Курс по выбору для учащихся 9 класса на тему: Уравнения с
advertisement
Курс по выбору для учащихся 9 класса на тему: Уравнения с параметрами. Составила: учительница математики I квалификационной категории Кугунурской средней общеобразовательной школы Ахмадуллина Альфия Дамировна Пояснительная записка Концепция программы: - обогатить учащимся свой опыт новыми приемами в классификации различных задач курса математики; научить рационализации поиска их решения, подбору наиболее удачных способов их решения, выстраиванию алгоритмов; - показать красоту и совершенство, сложность методов в решении задач; - организация интенсивной мыслительной деятельности учащихся; - помочь обучающимся самостоятельно и рационально организовать свою учебную работу. Обоснованность: - учителем и учащимися решается большое количество сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ; - имеет прикладное и практическое значение и поможет учащимся при проведении различных исследований. Особенности выбранной программы: - программа профессионально ориентированная на естественно-математический профиль, включает в себя новые для учащихся знания, не содержащиеся в базовых программах, рассчитана на 17 учебных часов; - при решении задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов; - решение задач с параметром расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач; - задач с параметром – эффективное упражнение для тренировки мышц интеллекта, при этом происходит развитие математического логического мышления; умение анализировать, сравнивать, обобщать; - приобретаются навыки исследовательской работы; - помощь при подготовке к экзаменам; - происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность. Цели: - овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения сложных дисциплин, продолжения образования; - развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность. Задачи: - формирование представлений об идеях и методах математики, как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений; - воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых – математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса. Основные принципы: - доступность материала для понимания и освоения; - классифицировать и выстраивать алгоритм своих действий. Планируемый результат: Учащимся станут более компетентными при решении некоторых прикладных и исследовательских задач. Они научаться анализировать, классифицировать и выстраивать алгоритм своих действий, аргументировать полученные результаты и аттестовать свою точку зрения, работая в команде. Краткое пояснение логики структуры программы и особенностей организации учебного процесса по курсу. 1. Линейные уравнения с параметрами. Эти задачи вызывают повышенный интерес у учеников. Вводя в практику занятий IX классов систематическое обращение к задачам с параметрами, учитель повышает уровень логического мышления учащихся, а также формирует навыки исследовательской деятельности. Для того, чтобы учащимся лучше поняли суть решения уравнений с параметрами, надо им предоставить возможность самим придумывать такие уравнения. Это повышает интерес к рассматриваемой теме, мобилизует творческие способности учащихся. 2. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Часто изобилие всевозможных вариантов и подвариантов, на которые распадаются основной ход решения, вызывают трудности и выписывании ответа. Чтобы облегчить процесс обучения учеников класса методам решения этих базовых видов задач с параметрами, наряду с обычными методами можно применять метод алгоритмизация. Задач с параметрами хорошо развивает логическое мышление, тренирует внимание и память. 3. Задачи с параметрами. Особый интерес представляют задачи, связанные с определением количества решений уравнения, а именно те, где параметр можно выделить в одну из частей уравнения. Обязательным условием успешного решения таких задач является овладение умениями, связанными с построениями графиков различных функции. 4. Решение квадратных и дробно – рациональных уравнений, содержащих параметра. Решение квадратных и дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходиться думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. квадратные и дробно-рациональные уравнения с параметрами – это тема, на который проверяется не затасканность ученика, а подлинное понимание им материала. Обучать этому надо всех учащихся. И особенно этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебной и исследовательской работы. 5. Уравнения с параметрами: графический метод решения. На этих уроках рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а. Уровни усвоения учебного материала. Должны знать: - при каких значениях параметров уравнении и неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения; - работа с параметром должна быть основательной и требует применения различных математических знаний, полученных ими ранее. Должны владеть: - четко и последовательно учитывать область определения выражений, следить за равносильностью производимых операции; - приобретать опыта введения в мир параметров на уравнений и неравенств, приводящих к линейным и дробно-линейным. Должны уметь: - решать линейные уравнения с параметрами, рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть); - решать задачи с параметрами нужно, начиная с простейших, связанные с квадратным трехчленам: на определение количества корней, на расположение корней относительно заданных чисел или промежутков. Программа и учебный план Тема 1. Линейные уравнения с параметрами. (3 ч). Теоретически: Введение. Объяснение темы в виде лекции. Практически: решать уравнение с параметрами, придумывать такие уравнения. Проверяется учителем. Тема 2. Решение линейных уравнений, содержащих параметры. (2 ч). Теоретически: Беседа с учащимися, научить обосновывать ответы. Практически: решать линейных уравнений, содержащих параметр. Самопроверка, проверка консультантами. Тема 3. Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры. (3 ч) Теоретически: объяснение темы в виде лекции, методом алгоритмизации. Практически: вместе с учениками рассмотреть примеры, а именно те, где параметр можно выделить в одну из частей уравнения; учащиеся решают примеры в парах; делают взаимопроверку, консультируются с учителем. Тема 4. Решение квадратных уравнений, содержащих параметры. (2 ч) Теоретически: частично – поисковый метод. Практически: решать квадратные уравнения с параметром в группах, придумать квадратные уравнения, содержащие параметры. Делают самопроверку, консультируются с учителем. Тема 5. Решение дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры. (1 ч) Теоретически: объяснительно – иллюстративный метод. Практически: работа в парах, учитывая условие, что знаменатель не равен нулю; при записи ответа не упустить ни одной из части его, полученных в ходе решения. Задания проверяются консультантами, учителем. Тема 6. Уравнения и неравенства с параметрами. (2 ч) Теоретически: объяснение темы в виде лекции. Практически: рассмотреть вместе учащимися различные случаи, решать примеры в парах, делать взаимопроверку, консультироваться с учителем. Тема 7. Неравенства и системы неравенств с параметрами. (1 ч) Теоретически: объяснение темы методом проблемного изложения учебного материала. Практически: решать неравенства и системы неравенств в группах. Проверяются учителем. Тема 8. Уравнение с параметрами: графически метод решения. (3 ч.) Теоретически: объяснение темы в виде лекции. Практически: работа в парах, проверяется учителем. Литература, использованная при подготовке программы. 1. Т. Горшенина. Задачи с параметрами. Математика № 16, 2004 г. 2. С. Дубич. Линейные и квадратные уравнения с параметрами. Математика № 36, 2001 г. 3. Е. Егерман. Задачи с параметрами. Математика № 2, 2003 г. 4. М. Н. Кочагина. Математика: Сборник заданий: 9 кл. / 2008. 5. Л. В. Кузнецова и др., Алгебра: сб заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл / 2006. 6. Т. Косякова. Решение квадратных и дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры. Математика № 22, 2002 г. 7. Т. Косякова. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. Математика № 36, 2001 г. 8. С. К. Кожухов. Различные способы решений задач с параметрами. Математика № 6, 1998. 9. В. Лебедева, Д. Хенкин.. Математика №2, 2003 г.с параметром. 10. В. Малинин. Уравнение с параметрами: графический метод решения. Математика № 29, 2003. 11. В. В. Мирошин «Математика в школе» № 7 - 2008г. 12. В. Попов. Уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры девятилетней школы. Математика № 10, 2000 г. 13. Е. Пронина. Линейные уравнения с параметрами. Математика № 12, 2000 г. 14. Л. Слуковцева «Линейные и дробно – линейные уравнения и неравенства с параметрами». Библиотечка «Первого сентября», Математика № 1 (13) / 2007. 15. М. Шабунин. Неравенства и системы неравенств с параметрами. Математика № 29, 2003 Литература рекомендованная для учащихся 1. В. В. Амелькин. Задачи с параметрами. Минск, 1996. 2. В. А. Гусев. , А. Г. Мордкович. Математика. Справочные материалы. 3. П. И. Горнштейн. Задачи с параметрами. 4. Ю. Н. Макарычев и др. Алгебра. Учебник для 9 кл. 5. В. А. Попов. Задачи с параметрами в курсе алгебры 9 – летней школы. Учебное пособие. Сыктывкар, 1997 г. 6. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. М., Дрофа, 2002. Тематическое планирование № Время на изуч. Линейные уравнения с 3 параметрами Формы и проведения 2 Решение линейных 2 уравнений, содержащих параметры Практическое занятие 3 Решение систем 3 линейных уравнений, содержащих параметры Лекция, занятие 4 Решение квадратных 2 уравнений, содержащих параметры. Частично – поисковый таблицы метод, решение примеров в группах 5 Решение дробно – 1 рациональных уравнений, содержащих параметры. Объяснительноиллюстративный метод 1 Тема занятий в 9 кл. методы Оборудование Назначение, структура и краткое содержание учебного курса в виде объяснительно – иллюстративного метода Виды контроля Проверка таблицы учителем таблицы практическое схемы Таблицы, схемы Самопровер ка, взаимопроверка Проверка консультан тами, учителем Самопровер ка, консультация с учителем Проверка консульт. с учителем 6 Уравнения и неравенства 2 с параметрами Лекция, работа в парах схемы 7 Неравенства и системы 1 неравенств с параметрами Уравнения с 3 параметрами: графический метод решения ИТОГО 17 Проблемно-поисковая работа таблицы Лекция таблицы 8 Взаимопров. Консультации с учит. Проверяется учителем Проверяется учителем Список тем рефератов 1. Линейные уравнения с параметрами. 2. Решение квадратных и дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры. 3. Различные способы решений задач с параметрами. Занятие 1 Тема: «Линейные уравнения с параметрами» Цель: объяснить, что такое параметр и что означает решить уравнении с параметрами; рассмотреть различные решения линейных уравнений с параметрами; научить детей понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть; приучить к внимательности и аккуратности. Ход занятия I. Введение. Прежде, чем перейти к решению задач рассмотрим, что такое параметр и что означает решить уравнение с параметром. Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Уравнение называется параметрическим. Примеры: ах = 3; 2х – 5p = 8; (2а + 3)х2 – ах + 1 = 0 Здесь х – неизвестное, а и p – параметры. Решить уравнение, содержащее параметр – это значить, для каждого значения параметра найти множество всех корней (решений) данного уравнения. II. Объяснение нового материала. Рассмотрим уравнения, после преобразований которые приводятся к линейным уравнениям вида ах = в, где а и в - параметры. При решений таких уравнений необходимо рассмотреть два случая: 1) а = 0; 2) а ≠ 0 Пример 1. Решить уравнение ах = 8. Решение: если ) а ≠ 0, то х = 8 а; если а = 0, то уравнение имеет вид 0 . х = 8 Это уравнение решений не имеет. Ответ. Если а ≠ 0, то то х = 8 ; если а = 0, то решений нет. а Пример 2. Решите уравнение (m – 2)х = 4m Решение: если m – 2 = 0, то m = 2, то уравнение примет вид 0х = 8, решение не имее если m ≠ 2, то х = 4 m m–2 Ответ: если m ≠ 2, то х = 4 m m – 2; если m = 2, то решений нет. Пример 3: Решить уравнение ах2 – а2 – х + а + 2 = 0 Решение: оставим в левой части уравнения выражения с переменной, а константы перенесем в правую часть: ах2 – х = а2 – а – 2 (а2 – 1)х = (а – 2)(а + 1) (а – 1)(а + 1)х = (а – 2)(а + 1) Нужно рассмотреть три случая: 1) а = 1; 2) а = -1; 3) а = ± 1; если а = 1, то 0х = -2, решений не имеет; если а = -1, то 0х = 0 – решением будет любое действительное число. если а ≠ ± 1, то х = а – 2 ; Ответ: если а ≠ ± 1, то х = а – 2 а–1 а – 1; если а = -1, то х – любое; если а = 1, то решений нет. Замечание: Поскольку решение задач с параметром часто требует рассмотрения различных случаев, то при записи ответа важно собрать результаты, полученные в отдельных частях решения. Это удобно сделать с помощью координатной прямой. R P х=а-2 х=а–2 х=а–2 а –1 а–1 а–1 -1 1 III. Закрепление темы. Решите уравнения: 1. (а + 1)х = а – 1 2. ах = а2 + 2а 3. (а2 + а)х = а2 – 4а 4. (а –3)х = 3 – а IV. Итог : 1) Что такое параметр? 2) Что означает решить уравнение с параметром? V. Задания для дополнительной работы Решите уравнения: 1. (а – 2)х = 5 – а; если 1) а ≠ 2, то х = 5 – а; 2) а = 2, то решений нет а–2 2. 2ах = а3 – а; если 1) а ≠ 0, то х = а2 – 1 2) а = 0, то х - любое ; 2 3. (а2 – а)х = а2 + а; если 1) а ≠ 0, а ≠ 1, то х = а +1; 2) а = 0, то х - любое а–1 3) а = 1, то решений нет. 4. m2х - 3 = 9х + m; если 1) m ≠ ±3, х = 1 ; 2) m = -3, то х – любое, m- 3 3) m = 3, нет решений. Занятие 2. Тема: “Линейные уравнения с параметрами” Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами, понимать цели выполняемых действий; научить правильно записать ответы, не упустить ни одной из частей его, полученных в ходе решения; развивать логическое мышление, тренировать внимание и память. Ход занятия I. Актуализация знаний. - Что такое параметр? Привести примеры параметрических уравнений; - Что означает решить уравнение с параметром? - Какие параметрические уравнения мы научились решать? - К какому виду надо их привести? II.Закрепление темы. 1. Решите уравнение (у доски и в тетрадях) (а + 6)(а – 5)х = а2 – 36 Ответ: если ) а ≠ -6, ) а ≠ 5, то х = а – 6 а–5 если а = - 6, то х – любое; если а = 5, то решений нет. 2 . mх + 2х + 3 = 1 – х Ответ: ) m ≠ - 3, то х = 2 ; m = -3, то решений нет m+3 3. m2х = m(х + 2) - 2 Ответ: ) m ≠ 0,, ) m ≠ 1, то х = 2 m; m = 1, то х – любое; m = 0, то решений нет 2. Рассмотрим пример 4. Определить количество корней в зависимости от значений параметра m: m2х + 4m + 4 = 4х + 3m2 Решение: Преобразуем уравнение: m2х - 4х = 3m2 – 4m – 4; (m2 – 4)х = 3m2 - 4m – 4 Разложим на множители выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения: (m - 2)(m + 2)x = 3(m + 2)(m – 2) 3 Рассмотрим 3 случая: 1) m = 2; 2) m = -2; 3) m ≠ ±2 если m = 2, то 0х = 0, то х – любое число; если m = -2, то 0х = 16, то решений нет; если m ≠ ±2, то х = 3m + 2 m+ 2 Ответ: при m ≠ ±2, то х = 3m + 2 при m = 2, то х – любое число; m+ 2 ; при m = - 2, то решений нет. 3. Упражнения для самостоятельной работы (ученики сначала решают в тетрадях, потом работа проверяется у доски) а) при каком значении параметра в уравнение вх = в + х + 1 не имеет корней? б) найдите все значения параметра а, при которых уравнение а(а + 2)х = 1 – х не имеет решений; Ответ: а) в = 1; б) а = -1 4. Решается у доски и в тетрадях. Найдите все значения р, при каждом из которых решение уравнения а) 6 – 3р + 4рх = 4р + 12х меньше 1 б) 5х – 18р = 21 – 5рх – р больше 3 в) 15х – 7р = 2 + 6р – 3рх меньше 2 Ответы: а) р Є (-2; 3); б) р Є (- ∞; -3) U (-1; + ∞) в) р Є (-5; 4) III . Итог. Как узнать, сколько случаев надо рассмотреть? IV. Задания для дополнительной работы. 1. Решать уравнение: ах2 – а2 – х = 3а + 2 Ответ: при а ≠ ±1, то х = а + 2, при а = -1, то х – любое число; а–1 при а = 1, то решений нет. 2. При каких значениях параметра а уравнение (а – 2)х = а +4 имеет корень, не равный 3? Ответ: при любых а, кроме а = 2. Занятие 3 Тема: «Линейные уравнения с параметрами» Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами; найти новые подходы к решению задач; научить учащихся анализировать, сравнивать, обобщать; подготовиться к экзамену. Ход занятия I. Актуализация знаний. «Брейн–ринг». Учитель показывает уравнения, а учащиеся устно отвечают. 1. Решить уравнения (устно): а) х2 – 4 = 0 в) х2 + 10х + 25 = 0 д) х2 – 3х + 2 = 0 2 б) 2х – х = 0 г) (х – 5)(х + 1) = 0 2. Решить неравенства: х2 – 4 > 0; (х – 3)(х – 4) < 0 ; (х – 5)(х +1) > 0 II. Применение знаний в нестандартной ситуации. 1. Рассмотрим пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения (а – 5)х + а = 3 лежит в промежутке [0; 5]. Решение: при а ≠ 5 уравнение имеет корень х = 3 – а а–5 Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5]. Для этого решим двойное неравенство 0 ≤ 3 – а ≤ 5 а–5 3 – а ≥0 3≤а<5 0 ≤ 3–а ≤5 а–5 а≤4 2 а Є 3; 4 2 а–5 3–а ≤5 3 3 а-5 а>5 В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи. Ответ: а = 3, а = 4 Пример 6. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ах – 3 = 4х + а не меньше корня уравнения 5х – а(х + 1) = 0? Решение. Приведем оба уравнения к виду хp = q и решим их: 2 ах – 3 = 4х + а 5х – а(х + 1) = 0 2 ах – 4х = а + 3 5х – ах = а х (2а – 4) = а + 3 х(5 – а) = а х = а + 3 при а ≠ 2 х = а , при а ≠ 5 2а – 4 5 –а Из условия получаем неравенство а+3 ≥ а 2а – 4 5–а а+3 - а ≥0 2а – 4 5–а (а + 3)(5 – а) – а(2а – 4) ≥ 0 (2а – 4)(5 – а) а2 – 2а – 5 ≥ 0 (а – 2)(а – 5) Решаем это неравенство методом интервалов: + 1 - √6 + 2 1 +√6 + 5 Ответ: а Є(- ∞; 1 -√6] U (2; 1 +√6 ] U (5; + ∞); 3. При каких значениях параметра а корень уравнения (1 – а)х = а + 3 лежит: а) в промежутке [-1; 3]; б) в промежутке [1; 4] Решается у доски и в тетрадях. Ответ: а) а Є (- ∞; 0]; б) а Є 1; 1 5 4. Найдите все значение а, для которых хотя бы при одном значении х из промежутка (-2; 3] значение выражения 2х – 3 равно значению выражения а + х (ученики самостоятельно решают потом работа проверяется у доски). Решение. По условию задачи уравнение 2х – 3 = а + х. относительно х должно иметь корень на промежутке (-2; 3]. 2х – х = а + 3 х=а+3 Это уравнение имеет единственный корень х = а +3. Приходим к неравенству относительно параметра: - 2 < а + 3 ≤ 3. Отсюда находим искомые значения параметра: - 5 < а ≤ 0. Ответ: - 5 < а ≤ 0 III Итог . 1. Для решения задач с параметрами требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы (нет) 2. А что непривычно? (формулировка задания) 3. Именно какие задачи решили сегодня (на расположение корней относительно заданных промежутков). IV. Задание для дополнительной работы. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (-2; 3] значение выражения 2х – 3 не равно значению выражения а + х. Ответ: а Є (- ∞; - 5]U (0; +∞) Занятие 4 Тема: «Решение линейных уравнений, содержащих параметры» Цель: Научить учащихся анализировать, классифицировать и выстраивать алгоритм своих действий, аргументировать полученные результаты и аттестовать свою точку зрения, работая в команде; приобретение навык исследовательской работы. Ход занятия. I. Актуализация знаний. При каком значении параметра а корни уравнения х – а = 0 является число 4? Ответ: а =4 II. Практическая часть. 1. Задания для самостоятельного решения. Учащиеся работают в двух командах. I команда II команда 1. При каком значений параметра а корнем 1. При каком значении параметра а корнем уравнения 5х – а = 0 является число 4? Ответ: уравнения х2 – 2х – а = 0 является число 4? [8] 2. При каком значений параметра а уравнение [20]. 2. При каких значениях параметра а уравнение 0х = а имеет бесконечно много решений? х2 = а не имеет решения? [a = 0] [а < 0] При каком значений параметра а сократима 3. При каком значений параметра а уравнение дробь х –2 ? [а = 2] 0х = а не имеет решения? х–а ( а ≠0) 4.При каком значений параметра а уравнение 3. При каком значений параметра а уравнение ах = 3 не имеет решений?. [а = 0] ах = 1 – х не имеет решение? [а = -1] 5. При каком значений параметра а уравнении 5.При каком значений параметра а уравнение х . = 0; не имеет решения? ах2 = 0 имеет бесконечно много решений.? х – а [а= 0] [а = 0] 6. При каких значениях параметра а сократима 6.При каких значениях параметра а сократима дробь х2 – а ? [а = 25] дробь х2 –25 ? [а ≠ ±5] х–5 х-а Работа проверяется, указывается ошибки. 2. При каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 16 = 0 имеет два различных корня? Решается у доски и в тетрадях. Ответ: (- ∞; + ∞) U (8; + ∞) 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 16 = 0 не имеет корней? (–8; 8) 4. При каком значении параметра а уравнение (а2 – 4)х = а2 + а – 6 имеет бесконечно много решений? [2] Решается у доски и в тетрадях. III Итог Работа оцениваются. IV Задание для дополнительной работы. При каком значений параметра а уравнение (а2 – 4)х = а2 + а – 6 не имеет решений? [2] Занятие 5 Тема: «Решение линейных уравнений, содержащих параметры» Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами; научить учащихся анализировать, сравнивать, обобщать; подготовиться к экзамену. Ход занятия I. Актуализация знаний. 1. Как решаются линейные уравнения с параметрами? 2. Как узнать, какие именно случаи нужно рассмотреть? 3. К какому виду надо привести линейных уравнений с параметрами? II Практическая часть Задания для самостоятельного решения. Дифференцировано: слабые ученики решают на доске, а сильные работают самостоятельно. а) при каком значений параметра а уравнение 2а(а – 2)х = а – 2 имеет бесконечно много решений? [2] б) при каком значений параметра а уравнение 2а(а – 2)х = а – 2 не имеет решений? [0] в) при каких значениях параметра а уравнение ах – 16 = 0 имеет только целые корней? а = 1, 2, 4, 8, 16. г) при каких р уравнение 9х = р – 2 будет иметь отрицательный корень? [р<2] д) при каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 16 = 0 имеет два корня? [(-∞; 8] U [8; +∞] е) решите при всех значениях параметра а уравнение ах = 2х + 5 ж) [при а = 2 решений нет; при а ≠ 2, то х = 5/(а – 2) III Итог Придумать линейные уравнения с параметрами. Занятие 6 Тема: «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры» Цель: научить детей решать систем линейных уравнений с параметрами, повторяя известные для них методы решения систем двух линейных уравнений в двумя неизвестными; научить детей провести анализ самой задачи, и лишь затем пытаться находить ее решения; установить количество решений; найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров; формировать целеустремленность, точность. Ход занятия I Актуализация знаний - Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Ответ: ах + ву = c а2 + в2 ≠ 0 а1х + в1у = с1 где а12 + в12 ≠ 0 - Что называется решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? (пара чисел (х, у), которая является решением как первого, так и второго уравнения) - Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? (решить систему – это значит найти все её решения или доказать, что данная система не имеет решений) - В чем заключается способ подстановки? - В чем заключается способ сложения? II Объяснение нового материала. Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, методом подстановки или методом сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений. Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Две прямые могут либо пересекаться в одной точке (одно решение), либо совпадать (бесконечно много решений), либо не иметь общих точек (решений нет). Предположим, что коэффициенты уравнений системы отличны от нуля. Тогда: 1) чтобы система имела единственное число решение, необходимо и достаточно выполнение условия: а ≠ в а1 в1 2) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнение условия: а = в = с а1 в1 с1 1) чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение условия: а = в ≠ с а1 в1 с1 Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать особо. Пример 1. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений: ах + а2у = 1 х + (а – 1)у = а Решение Из второго уравнения системы найдем х и подставим его в первое уравнение: а (- (а – 1)у +а) + а2у = 1 х = - (а – 1)у + а Решим первое уравнение системы: - а2у + ау + а2 + а2 у = 1 ау = 1 – а2 При а = 0, 0у = 1 – это уравнение, а значит, и система решений не имеет. Если а ≠ 0, то у = 1 – а2 . Подставляя это значение во второе уравнение системы, а получим, что х = а3 – а + 1 а Ответ: если а ≠ 0, то а3 – а + 1; 1 – а2 ; если а = 0, то решений нет. а а Пример 2. Для каждого значения параметра а решить систему а2х + у = а2 х + ау = 1 Решение. Из первого уравнения выразим у и подставляем во второе уравнение системы: у = а2 – а2х х + а(а2 – а2х) = 1 Преобразуем второе уравнение к виду х (1 – а3) = 1 – а3 Если а ≠ 1, то х = 1. Подставим найденное значение в первое уравнение системы и найдем, что у = 0. Если а = 1, то из полученного уравнения следует, что х – любое число. Положим, х = t, t Є R. Первое уравнение системы дает в этом случае у = 1 – t Ответ: если а ≠ 1, то х = 1, у = 0; если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R III Формирование навыков и умений 1. Для каждого значения параметра а решите систему уравнений: а) ах + у = а2 б) ах+у=а³ в) 2х – ау = 5 г) х + ау = 1 х+ау=1 3у – 6х = -15 х + 7у = 2 3х + у = а 5х + 11у = а2 + 3а 2. Найдите все значения параметра m, при которых система имеет единственное решение. а) 3х – 2у = 6 в) х – (m+ 1)у = m + 2 mх + у = -3 mх + у = m – 3 б) mх + mу = m2 г) 2х – 3 = 0 х + mу = 2 mx + у(m – 1) = 1,5 IV Итог . 1) Как решаются системы линейных уравнений с параметрами? 2) Какие случаи могут быть? Ответы: 1) а) если а ≠ ±1, то х = а2 + а + 1 ; у=а ; а+1 а+1 если а = 1, то х = t, у = 1 – t; , t Є R; если а = -1, то решений нет. б) если а ≠ ±1, то х = а2 + 1, у = - а; если а = -1, то х = t, у = t –1, t Є R; если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R; в) если а ≠ 1, то х = 2,5; у = 0; если а = 1, то х = t, у = 2t – 5, t Є R; г) если а = -2,8, то х = -1,08, у = 0,44; если а= 1; то х = 1, у = 1 4 4; при других а решений нет; 2.а) при всех m, кроме m = -1,5; б) при всех m, кроме m = 0, m = 1; в) при всех m; г) при всех m, кроме m = 1. Занятие 7 Тема: “ Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры” Цель: знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом подстановки; уметь использовать этот алгоритм для решения систем уравнений; содержащих параметры; уметь определить взаимное расположение прямых на плоскости (прямые пересекаются, параллельны, совпадают); развивать логическое мышление у учащихся. Ход занятия I. Актуализация знаний. Постановка целей. Пересекаются ли графики линейных функций: у = 3 – 5х и у = - 3х + 1 у = 5х – 2 и у = 3 – 8х у=х+2 и 3у = 3х + 6 Сколько решений имеет система линейных уравнений: а) у = 5х – 3 б) у = - 2х + 1 в) у=х+6 у = 3х + 3 у = 7 – 2х 3у = 3х + 18 II. Объяснение темы. Рассмотрим пример 3. В зависимости от параметра а выяснить взаимное расположение прямых ах + у = 1 и х + ау = 2 – а на плоскости. Решение. Рассмотрим систему ах + у = 1 х + ау = 2 – а Пусть а ≠ 0, составим отношения соответствующих коэффициентов: а; 1 ; 1 1 а 2–а Условие пересечения прямых: а ≠ 1 , откуда следует, что а2 ≠ 1; 1 а то есть а ≠ ±1. Значит, данные прямые будут пересекаться при всех а, отличных от 1 и –1. Если а = 0, то уравнения прямых примут вид у = 1 и х = 2. Эти прямые имеют общую точку, если а = -1, то соотношения примут вид - 1; - 1; 1, 1 1 3 что означает параллельность прямых. При а = 1, все три дроби равны, и потому прямые совпадают. Ответ: если а ≠ ±1, то прямые пересекаются; если а = -1, то прямые параллельны; если а = 1, то прямые совпадают. Пример 4. Найти все значения параметра а при которых система 3х + 7у = 20 ах + 14у = 15 имеет единственное решение. Решение. Если а = 0, то система имеет единственное решение. Если а ≠ 0, то для единственности решения требуется, чтобы имело место неравенство 3 ≠ 7 , откуда а ≠ 6. а 14 Ответ: при всех а, кроме а = 6. Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых система ах – 8у = 12 2х – 6у = 15 не имеет решения. Решение. При а = 0, система будет иметь решение. Пусть а ≠ 0. Для того, чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение соотношения: а =в ≠ с а1 в1 с1, которое в нашем примере запишется так: а = -8 ≠ 12 2 -6 15 Неравенство второй и третьей дробей выполнено, поэтому найдем значения параметра, при которых а = -8. Это равенство выполняется при а = 8 Ответ: 8 2 -6 3 3 Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых система 2х + (а – 1)у = 3 (а + 1)х + 4у = -3 имеет бесконечно множество решений. Решение. Сначала исключим из рассмотрения значения а, при которых коэффициенты уравнений обращаются в ноль. При а = -1 и а = 1 система будет иметь единственное решение. Пусть а ≠ ± 1. Тогда составим и решим пропорции 2 = а –1 = 3 а+1 4 -3 Так как все три дроби должны быть равны, то нет разницы, какие из них приравнивать. Поэтому выберем те, которые приведут к наиболее простому уравнению. Решим уравнение, а затем проверим выполнение равенства для оставшейся дроби. Первое равенство приведет к квадратному уравнению, а второе – к линейному: а – 1 = - 1, а = 3 4 Подставляя а = - 3 в первую дробь, убедимся, что ее значение также будет равно – 1. Ответ: - 3. II. Практическая часть. Упражнение для самостоятельной работы. 1. Найдите все значения параметра р, при которых система имеет бесконечно множество решений: 3х + ру = 3 рх + 3у = 3 Ответ: р = 3. 2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых: а) ах – у = - 2а; х – ау = 2; если а ≠ ±1, то пересекаются а = ±1, то параллельны; б) 2ах + у + 6а = 0; х + 2ау + 3 = 0; если а ≠ ± 1 , то пересекаются 2 если а = ± 1 то прямые совпадают 2 3. При каких значениях параметра а система имеет бесконечное множество решений? ах + а2у = а х + ау = 1 Ответ: а = 0 или а = 1. III. Итог 1) Как выяснить взаимное расположение прямых на плоскости? 2) Как определить, когда система имеет единственное решение, а когда бесконечное множество решений? III Задания для дополнительной работы 1. При каких значениях параметра а систем имеет бесконечное множество решений? а2х + у = 2 ах + ху = а3 Ответ: а = 0 2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых: (а – 1)х + у = 7; 6х + ау = 7а. Ответ: если а ≠ -2, а ≠ 3, то прямые пересекаются; если а = -2 или а = 3, то прямые совпадают. Занятие 8 Тема: «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры» Цель: выработка умения решать систем линейных уравнений, содержащих параметры; найти новые подходы к решению задач; знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом сложения и уметь использовать его; тренировать внимание и память. Ход занятия I. Актуализация знаний. Выразите одну переменную через другую: а) 4х – 2у = 6 в) ху = 4 д) х + 2у + ху = 4 б) 3х – у = 1 г) х2 + у – 5 = 0 Устно решите системы уравнений: а) (х – 2)(у – 3) = 1 б) х2 + 2ху + у2 = 9 х–2 =1 х–у=1 у-3 Ответ: (3; 4); (1; 2) Ответ: (3; 2) ; (-3; 4) II. Закрепление темы. Пусть даны две прямые: у = к1х + в1 у = к2х + в2 Когда эти прямые параллельны? (если к1 = к2, в1 ≠ в2, тогда они параллельны). Когда они совпадают? (если к1 = к2, в1 = в2) Когда они пересекаются? (если к1 ≠ к2) Рассмотрим такое задание. 1. При каких значениях параметра а система уравнений а + у = 0,5а2х 2х – у + 2 = 0 а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений. Решение. Выразим в каждом уравнений системы переменную у. а + у = 0,5а2х у = 0,5а2х - а 2х – у + 2 = 0 у = 2х + 2 Сравним коэффициенты при х. При равенстве коэффициентов при х. При равенстве коэффициентов при х (угловых коэффициентов) прямые могут либо совпадать, либо быть параллельными. 0,5а2 = 2 а2 = 4 а = ±2 При а = 2 имеем систему: у = 2х – 2 у = 2х + 2 и прямые параллельны (система не имеет решений) При а = -2 имеем систему у = 2х + 2 у = 2х + 2 и прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений) Ответ: при а = 2 система не имеет решений; а при а = -2 система имеет бесконечно много решений. III Работа в группах Консультанты проверяют задания учащихся. До этого учитель проверяет работы консультантов. Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений а) - 4х + ау = 1 + а (6 +а)х + 2у = 3 + а Ответ: а = - 4 2 2 б) а х + (2 – а)у = 4 + а ах + (2а – 1)у = а5 – 2 Ответ: а = ± 1 в) х + ау = 1 ах – 3ау = 2а + 3 Ответ: а = 0 - Какое условие должно выполнятся, чтобы система не имела решений? (прямые должны быть параллельными, к1 = к2, в1 ≠ в2 IV Итог Какие задания нужны для решения систем линейных уравнений, содержащих параметры? V Задания для дополнительной работы 1. Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений 2х + а2у = а2 + а – 2 х + 2у = 2 Ответ: а = - 2 2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых (а + 1)х + 3у + а = 0, х + (а – 1)у = а = 0 Ответ: если а ≠ ±2, то прямые пересекаются; если а = -2 , то прямые совпадают; если а = 2, то прямые параллельны Задание 9 Тема: «Решение квадратных уравнений содержащих параметра» Цель урока: научить учеников провести исследовании: выяснить как изменяются корни при изменении данных задачи, определить какими должны быть эти данные, чтобы корни уравнения в итоге удовлетворяли тому или иному условию. Определить при каких допустимых значениях параметров квадратное уравнение имеет решения, не имеет решений, установить количество этих решений, найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров; развивать логическое мышление. Ход занятия I Актуализация знаний. 1. Какое уравнение называется квадратным уравнением? 2. Как определяют число корней квадратного уравнения? - По закону дискриминанта: если Д >0, то уравнение имеет два различных корня; если Д = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших); если Д<0, то уравнение не имеет корней. II Объяснение нового материала. Рассмотрим пример 1. При каких значениях параметра а уравнения 4х2 – 4ах + 1 = 0 1) имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней. Решим. Найдем дискриминант исходного уравнения Д = 16а2 – 4 . 4 . 1 = 16а2 – 16 а) Так как уравнение имеет два различных корня, то Д = 16а2 – 16 > 0 а2 > 1 2 а –1>0 + + (а – 1)(а + 1) > 0 -1 1 Ответ: (- ∞; - 1) U (1; + ∞) б) Так как имеет два корня, не обязательно различных, то Д = 16а2 – 16 ≥0, а2 ≥1 и а Є (-∞; - 1] U [1; +∞) в) Так как уравнение не имеет корней, то Д = 16а2 – 16 < 0, а2 < 0 и а Є (-1; 1) Ответ: при а Є (-∞; - 1) U (1; +∞) – уравнение имеет два различных корня; при а Є (-∞; - 1] U [1; +∞) – уравнение имеет два корня при а Є (-1; 1) – уравнение не имеет корней. Пример 2. При каких значениях параметра уравнение 2 (в – 1)х + (в + 4)х + в + 7 = 0 имеет только один корень? Решение. При в = 1 уравнение становится линейным: (1 – 1)х2 + (1 + 4)х + 1 + 7 = 5х + 8 = 0; х = - 1,6 При в ≠ 1 имеем квадратное уравнение. Так как квадратное уравнение имеет один корень, то Д = 0. Д = (в + 4)2 – 4(в – 1)(в + 7) = в2 + 8в + 16 – 4(в2 + 6в – 7) = в2 + 8в + 16 – 4в2 – 24 в + 28 = - 3в2 – 16в + 44 = 0 3в2 + 16в – 44 = 0 в1 = 2; в2 = - 22 3 Ответ: при в = 1; в = 2; в = - 22 уравнение имеет только один корень. 3 Пример 3. Решите уравнения х2- 2(а + 1)х + 4 а = 0 – относительно переменной х. Решение. х2- 2(а + 1)х + 4 а = 0, к = - (а + 1) Д1 = (а + 1)2 – 4 а = а2 + 2а + 1 – 4а = а2 – 2а + 1 = (а – 1)2 2 Д1 (а – 1) , то уравнение имеет решение, также при всех значениях параметра а если а = 1, то Д = 0, и х = 2 если а ≠ 1, х1 = (а + 1) + (а – 1) = 2а; х2 = а + 1 – а + 1 = 2 Ответ: при а =1, то х = 2 уравнение имеет единое решение; при а≠ ± 1, то уравнение имеет два решения: 2а; 2. III Применение знаний в стандартной ситуации 1. Решите уравнения х2 – 4авх – (а2+ в2)2 = 0 относительно переменной х. Ответ: если а2 ≠ в2, то уравнение решений не имеет; если а2 = в2, уравнению удовлетворяет единственное значение переменной х = 2ав. 2. При каких значениях параметра а уравнению х2 + ах + 1 = 0 удовлетворяет единственное значение переменной х. Ответ: а = -2, а = 2. 3. Решите уравнение х2 – 2а + а(а + 1) = 0. IV Итог На что нужно обратить внимание при решении квадратных уравнений с параметрами? (при каких допустимых значениях параметров уравнение имеет решения, не имеет решении, установить количество этих решений; найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров). V Задания для дополнительной работы 1. Решите уравнения: а) 4х2 – 15х + 4а3 = 0 б) х2 – 4х + а = 0 2. При каких значениях параметров в уравнение (2в – 5)х2 – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение? Ответ: 2,5; 4 3. При каких значениях параметра в уравнение (2в – 5)х2 – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет два различных корня? Ответ: в≠ 2,5; 4 Занятие 10 Тема: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры» Цель: выработка умения решать квадратные уравнения, содержащих параметры; уделять внимания задачам исследовательского характера; задаче о существовании корней квадратного уравнения (нулей квадратного трехчлена), задаче о связи знаков корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 (а≠ 0) и параметров а, в, с.; подготовить к экзамену. Ход занятия 1. Сформулируйте теорему Виета для приведенного уравнения. 2. Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения. II Применений знаний в нестандартной ситуации. 1. Рассмотрим Пример 1. Найдите все значения параметра в, при которых уравнение х2 – 2вх + в + 6 = 0 имеет положительные корни. Решение. Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант его был неотрицателен (Д ≥ 0) Оба корня положительны, если сумма корней положительна (х1 + х2 > 0) и произведение корней положительно (х1 . х2 >0). Пусть х1 и х2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета: х1 + х2 = 2в, х1 . х2 = в + 6. Имеем систему неравенств: х1 + х2 = 2в > 0 в> 0 в> 0 х1 . х2 = в + 6. > 0 в> -6 (в – 3)(в + 2) ≥ 0 Д≥0 4в2 – 4(в +6) ≥ 0 Решим квадратное неравенство: 4в2 – 4в – 24 ≥ 0 + + 2 -2 0 3 в –в–6≥0 • • (в – 3)(в + 2) ≥ 0 Ответ: [3; + ∞) 2. Задания для самостоятельного решения: Сборник, № 60(1,2) – «Итоговая аттестация» А. В. Кузнецова, стр 107. 3. Рассмотрим пример 2 При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 7 = 0 меньше 7? Решение. Рассмотрим функцию ƒ(х) = х2 – ах + 7. Графиком данной функции является парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами. у ƒ(х) 7 х Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы ƒ(7) > 0 Д≥0 Хвершины <7 Решим каждое из этих неравенств. ƒ(7) = 49 – 7а + 7 > 0; Д = а2 – 28 ≥ 0 а< 8 (а - 2√7)(а + 2√7) ≥ 0 + -2√7 а Є (-∞;- 2√7] U [2√7; +∞) Хвершины = - в = - -а = а ; 2а 2 2 а <7 2 0 + 2√7 а < 14 -2√ 7 2√ 7 8 14 Ответ: а Є (-∞;- 2√7] U [2√7; 8) 4. Рассмотрим пример 3. При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения х2 – ах + 7 = 0. Решение. Рассмотрим функцию ƒ(х) = х2 – ах + 7. Чтобы число 7 разделяло корни уравнения, достаточно, чтобы у ƒ(х) ƒ (7) < 0 Решим неравенство ƒ (7) = 49 – 7а + 7 < 0 а>8 7 х Ответ: при а > 8, то число 7 находится между корнями уравнения х2 – ах + 7= 0 5. Задания для самостоятельного решения. 1) Сб. М 259 (1) Л. В. Кузнецова «Итоговая аттестация», стр. 107 2) Сб. № 258 (1) III Итог Какие задания мы сегодня научились решать? (Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек). IV Задания для дополнительной работы 3) Сб. № 258 (2), № 259 (2), № 262. Л. В. Кузнецова «Итоговая аттестация», стр. 107 Задание 11 Тема: « Решение дробно–рациональных уравнении, содержащих параметры» Цель: знать алгоритм решения дробно - рациональных уравнений; научить применять этот алгоритм для решения дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры; добиться более глубокого прочного усвоения программных вопросов найти новые подходы к решению задач; воспитывать сотрудничество и взаимопомощь между учениками. Ход задания I. Актуализация знаний. - Какое уравнении называется дробно – рациональными? - Как решают дробно – рациональные уравнения? (алгоритм) - А как решать дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры? II. Объяснение темы. Для решения дробно – рационального уравнения, нужно привести его к виду дробно – линейного уравнения: ах + в = 0 и пользоваться равносильностью сх + d ах + в = 0 ах + в = 0 сх + d сх + d ≠ 0 Рассмотрим пример. При каких значениях параметра а все решения уравнения а – 1 = 2х + 7 2 х + 6 (х + 2) – х – 22 не положительны? Решение. а – 1 = 2х + 7 а–1 = 2х + 7 2 х+6 (х + 2) – х – 22 х+6 (х + 6)(х – 3) соберем все слагаемые в левой части уравнения, приведем к общему знаменателю и выполним преобразования в числителе: (а – 1)(х – 3) – 2х – 7 = 0 ах – 3а – 3х –4 = 0 (а – 3)х = 3а +4 (х + 6)(х – 3) (х + 6)(х – 3) х≠-6 х≠ 3 Решим линейное уравнение: (а – 3)х = 3а + 4; если а = 3, то решений нет; если а ≠ 3, то х = 3а + 4 а–3 По условию задачи нам надо найти неположительные решения. Если х ≤ 0, то случай х = 3 невозможен, и достаточно решить систему 3а+4 ≤0 а–3 3а + 4 ≠ - 6 а–3 Решением неравенства 3а+4 ≤0 а–3 будет промежуток - 4 ≤ а < 3, второе соотношение системы даст а ≠ 14 3 9 Число 14 меньше 3, поэтому его нужно исключить из промежутка. 9 Ответ: а Є - 4 ; 14 U 14 ; 3 3 9 9 III Применение знаний в стандартной ситуации Решите уравнения (работают группами) а) 1 + х = а; б) а = 1 + а – 1 1–х с а а(х – 1) в) х – 3 m - 2m + 3 = m - 5 х2 – 9 х+3 х–3 Проверяется у доски. Ответы: а) если а ≠ - с, с ≠ 0, то х = а – с ; если а = -с, с = 0, то решений нет а+с б) если а ≠ ±1, а ≠ 0, то х = а + 2 ; если а =1, то х Є (-∞; 1) U (1; +∞); а + 1; если а = -1, или а = 0, то решений нет. в) если m ≠ - 5, m ≠ 1, m ≠ 1, m ≠ 11, то х = 8 ; 3 3 m -1 если m = - 5 или m = 1, или m = 11 , то решений нет. 3 3 IV Итог. Как решаем дробно – рациональных уравнений, содержащих параметр? К какому виду надо его привести? V Задания для дополнительной работы. Решите уравнение: а) 1 = 2 х – 2а ах – 1 Ответ: если а ≠ 2, а ≠ ± 1 ; то х = 4а – 1; √2 2–а б) 3mх – 5 + 3m – 11 = 2х + 7 (m – 1)(x+ 3) m–1 х+3 если а = 2 или а = ± 1 , то нет решений. √2 Ответ: если m ≠ - 2 , m ≠ 1, m ≠ 9 , то х = 31 – 2m 5 4 4m – 9 если m = - 2 , m = 1, m = 9 , то решений нет 5 4 Занятие 12 Тема: « Уравнение и неравенства с параметрами» Цель: выработка умения решать уравнений с параметрами; научить решать неравенство с параметрами, рационализации поиска их решения; подбору наиболее удачных способов их решения; выстраиванию алгоритмов; помощь при подготовке к экзамену. Ход занятия I Актуализация знаний. 1. Что называется решением неравенства с одним неизвестным? Что значит решить неравенство с одним неизвестным? 2. Какие неравенства называется равносильными? 3. Какие свойства есть о равносильности неравенств? II Объяснение темы 1. Рассмотрим неравенства, которые после преобразования приводятся к линейным неравенствам вида ах > в, где а и в – параметры. При решении таких неравенств необходимо рассматривать случаи а = 0, а > 0, а < 0. Пример 1. Решить неравенство –1 + 3ах ≤ 6х + 10а Решение: Преобразуем неравенство: 3ах – 6х ≤ 10 а + 1 х(3а – 6) ≤ 10а + 1 . если а = 2, то х 0 ≤ 21, ему удовлетворяет любое х; если а > 2, то х ≤ 10а + 1 ; если а < 2, то х ≥ 10а + 1 ; 3а – 6 3а – 6 Ответ: если а < 2, то х Є 10 а + 1; + ∞ ; 3а – 6 если а > 2, то х Є -∞; 10 а + 1; если а = 2, то х – любое число 3а – 6 2. Задание для самостоятельного решения. Решить неравенство 2mх – 10 х ≥ m – 5 Ответ: если m >5, то х Є 1; + ∞ ; если m < 5, то х Є - ∞ 1; 2 2 если m = 5, то х – любое число 3. Рассмотрим пример 2. Решить неравенство х – 2 . а – 1 ≤ 2 (х + 1) а 3а Решение. Приведем неравенство к виду 3ах – 6а + 6 ≤ 2х + 2 а а если а = 0, то неравенство решений не имеет; если а > 0, то умножим обе части на а и решим полученное неравенство: 3ах – 6а + 6 ≤ 2х + 2 3ах – 2х ≤ 6а – 4 х(3а – 2) ≤ 2(3а – 2); если а = 2 , то х – любое число; 3 если а > 2 , то х ≤ 2; если 0 < а < 2 , то х ≥ 2 3 3 Рассматривая случай а < 0, придем к неравенству х (3а – 2) ≥ 2(3а – 2) Поскольку а < 0 < 2 , то х ≤ 2 3 Ответ: если а Є ( - ∞; 0) U ( 2; + ∞), то х Є ( - ∞; 2]; 3 если а = 0, то решений нет; если а Є (0; 2 ), то х Є [2; + ∞); если а = 2 , то х – любое число 3 3 III Формирование навыков Работа в парах. Решение неравенств. а) ах – а2 ≥ х – 1; в) 3 (2а – х) < ах + 1 б) mх > 1 + 3х г) ах + 1 - х – 4а ≥ а 2 IV Итог V Задания для дополнительной работы Решите неравенство: а) ах + 16 ≤ 4х + а2 ; б) 3х + 1 - 2х – 1 ≤ х – 1 а2 – 1 а–1 а+1 если а = 4, то х – любое число; Ответ: а) если а < 4, то х Є [а + 4; + ∞); если а > 4, то х Є (- ∞; а + 4]; б) а Є (- ∞; - 1) U 2; 1 , то х Є - ∞; 2а + 1 ; 3 3а – 2 если а Є (-1; 2 ) U (1; + ∞), то х Є 2а + 1 ; + ∞ ; 3 3а – 2 если а = 2, то х – любое число; а = ± 1, то решений нет 3 Занятие 13 Тема: “Уравнения и неравенство с параметрами” Цель: выработка умения решать уравнения и неравенства с параметрами; уметь применеть метод интервалов для решения неравенства с параметрами; научить учеников думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Ход занятий I. Актуализация знаний. 1. Устная работа: 1) решит неравенства: 2х + 3 < х + 4 х < 0; х + 12 < х + 5; 2х + 4 < 2х + 4 – нет решения 6 х >1; х + 13 > х + 17 3 2) укажите область определения функции у = √х – 3; у = √2х – 4; у = √2 – х II Формирование навыков и умений Рассмотрим пример 1. Найти все значения периметра а, при каждом из которых неравенство х – а < 0 х – 8а выполняется при всех х таких, что 2 ≤ х ≤ 4. Решение. Сначала решим неравенство х – а < 0 методом интервалов. Для этого х – 8а определим положение чисел а и 8а на координатной прямой. Пусть а < 8а, то есть а > 0. Тогда решением неравенства будет интервал а < х < 8а. Это неравенство по условию должно выполняться для всех 2 ≤ х ≤ 4, то есть отрезок [2; 4] должен содержаться в интервале (а; 8а). Это требование равносильно системе а<2 8а > 4 из которой следует, что 1 < а < 2 если а > 8а, то а < 0, и оба числа 2 а и 8а будут отрицательными, что не удовлетворяет условию 2 ≤ х ≤ 4 Ответ: 1 < а < 2 2 Пример 2. Решить неравенство а2х – а2 + 9 < х – 4(а – 3) Решение. а2х – а2 + 9 < х – 4(а – 3) а2х – х < а2 – 4а + 3 х(а – 1)(а + 1) < (а – 1)(а – 3) При а = -1 будем иметь 0х < 8, что выполнено при всех х. При а = 1, 0х < 0 – решений нет При │а│< 1, то х > а – 3 ; при │а│> 1, то х < а – 3 а+1 а+1 Ответ: если │а│< 1, то х Є а – 3 ; + ∞ а+1 если │а│> 1, то х Є - ∞; а – 3 ; если а = -1, то х – любое; если а = 1, то решений нет. а+1 Пример 3. При каких значениях параметра р неравенство ( р2 – р – 2)х ≤ р5 – 4р4 + 4р3 не имеет решений? Решение. Разложим на множители многочлены в левой и правой частях неравенства: (р + 1)(р – 2)х ≤ р3 (р – 2)2. Из этого неравенства заключаем, что при р = -1, оно примет вид 0х ≤ - 9. Это неравенство решений не имеет. Легко проверить, что при других р неравенство будет иметь решения. Ответ: р = -1. Упражнения для самостоятельной работы. Решите неравенства: а) mх < 4 – 2х; в) а2х + 1 - а2 х + 3 < а + 9х 2 3 6 б) 5 + кх ≤ 5 + к; г) 2х – m m < 3 (m – 2)(х + 3) m–2 х+3 д) ах – 3 - а > а – 1 х–3 2 IV Итог Учитель проверяет работы консультантов, а они в свою очередь, проверяют остальных. Объясняют правильный ход решения, вместе исправляют ошибки. Учитель помогает индивидуально каждому. Решите неравенства: а) 6 > 0; б) 3 > 1 ; в) 5 > 4а х–а ах + а 5 х – 4а Ответ: а) если а < 0, то х Є - ∞; а + 6 U (а; + ∞) а если а = 0, то х Є (0; + ∞); если а > 0, то х Є а; а + 6 а б) если а < 0, то х Є 15 – 1 ; - 1 ; если а = 0, то решений нет; а если а > 0, то х Є - 1; 15 – 1 ; а в) если а < 0, то х Є - ∞; 4а + 5 U (4а; + ∞); 4а если а = 0, то х Є (0; + ∞); если а > 0, то х Є 4а; 4а + 5 4а Задание 14. Тема: “Неравенства и системы неравенств с параметрами” Цель: научить вырабать способ решения неравенства и системы неравенств с параметрами; научить увидеть всевозможных вариантов и подвариантов на которые распадается основой ход решения, понимать цели выполняемых действии; расширять математический кругозор. Ход занятия. I. Актуализация знаний. 1. Что называется системой линейных неравенств с одним неизвестным? 2. Как можно решить систему линейных неравенств? II. Объяснение материала. Для того чтобы решить систему линейных неравенств, надо решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую часть полученных решений. Она и будет решением этой системы. И при этом надо учесть параметр. Рассмотрим пример 1. При каких значениях а система неравенств – 5х < 10 х + а ≥ 2х 1) не имеет решений; 2) имеет ровно два целых решения.? Решение. Решим первое неравенство и приведем подобные слагаемые во втором неравенстве х > -2 х≤а Сравним взаимное расположение точек (-2) и а на координатной прямой и рассмотрим три случая а = -2, а > -2; а < -2. а При а = -2 имеем - не имеет решения -2 а При а > - 2 имеем - (-2; а] -2 При а < -2 а - не имеет решений -2 Получаем, что при а ≤ - 2 система решений не имеет. Система может иметь решения только при а > -2. Чтобы система имела ровно два целых решения, необходимо, чтобы в промежутке (-2; а] лежало только два целых числа: -1 и 0. Это выполняется, если 0 ≤ а < 1. Ответ: 1) при а ≤ -2; 2) при 0 ≤ а < 1 Пример 2. При каких значениях а неравенство ах2 + х –1 > 0 выполняется при всех значениях х ? Решение. Данное неравенство не при любых значениях параметра а будет квадратным. При а = 0 имеем: 0х2 + х – 1 > 0. Получаем линейное неравенство х – 1 > 0, которое выполняется не при всех значениях х (например, при х = -2; -2 – 1 < 0) При а ≠ 0 исходное неравенство будет квадратным. Графиков функции ƒ(х) = ах2 + х – 1 является парабола. Для того, чтобы неравенство выполнялось при всех значениях х, нужно, чтобы парабола была расположена выше оси абсцисс х Запишем условия, соответствующие данному положению параболы: Д = 12 + 4 а; 12 + 4а < 0 а>0 Д<0 Решением неравенства Д < 0 является промежуток ( - ∞; - 0,25) Система решений не имеет. а>0 а < - 0, 25 Ответ: таких значений а не существует. III. Закрепление темы. Задания решают у доски и в тетрадях. 1. При каких значениях а система неравенств 4х – 12 < 0 - х + а ≤ 0 имеет решения? Ответ: а < 3. 2. . При каких значениях а < 0 система неравенств решений? Ответ: (-3; -2] 3. При каких значениях р система неравенств Ответ: р ≤ - 2. 3. При каких значениях а система неравенств 4х – 12 < 0 - х + а ≤ 0 имеет ровно пять целых 5х + 12 ≥ 17 + 2х р + 2х ≤ 3 + х имеет решения 5 – 3х < 4х – 2 2 + 3х < 2а + 2х не имеет решения? Ответ: а ≤ 1,5 IV Итог урока 1) как решается система неравенств с параметрами? 2) на что нужно обратить внимание? V Задания для дополнительной работы При каких значениях m система неравенств имеет ровно три целых решения: 1) 5–х<2 2) 4+х>1 х+6<m+1 х–5<m–2 Ответ: 11 < m ≤ 12 Ответ: - 3 < m ≤ - 2 Занятия 15, 16 Тема: «Уравнения с параметрами: графический метод решения» Цель: научить проверить свои умения применять теоретические знания на практике; оценить исходный уровень знании по теме «Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры»; рассмотреть графический метод решения некоторых уравнений с параметрами; формирование у каждого ученика навыков самообучения и самоконтроля. Ход занятия I Актуализация знаний. 1. Что значит решить уравнения с параметрами? 2. Как решаются системы линейных уравнений с параметрами? II Практическая часть. I группа 1. Решите уравнение: а) а(ах – 1) + 3 = 3ах б) 3 + t = t + 1 2–х х 2. При каких значениях параметра а система 7х – 2ау = 5 не имеет решений? (4 – 5а)х – 4ау = 7 Ответ: 1). а) если а ≠ 0, а ≠ 3, то х = 1 ; если а = 3, то х – любое число а если а = 0, то решений нет б) если t ≠ - 3, или t ≠ -2, или t ≠ -1, х = t + 1 t+ 2.; если t = -3 или t = -2 или t = - 1, то решений нет. 2)а = -2, а = 0 II группа 1. а) m (х – 3) + 2 = m (mх – 1) б) 3 – m = 1 + m х 2+х 2. Решите систему уравнений: х + ау = 1 ах + у = 2а Ответ: 1. а) m ≠ 0, m ≠ 1, то х = - 2 ; m если m =1, то х – любое; если m = 0, то решений нет . б) m ≠1, m ≠ 2, m ≠ 3, то х = m –3 ; m -2 если m =1 или m = 2, или m = 3 , то решений нет. 2. если а ≠ ±1, то х = 1 – 2а2 , у = а; 2 1–а 1 – а2 если а = ±1, то решений нет. III Приобретение новых знаний Уравнения с модулем можно решать графически. Для этого выражения, содержащие параметр, переносят в одну часть уравнения и строят графики функции левой и правой частей уравнения. Рассмотрим пример 1. Решите уравнение |х + 3| - а |х - 1| = 4 при а >0. Решение. |х + 3| - а |х - 1| = 4 |х + 3| - 4 = а |х - 1| Будем строить в одной системе координат графики функции у = |х + 3| - 4 и у = а |х - 1|. Рассмотрим четыре случая: 1) а > 1; 2) а = 1; 3) 0 < а < 1; 4) а = 0 1). При а > 1 графики выглядят следующим образом у у = а|х - 1|, а > 1 х -3 1 у = |х + 3| - 4 -4 Графики пересекаются в одной точке (1; 0) т. е. при а >1, х = 1 2). При а = 1 графики выглядят следующим образом: у у = |х - 1|, а = 1 х -3 1 -4 у = |х + 3| - 4 При х > 1 графики совпадают ,т. е. система имеет бесконечно много решений. При а = 1 решением уравнения будет промежуток [1; + ∞) 3) При 0 < а < 1 графики выглядят следующим образом у у = а|х - 1|, 0 < а < 1 1 -3 у = |х + 3| - 4 х -4 Графики пересекаются в двух точках. Одна точка имеет координаты (1; 0) Чтобы найти координаты второй точки, надо решить систему |х + 3| - 4 = а |х - 1| х<-3 Так как х < - 3, то модули выражений раскрываются следующим образом: |х + 3| = - (х + 3) = - х – 3 |х - 1| = - (х – 1) = - х + 1. Осталось решить уравнение. - х – 3 – 4 = а (-х + 1) ах – х = а + 7 х (а – 1) = а + 7 . Так как 0 < а < 1 (поэтому а ≠ 1), то х = а + 7 . а–1 Итак, при 0 < а < 1, то х = 1, и х = а + 7 . а–1 4. При а = 0 график у = а |х – 1| совпадает с осью абсцисс и уравнение имеет два решения. Решения можно найти из уравнения |х + 3| – 4 = 0 |х + 3| = 4 х + 3 = 4 или х + 3 = -4 х=1 х=-7 При а = 0 уравнение имеет два корня: 1 и – 7. Ответ: при а > 1, то х = 1; при а = 1, то х ≥ 1; при о < а < 1, то х = 1 и х = а + 7 ; а–1 при а = 0, то х = 1 и х = - 7. IV Применение знаний При каких значениях параметра а уравнение |х - 1| + |х - 3| = а имеет бесконечно много решении? Ответ: а = 2. V. Итог VI Задание для дополнительной работы При каких значениях параметра а уравнение |х - 1| + |х - 3| = а не имеет решений? Ответ: при а < 2. Занятие 17 Тема: «Уравнение с параметрами: графический метод решения» Цель: выработка умения решать уравнения с параметрами графическим методом; уметь строит графики данных функции и рассмотреть всевозможных вариантов и подвариантов, на которые распадается основной ход решения и установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а; развивать логическое мышление, тренировать внимание и память. Ход занятия I. Анализ самостоятельной работы. I. Подведение итогов практической работы. II. На доске разбираются задания, вызвавшие наибольшее затруднение. III. Применение полученных знаний на практике. 1. Решите графически уравнение. а) При каких значениях параметра а уравнение |х - 1| + |х - 3| = а имеет ровно два решения? Ответ: при а > 2 б) Укажите число решений уравнения а|х + 3| - 2 |х - 1| = 2 в зависимости от а при а >0. Ответ: при а > 2 и 0,5 < а < 2 два решения; при а = 0,5; 2 одно решение; при 0 < а 0,5 решений нет. II. Повторение пройденного материала по курсу Решите неравенства. Учащиеся работают в парах, обменяются мнением о решении каждого примера. В случае расхождения мнений общаются за консультацией к учителю. а) ах – а2 – 2х + 3а ≥ 2; б) а(ах – 1) > 3(2ах – 3х + 1) в) х > 2х – а а+2 г) найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х – 2а – 1 < 0 х–а выполняется для всех х из промежутка 1≤ х ≤ 2 Ответ: а) если а < 2, то х Є (- ∞; а – 1]; если а = 2, то х – любое число; если а > 2 то х Є [а – 1; + ∞) б) если а ≠ 3, то х Є а + 3 ; + ∞ ; если а = 3, то решений нет (а – 3) в) если а Є (- ∞; - 2) U ( - 1,5; + ∞), то х Є - ∞; а (а + 2) 2а + 3 если а Є (- 2; - 1,5), то х Є а (а + 2) ; + ∞ 2а + 3 если а = -2 или а = - 1,5; то решений нет. г) 1 < а < 1 2 IV Итог. ;
