 м и у пола составляет h/h0 = 0,8. Возможно ли по этим данным определить значение
постоянной Авогадро?
Решение
1. Запишем уравнение распределения частиц в постоянном силовом
поле Больцмана
 U 
 ,
(1)
n  n 0 exp  
 k BT 
2. Постоянная Больцмана может быть выражена через универсальную газовую постоянную и число Авогадро kB = R/NA, уравнение (1)
перепишется следующим образом
 mghN A 
n  n 0 exp  
(2)
.
RT 

3. Отношение концентраций примет следующий вид
n
 mghN A 
 0,8  exp  
(3)
,
n0
RT 

откуда
RT ln 0,8 8,3  300  0,24
 mghN A 
ln 0,8   

 5,98 10 23 . (4)
,  N A 
21
RT 
mgh
10 10 1

1.4.4. Отношение концентрации взвешенных частиц в слоях, отстоящих на расстоянии h = 1 м друг от друга, равно е. Частицы
находятся в однородном поле силы тяжести при постоянной температуре Т = 300 К. Найти силу F, действующую на частицу.
75
Решение
1. Воспользуемся уравнением (1) задачи 1.4.2 и выразим из него
действующую на частицу силу
 mG z 
 Fh 
n1
  exp 
  e ,
(1)
 exp 
n2
 k BT 
 k BT 
k T ln e 1,4 10 23  300 1
F B

 4,2 10 21 H .
(2)
h
1
1.4.5. Известно, что Блез Паскаль исследуя природу атмосферного
давления, просил свих родственников подниматься с ртутным барометром на гору Пюи-де-Дом и делать записи показаний. На сколько изменились показания прибора при поднятии его на высоту h = 100 м при постоянной температуре Т = 300 К.
Решение
1. Будем считать, что у подножия горы атмосферное давление нормальное, т.е. р0 = 0,1 МПа, молярная масса воздуха  = 310 2 кг/моль.
2. Запишем далее барометрическую формулу и преобразуем её для
показаний барометра на высоте h = 100 м.
 gh 
 gh 
p  p 0 exp  
(1)
 ,  p  p 0 exp  
.
RT


 RT 
 3 10 2 10 100 
  9,876 10 4 Па .
p  10 5 exp  
(2)
8
,
3

290


3. Разность показаний барометра у подножья горы и на высоте 100 м
над уровнем моря составит
p  p 0  p  1,23 10 3 Па .
(3)
1.4.6. При вертикальном подъёме аэростата на борту которого
установлен барометр, зафиксировали уменьшение давления в три раза
по сравнению с нормальным р0 =0,1 МПа. Температура Т = 290 К оставалась постоянной. На какой высоте это произошло?
Решение
1. На искомой высоте показания барометра составили p = p0/3 
3,3104 Па. Барометрическая формула примет при этом вид
p
gh
ln0,333  RT
 gh 
p  p 0 exp  

,  h
.
(1)
 ,  ln
RT
g
p
RT


0
76
h
1,1  8,3  290
 8826 м .
3 10 -2 10
(2)
1.4.7. В кабине летательного аппарата барометр показывает давление р = 70 кПа. На какой высоте находится аппарат, если при взлёте
барометр фиксировал давление р0 = 0,1 МПа? Температуру считать
постоянной Т = 290 К.
Решение
1. Представим барометрическую формулу в следующем виде
p
 gh 
 exp  
,
p0
 RT 
откуда
h
ln 0,143  RT
1,94  8,3  290

 15565 м .
g
3 10 2 10
(1)
(2)
1.4.8. На некоторой высоте при температуре Т = 220 К бортовой
барометр самолёта показывает давление р0 = 24 кПа. На сколько изменилась высота, ели показания прибора изменились на р = 100 Па?
Решение
1. Запишем барометрическую формулу, воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи
p 0  p
p  p  gh 
 gh 
 exp  
 
(1)
 , ln 0
.
p0
p0
 RT 
 RT 
2. Выразим из уравнения (1) величину h
 p  p 
RT
ln  0
p 0 
4 10 3  8,3  220

(2)
h 

 25 м .
g
3 10 2 10
1.4.9. Барометр на борту летательного аппарата показывает давление р = 70 кПа. Какова будет величина ошибки при определении высоты в горизонтальном полёте h, если температура воздуха изменится на Т = 4 К ?
Решение
1. Представим барометрическое уравнение следующим образом
77
p
 gh 
 exp  
.
p0
 RT 
(1)
2. Выразим из уравнения (1) величину ошибки h и подставим заданные величины
ln p p 0 RT ln 7 10 4 110 5  8,3  4
(2)
h 

 39,5 м .
g
3 10 2 10
1.4.10. Установить, пользуясь функцией распределения Больцмана,
распределение однородных частиц массой m, с концентрацией n, в центрифуге в функции расстояния от оси вращения r. Ротор центрифуги
вращается с постоянной угловой скоростью .
Решение
1. В данном случае частицы будут находиться в поле центробежных
сил, поэтому энергия частицы будет определяться уравнением
mv 2 m2 r 2


.
(1)
2
2
2. Распределение частиц вдоль радиуса центрифуги в общем виде
можно представить следующим образом

 
 ,
(2)
n  n 0 exp  
 k BT 
где n концентрация частиц на данном удалении от оси вращения, n0
концентрация частиц на оси вращения,  энергия частицы, в данном
случае кинетическая.
3. Подставим в уравнение (2) значение энергии  из соотношения (1)
 m2 r 2 
 .
(3)
n  n 0 exp  
 2k B T 
1.4.11. Ротор ультрацентрифуги радиуса r = 1 м вращается с частотой n = 100 с -1, раскручивает газообразное вещество с относительной молекулярной массой Mr = 103 при температуре Т = 1000 К.
Определить отношение концентрации частиц на оси устройства и на
его периферии nr/n0.
Решение
1. Молярная масса газообразного вещества равна  = 1 кг/моль, угловая скорость ротора центрифуги равна  = 2n = 6,28102 рад/с
2. Для определения отношения концентраций воспользуемся урав78
нением (3) предыдущей задачи, заменив предварительно комбинацию
величин m/kB, на /R
  2 r 2 
 .
n r  n 0 exp  
(1)
 2RT 
3. Определим отношение концентраций, поделив уравнение (1) на
осевую концентрацию n0
nr
  2 r 2 
 1  628 2 1 
  exp  
  e 24  2,6 10 10 ,
 exp  
(2)
3 
n0
2
RT
2

8
,
3

10




высокая скорость вращения ротора обеспечивает значительные центростремительные ускорения, что и приводит к сосредоточению большинства молекул газа в периферийной части ультрацентрифуги.
1.4.12. В центрифуге находится криптон, при температуре Т = 300
К. Ротор центрифуги радиусом r = 0,5 м вращается с постоянной частотой n = 50 с -1. Определить давление газа на стенки ротора p, если
на оси вращения давление равно нормальному атмосферному давлению
р0 = 105 Па.
Решение
1. Запишем уравнение распределения Больцмана в следующем виде
 2n 2 r 2 
  2 r 2 
  p 0 exp 
(1)
p  p 0 exp 
.
 2RT 
 2RT 
2. Определим величину давления на стенки ротора
 0,84  314 2  0,25 
5
4,3
6
p  10 5  exp 
  10  e  7,4 10 Па .
2  8  300


1.4.13. Центрифуга с радиусом ротора r = 0,4 м и угловой скоростью вращения  = 500 рад/с заполнена газом при температуре Т =
300 К. Давление у стенки ротора в 2,1 раза больше нормального атмосферного давления р0 = 105 Па. Определить, какой газ находится в центрифуге?
Решение
1. Для идентификации газа необходимо определить его относительную молекулярную массу, для чего достаточно уравнение (1) предыдущей задачи переписать в следующем виде
  2 r 2 
  2 r 2 
p
 ,
, 
p  p 0 exp 
 exp  r
(1)
p0
 2RT 
 2RT 
79
ln p p 0 2RT
0,74 16,6  271
(2)

 83 .
3
2 2
10  r
2 10 3500 2  0,16
Наиболее близким по относительной молекулярной массе к полученному результату является радон.
r 
1.4.14. Определите величину давления в вертикальной шахте глубиной 2 км, если по всей её высоте температура и ускорение свободного
падения сохраняются постоянными: Т = 10 0С, g  10 с/с2.
Решение
1. В данном случае при определении потенциальной энергии единичной молекулы необходимо учесть величину заглубления
 3 10 2 10  2 10 3 
 gh 
5
  0,13 МПа .
p  p 0 exp  
(1)
  10  exp  
8,3  283
 RT 


1.4.16. Планер по причине безопасности может подниматься на
высоту, где атмосферное давление р составляет 60% от нормального
р0= 0,1 МПа. Найти предельную высоту полёта планера, если температура воздуха за его бортом остаётся постоянной и равной t = 5 0С.
Решение
1. Предельную высоту полёта планера определим, используя барометрическую формулу в следующем виде
p
gh
 gh 
p  p 0 exp  

.
(1)
,  ln
RT
p
RT


0
2. Решим уравнение (1) относительно искомой высоты полёта
RT  ln0,6 8,3  278  0,5
h
 3846 м .
(2)
g
0,3
1.4.17. На высоте h1 = 8000 м ощущается кислородное голодание.
Для создания приемлемых условий в герметичных багажных отсеках
транспортных самолётов поддерживается давление, соответствующее высоте h2 = 2000 м. Определить разность давлений в кабине самолёта и за бортом при температуре воздуха t2 = 10 0C.
Решение
1. Определим давление р2 на высоте h2, воспользовавшись барометрической формулой
80
 gh 2 
 0,03 10  2 10 3 
  110 5 exp    0,769 10 5 Па . (1)
p 2  p 0 exp  
RT
8,3

283


2 

2. Определим давление воздуха за бортом на высоте h1 = 8000 м
 gh1 
 0,3  8 10 3 
  10 5  exp  
  0,36 10 5 Па .
(2)
p1  p 0 exp  
RT
8
,
3

283


2 

3. Разность давлений в грузовом отсеке и за бортом, таким образом,
составит
p  p 2  p1  0,41 10 5 Па .
(3)
14.18. Плотность воздуха зависит от высоты подъёма над поверхностью земли. Определить отношение плотностей воздуха на высоте
h1 = 10 км, где температура равна t1= 50 0C и на поверхности при температуре t2 = 27 0C. Нормальное атмосферное давление принять равным p0 = 0,1 МПа.
Решение
1. Зависимость плотности от давления можно установить из уравнения Клайперона Менделеева. Для плотности воздуха 0 на поверхности
земли
p
RT2
m
m RT2
p 0 V  RT2 ,  p 0 
 0
,  0  0 ,
(1)

V 

RT2
10 5  0,03
кг
(2)
 1,2 3 .
8,3  300
м
2. Плотность воздуха на высоте h1 определим, преобразовав барометрическую формулу
 gh1 
 gh1 
p1 p 0
, 
 ,
(3)
p1  p 0 exp  

exp  
V V
 RT1 
 RT1 
0 
 gh1 
 0,03 10 10 4
  1,2  exp  
1   0 exp  
8,3  223

 RT1 
3. Отношение плотностей определится как
0
1,2

 5,2 .
1 0,23
81

кг
  0,23 3 .
м

(4)
(5)
1.5. Длина свободного пробега молекул и частота их столкновения
1.5.1. Атомарный водород содержат при давлении р = 1 Па при
температуре Т = 50 К. Какова длина свободного пробега атомов?
Решение
1. Запишем уравнение для длины свободного пробега
1
 
,
2 d 02 n
(1)
где d 0  1,510 10 м эффективный диаметр атома или молекулы, который, как правило, заимствуется из справочника, n концентрация, в данном случае атомов.
2. В уравнении (1) неизвестна концентрация атомов, которую можно
найти, воспользовавшись следствием основного уравнения МКТ
p
p  nk B T,  n 
.
(2)
k BT
3. Подставим значение n из уравнения (2) в уравнение (1)
k BT
1,4 10 2350
 

 7 10 3 м .
(3)
20
2
1
,
41

3
,
14

2
,
25

10

1
2 d 0 p
1.5.2. Определить величину давления р при котором длина свободного пробега молекул хлора Cl2 составляет  = 0,1 м, если температура
газа равна Т = 1000 К.
Решение
1. Из уравнения для давления газа выразим величину концентрации
молекул, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи
p
p  nk B T,  n 
.
(1)
k BT
2. Подставим выражение для концентрации из (1) в уравнение для
длины свободного пробега
k BT
 
.
(2)
2 d 02 p
3. Выразим из уравнения (2) искомое давление, при учёте значения
диаметра молекул d0 = 3,710 10 м
82
p
k BT

2d 02

1,4 10 -23 10 3
 0,23 Па .
0,11,41  3,14 1,37 10 19
(3)
1.5.3. В газоразрядной трубке объёмом V = 1 л содержится гелий
массой m = 2 г. Определить длину свободного пробега молекул газа.
Решение
1. Диаметр молекул гелия примем равным d0 = 210 10 м, молярная
масса гелия  = 410 3 кг/моль.
2. Запишем уравнение для длины свободного пробега молекул газа,
воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.5.1
k BT
 
.
(1)
2 d 02 p
3. Давление р выразим из уравнения Клайперона Менделеева
m
(2)
p
RT .
V
4. Совместим уравнения (1) и (2)
k B TV
k B V
1,4 10 2 3  4 10 3 10 3
 


 1,9 10 8 м
2 0
3
2 d 02 mRT
2 d 02 mR 1,41  3,14  4 10  2 10  8,3
1.5.4. Средняя длина пробега молекул кислорода О2 составляет   
= 10 см. Определить плотность газа.
Решение
1. Воспользуемся последним уравнением предыдущей задачи
k B TV
k B V
 

,
2
2 d 0 mRT
2 d 02 mR
и выразим из него плотность  = m/V
k B
 
.
2 d 02 R
2. Разрешим уравнение (2) относительно плотности 
k B
.

 2d 02 R
(1)
(2)
(3)
3. Подставим в уравнение (3) следующие характеристики газа:  =
3210 3 кг/моль, d 02  3 10 1 0 м
83

1.4 10 23  32 10 3
кг
 1,3 10 6 3 .
20
0,11,41  3,14  9 10  8,3
м
(4)
1.5.5. Электровакуумный прибор содержит некоторое количество
атмосферного воздуха при температуре t = 100 0С. Давление в колбе
составляет р = 110 2 Па. Можно ли считать прибор вакуумированным, ели характерный размер устройства L = 10 см?
Решение
1. Чтобы установить высокий ли вакуум внутри прибора, необходимо, чтобы длина свободного пробега имеющихся молекул газа была
существенно больше характерного размера, т.е.     L.
2. Перепишем уравнение (1) задачи 1.5.3
k BT
 
.
(1)
2 d 02 p
3. Подставим в последнее уравнение заданные по условию задачи
параметры, а также d 0  3,210 10 м
1,4 10 -23  373
(2)
 118 м .
1,41  3,14 110 19 10 4
4. Так как  L  1180 , можно считать, что прибор является высоко
вакуумированным устройством.
 
1.5.6. Молекулы водорода Н2 имеют при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега   110 7 м. Оценить диаметр молекулы водорода и сравнить с табличным значением.
Решение
1. Для оценки диаметра молекулы водорода воспользуемся уравнением (2) задачи 1.5.2
k BT
 
,
(1)
2 d 02 p
откуда выразим диаметр d0

2d 02 p  k B T,  d 0 
k BT

2p
.
(2)
2. Подставим в уравнение (2) заданные по условию величины и табличные данные и оценим диаметр молекулы водорода
84
1,41 10 23  273
 2,94 10 10 м .
(3)
110 7 1,41  3,14 10 5
3. В соответствии с табличными данными диаметр молекулы водорода составляет d0 = 2,510 10 м, ошибка приближённой оценки составляет   15%.
d0 
1.5.7. Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота
N2 в воздухе при нормальных условиях. Диаметр молекулы азота принять равным d0 = 0,32 нм.
Решение
1. Запишем табличные данные, дополняющие условие задачи: р = 0,1
МПа, Т = 273 К,  = 2810 3 кг/моль.
2. Определим среднюю длину свободного пробега, воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи
k BT
1,4 10 -2 3  273
 

 84 ,5 нм .
(1)
1 9
5
2 d 02 p 4,42 10 10
1.5.8. На околоземной орбите, на высоте h = 100 км среднегодовая
температура составляет, примерно t  77 0С. Диаметр молекул водорода и гелия, которые наиболее вероятны на этих высотах, можно
принять равным d0  210 10 м. Определить длину свободного пробега
молекул этих газов.
Решение
1. Чтобы воспользоваться уравнением (1) предыдущей задачи, необходимо вычислить давление на заданной высоте
 2 10 3 10 5 
 gh 
5
4
p  p 0 exp  
(1)
  10 exp  
  3 10 Па .
RT
8
,
3

196




2. Определим среднюю длину свободного пробега молекул
k BT
1,4 10 -23 196
 

 5 10 7 м .
(2)
20
4
2 d 02 p 4,42  4 10  3 10
1.5.9. На высоте h = 300 км над поверхностью Земли концентрация
частиц составляет n  1015 1/м3. Средний диаметр частиц равен d0 =
0,3 нм. Определить длину свободного пробега частиц на этой высоте.
85
Решение
1. Длина свободного пробега частиц определится в этом случае по
уравнению
1
1
 

 5630 м .
(1)
20
15
2 d 02 n 4.44  4 10 10
Полученный результат не является удивительным, потому что концентрация частиц на обсуждаемой высоте мала, поэтому околоземную среду можно считать вакуумом.
1.5.10. В закрытом сосуде азот N2 содержится при давлении 100
кПа и температуре 27 0С. определить длину свободного пробега молекул
Решение
1. В данном случае уместна формула (1) задачи 1.5.7, т.е.
k BT
1,4 10 23  300
 

 9,5 10 11 м .
19
8
2
2 d 0 p 1,41  3,14 110 10
(1)
1.5.11. Установить зависимость средней длины свободного пробега
   молекул идеального газа от величины давления при изохорном и
изобарном процессах.
Решение
1. Установим зависимость    =f(p) для изохорного процесса, для
чего запишем уравнение Клайперона Менделеева в следующем виде
m RT
RT
.
(1)
p

V 

2. Подставим полученное уравнение давления в формулу (1) предыдущей задачи
k BT
k B T
k B
 


.
(2)
2
2
2 d 0 p
2 d 0 RT
2 d 02 R
3. Уравнение (2) представляет собой набор постоянных величин,
плотность газа так же не меняется  = m/V, потому что объём неизменен
во время изменения состояния. Таким образом, при изохорном процессе
средняя длина свободного пробега молекул идеального газа не зависит
от величины давления.
4. Проанализируем зависимость    =f(p) для изобарного процесса
при p = const. В этом случае согласно уравнению (2) длина свободного
пробега будет обратно пропорциональна величине давления р  1/р.
86
1.5.12. Определить среднее число столкновений z за 1 секунду
молекулы азота N2, находящегося при давлении 1 МПа и температуре t
= 27 0C.
Решение
1. Запишем уравнение для среднего числа столкновений молекул
газа
z  2 d 02 n v .
где d
2
0
(1)
квадрат эффективного диаметра молекулы, n концентрация мо-
лекул, v
средняя арифметическая скорость молекул.
2. Определим концентрацию молекул из уравнения для давления
газа
p
p  nk B T,  n 
.
(2)
k BT
3. Найдём далее среднюю арифметическую скорость молекул газа
при заданных условиях
8RT
.
(3)

4. Подставим полученные значения концентрации и средней скорости v Ар и табличные значение диаметра молекулы d0 = 3,210 10 м и
v Ар 
молярной массы азота  = 2810 3 кг/моль в исходное уравнение (1)
z  2d 02
p
8RT
10 6
8  8,3  300

 4,44 10 19 


23
k BT

1,4 10  300 3,14  28 10 3
 5 10 1 0 с 1 .
(4)
1.5.13. Молекулярный водород при нормальных условиях занимает
объём V = 10 9 м3. Найти число столкновений N , которые испытывают все молекулы газа в течение 1 с.
Решение
1. По условию задачи:  = 210 3 кг/моль, d0 = 2,510 10 м, р = 0,1
МПа, Т = 273 К.
2. Определим массу газа заключенного в заданном объёме
m
pV
.
(1)
pV  RT  m 

RT
3. Найдём число молекул газа, составляющих заданный объём
87
mN A
m
N

,  N
.
(2)
 NA

4. Средняя арифметическая скорость молекул водорода составит
8RT
.
(3)

5. Для нахождения концентрации молекул воспользуемся уравнением (2)
N pVN A pN A
p
.
(4)
n 


V VRT
RT
k BT
6. Определим среднее число столкновений одной молекулы водорода за 1 секунду
v 
z  2d 02 n v  2d 02
p
kB
8R
,
 T
10 5
8  8,3
 1,2 10 10 c 1
1,4 10 23 3,14  2 10 3  273
7. Найдём число столкновений всех молекул за 1 секунду
pV
10 5 10 9
N  z N  z
 1,2 10 10 
 3 10 26 .
k BT
1,4 10 -23  273
z  4,44  6,25 10 20
(5)
(6)
(7)
1.5.14. В газоразрядной трубке находится неон при температуре Т
= 300 К и давлении р = 1 Па. Определить число атомов газа, ударяющихся за 1 секунду о катод прибора, имеющий форму диска площадью s
= 110 4 м.
Решение
1. Определим концентрацию молекул газа в трубке
p
p  nk B T,  n 
.
(1)
k BT
2. Запишем уравнение для средней арифметической скорости молекул неона
8RT
.
(2)

3. Определим среднее значение числа столкновений молекул, приняв
величину эффективного диаметра молекулы d0 = 3,510 10 м
v 
88
z  2d 02 n v  2d 02
p
8RT
,
k B T 
(3)
8  8,3  300
(4)
 7 10 4 c 1 .
1,4 10  300 3,14  2 10 2
4. Определим площадь поперечного сечение одной молекулы неона
1
3,14 1,2 10 19
(5)
s 0  d 02 
 9,4 10 20 м 2 .
4
4
5. Найдём число , способных одновременно соприкоснуться с поверхностью катода
s
1 10 4
N 
 110 15 .
(6)
s 0 9,4 10 20
6. Определим общее число атомов неона, попадающих на катод в
течение 1 секунды
(7)
N   N z  7 1019 .
z  4,44 1,2 10 19 
1

23
1.5.15. Определить среднюю продолжительность  свободного
пробега молекул кислорода при температуре T = 250 K и давлении р =
100 Па.
Решение
1. Для определения средней частоты соударения молекул кислорода
воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи
p 8R
.
(1)
k B  T
2. Среднее время свободного пробега между соударениями молекул
будет численно равно периоду соударений, т.е.
z  2d 02 n v  2d 02
k  T
k
1
 T
 B2
 B2
.
(2)
z

pd
16
R
pd 0 16 R
0
3. Подставим в уравнение (2), наряду с заданными по условию задачи величинами, следующие табличные данные:  = 3210 3 кг/моль, d0 =
310 10 м, R = 8,3 Дж/(мольК)
 
 
1,4 10 -23
3,14 10 2  9 10 20
3,14  32 10 3  250
 215 нс .
133
(3)
1.5.16. Установить зависимость средней длины свободного пробега
молекул идеального газа от температуры Т при изохорном процессе.
89
Решение
1. Запишем уравнения для средней длины свободного пробега молекулы и уравнение для концентрации молекул, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.5.14
k BT
p
1
 
 
,
,
.
(1)
n
2
k BT
2 d 0 n
2 d 02 p
2. Выразим далее давление р из уравнения Клапейрона Менделеева
и подставим в уравнение (1)
k B TV
RT
pV  RT, p 
,
 
,
(2)
V
2 d 02 RT
 
k BV
,
(3)
2 d 02 R
где  количество вещества, V объём газа.
3. Как видно из уравнения (3) длина свободного пробега молекул от
температуры не зависит.
1.5.17. Найти зависимость среднего числа столкновений молекул
z идеального газа в 1 секунду от давления р при изохорном способе
изменения состояния. Зависимости представить в виде качественного
графика.
Решение
1.Запишем уравнение для среднего числа столкновений молекул
идеального газа, подставив в это уравнение значение концентрации молекул из уравнения (1) предыдущей задачи
z  2 d 02 n v  2 d 02
(1)
2. Выразим температуру из уравнения
Клайперона Менделеева
pV
pV  RT,  T 
,
(2)
R
и подставим значение Т в уравнение (1)
z
z  2 d 02
0
8Rp 2
.
 k 2B T
p
 2d 02
90
8Rp 2 R
8R 2 p
2

2

d

0
 k 2B pV
 k 2B V
8N 2A mp
,
2V

z  p . (3)
1.5.18. Какую максимальную концентрацию молекул водородаН2
нужно обеспечить, чтобы в сферическом сосуде радиусом r = 0,1 м они
не сталкивались друг с другом?
Решение
1. Чтобы выполнялось заданное условие необходимо, чтобы средняя
длина свободного пробега  превосходила размеры сосуда, т.е.
1
  2r 
.
(1)
2 d 02 n
2. выразим из уравнения (1) концентрацию атомов водорода Н подставив значение эффективного диаметра молекул d0 = 0,25 нм
1
1
1
n

 1,8 10 19 3 .
(2)
20
2
1
,
41

3
,
14

6
,
25

10

0
,
2
м
2 d 0 2r
1.5.19. Оценить число молекул воздуха, соударяющихся в секунду со
стеной вашей комнаты на её площади S = 110 4 м2.
Решение
1. Запишем дополнительные данные, соответствующие условиям
жилой комнаты: d0  0,3 нм; T = 300 K, р = 0,1 МПа;  = 310 2 кг/моль.
2. Определим среднюю частоту столкновения молекул воздуха, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.5.15
z  2d 02 n v  2d 02
p
kB
8R
.
 T
(1)
10 5
66,4
(2)
 4,4 10 9 c 1 .
1,4 10 23 3,14  3 10 2  300
3. Найдём число молекул воздуха, способных одновременно попадать на заданную площадь стены
S
6S
6 10 4
S  z
 z
 4,4 10 9 
 3 10 34 c 1 .
(3)
3
29
s0
d 0
3,14  2,7 10
z  4,44  9 10 20
1.5.20. В разреженном газе с постоянной скоростью v движется
шар радиуса r. Число молекул в единице объёма равно n, масса одной
молекулы составляет m0. Скорость движения шара во много раз превышает скорость теплового движения молекул vv0. Оценить силу
сопротивления, действующую на шар
91
Решение
1. Поскольку vv0, то можно считать, что при встрече с молекулой,
шар сообщает ей импульс, который модно определить из закона сохранения импульса
(1)
F  t  m 0 v  m 0 v 0 ,
так как m0v  m0v, то
(2)
F  t  m 0 v .
2. Определим далее количество молекул, способных одновременно
встретится с поверхностью шара при его поступательном движении
S 4r 2 4r 2
(3)
N1  
 2 .
s0
d 02
d0
3. Средняя частота столкновения с шаром будет примерно равна
средней частоте их столкновений при тепловом движении
z  2 nd 02 v .
(4)
4. Число частиц одновременно сталкивающихся с поверхностью шара
N   z N 1  4 2 r 2 nv .
(5)
5. Сила сопротивления, таким образом, определится суммарным импульсом, сообщаемым шаром в единицу времени всем, встречающимся
молекулам
m v
F  N  0  4 2 nm 0 v 2 r 2 .
(6)
t
1.5.21.Космический аппарат сферической формы радиуса r = 0,564 м
входит в верхние слои атмосферы с первой космической скоростью v 
8 км/с. Разреженна газовая среда характеризуется давлением воздуха р
= 10 4 Па и температурой Т = 1500 К. Определить среднее число
столкновений аппарата с молекулами воздуха в течение 1 с.
Решение
1. За промежуток времени t аппарат столкнётся со всеми молекулами, содержащимися в цилиндре площадью S = r2  1 м2 и длиной L =
vt, число которых определится в виде
(1)
N  nV  nr 2 vt ,
где n концентрация молекул воздуха.
2. Молекулы в данном случае можно считать неподвижными, т.к.
скорость аппарата во много раз меньше скорости теплового движения
молекул. Концентрация молекул, при этом, может быть выражена через
92
уравнения состояния
p
.
(2)
k BT
3. Подставим значение концентрации в уравнение (1) для единицы
времени и получим искомое число частиц
r 2 pv 3,14  0,318 10 4  8 10 3
1
N

 4 10 19 .
(3)
23
k BT
1,4 10 1500
c
n
1.5.22. Сферический сосуд радиусом r = 0,1 м содержит гелий, концентрация атомов которого такова, что они не испытывают столкновений между собой. Какая масса газа заключена в сосуде?
Решение
1. Длина свободного пробега атомов газа по условию данной задачи
должна быть больше характерного размера ограничивающего его сосуда, т.е.   2r
 
1
 2r .
(1)
2 nd 02
2. Примем далее d0 = 0,2 нм и решим уравнение (1) относительно
критического значения концентрации
1
n cr 
.
(2)
2r 2d 02
3. Определим далее максимальное число атомов, соответствующих
условию отсутствия столкновений
4
2r 2
N max  n cr  r 3 
.
(3)
3
3  2d 02
4. Используя понятие количества вещества, найдём массу гелия содержащегося в заданных условиях при его молярной массе  = 410 3
кг/моль
  N max
  2r 2
4 10 3  2 10 2
m


 8 10 10 кг .
(4)
-20
23
2
NA
3

1
,41

4

10

6

10
3 2d 0 N A
93