Функционально-графический подход к решению уравнений

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЕЛАТОМСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
отдела образования администрации муниципального образования
«Бугурусланский район» Оренбургской области
Учебное пособие
Функционально-графический подход при решении
уравнений школьного курса алгебры и начал анализа
Подготовили: учитель математики и информатики Камскова Т.В.,
учитель математики и физики Камсков В.М.,
ученик 9 класса Камсков А.
2011-2012 уч. г.
Содержание
Введение…………………………………………………………………...........3
Глава I. Теоретические основы темы «Функционально-графический подход
при решении уравнений школьного курса алгебры и начал анализа»
§1. Определение и свойства функций
1.1. Область определения и область значения функции……………4
1.2. Монотонность функции………………………………………….5
1.3. Ограниченность функции………………………………………...7
1.4. Чётная и нечётная функция………………………………………9
1.5. Периодическая функция………………………………………...10
§2 Равносильность уравнений………………………………………….11
§3.
Анализ
программ
и
школьных
«Функционально-графический
учебников
метод
по
теме
решения
уравнений»………………………………..19
Глава II. Применение свойств функций при решении уравнений.
§1.
Использование
области
определения
и
области
значения
функций…………………………………………………………………………
…...24
§2. Использование монотонности функций……………………............28
§3. Использование ограниченности функции………………………….31
§4. Использование периодичности функции…………………………..35
§5. Обобщенный прием решения нестандартных уравнений…………37
§6. Применение функционального подхода к решению уравнений с
параметром…………………………………………………………………….40
Заключение…………………………………………………………………….49
Список литературы……………………………………………………………51
Приложение……………………………………………………………………53
2
Введение
Уравнения играют важную роль в курсе математики средней школы.
В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего
(полного)
общего
образования,
утвержденным
Министерством
образования РФ все учащиеся должны знать три основных метода решения
уравнений:
Метод разложения на множители.
Метод замены переменных.
Функционально-графический метод.
Последнему методу в школьном курсе уделяется мало внимания, хотя
применение данного метода позволяет решать нестандартные уравнения,
что приобрело особое значение в связи с введением в школах единого
государственного экзамена.
Цель учебного пособия – раскрыть подход к решению уравнений на
основе свойств функций, показать применение данного метода в школьном
курсе математики.
Задачи:
 анализ школьных программ и учебников для выявления в них
использования свойств функций для решения уравнений;
 подбор различных видов уравнений решаемых функциональнографическим способом из различных сборников, практикумов и
задачников;
3
 систематизация уравнений по применению различных свойств
функций;
 исследование возможностей использования данного материала для
преподавания математики в средней школе в классах с углубленным
изучением курса математики или профильных классах.
Предметом
исследования
является
функционально-графический
подход при решении уравнений школьного курса алгебры и начал анализа.
Объектом исследования является процесс обучения учащихся
функционально-графическому способу
решения уравнений школьного
курса алгебры и начал анализа.
Суть функционально-графического метода основана на
свойствах
элементарных функций и их графиков.
Рассмотрим на конкретных примерах сущность функциональнографического метода. Продемонстрируем использование основных свойств
функций к решению уравнений.
Глава I. Теоретические основы темы «Функционально-графический
подход при решении уравнений школьного курса алгебры и начал
анализа»
§1. Определение и свойства функций
1.1. Область определения и область значения функции
Понятие функции является одним из основных понятии математики
вообще и школьной математики в частности. Великий математик
П. Дирихле в 1837 году дал следующее определение функции «y есть
функция
от
x, если
всякому значению
x
соответствует
вполне
определённое значение y, причём совершенно не важно, каким именно
способом установлено указанное соответствие».
В школьном курсе математики даётся определение функции на языке
теории множеств.
4
Определение 1. Правило (закон) соответствия между множествами X
и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один
элемент из множества Y, называется функцией.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве
действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может
принимать только те действительные значения, при которых функция
определена, т.e. она также принимает только действительные значения.
Определение 2. Множество X всех допустимых действительных
значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена,
называется областью определения функции.
Определение 3. Множество Y всех действительных значений y,
которые принимает функция, называется областью значений функции.
Функция считается заданной, если:
 задана область определения функции X;
 задана область значений функции Y;
 известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для
каждого
значения аргумента может быть найдено только одно
значение функции.
Это требование однозначности функции является обязательным.
1.2. Монотонность функции.
Определение 4. Функцию называют возрастающей (убывающей) на
множестве X, если для любых х1, x2  Х таких, что х1 < х2 имеет место
неравенство f(x1)< f(x2) (f(x1)> f(x2)).
Определение 5. Функцию называют нестрого возрастающей (нестрого
убывающей) на множестве X, если для любых х1, x2  Х таких, что х1 < х2
имеет место неравенство f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2)).
Функции, возрастающие или
убывающие на Х, называется
монотонными на Х.
5
Теорема 1. (Лагранжа): Пусть функция f непрерывна на отрезке [а,b] и
дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует
внутренняя точка с этого отрезка, такая, что
f (b)  f (a )
 f (c)
ba
Следствие 1 (условие постоянства). Если функция f непрерывна на
отрезке [a,b], а ее производная равна 0 внутри этого отрезка, то функция f
постоянна на [a,b].
Следствие 2. Если функции φ и ψ непрерывны на отрезке [a,b] и
имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются
лишь постоянным слагаемым.
Следствие 3 (достаточное условие монотонности). Если функция
непрерывна на промежутке I ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то
функция f возрастает (соответственно убывает) на I.
Определение 6. Если функция f(x) с областью определения X и
множеством значений Y такова, что каждому значению у  У соответствует
единственное х  Х такое, что f(x) = у, то такое соответствие определяет на
множестве Y функцию с аргументом у, которую обозначают х = f -1(y), и
называют обратной функцией.
Обычно в этом выражении меняют х и y местами.
Область определения обратной функции совпадает со множеством
значений прямой функции. Множеством значений обратной функции
служит область определения прямой функции.
Теорема 2. Если функция у = f(x) непрерывна и строго возрастает на
отрезке [a,b] (строго убывает), то отрезок [c,d]([d,c]), где f(c)=a, f(d)= b
является множеством значений функции и при этом на отрезке [c,d]([d,c])
существует функция у = f -1(x) обратная к данной, которая непрерывна и
строго возрастает на [с, d] (строго убывает на [d,c])
Теорема 3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго возрастает на
интервале (a,d) или на [а,b), причем существуют lim f ( x)  c, lim f ( x)  d , то
xa
xb
6
на интервале (c,d) или на [c,d) существует функция у = f -1(x) обратная к
данной, которая непрерывна и строго возрастает на интервале (c,d)
или
на [c,d)
Имеют место следующие утверждения.
1)
Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то для
любого числа с функция f + с также возрастает (убывает) на X.
2)
Если функция f возрастает (убывает) на множествеX, то
функция -f убывает (возрастает) на X.
3)
Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то для
любого числа с>0 функция сf также возрастает (убывает) на X.
4)
Если функция f
возрастает (убывает) и сохраняет знак на
множестве X, то функция
5)
1
также возрастает (убывает) на X.
f
Если функции f(x) и g(x) возрастают (убывают) на множестве
X, то их сумма f(x)+g(x) тоже возрастает на этом множестве.
6)
Если функции f(x) и g(x) возрастают и неотрицательны на
множестве X, то их произведение f(x)∙g(x) тоже возрастает на X.
7)
Если функция g возрастает (убывает) на множестве X, а функ-
ция f возрастает (убывает) на множестве значений E{g) функции g,
то сложная функция у = f(g(x)) возрастает на этом множестве.
8)
Если функция g возрастает (убывает) на множестве X, а функ-
ция f убывает (возрастает) на множестве значений E(g) функции g, то
сложная функция у = f(g(x)) убывает на этом множестве.
1.3. Ограниченность функции.
Определение7. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу)
на множестве X, если найдется такое вещественное число М (число m), что
для всех значений аргумента х из множества X справедливо неравенство
f(x)  M (f(x)  m).
При этом число М (число m) называется верхней (нижней) гранью
функции f(x) на множестве X.
7
Ограниченность функции легко прочитать по ее графику: если
функция ограничена снизу (сверху), то ее график целиком расположен
выше (ниже) некоторой горизонтальной прямой y = т (у = М).
Функция, изображённая на рис. является ограниченной
Теорема 4. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а,b], то она
ограничена на этом отрезке.
Определение 8. Число т (М) называется наименьшим (наибольшим)
значением функции у =f(х) на множестве X из области определения, если:
1) существует такая точка m, что f(х0)=т (f(x0)=M);
2) для всех х из X выполняется неравенство (f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)
Определение 9. Точка x = х0 называют точкой минимума функции
у = f(x), если у этой точки существует окрестность для всех точек которой
(кроме самой точки х = х0) выполняется неравенство f(x) >f(x0), x  x0
Определение 10. Точка х = х0 называют точкой максимума функции
y= f(x) если у этой точки существует окрестность для всех точек которой
(кроме самой точки х = х0) выполняется неравенство f(x)<f(x0), x  x0
Точки максимума и минимума функции объединяют общим термином
- точки экстремума
Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция у = f(x)
имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо
равна 0, либо не существует.
Определение 11. Внутренние точки области определения функции, в
которых производная равна нулю, называют стационарными.
8
Определение 12. Внутренние точки области определения функции, в
которых функция непрерывна но производная функции не существует,
называют критическими.
Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция у = f(x)
непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную
или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при
х < х0 выполняется неравенство f'(x)< о, а при х > х0 неравенство f'(x)>0,то
х = х0-точка минимума функции у =f(x).
б) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при x<x0,
выполняется неравенствоf'(x)>о, а при х>х0
неравенство f(x)<0, то
х = х0 - точка максимума функции у =f(x).
Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает ип
нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значения.
Теорема 8. Пусть функция y=f(х) непрерывна на промежутке X и
имеет внутри него единственную точку экстремума х = х0. Тогда:
а) если х = х0 точка максимума, то уmax = f(х0);
б) если х = х0 точка минимума, то уmin = f(x0);
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции,
непрерывной на отрезке [а,b].
1) Найти все точки, подозрительные на экстремум, которые лежат
внутри [a,b]. Для этого найти производную f'(х), найти точки из интервала
(а,b), где f'(х) обращается в нуль, и точки, где f'(x) не существует. (Такие
точки называют критическими или подозрительными на экстремум).
2) Вычислить значения функции f(х) в этих точках и на концах
сегмента [а,b], а потом выбрать из них наибольшее (соответственно
наименьшее).
1.4. Чётная и нечётная функции.
9
Определение 13. Если для любого x из области определения функции
имеет место:
f ( x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место:
f( x )=-f ( x ), то функция называется нечётной.
График чётной функции симметричен относительно оси Y ( рис. 1), a
график нечётной функции симметричен относительно начала координат
(рис.2 ).
Рис. 1
Рис. 2
Для любых двух симметричных значений аргумента из области
определения чётная функция принимает равные числовые значения, а
не чётная равные по абсолютной величине, но противоположного
знака.
1.5. Периодическая функция.
Определение 14. Функция f ( x ) - периодическая, если существует
такое отличное от нуля число T , что для любого x из области
определения функции справедливо двойное равенство f (x + T) = f (x)= f (x
- T).
Определение 15. Число Т называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими.
10
Теорема 9. Если функция f ( x ) – периодическая и имеет период Т то
функция А f ( kx + b), где A, k, b постоянные, k  0 , также периодична,
причём период равен
T
.
k
Теорема 10. Если функция g периодическая и имеет период Т, а
функция f определена на E(g), то функция y=f(g(x)) тот же период.
§2 Равносильность уравнений.
Определение 16. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и
p ( x ) = h (х) называют равносильными, если множества их корней
совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они
имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
Например, уравнения х2 - 4=0 и (x+2)(2x - 4) =0 равносильны, оба они
имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнении х2 +1 =0 и х1/2 = -3,
поскольку оба они не имеют корней.
Определение 17. Если каждый корень уравнения f(х)=g(х) (1)
является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x)(2), то уравнение (2)
называют следствием уравнения (1).
Например, уравнение x-2 =3 имеет корень х = 5, а уравнение (х-2)2 =9
имеет два корня: х1 =5, х2 =-1. Корень уравнения х-2 =3 является одним из
корней уравнения(х-2)2 =9. Значит, уравнение (х-2)2 =9 — следствие
уравнения х-2 =3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение 9:
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из
них является следствием другого.
Схему решения любого уравнения можно описать так: заданное
уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение
11
(1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем
уравнение (2), и т.д.
В итоге получают достаточно простое уравнение и находят его корни.
В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество
найденных корней последнего уравнения с множеством корней исходного
уравнения (1)? Если все преобразования были равносильными, т.е. если
были равносильны уравнения (1) и (2), (2) и (3), (3) и (4) и т.д., то ответ на
поставленный вопрос положителен: да, совпадает. Это значит, что, решив
последнее уравнение цепочки, мы тем самым решим и первое (исходное)
уравнение
цепочки.
Если
же
некоторые
преобразования
были
равносильными, а в некоторых мы не уверены, но точно знаем, что
переходили с их помощью к уравнениям-следствиям, то однозначного
ответа на поставленный вопрос мы не получим.
Чтобы ответ на вопрос был более определенным, нужно все найденные корни последнего уравнения цепочки проверить, подставив их
поочередно в исходное уравнение (1). Если проверка показывает, что
найденный корень последнего уравнения цепочки не удовлетворяет
исходному уравнению, его называют посторонним корнем; естественно,
что посторонние корни в ответ не включают.
Термин «более простое уравнение» вообще говоря, не поддается,
точному описанию. Обычно считают одно уравнение более простым, чем
другое, по чисто внешним признакам (известен способ решения
уравнения).
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило,
осуществляется в три этапа:
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1),(2),(3),(4),... и находят корни последнего (самого
простого) уравнения указанной цепочки.
12
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были
равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе,
показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнениюследствию,
то
обязательна
проверка
всех
найденных
корней
их
подстановкой в исходное уравнение.
Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре
вопроса.
1) Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому
равносильным преобразованием?
2)
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в
уравнение-следствие?
3) Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как
сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными
вычислительными трудностями?
4) В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому
может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры,
основано на шести теоремах о равносильности. Первые три теоремы —
«спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без какихлибо
дополнительных
условий,
их
использование
не
причиняет
решающему никаких неприятностей.
Теорема 11. Если какой-либо член уравнения перенести из одной
части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится
уравнение, равносильное данному.
Теорема 12. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же
нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 13. Показательное уравнение af(x) =ag(x) (где а > 0, а  1)
равносильно уравнению f(x) = g(x).
13
Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают лишь при
определенных
условиях,
а
значит,
могут
доставить
некоторые
неприятности при решении уравнений. Прежде чем формулировать
теоремы 14—16, напомним еще об одном понятии, связанном с
уравнениями.
Определение 18. Областью определения уравнения f(x) = д(х) или
областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество
тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл
выражения f(x) и д(х).
Теорема 14. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на одно и
то же выражение h(x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых
значений) уравнения f(x) = g(x);
б) нигде в этой области не обращается в 0-то получится уравнение
f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному.
Замечание 1. Следствием теоремы 14 является еще одно «спокойное»
утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и
то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 15. Если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны в
области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в
одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное
данному: f(x)n = g (х)n .
Теорема 16. Если f(x) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение
loga f(x) = loga g(x), где a > 0, а  1 , равносильно уравнению f(x) = g(x).
Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие. Какие
преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?
Частично ответ на этот вопрос связан с тремя последними теоремами.
Можно сказать так: если в процессе решения уравнения мы применили
заключение одной из теорем 14, 15, 16, не проверив выполнения
14
ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то
получится уравнение-следствие. Приведем примеры.
1) Уравнение х-1 = 3 имеет один корень х = 4. Умножив обе части
уравнения на х -2, получим уравнение(х-1)(х-2) =3(х-2), имеющее два
корня: х1 =4 и х2 =2. Второй корень является посторонним для заданного
уравнения. Причина его появления состоит в том, что мы умножили обе
части уравнения на одно и то же выражение, нарушив при этом условия
теоремы 4. В этой теореме содержится требование: выражение, на которое
мы умножаем обе части уравнения, нигде не должно обращаться в 0. Мы
же умножили обе части уравнения на выражение х-2, которое обращается в
0 при х =2; именно это значение оказалось посторонним корнем.
2) Возьмем то же самое уравнение х-1 =3 и возведем обе его части в
квадрат. Получим уравнение (х-1)2 =9, имеющее два корня: x1 = 4, х2 = -2.
Второй корень является посторонним для уравнения х-1 =3. Причина его
появления состоит в том, что мы возвели обе части уравнения в одну и ту
же четную степень, нарушив при этом условие теоремы 5. В этой теореме
содержится
требование:
обе
части
уравнения
должны
быть
неотрицательны. Про выражение х-1 этого утверждать мы не можем.
3) Рассмотрим уравнение ln(2x-4) =ln(Зх-5). Потенцируя, получим
уравнение 2х-4 = Зх-5 с единственным корнем х = 1. Но этот корень
является посторонним для заданного логарифмического уравнения,
поскольку оба выражения под знаками логарифмов при х = 1 принимают
отрицательные значения. Причина появления постороннего корня состоит
в том, что мы, потенцируя (т.е. «освобождаясь» от знаков логарифмов),
нарушили условия теоремы 6. В этой теореме содержится требование:
выражения под знаками логарифмов должны быть положительными; о
выражениях 2х-4и 3x-5 этого утверждать мы не можем, так как они при
одних значениях х положительны, при других — отрицательны.
В последнем примере переход от логарифмического уравнения к
уравнению 2х-4=Зх-5 привел к расширению области определения
15
уравнения. Область определения логарифмического уравнения задается
системой неравенств:
2 x  4  0

3x  5  0
решив которую находим: х > 2. Область же определения уравнения
2х-4=Зх-5 есть множество всех действительных чисел. По сравнению
с логарифмическим уравнением она расширилась: добавился луч (-  ,2].
Именно в эту добавленную часть и «проник» посторонний корень х = 1.
Перечислим возможные причины расширения области определения
уравнения:
1) Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей,
содержащих переменную величину.
2) Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней
четной степени.
3) Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.
Подведем итоги. Исходное уравнение преобразуется в процессе
решения в уравнение-следствие, а значит, обязательна проверка всех
найденных корней, если:
1) произошло расширение области определения уравнения;
2) осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же
четную степень;
3) выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же
выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области
определения уравнения).
Пример 1. Решить уравнение 2 x  5 + 5 x  6 =5
Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме
(1)—» (2)—» (3)—» (4)—и находят корни последнего (самого простого)
уравнения указанной цепочки. Последовательно имеем:
16
5 х  6 =5- 2 х  5 .
( 5 х  6 2 =(5- 2 х  5 ) 2
5х-6=25-10 2 х  5 + 2х + 5;
10 2 x  5 =36-3x
(10 2 x  5 )2=(36-3x)2
100(2x+5)=1296-216x+9x2
9x2-416x+796=0
x1=2, x2=
398
9
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Замечаем, что в процессе решения уравнения дважды применялось неравносильное преобразование — возведение в квадрат, кроме того, расширилась область определения уравнения (были квадратные корни — были
ограничения на переменную, не стало квадратных корней — не стало ограничений). Значит, решенное на последнем шаге первого этапа квадратное
уравнение является уравнением-следствием для заданного уравнения.
Проверка обязательна.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных
значений переменной в исходное уравнение.
Если х = 2, то получаем:
2  2  5 + 5  2  6 =5; 3 +2=5 — верное равен-
ство.
Если х =
398
, то получаем:
9
2
398
398
 5 + 5
 6 =5. Это неверное
9
9
равенство, поскольку уже первое подкоренное выражение явно больше,
чем 25, и потому корень из него больше, чем 5, т.е. уже больше правой
части равенства. Таким образом, х =
398
посторонний корень.
9
Ответ: 2.
17
Ответим на третий вопрос: как сделать проверку, если проверка
корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со
значительными вычислительными трудностями? Видимо, в таких случаях
надо искать обходные пути проверки.
Вернемся к примеру 1. Подстановка значения х1=2
в заданное
уравнение трудностей не представляла. Подстановку же второго значения
х2 =398/9 мы фактически заменили прикидкой. Мы прикинули что х2 = 44,
значит, 2x2  5 > 5, и сразу стало ясно, что х2 =
398
— посторонний корень.
9
Такая прикидка — один из необходимых путей проверки.
Еще раз вернемся к примеру 1. Значение х2 =
398
можно было
9
проверить не по исходному уравнению, а по полученному в процессе
преобразований уравнению: 10 2 x  5 =36 -3x. По смыслу этого уравнения
должно выполняться неравенство 36 -3х  0, т.е. х  12. Поскольку значение
х2 =
398
этому условию не удовлетворяет, то х2 — посторонний корень.
9
Как правило, самый легкий обходной путь проверки — по области
определения (ОДЗ) заданного уравнения.
Замечание 2. Каждый раз выделять при решении уравнения три этапа
— технический, анализ, проверку — конечно, необязательно. Но все это
нужно «держать в голове» и уж во всяком случае понимать следующее:
если анализ показал, что проверка обязательна, а вы ее не сделали, то
уравнение не может считаться решенным верно; тем более оно не может
считаться решенным верно, если вы не сделали сам анализ.
О потере корней. В каких случаях при переходе от одного уравнения к
другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1) деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(х)
(кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области
определения уравнения выполняется условие h(х)  0);
18
2) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от
уравнения f(x)h(x)=g(x)h(x) к уравнению h(x)(f(x) -g(x)) =0 (а не к
уравнению f(x) = g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще запретить
себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например,
уравнение lgx2 =4 и решим его двумя способами.
Первый
способ.
Воспользовавшись
определением
логарифма,
находим: х2 = 104; х, = 100, х2 = -100.
Второй способ. Имеем: 2lgx = 4; lgx=2; х = 100.
Обратите внимание: при втором способе произошла потеря корня —
«потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо использования
свойства логарифма
lg х2 = 2 lg | x | мы воспользовались формулой
lgx2 =2lgx, которая верна для х>0, сужающей область определения
выражения: область определения выражения lg х2 задается условием х  0
(т.е .х <0 и х >0), тогда как область определения выражения 21g х задается
условием х >0. Область определения сузилась, из нее «выпал» открытый
луч (-  , 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе
решения корень уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу,
следите за тем, чтобы области определения правой и левой частей
формулы были одинаковыми.
§3.
Анализ
программ
и
школьных
учебников
по
теме
«Функционально-графический метод решения уравнений»
В программе по математике для общеобразовательных школ
(основное общее образование) [29] одной из целей изучения курса алгебры
в 7-9 классах является …осуществление функциональной подготовки
школьников.
После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся
должны:
19
 понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая
описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными
величинами, что конкретные типы функций описывают большое
разнообразие реальных зависимостей;
 правильно употреблять функциональную терминологию (значение
функции,
аргумент,
график
функции,
область
определения,
возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в
речи учителя, в формулировке задач;
 находить
значение
функций,
заданных
формулой,
таблицей,
графиком, решать обратную задачу;
 находить по графику функции промежутки возрастания и убывания
функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и
наименьшее значения;
 строить графики функций – линейной, прямой и обратной
пропорциональностей, квадратичной функции;
 интерпретировать
в
несложных
случаях
графики
реальных
зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.
Одной из целей изучения темы «Уравнения и системы» является
знакомство учащихся с графической интерпретацией решения уравнений.
Цель изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах –
систематическое изучение функций как важнейшего математического
объекта средствами алгебры и математического анализа.
В результате изучения курса математики учащиеся должны:
 определять значение функции по значению аргумента при различных
способах задания функции;
 иметь наглядные представления об основных свойствах функций,
иллюстрировать их с помощью графических изображений;
 изображать графики основных элементарных функций; описывать
свойства этих функций;
20
 иметь представление о графическом способе решения уравнений.
Изучение математики в старшей школе на профильном уровне
направлено на достижение следующих целей:
формирование представлений об идеях и методах математики; о
математике как универсальном языке науки, средстве моделирования
явлений и процессов;
Учащиеся должны уметь:
 определять значение функции по значению аргумента при различных
способах задания функции;
 строить графики изученных функций, выполнять преобразования
графиков;
 описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
 решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя
свойства функций и их графические представления;
 находить приближенные решения уравнений и их систем, используя
графический метод;
 решать
уравнения,
неравенства
и
системы
с
применением
графических представлений, свойств функций, производной.
Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала
анализа, чтобы выяснить, насколько в них представлен функциональнографический метод решения уравнений.
В учебниках [4], [5], [6] в 7 классе вводятся понятия функции
аргумента,
области
определения
функции,
графика
функции,
рассматриваются способы задания функции. Там же изучается прямая
пропорциональность, линейная функция и степенные функции вида у = х2,
у = х3, их свойства и графики. В 8 классе рассматриваются обратная
пропорциональность и функция у  х . В 9 классе вводятся понятия
возрастающей и убывающей функций, чётности и нечётности функций.
Рассматриваются
квадратичная
функция
(её
график
и
свойства),
21
простейшие преобразования графиков (на примере квадратичной функции)
и степенная функция у  х n с натуральным показателем. В учебнике [7]
рассматриваются основные свойства функций, происходит знакомство с
тригонометрическими, показательными, логарифмическими, степенными
функциями их свойствами и графиками. Здесь доказывается теорема о
корне, и показывается её применение
В учебниках [1], [2], [3] приоритетная содержательно-методическая
линия курса — функционально-графическая, функция начинает изучаться
в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя
переменными
и
его
график,
линейная
функция,
прямая
пропорциональность и функция у  х 2 , их графики. Учащиеся учатся
находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном
промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях,
разъясняется
символика.
запись
y  f x  ,
Отдельным
а
пунктом
также
вводится
выделено
функциональная
графическое
решение
уравнений, дан подробный алгоритм, приведены примеры решения
k
уравнений. В 8 классе рассматриваются следующие функции: y  ,
x
y  ax 2  bx  c , y  x , y  x и их графики. Рассматривается два способа
графического решения квадратных уравнений.
В 9 классе вводятся
определение функции, способы задания функции, область значения,
область
определения
функции,
свойства
функций:
монотонность,
ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном
промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические
представления о непрерывности и выпуклости функции. Произведён обзор
свойств и графиков известных функций: y  C , y  kx  m , y 
y
k
, y  kx 2 ,
x
x , y  ax 2  bx  c , y  x . А так же рассмотрены функции y  x n и
y  x  n , их свойства и графики, построение графика функции y  mf  x  по
22
известному графику функции y  f  x  . В учебнике [8] рассмотрены
тригонометрические функции, функция корня n степени, показательная и
логарифмическая
равносильных
их свойства и графики. Вводится определение
уравнений,
уравнения-следствия.
Теоремы
о
равносильности уравнений даются без доказательств. Рассматривается
функционально-графический метод решения уравнений. Кратко изложена
необходимая теория, приводится решение
уравнений на применение
свойства монотонности функций, ограниченности функций. Наглядно
демонстрируется функционально- графический метод при решении
уравнений
с
параметрами,
в
методическом
пособии
к
учебнику
Мордковича А.Г.[10] разобраны достаточно трудные упражнения из
задачника. Включено также большое число примеров с детальными и
обстоятельными решениями.
Подборка упражнений на эту тему имеется в задачнике [9], упор
сделан на отработку общих идей и методов, полно представлены и
рациональные, и иррациональные, и показательные и логарифмические, и
тригонометрические уравнения.
В учебниках математики [24], [25], [26] первоначальное знакомство с
понятием функции происходит в 8 классе. Однако уже в 7 классе авторы
учебника рассматривают такие функции, как линейная, степенные
функции вида у = х2, у = х3, функция у  х , их графики (вводят названия
этих графиков). В 8 классе учебника [25] функциональной линии
посвящена одна глава «Функции».
Здесь рассматриваются следующие пункты:
Чтение графиков. Что такое функция. График функции. Свойства функций.
Линейная функция. Функция у 
В
учебнике[26]
глава
к
и её график.
х
«Уравнения
и
системы»
завершается
параграфом, посвящённым графическому исследованию уравнений с
одной переменной. В ходе выполнения упражнений учащиеся, используя
23
графические соображения, а также свойства функций, делают некоторые
качественные заключения о корнях уравнения (выясняют наличие корней,
их число, находят промежутки, которым принадлежат корни, и др.)
В книге Макарычева Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 9. «Дополнительные
главы к школьному учебнику» [28] даётся представление о графическом
решении некоторых уравнений. В пункте «Целые уравнения и способы их
решения» и «Решение иррациональных уравнений» рассматриваются
уравнения, которые достаточно просто решаются с использованием такого
свойства функции как монотонность.
В
учебном пособии[14],[30] функциональный подход к решению
уравнений подробно рассматривается при решении иррациональных
уравнений и уравнений с параметром. Представлено большое количество
уравнений для самостоятельного решения. В пункте «Использование
монотонности функций при решении уравнений» приводится подробное
решение показательного, логарифмического и иррационального уравнения.
Отдельным пунктом выделены уравнения вида f(f(x))=x, доказана теорема
полезная при решении данных уравнений. Рассматриваются уравнения на
использование экстремальных свойств функций. Приведены задачи
нестандартными
формулировками.
Применение
с
функционально-
графического метода показано при решении задач с параметром. Диапазон
сложности, в котором расположен задачный материал, весьма велик.
Можно сказать о преобладании достаточно трудных задач. Тенденция к
более сложным задачам определена как целями факультатива, так и
основными методическими принципами. Длительная и напряжённая
работа над достаточно трудной задачей и последующим изучение решения,
данного в пособии, полезнее десятка стереотипных примеров.
Для подготовки к ЕГЭ в данный момент выпущено достаточно много
различных пособий. Задания части С требуют умения применять
функционально-графический метод к решению уравнений. Достаточно
полно этот метод рассматривается в пособии Куканова М.А.[21]. В нем
24
приведены подробные решения части С прошлых лет. В пособии С.И.
Колесникова «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ» [22] собраны
эффективные методы решения проблемных уравнений. Приведены полные
решения более 20 задач с параметрами с применением функциональнографического метода. В пособиях для подготовки к ЕГЭ [17], [19]
предлагает около полусотни различных уравнений на применение свойств
функций, приводятся решения, даются рекомендации.
Глава II. Применение свойств функций при решении уравнений.
§1. Использование области определения и области значения функций
Начинать решение уравнения (неравенства) с нахождения его области
допустимых
значений,
которая
состоит
из
пересечения
областей
определения всех входящих в него функций.
Определение 19 Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения
называется множество значений неизвестного, при которых имеют смысл
(определены) его левая и правая части.
Возможны случаи:
1) Область допустимых значений уравнения пустое множество, то
при этом уравнение или неравенство решений не имеет;
2) Область допустимых значений уравнения конечное множество, то
при этом достаточно подстановкой определить, удовлетворяют ли эти
числа данному уравнению;
3) Область допустимых значений бесконечное множество, то при
решении уравнения
используется либо функциональный подход, либо
теория равносильности.
Обратимся к решению уравнений, решение которых раскрывает
применение указанного свойства функции.
Прием решения уравнений с применением ОДЗ:
1. Найдите ОДЗ уравнения;
25
2. Если область определения конечное множество, то непосредственно подстановкой определите, удовлетворяют ли эти числа уравнению;
3. Если область определения пустое множество, то сделайте вывод,
что уравнение не имеет решений;
4.
Если область определения интервал, то необходимы дополни-
тельные исследования функций, входящих в уравнение
с учетом
найденного ограничения на неизвестные. Эти исследования могут
привести
практически
сразу
к
ответу,
либо
к
дополнительным
преобразованиям, сводящим данное уравнение
к равносильному.
Дальнейшее решение полученного уравнения
возможно либо с
применением
теории
равносильности,
либо
с
применением
функционального подхода.
Замечания:
1)
При решении уравнений необязательно находить ОДЗ (в силу
сложности ее определения), иногда проще перейти к следствию данного
уравнения и проверить найденные корни.
2) При решении уравнений можно ОДЗ не определять, а решать
уравнение переходом к равносильной ему смешанной системе, в которой
либо одно из уравнений не имеет решений, либо знание решения одного из
уравнений упрощает ее решение.

№ 1. Решить уравнение x  x  1.
2
2
7
7
Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью
f ( x)  x  x  . Областью определения этой
2
определения
функции
7
2
7
функции (в соответствии с определением степени
с рациональным
показателем) является множество положительных действительных чисел.
26
Ответ: x>0.
№ 2. Решить уравнение sinxctgx=cosx.
Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью
определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть
областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно,
множество решений уравнения – множество всех действительных чисел,
кроме x=k, где kZ.
Ответ: xk, где kZ.
№ 3. Решить уравнение x  1  1  e .
Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений
функции
f ( x )  x  1 при x1 есть множество неотрицательных чисел, а
функция g ( x)  1  e при всех x принимает отрицательные значения.
№4. Решить уравнение х  2  1  х  2
1) Находим ОДЗ уравнения:
х  2  0 х  2


1  х  0
х  1
D(y)=пустое множество
2) Уравнение не имеет корней (случай 1)
Ответ: решений нет.
№5. Решить уравнение log 5 х = 1  х 4
1) Находим ОДЗ уравнения
х  0
х  0

 0  х 1

4
1  х  0
 х 1
2) Проверим является ли х=1 корнем данного уравнения:
log 5 1= 1 14 0=0  х=1 является корнем данного уравнения
Если 0  х  1, тогда log 5 х  0,
1  х 4  0 ,т.е. на этом интервале
уравнение не имеет решений.
27
Ответ: х=1
№6. Решить уравнение sin х  1  х  sin х
Нахождение ОДЗ есть непростая задача, поэтому поступим иначе,
основываясь на замечаниях.
Уравнение равносильно системе:
sin х  0

1  х  sin х  0

sin х  1  х  sin х
Решим третье уравнение системы и проверим удовлетворяют ли эти
значения неравенствам 1 и 2:
sinх=1- х  sin х  1  х  0  х  1  х  1 .
Проверка:
1  1  sin 1  0  х  1
sin1>0
является
корнем
данного
sin(-1)  0
уравнения
1- 1  sin( 1)  0  х  1
не является корнем уравнения
Ответ: х=1.
§2. Использование монотонности функций
Перейдем к рассмотрению утверждений полезных при решении
уравнений. Первое утверждение часто использующийся для решения
уравнений, доказан в школьном курсе (в учебнике для 10-11 классов под
редакцией А.Н. Колмогорова оно приводится под названием «Теорема о
корне»)
Утверждение10. Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная
функция на некотором промежутке X, тогда уравнение f(x) = С, где С данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке X.
Утверждение 11. Пусть f(x) и g(x) - непрерывные на множестве X
функции, f(x) строго возрастает, a g(x) строго убывает на этом промежутке,
28
тогда уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного решения на
промежутке X.
При решении уравнений вида f(g(x)) = f(h(x)) (1) полезны следующие
утверждения:
Утверждение 12. Решения уравнения g(x) = h(x) (2), содержащиеся в
ОДЗ уравнения (1), являются решениями уравнения (1).
Утверждение 13. Если f(x) - строго монотонная функция, то уравнения
(1) и (2) равносильны на ОДЗ уравнения (1). Это утверждение справедливо
и в том случае, если функция f(x) строго монотонна на множестве значений
функций g(x) и h(x).
Утверждение 14. Если функция f(x) строго возрастает на множестве Х
и f(x) X, тогда уравнения f(х) = х, f(f(х)) = х, , f(f(f(х))) = х и т.д. на
множестве X.
Таким образом, если одна функция возрастает, а другая убывает на
одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз
пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение
F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;
Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает),
а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо
имеет единственный корень, либо не имеет корней.
Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность
левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции
удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное
подбором решение будет единственным корнем уравнения.
Этот способ можно использовать для решения следующих типов
уравнений:
уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;
29
уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой –
возрастающая на данном промежутке функции;
уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая
функция, а вторая – число.
Рассмотрим примеры.
№7. Решить уравнение log 1 x  x  4
3
Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на
монотонность функции
f ( x)  log 1 x
и
g ( x)  x  4 .
Первая из них
3
убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше
нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная
функция с положительным коэффициентом при х). Подбором находится
корень уравнения х=3, который является единственным решением данного
уравнения.
Ответ: х=3.
5
3
3
№ 8. Решить уравнение 2 x  x  5 x  80  14  3x
Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим,
удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при
которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим
f ( x)  2 x5  x 3  5x  80 . Исследуем ее на монотонность с помощью
4
2
производной: f ( x)  10 x  3x  5 . Решаем биквадратное уравнение
10 x 4  3x 2  5  0 ,
D  9  200  0 ,
поэтому f ( x )  0 при всех значениях хR., следовательно, функция
f(x)- возрастающая.
30
3
Теперь исследуем функцию g ( x)  14  3x . Как легко установить,
она убывает при всех значениях хR. Из проведенного исследования
можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.
Ответ: х=2
x
x
x
№ 9. Решить уравнение 7  15  22
Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но
мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и
правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное
x
x
 7   15 
    1
 22 
уравнение к виду  22 
. Функция в левой части – сумма двух
убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же
части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое
уравнение может иметь только один корень.
Ответ: х=1
№10.
Решить
уравнение. 3 4 x  1  3 x  1  9 x  6  6
Эта
задача
предлагалась на одном из заочных туров Соросовской олимпиады.
Громоздко решить эту задачу возведением в степень.
Решение. Левая часть данного уравнения - возрастающая функция.
(Как сумма возрастающих функций). Поэтому у него не более одного
корня. Решение находится подбором – это х=7. При подстановке его в
уравнение получаем 3+2+1=6, это верное равенство.
Ответ: х=7
§3. Использование ограниченности функции.
Возможные случаи, связывающие свойство ограниченности с числом
решений уравнения.
31
Пусть дано уравнение f(x)= g(x) (1), где
f(x и g(x) непрерывные
числовые функции, определенные на множествах D(f) и D(g).
Обозначим множество значений функций, входящих в уравнение (1)
соответственно через E(f) и E(g). Если х0 является решением уравнения (1),
тогда справедливо числовое равенство f(x0)= g(x0), где f(x0)есть значение
функции f{x) при х = х0 и g(x0) - значение функции g(x) при х = х0.
Получается, что если уравнение (1) имеет решения, то множество
значений функций f(x) и g(x) должны иметь общие элементы Е(f)  E(g) 
Ø. Но этот факт, еще не указывает на то, что уравнение (1) имеет решение.
Это только необходимое, но недостаточное условие.
Рассмотрим возможные случаи, связывающие свойство ограниченности с числом решений и дадим их графическую иллюстрацию.
1) Пусть fmax =gmin„ Е(f)  E(g)={c}.
Если fmax =f(x0 ), gmin=g(x0),
то есть максимальное значение одной
функции и минимальное значение другой совпадают в одной точке х = х0
решение уравнения (1). (рис.1).
Рис. 1
Если f max = f(xo) и gmm = g(x’o) (xo ≠ x’o), тогда ни xo, ни x’o не являются
решениями уравнения (1) (рис.2)
32
Рис 2
2) Пусть fmax < gmin и Е(f)  E(g) = Ø.
В этом случае уравнение решений не имеет (рис.3 а).
3. Пусть fmax>gmin и E(f)  E(g)=[a;b].
Этот
случай
графически
представлен
на
рис.3б
и
3в.
Рис.3
Как видно в случае 3б уравнение (1) имеет решение, а в случае 3в нет.
В соответствии с вышеизложенным выделим основные утверждения,
которые можно использовать при решении уравнений на основе
применения свойства ограниченности функции.
Утверждение15. Если в уравнении f(х) = g(x), Е(f)  E(g)  Ø то такое
уравнение решений не имеет.
Утверждение16. Если для всех х из некоторого промежутка
X
справедливы неравенства f(x)≤ А, g{х)≥ А, то на множестве X уравнение
 f ( x)  A
 g ( x)  A
f(x)=g(x) равносильно системе уравнений 
Утверждение17. Если для всех х
из некоторого промежутка
X
справедливы неравенства f(x)>А, g(x)< А, где А некоторое число, то на
множестве Х уравнение f(x)=g{x) решений не имеет.
33
Прием решения уравнений с применением свойства ограниченности
функции:
1) Найдите ОДЗ уравнения (если это не вызывает затруднений);
2) Найдите множество значений функций, стоящих в правой и левой
частях уравнения;
3) На основании утверждений 15-17 сделайте вывод.
№11. Решить уравнение sin(x3 + 2x2 + 1) = x2 + 2x + 3
1) находим ОДЗ:
Введем в рассмотрение функции f(x)=sin(x3+2x2+1) и g(x)=x2+2x+3
D(f)=R, D(g)=R, D(f)∩D(g)=R
2) находим области значений функции f(x) g(x)
Функция y=sin x ограничения и E(y)=[-1,1]  E(f)= [-1,1] E(g)= [2,+  )
E(f)∩E(g)=[-1,1]∩[2,+  )=Ø
3) уравнение решений не имеет
Ответ: решений нет.
№12. Решить уравнение
log 3 ( x 2  4 x  13)  cosx  sin
x
4
Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
2
1) log 3 ( x 2  4 x  13)  2 , так как x  4 x  13  9 , а log 3 9  2 ;
2) cos x  sin
x
4
 2 , так как cos x  1 и  sin
x
4
 1.
Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а
правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе
log ( x 2  4 x  13)  2
 3

x
cos

x

sin
 2.

4
34
Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2.
Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое
равенство: cos(2 )  sin
 2
 11  2
4
Ответ: х=-2.
№13. Решить уравнение
2 cos x  2  x 2
Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше
 2 cos x  2

2
двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе: 2  x  2.
Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0.
Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное
числовое равенство.
Ответ: х=0.
№14. Решить уравнение 4x2 + 4x + 17=
12
x  x 1
2
1) Находим ОДЗ: введем в рассмотрение функции f(x)=4x2+4x+17 и
g(x)=
12
x  x 1
2
D(f)=R
D(g)=R, т.к. уравнение x2-x+1=0 не имеет действительных корней
D(f)  D(g)=R
2) Находим области значений f(x) и g(x):
2
1
f(x)=4x +4x+17=4  x   +16  16  E(f)= 16,
2

2
2
1
3 3
1
4
12

x  x 1   x     
  2
 16  E ( g )   ,16
2
2
4 4
x  x 1

1
3 3

x   
2
4

2
E(f)  E(g)= 16,   ,16  16
Следовательно, по утв. 2, уравнение равносильно системе:
35
1 2

4( х  2 )  16  16

 12
 16
 х 2  х  1
Эта система не имеет решений (корень первого уравнения х=1/2 не
удовлетворяет второму уравнению), поэтому исходное уравнение не имеет
решений.
Ответ: нет решений.
§4. Использование периодичности функции.
Если функция f(х) – периодическая, то решение уравнения f(х)=0
достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции, после
чего записывается общее решение. Если периодическая функция ещё и
чётная или нечётная, то решение достаточно найти на промежутке, равном
по длине половине периода.
№ 15. Решить уравнение cosx cos3x=cos5xcos7x
1) ОДЗ: х  R
2) Эквивалентными преобразованиями придём к уравнению:
cos4x-cos12x=0.
Рассмотрим функцию f(x)= cos4x-cos12x= 2sin8x sin4x.
Её период Т=
2

 . Следовательно, решение уравнения достаточно
НОД (4,12) 2
найти на промежутке, равном по длине периоду функции. Так как функция
 
чётная, то за такой промежуток возьмем  ,  и решения достаточно
 4 4

найти лишь на промежутке 0,  . Функция на данном промежутке имеет
 4


8
4
три корня: 0, , . Учитывая периодичность функции, запишем общее





2
4
8
2
2
решение уравнения: х  n, x   n, x    n, x  n, n  Z .
№16.
При
каких
значениях
параметра
а
уравнение
 2 ( х  1)2  4а cos 2x  4a 4  0 имеет решение?
36
Проще всего решать вопрос о единственности решения у уравнения
f(x)=b, если функция f – чётная: оно может иметь единственное решение
только в том случае, когда x =0 и b =f (0), но в данном случае функция f,
стоящая в левой части уравнения, очевидно, не является четной, так как
y=  ( x  1)2 не является четной. Но заменив x на 1-x, мы не изменим
функции f, так как cos( х ) = cos2  (1-x), и поэтому, положив 1-x=t,
получим уравнение  2t 2  4a cos 2t  4a 2  0 или y 2  4a cos 2 y  4a4  0 , где у
обозначено, выражение t . В левой части стоит чётная функция, так что
уравнение в качестве единственного решения может иметь только у= 0, т.е.
при выполнении равенства 4а+а4=0, а3+ а=0, а=0 или а=-1. Итак, если
данное уравнение имеет единственное решение, то а=0 или а=-1, но
утверждать, что задача решена, мы ещё не имеем права, т.к. не знаем,
верно ли, что при этих значениях а уравнение имеет единственное
решение: это утверждение - обратное к доказанному. Поэтому мы должны
ещё специально рассмотреть полученные значения а=0 и а=-1. Для а=0
уравнение имеет вид у2=0, имеет единственное решение, так что 0 –
решение
задачи.
При
а=-1
имеем
уравнение
y 2  4a cos y  4  0, у 2  4(1  cos y)  0 и поскольку оба слагаемых в левой части
неотрицательны, то сумма может быть равной нулю только в случае, когда
они оба равны нулю, т.е. у=0, и а=-1 также является решением задачи.
§5. Обобщенный прием решения нестандартных уравнений
При решении уравнений зачастую используется сочетание свойств
функций
1) Найдите ОДЗ
2) Упростите уравнение, если это возможно, применив теоремы
равносильности.
3) Определите
структуру
уравнения (f(x)=a (1), f(x)=g(x)(2),
f(g(x))=f(h(x)) (3), f(f(x))=x (4), f(x)=f-1(x) (5) )
37
4) Если уравнение является уравнением вида (1), (2), то постройте
эскизы графиков функций f(x)и g(x)
5) Исследуйте функции f(x)и g(x) на ограниченность, монотонность,
выпуклость, четность (нечетность), периодичность,
6) В зависимости от пункта 5 примените соответствующие приемы
решения уравнений.
7) Если уравнение является уравнением вида (3) (4), (5) то примените
соответствующие утверждения.
№17. Решить уравнение
1
9

5 x
sin x

2
Решение.
1) Находим ОДЗ: х≠πn, n  Z
2) Уравнение являем уравнением вида f(x)=g(x)
Построим эскизы графиков функций f(x)=
1
9

, g ( x)  5  x 
sin x

2
38
Рис.1,2,3
Рисунок помогает найти число корней, иногда и сами корни. Функции
пересекаются в двух точках:

6
и
5
Докажем, что других корней уравнение
6
не имеет
1) х  (-  ,0)
1
2
f(x)  1, g ( x)  , следовательно на этом интервале
уравнение не имеет корней.

2) x  0,  Функция y=f{x) убывает, y = g(x) возрастает, следовательно

2
на промежутке уравнение имеет не более одного корня, то есть х=

.
6
39
 
x   , 
2 
3)
Функция
y=f{x)
возрастает, y =
g(x) убывает,
следовательно на промежутке уравнение имеет не более одного корня, то
есть х=
5
.
6
4) x   ,  f(x)  1, g ( x)  , следовательно на этом интервале уравнение
1
2
не имеет корней.
Ответ: х=
5

х=
6
6
№18. Решить уравнение
сtgxy
10 

 log 1  y 2  2 y  
9
cos xy
3
2
Решение. Имеется одно уравнение от двух переменных, поэтому
попробуем применить свойство ограниченности при решении данного
уравнения. В силу громоздкости нахождения ОДЗ, не будем находить ее в
явном виде. Все последующие рассуждения будем проводить считая, что
уравнение имеет смысл;
Так
1
10
1
1
2
 1  tg 2 xy; y 2  2 y    y  1  , ctgxy 
, то
2
сos xy
9
9
tgxy
как
уравнение примет вид
данное
1  tg 2 xy
1
2
 log    y  1 1.
1
tgxy
9

3
Оценим левую и правую части уравнения:
1  tg 2 xy
1

 tgxy  22
tgxy
tgxy
1
 f x   2, где f  0
f x 
f x   1.
на
основании
неравенства
неравенство (2) обращается в равенство при
1
1
2
  y  1  , следовательно, в силу убывания функции
9
9
1
имеем, что log    y  12   2
1
3
9

log 1 t
3
( log 1  2,  y  12  0 )
3
1
9
40
1  tg 2 xy
 tgxy  2,
 tgxy  1,



 y  12   0
log ( 1   y  12 )  2
 13 9
Из второго уравнения системы получаем y  1. Тогда первое уравнение
системы примет вид tgx  1, откуда x 

4

n
2
, n  Z . При найденных значения
х и у данное уравнение существует.

n
4
2
Ответ: ( 
,1), n  Z .
§6 Применение функционального подхода к решению уравнений с
параметром.
Определение уравнения с параметром
Пусть дано уравнение F(x,a)=О (1). Если ставится задача отыскать все
такие пары (х,а)), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение
(1) - это уравнение с двумя переменными х и а. Однако относительно уравнения
(1) можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать а какоелибо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как
уравнение с одной переменной х. Решения этого уравнения, естественно,
определяются выбранным значением а.
Определение 20. Если ставится задача для каждого значения а из
некоторого числового множества А решить уравнение (1) относительно х,
то уравнение (1) называют уравнением с переменной х и параметром а, а
множество А - областью изменения параметра.
Уравнение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений.
Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных
конкретных значениях параметра а.
Под областью изменения параметра будем подразумевать (если не сделано
специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу
решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить
уравнение (1) (с переменной х и параметром а) - это значит на множестве
41
действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из
уравнения (1) при всех действительных значениях параметра.
Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства
уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно
быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому
целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на
подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих
подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно
воспользоваться теми значениями параметра, при которых
происходят
качественные изменения.
Типы заданий с параметрами.
Первый
тип - задания в которых для каждого значения параметра
необходимо найти все решения некоторого уравнения.
Второй тип - найти все значения параметра, при котором решения
уравнения удовлетворяют заданным условиям.
Аналитический прием решения уравнений
с параметром первого
типа: применение функционального подхода
Если для уравнений вида f(x)= a, f{x,a)= g(x,a), f(f(x,a))=x, f(g(x,a))=
f(h(x,a)) можно исследовать функции, стоящие в правой и левой частях
данного уравнения, на монотонность, ограниченность, то при решении
целесообразно использовать функциональный подход. Прием применения
функционального подхода:
1) Найдите ОДЗ переменной и параметра;
2) Приведите данное уравнение к одному из рассматриваемых видов;
3) Примените обобщенный прием решения нестандартных уравнений,
при этом учитывая значения параметра а.
4) Напишите ответ в соответствии с условием задачи.
Решение уравнений с параметром второго типа
42
Решению уравнений
второго типа (с дополнительными условиями)
способствует отработка умений и навыков решать соответствующие уравнения и
неравенства первого типа.
Отличие уравнений второго типа от уравнений первого типа состоит в
том, что данное уравнение необходимо решить при дополнительных условиях.
Дополнительные условия могут иметь различную формулировку.
Например, найти множество значений параметра:
 при которых решения принадлежат промежутку;
 при которых уравнение имеет определенное число корней;
 при которых одно уравнение является следствием другого и др.
Поэтому отличие приема решения уравнений второго типа от
уравнений первого типа состоит в необходимости рассмотрения значений
параметров, для которых выполняются дополнительные условия.
Обобщенный прием решения уравнений (неравенств) с параметром
второго типа:
1) В зависимости от вида уравнения (неравенства) определите какой
подход более целесообразен для его решения: функциональный или теория
равносильности. Для этого уравнение приведите к одному из рассматриваемых
в видов: f(x) = a, f{x,a)= g(x,a),f(f{x,a))=x, f(g(x,a)=f(h(x,a)) .
2) Решите эти уравнения в соответствии с обобщенным приемом решения
уравнений первого типа.
3) Укажите значения параметра в соответствии с дополнительными
условиями.
4) Дайте ответ.
№19. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение
уравнение 2 cos(22 xx )  a + 3 sin( 2 2 xx 1 ) .
2
2
Решение
1) Найдем ОДЗ переменной и параметра: a, x € R.
43
2) Приведем уравнение к виду f(x)=a. Введем замену t  22 x x . Тогда
2
уравнение примет вид:
1
2
2cos2t= a + √3 sin2t  l + cos2t = a + √3 sin2t  cos 2t 
3
a 1
sin 2t 
2
2

a 1
(1)
 cos ( 2t  ) 
3
2
3) В левой части уравнения стоит ограниченная функция
4) Найдём множество значений функции, стоящей в левой части
уравнения (1).
Функция t=2m , где m=2x-x2 возрастает, значит, она достигает своего
наибольшего значения при наибольшем значении m. Но m=2x-x2 имеет
наибольшее значение равное1(верш. параболы)Тогда tнаиб=2. Таким
образом, множеством значений функции t  22 x x является промежуток
2
(0,2].
0<t≤2  0<2t≤4 

3
 2t 

3
4

3
. На интервале(0,π) функция,


3
y=cos x убывает и при этом -1≤cosx≤1, то -1≤ cos (2t  ) ‹ cos . Итак,
3

1
2
-1≤ cos (2t  ) ‹ .
3
Исходное уравнение имеет решение для а, которые удовлетворяют
неравенствам  1 
а 1 1
  1  a  2
2
2
Ответ: 1  a  2
№20. Решить уравнение x(2 x 2  1) 1  x 2  a .
Решение. Так как x  1, то пусть x  cos  ,   0; . Получаем
cos  cos 2 sin   a
 sin 4  4a . Очевидно, при
a
1
решение
4
1
k
имеется. Найдем корни   (1) k arcsin 4a 
, так как   0;  , то
4
4
рассмотрим три случая:
44
1) a  0 , тогда  
2) 
k
4
, k  0,1,2,3,4
1
k
1
 a  0 ,   (1) k arcsin 4a  ,
4
4
4
1
k
1
3) 0  a  ,   (1) k arcsin 4a  ,
4
4
4
Ответ. Если 
k  1,2,3,4
k  0,1,2,3
1
k 
1

 a  0 , то x  cos (1) k arcsin 4a  ,
4
4
4

если a  0 , то x  cos
k
4
, k  0,1,2,3,4 ;
1
k 
1

если 0  a  , то x  cos (1) k arcsin 4a  ,
4
4
4

№21. Решить уравнение
k  1,2,3,4 ;
px 
k  0,1,2,3 .
p  x  x.
Решение. Рассмотрим область допустимых значений x  p . Отсюда
x  p cos ,   0; . Тогда получаем равносильное уравнение
1  cos   1  cos  
Откуда sin   1
и
p  cos  .
sin  
p2
.
p
Учтем два случая, так как x  p , то p  0 .
1) p  0 . Тогда
x x x

x  0.
2) p  0 . При sin   1 x  0 , а p  0 .
Этот случай мы рассмотрели. Рассмотрим случай sin  
p2
4p  4
,x 
.
p
p
Ответ. Если p  0 решений нет;
если p  0 , x 
если p  0 , x  0 ;


4p  4
.
p


2
2
№22. Решить уравнение log 3 x  a  2  log 4 x  a  6a  5 .
2
9
45
Решение.
log9 4 x
2
Произведем
преобразование
правой
части.


 a 2  6a  5  log 3  x 2  a 2  6a  5 . Тогда наше уравнение
2




2
2
будет иметь вид log 3 x  a  2  log 3  x  a  6a  5 .
2
2
Оценим

левую

и
правую
части
уравнения


2
2
1  log 3 x  a  2  log 3  x  a  6a  5  1 . Тогда заключаем, что
2
2
обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к

x  a  2  0,
системе  2
2
 x  a  6a  5  0.
 x  a  2  0,
Запишем равносильную систему  2
2
 x  a  6a  5  0.
Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе
уравнение.
x  a  2,

 2
2
a  4a  4  a  6a  5  0,
 x  a  2,
  2
2a  2a  1  0.


1 3
1 3
 a  2 ,
 a  2 ,
Решением последней системы будут 
и
.

5

3

5

3
x 
,  x 


2
2
Тогда Ответ. Если a 
Если a 
5 3
1 3
,
, то x 
2
2
5 3
1 3
, то x 
.
2
2
№23. Решить уравнение
3
x  xa 3 a
Решение. Так как функция монотонна и возрастает, а значение справа
фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко
заметить, что x  a - корень.
Ответ. x  a .
46
№ 24. Для 0  a 
1
решить уравнение
4
x 2  2ax 
1
1
 a  a 2  x 
16
16
Решение.
Перепишем
( x  a) 2 
данное
уравнение
в
виде
1
1
 a 2  a  a 2  x  .
16
16
Пусть
a2  x 
1
 t, t  0
16
 x  t2 
1
 a2 .
16
Тогда исходное уравнение становится таким
( x  a) 2  x  t 2  a  t ,
( x  a ) 2  x  a  t 2  t.
Рассмотрим
функцию
f ( y)  y 2  y .
Функция
1
 1

промежутке  ;  , так как x   a 2
16
 2

и 0a
возрастает
на
1
, то x  a  0 .
4
Следовательно, принадлежат промежутку монотонности функции f ( y) .
Отсюда
a2  x 
f ( x  a)  f (t ) .
имеем
1
xa
16
и получим x 2  2ax 
Для
0a
1
4

Тогда
x  a  a 2  x 
x  a t,
есть
1
. Сопоставим с исходным
16
1
 x.
16
полученное
квадратное
1  2a  4a 2  4a 
положительный дискриминант x 
Ответ. x 
то

2
уравнение
имеет
3
4.

1
1
2  4a  16a 2  16a  3 . x  a  a 2  x 
16
4
№25. Определить число корней уравнения
Решение. Имеем
3 x  5  b  3x  11 .
3 x  5  3 x  11  b .
47
5

f ( x)  3x  5  3x  11 возрастает на D( f )   ;  . Тогда
3

Функция
5
f ( x)  f    4
 3
и
E ( f )  4;  . Исходное уравнение имеет не более
одного корня. При b  4 он единственен.
Ответ. Если b  4 , то уравнение имеет единственный корень;
если b  4 , корней нет.
№26. Решить уравнение a 5  x  5 a  x .
Решение. Рассмотрим функцию f (a)  a 5  x и g (a)  5 a  x они
взаимно обратные и возрастающие. Тогда
a5  x  a
равносильно
исходному.
Ответ. x  a  a 5 .
№27.
x 2  2ax 
Для
1
4
решить
уравнение
1
1
 a  a 2  x  .
16
16
Решение. Очевидно x 
y  x 2  2ax 
x
0a
1
 a 2 , то x  0 . Рассмотрим функцию
16
 a;.
1
. Она возрастает на
16
Следовательно, при
1
1
 a 2 эта функция обратима, причем функция y  a  a 2  x 
16
16
является для нее обратной. Отсюда x  a  a 2  x 
1
. Заметим, что мы
16
использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что
такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения.
Решение же уравнения приведено было выше.
Ответ. x 


1
2  4a  16a 2  16a  3 .
4
№28.
48
Определите количество корней уравнения (2х+ sinx) • lg(l + 1,5X2-X4) > 0.
1)
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неизвестного из
условия (l + 1,5X2-X4) > 0.
Пусть х2= t, t ≥ 0. Тогда неравенство примет вид 1 + 1,5t- t2> 0
или t2:- 1,5t- 1 < 0. Корни квадратного трехчлена равны t1, = -0,5; t2,=2.
Следовательно, множество решений квадратного неравенства задается
условием -0,5 < t < 2. С учетом того, что t ≥ 0, получим 0 ≤ t < 2, откуда
следует, что 0≤ х2 < 2 <=> | х |< √2 <=> -√2<х<√2
Таким образом, ОДЗ имеет вид (  2 ; 2 )
2)
В
ОДЗ
исходное
уравнение
равносильно
совокупности
lg( 1  1,5 x 2  x 4 )  0
 x
2  sin x  0
Исследуем каждое уравнение:
a)lg(l + l,5x2-x4) = 0 <=> 1 + 1,52-x4=1 <=> 1,5x2-x4=0<=>

x  0
2
x

0



x

0
3
6


2
2

x ( 2 -x )=0   2 3  
3  x 
2
x 
х



2
2
x   6

2
Данное уравнение имеет 3 корня, входящих в ОДЗ;
б) 2х=-sinx. Исследуем это уравнение на промежутке (  2 ; 2 ).
Отметим,
что
2

2
<2,
так
как
3  3
2 ,  .
2 2 2
 
Поэтому(  2 ; 2 )   ;  .
 2 2
Пусть f(x) = 2х, g(x)= -sinx. Эти функции непрерывны на всей числовой
оси. Функция f(x) = 2х возрастает на всей числовой оси, поскольку
основание 2 больше 1.
49
 
Функция g(x) = -sinx убывает на отрезке  ;  , следовательно, на
 2 2
промежутке(  2 ; 2 ).
Оценим значения функций f(х) и g(x) в точках  2и 2 .
f(  2 )=2-√2=
1
2
2
1
 ;
2
g(  2 )=-sin(  2 )=sin 2 ; 2 

6
 sin 2  sin

6

1
2
1
2
f(  2 )<  g(  2 )=>f(  2 )<g(  2 );
f( 2 )=2√2>0; g( 2 )=-sin 2 <0; g( 2 )<0< f( 2 )=>g( 2 )<f( 2 ).
Таким
образом,
графики
функций
f(х)=2х
и
g(x)=-sinx
на
промежутке(  2 ; 2 ) пересекаются в одной точке, значит уравнение 2х+
sinx=0 имеет единственный корень, входящий в ОДЗ. Исходное уравнение
имеет 4 корня.
Ответ: 4 корня
Заключение
При работе над темой был дан анализ
школьных программ и
учебников. Ни во всех учебниках должное внимание уделяется вопросу о
применение свойств функций для решения уравнений. В стандартном
курсе школьной математики свойства функций применяются в основном
для построения их графиков.
Учащиеся не обучены сознательно использовать информацию о
свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности,
экстремумах и так далее.
Собранный материал может быть использован на уроках математики,
а также
на элективных и профильных курсах, на консультациях при
подготовке к ЕГЭ, для индивидуальной работы с сильными учениками.
Используя задачи и методы их решения, приведённые в работе, учитель
сможет сформировать у
учащихся более широкий взгляд на область
50
применения различных свойств функций, научить применять знания в
нестандартных ситуациях.
51
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алгебра. 7 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват.
учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2000.
Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват.
учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2000.
Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват.
учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2000.
Алгебра. Учеб. для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. – М.: Просвещение, 1999.
Алгебра. Учеб. для 8 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. – М.: Просвещение, 1999.
Алгебра. Учеб. для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. – М.: Просвещение, 2000.
Алгебра и начала анализа 10-11 класс
учебник для
общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров [и др.]; отв. ре –
М.: Просвещение, 2000.
8.
Алгебра и начала анализа 10-11 класс в двух частях. Ч.1: учебник для
общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред.
А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2003.
9.
Алгебра и начала анализа 10-11 класс в двух частях. Ч.2: задачник для
общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред.
А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2003.
10. Алгебра и начала анализа 10-11 класс
Методическое пособие для
учителя / А.Г. Мордкович– М.: МНЕМОЗИНА, 2000.
11. Вавилов В.В., Мельников И.И., Задачи по математике. Уравнения и
неравенства. Справочное пособие – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
Литер.,1987.
12. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное
исчисление: Учебное пособие. – М.: Просвещение,1984
52
13. Виленкин Н.Я Алгебра и математический анализ 10-11класс. Учебное
пособие
для
школ
с
углубленным
изучением
математики.
М.:Мнемозина, 2004.
14. М.Л Галицкий и др. «Углубленное изучение курса алгебры и
математического анализа» М.: Прсвещене. 1990.
15. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с
параметрами [Текст]/ В.И. Горбачев// Математика в школе – 1999. - №6.
– С. 60-68.
16. Гусева К.С. ЕГЭ. Математика: Раздаточный материал тренировочных
тестов СПб.: Тригон, 2008
17. Дорофеев Г.В. ЕГЭ 2009. Математика. Москва Эксмо.2009
18. Егоров А. Монотонные функции в конкурсных задачах Математика –
2003 №16
19. ЕГЭ 2009 универсальные материалы для подготовки учащихся.
Математика.
Денищева
Л.О
и
др.
М.:
Центр
тестирования
Минобразования России, 2009.
20. Кармакова Т.С. Применение свойств функций для решения уравнений.
http://www.edu-zone.net
21. Куканов М.А. Математика 9-11 классы. Решение заданий ЕГЭ высокой
степени сложности. Основные методы и прёмы. Учитель. 2008.
22. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. АЙРИСпресс, 2005.
23. Лысенко
Ф.Ф.
Математика.
Подготовка
к
ЕГЭ-2010.
Учебно-
методическое пособие. Издательство «Легион М», Ростов-на- Дону,
2009.
24. Математика. Алгебра. Функции. 9 Учеб. для общеобразовательных
учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред.
Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000.
53
25. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для
общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и
др.; под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1999.
26. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для
общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и
др.; под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1997.
27. Новичкова Н.С. Садыкова Л.К. Свойства функций при решении
нестандартных уравнений и неравенств. СГПУ,2005
28. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 9. Дополнительные главы к
школьному учебнику. М.: Просвещение,1997.
29. Программы
для
общеобразовательных
школ,
гимназий,
лицеев.
Математика 5-11. Дрофа. Москва, 2001
30. Шарыгин И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11
классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995
54
Приложение.
Тема урока: "Функционально-графический подход к решению
уравнений"
Цель урока. Показать нестандартные методы решения уравнений и
неравенств основанных на свойствах функции.
Задачи:
 Рассмотреть некоторые методы нестандартного решения уравнений
и неравенств.
 Развивать умение решать нестандартные уравнения, используя ранее
полученные умения и навыки.
 Расширить математический кругозор.
Оборудование: ПК, проектор
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– На уроке вы познакомитесь с нестандартными методами решения
уравнений и неравенств, основанных на свойствах функции.
1. Повторим свойства функции по графику: (Фронтальная работа с
учащимися).
II. Решение задач (устно)
1. Решите уравнение
.
Ответ: Множества значений функций не имеют общих элементов,
следовательно, уравнение не имеет решение.
2. При каких значениях р уравнение
не имеет решения.
4. Решите неравенство
Ответ: Решения нет.
III. Практическая часть
1. Решить уравнение:
Решение:
.
.
55
О.Д.З.
.
Проверим будут ли корни уравнения
корнями данного уравнения
верно. Значит, корни уравнения
данного уравнения. Решим его:
t=
.
Ответ:
.
2. Найти все значения р, при которых уравнение
хотя бы один корень.
Решение:
Учитывая, что 1+
=
,получим
являются корнями
имеет
. Это
равносильно системе:
уравнение
Уравнение
имеет хотя бы один корень, если число р
принадлежит множеству значений функции
. Найдем
.
, так как функция
непрерывна, значит и функция
непрерывна и принимает все значения от 0 до 13. По
условию
, то значение р – любое число из промежутка
Ответ: при
уравнение
корень.
3. Решить уравнение
Решение:
имеет хотя бы один
.
О.Д.З.
.
56
Функция
непрерывна и монотонно убывает на области
определения, а функция
непрерывна и монотонно возрастает
на области определения, то уравнение имеет единственный корень.
Проверим
уравнения.
Ответ: 2.
4. Решить уравнение
Решение:
Рассмотрим функции
верно, значит х = 2 единственный корень
и
.
Множество значений функции
интервал
.
Множество значений функции
отрезок
.
Уравнение имеет решение только в том случае, когда каждая часть
уравнения будет равна 1.
при х = – 2. Проверим будет ли равно
при х = – 2.
g(– 2) = cos 4
, значит х = – 2 – единственный
корень уравнения.
Ответ: – 2.
5. Решить уравнение:
Решение:
Рассмотрим функции
Множество значений функции
и
.
отрезок
,а
множество значений функции
интервал
. Левая часть
уравнения при всех значениях х не более 1, а правая – не меньше 2. Значит
уравнение решения не имеет.
Ответ: решения нет.
6. Найти все значения р, при которых уравнение
хотя бы один корень.
Решение: Учитывая, что
получим
имеет
, что
равносильно системе:
Уравнение
имеет хотя бы одно решение, если число р
принадлежит множеству значений функции
.
Найдем множество значений функции
.
57
Функция
непрерывна, т.к. непрерывна функция
и значит принимает все значения от 0 до 8.
. Но
значит значение р – любое число из промежутка
.
Ответ: при
уравнение
корень.
7. Решить уравнение:
Решение:
Рассмотрим функции
Множество значений функции
,
имеет хотя бы один
.
и
отрезок
.
, а множество
значений функции
интервал
. Уравнение имеет
решение тогда и только тогда, когда каждая часть уравнения равна 4.
при х = 1. Проверим выполнение условия f(1) = 4:
, не выполняется условие, значит х=1 не является
корнем уравнения.
Ответ: корней нет.
8. При каких значениях а уравнение
нечетное число корней.
Решение:
Выразим
имеет
. Рассмотрим функцию
при всех х;
.
при всех значениях х
при всех значениях х.
; симметрична относительно начала отсчета.
.
Функция
четная, график симметричен относительно оси ОУ, значит
нечетное число корней уравнения будет только в том случае, когда х = 0
является корнем уравнения.
Если х = 0, то
58
При
х = 0 является корнем уравнения и уравнение имеет нечетное
число корней.
Ответ: при
уравнение
число корней.
9. Найти все значения р, при которых уравнение
корней
имеет нечетное
не имеет
Решение:
Так как функция
ограничена и
не имеет корней если
Из ограниченности функции
<0 или
имеем
,а
. то уравнение
>1.
, получим
или
.
Так как наибольшее значение правой части 26, то р+9>26 p>17.
Ответ: при
уравнение не имеет корней.
IV. Подведение итогов
а) Перечислите свойства функции, используемые при решении уравнений.
б) Выставление оценок в течение урока по мере выполнения заданий.
59