Московский государственный унивеситет имени Н

Задача 2.1.
Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению и имеющему
плотность j, имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R
соответственно. Магнитная проницаемость меняется по закону =f(r).
Построить графически распределения модулей векторов индукции магнитного поля B и
напряжённости магнитного поля H, а также модуля вектора намагниченности J в зависимости
от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на
внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмной плотности токов
намагничивания i'об(r).
R0
2 R
3
3
3
R0  R  r
 ( r)
3
r
Решение:
В качестве контура возьмём окружность с центром на оси трубки и радиусом R<r<R0. Найдём
циркуляцию вектора H по этому контуру:
∫ Hdl=I
2
H 2r
j r  R
2
j r  R
H( r)

2

2
2r
, R<r<R0
Найдём магнитную индукцию в магнетике.
Так как B=μμ0H , тогда индукция магнитного поля при R<r<R0:
B( r)

2
3
2
0 j 9 R  r  r  R

2
4
2r
, R<r<R0
Найдём намагниченность в магнетике.
Так как J=χH, тогда намагниченность в магнетике:
J( r)




 9 R3  r3
 r2  R2

 1  j

3

2r
r


, R<r<R0
Построим графики H(r), B(r) и J(r):
1
График H(r)
График B(r):
График J(r):
2
Найдём объёмную плотность токов намагничивания j' в магнетике:
j'=rot(J)
В цилиндрической системе координат:
j'=((1/2)(∂Jz/∂φ)-∂Jφ/∂z)er+(∂Jr/∂z-∂Jz/∂r)eφ+(1/2)(∂(rJφ)/∂r-∂Jz/∂φ)ez
Учитывая осевую симметрию получаем:
j'(r)=(1/r)∙∂(rJ)/∂r
j'( r)
1
2
 3

 r

 3
9R3  r3   jr2  R2  9R3  r3  1 j
4
r




3
r


, R<r<R0
График J(r):
3
Найдём ток намагничивания I' в магнетике. Циркуляция вектора J:
∫ Jdl=I'
Циркуляция вектора J по окружности радиусом R<r<R0:
J 2  r
I'( r)
I'


 9 R3  r3

2
2

 1  j  r  R

3

r




I'(r)-ток намагничивания, охватываемый контуром радиуса r.
Тогда B(r) можно найти другим способом. Циркуляция вектора B:
∫ Bdl=μ0(I+I')
Циркуляция вектора B по окружности радиусом R<r<R0:
B(r)∙2πr=μ0(I(r)+I'(r))
I(r)-ток проводимости, охватываемый контуром радиуса r: I(r)=jπ∙(r2-R2)
Откуда:
B( r)
2

2
3
4
2r

3
0 j r  R  9 R  r
, R<r<R0
Это выражение полностью совпадает с выражением для B(r), полученным выше.
Найдём молекулярные токи намагничивания i'внутр и i'внеш на внутренней и внешней поверхностях. На
внутренней поверхности ток намагничевания i'внутр=0, а на внешней поверхности ток намагничивания
равен:
i'внеш=I'(R0)/(2πR0)
I'(R0)=(-21/8) )∙jπR2 - это ток намагничивания, протекающий через всё поперечное сечение трубки.
Этот ток противоположен по направлению току проводимости I.
i'внеш=(-21/32) ∙jR
4