Лабораторная работа № 155

3
Лабораторная работа № 155
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА
CP CV   ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
I. Цель и содержание работы
Целью работы является изучение газовых законов.
Содержание работы – определение отношения молярных
теплоемкостей воздуха CP CV   .
II. Краткая теория работы
Всякий газ может находиться в различных состояниях,
отличающихся
параметрами
состояния
(давлением
P,
температурой T , объемом V , плотностью  и т.д.). Уравнение,
устанавливающее
связь
между
давлением,
объемом
и
температурой, называют уравнением состояния.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид:
m
PV 
RT ,
(1)
M
где m – масса газа, M – масса одного моля, R – универсальная
газовая постоянная.
Если при переходе некоторой массы газа из одного состояния
в другое один из параметров остается постоянным, уравнение (1)
имеет вид
PV  const
( T  const – изотермический процесс),
V
 const
( P  const – изобарический процесс),
T
P
 const
(V  const – изохорический процесс).
T
При высоких давлениях (порядка десятков атмосфер)
реальные газы не подчиняются уравнению (1), причины этого
обусловлены наличием собственных размеров молекул и силами
взаимодействия между ними, что и должно быть учтено в
соответствующих уравнениях.
4
Из уравнений, предложенных для реальных газов, наиболее
простым является уравнение Ван-дер-Ваальса. Для одного моля
газа V m оно имеет вид:

a 
 P  2   Vm  b  RT ,
Vm 

(2)
a
– внутреннее
Vm2
давление газа, появляющееся из-за сил притяжения между
молекулами, b – поправка, учитывающая часть объема, занятого
молекулами газа. При уменьшении плотности свойства всех
реальных газов приближаются к свойствам идеального газа и
уравнение (2) переходит в уравнение(1).
Запишем закон сохранения энергии (первое начало
термодинамики)
dQ  dU  dA
(3)
где dQ – количество тепла, подводимого к газу. Это тепло
затрачивается на работу газа dA  PdV и на изменение его
внутренней энергии dU .
Количество тепла, которое нужно подвести к газу (веществу)
или отнять от него для изменения его температуры на один градус,
называется теплоемкостью газа (вещества).
Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества,
называется удельной теплоемкостью cуд .
Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества,
называется молярной теплоемкостью C .
Удельная и молярная теплоемкости связаны выражением
C
cуд 
.
(4)
M
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых
происходит нагревание тела.
Пусть один моль газа нагревается при постоянном давлении
( P  const , изобарический процесс). В этом случае получаемое
газом тепло идет на увеличение его внутренней энергии и на
совершение газом работы.
dU dA
 dQ 
(5)
CP  



dT
dT
dT

 P const
где P – внешнее давление, оказываемое на газ,
5
Если один моль газа нагревается при постоянном объеме, то
для нагревания его на один градус требуется меньшее количество
тепла, так как работа газом не совершается, dA  PdV  0 .
dU
 dQ 
(6)
CV  


 dT V const dT
Найдем связь между C P и CV . Для этого продифференцируем
dA
уравнение (1) и найдем
для изобарического процесса.
dT
m
PdV  VdP 
RdT
(7)
M
Учтем, что VdP  0 , тогда для одного моля газа PdV  RdT  dA .
dA
R
(8)
dT
Подставив (6) и (8) в (5), получим для молярных теплоемкостей
(9)
CP  CV  R
Отношение CP CV   (  – показатель адиабаты) зависит
только от числа степеней свободы i молекулы газа.
Число степеней свободы определяется числом атомов в
молекуле и характером связи между ними. Для одноатомного газа
i  3 , для двухатомного газа с жесткой связью i  5 (с упругой
связью i  7 ), для трех и более атомов (нелинейная молекула,
жесткая связь) i  6 .
На каждую степень свободы молекулы (согласно закону
равнораспределения энергии по степеням свободы) приходится
kT
энергия, равная
. (Здесь k – постоянная Больцмана.)
2
Внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно
найти по формуле
iRT
U 
,
(10)
2
где R  kN А , N А – число Авогадро.
Продифференцируем выражение (10) по температуре и
подставим в выражение (6). Тогда получим для молярной
теплоемкости при изохорическом процессе
iR
CV 
(11)
2
6
iR
R.
2
C
Отсюда найдем отношение P
CV
C
i 2
(12)
 P 
CV
i
Формула (12) справедлива и для отношения удельных
теплоемкостей.
Величина  входит в уравнение Пуассона
(13)
PV   const ,
описывающего адиабатический процесс в газах.
Адиабатическим
процессом
называется
процесс,
протекающий без теплообмена с окружающей средой. Если
процесс протекает достаточно быстро (например, при быстром
расширении или сжатии газа), то его можно считать практически
адиабатическим и при отсутствии тепловой изоляции.
Закон Пуассона (13) может быть представлен также через
параметры PT и TV . Для этого используют уравнение Менделеева
– Клапейрона (1).
Так, например, выразив V из (1), и, подставив в (13), получим
(14)
P1 T   const .
Выразив P из (1) и, подставив в (13), получим
(15)
TV  1  const .
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса
( dQ  0 ) принимает вид
dA  dU  CV dT
(16)
Из выражения (16) видно, что адиабатическое расширение
сопровождается понижением температуры, а адиабатическое
сжатие – повышением температуры.
Согласно (9) CP  CV  R 
III. Описание установки и метода выполнения работы
Установка смонтирована в комплекс. Все элементы установки
представлены на рис. 1.
7
Основной элемент установки – стеклянный баллон (объемом
V  3,25 л ) расположен за передней панелью. В целях безопасности
на баллон в рабочем состоянии надет мешок из плотной ткани.
Часы-таймер
В атмосферу
Ш5
Верхний
бачок
К3
К насосу
Ш1
Осушитель
Ш2
К объему V2
К1
Баллон
Ш3
К нижнему
бачку
К2
Ш4
Нижний
бачок
Рис. 1 Блок-схема установки
Посредством крана К1 стеклянный баллон может быть
соединен с насосом (в данной работе это груша-помпа, при помощи
которой в баллон накачивается воздух) или, наоборот, отсоединен
от него.
Кран К2 соединяет (или перекрывает) стеклянный баллон с
другим сосудом (известного или неизвестного объема). В нашей
работе он должен быть закрыт.
Стеклянный баллон снабжен краном К3, рукоятка которого
выведена на переднюю панель прибора (внизу). Кран К3 соединяет
баллон с атмосферой и позволяет быстро сбрасывать давление газа
в нем. При повороте рукоятки из положения “открыт” в положение
“закрыт” (или обратно) срабатывает микропереключатель,
8
подключенный к секундомеру. Результатом является измерение
времени открытого или закрытого состояния крана.
За передней панелью установлен осушитель (стеклянный
баллончик с силикагелем).
Дифференциальный водяной манометр состоит из нижнего и
верхнего бачков, соединенных прозрачной трубкой. Вблизи трубки
расположена линейка, по которой отсчитывается уровень жидкости.
Необходимо учесть, что манометр измеряет давление в
миллиметрах (мм) водяного столба. 1 мм водяного столба
соответствует, примерно, 10 Па.
Исследуемый газ подается в стеклянный баллон при помощи
груши-помпы (насоса) через штуцер Ш1. При этом происходит
удаление осушителем влаги из газа.
Чтобы измерить давление в баллоне, штуцер Ш3 шлангом
соединяют со штуцером Ш4. Если штуцер Ш5 открыт в атмосферу
(как в данной работе), манометр измеряет превышение давления в
резервуаре над атмосферным. (Если штуцер Ш5 соединен с другим
резервуаром, то манометр измеряет разность давлений в них.)
Штуцер Ш2 служит для подключения другого резервуара. (В
данной работе не используется.)
Жидкость (вода) заливается лаборантом в нижний бачок через
штуцер Ш4 с помощью резиновой груши со шлангом так, чтобы
начальный уровень жидкости находился напротив нулевого
деления шкалы линейки. (В противном случае, надо обратиться к
лаборанту.) Верхний бачок служит предохранителем: он принимает
в себя воду при случайном превышении предельного значения
давления в нижнем бачке.
Часы-таймер предназначены для измерения времени с
точностью 0,01с. Кнопка MODE – выбор режима работы. В режиме
“секундомер” мигает надпись в верхней части дисплея. Кнопка
DATE/UP в режиме “секундомер” поочередно запускает и
останавливает отсчет времени. Кнопка ALT/SET, нажатая при
остановленном отсчете времени, сбрасывает (обнуляет) отсчет и
показания дисплея. Кнопка ALT/SET, нажатая в процессе отсчета
времени, фиксирует показания дисплея, но не останавливает
отсчета времени.
9
(Дроссели ДР 1 и ДР 2 предназначены для изучения видов
течения газа в трубе и измерения вязкости воздуха. В данной
работе не используются.)
Упражнение. Определение отношения CP CV  
методом Клемана-Дезорма
Пусть мы имеем баллон с газом, находящийся при
атмосферном давлении P0 и комнатной температуре T0 . (Кран К3
открыт.)
Закроем кран К3 и накачаем в баллон воздух до некоторого
давления P1 . Через некоторое время (1-2 мин.) вследствие
теплообмена с окружающей средой температура в баллоне станет
комнатной T0 . По водяному манометру устанавливается разность
давлений P1  P0  h1 , где h1 – высота столбика жидкости. Единица
массы газа при этом занимает объем V1 . Это состояние
соответствует точке 1 (см. рис.2). Параметры данного состояния
P1 , T0 ,V1 .
Откроем на короткое время (до 2 с) кран К3, соединяющий
баллон с атмосферой. При этом воздух, находящийся в баллоне,
быстро (адиабатически) расширится и вследствие этого охладится
до температуры T1 , а давление будет равно атмосферному P0 .
Единица массы газа займет объем V2 . Это состояние соответствует
точке 2 (см.рис.2). Параметры данного состояния T1 , P0 ,V 2 .
P
1
T0
P1
T0
P2
3
P0
T1
2
V
V2
V1
Рис. 2. Графики процессов: 1 – 2 – адиабата, 2 – 3 – изохора.
1
*
10
Как только кран оказывается закрытым, температура
(вследствие теплообмена) начинает повышаться до комнатной T0 и
(так как процесс изохорический) давление также повышается до P2 .
При этом по водяному манометру устанавливается разность
давлений P2  P0  h2 , где h2 – высота столбика жидкости. Это
состояние соответствует точке 3 (см.рис.2). Параметры данного
состояния P2 , T0 ,V2 .
Получим расчетную формулу для  в нашей работе.
Переход из состояния 1 в состояние 2 описывается
уравнением Пуассона. Для состояний 1 и 2 запишем уравнение
адиабатического процесса (см. 14).
1 


 1
P1 T0  P01 T1 или T0 T1   P1 P0 
(18)
Переход из состояния 2 в состояние 3 – изохорический.
Поэтому параметры состояний 2 и 3 связаны следующим
соотношением
T0 T1  P2 P0 .
(19)
Возведем уравнение (19) в степень , получим:



 1
 T0   P2 
    
 T1   P0 
Приравняем правую часть последнего уравнения к правой
части уравнения (18):
 P2   P1 
    
(20)
P
P
 0  0
Подставим в (20) P1  P0  h1 , и P2  P0  h2 , где h1 – давление,
превышающее атмосферное в состоянии 1, и h2 – давление,
превышающее атмосферное в состоянии 2.

 1
 h2   h1 
1    1  
(21)
P
P


0 
0 
Так как h1 и h2 намного меньше P0 , то, разложив в ряд обе
части уравнения (21), будем иметь:
h
h
или h2    1h1 .
1   2  1    1 1
P0
P0
Откуда и получим расчетную формулу для :
11

h1
(h1  h2 )
(22)
IV. Порядок выполнения работы
1. Убедитесь, что штуцеры Ш3 и Ш4 соединены шлангом (при этом
стеклянный баллон соединен с манометром), а груша-помпа
присоединена к крану К1. Убедитесь, что кран К1 открыт, а краны
К2 и К3 закрыты (при этом стеклянный баллон не соединяется с
атмосферой.)
2. Осторожно накачайте в баллон воздух до давления 180 – 200 мм
водяного столба. Закройте кран К1.. Подождите 1 – 2 минуты до
установления комнатной температуры T0 воздуха в баллоне.
3. Определите показание манометра h1 и запишите его значение в
таблицу.
4. Включите часы в режим “секундомер”, обнулите их показания,
нажав сначала DATE/UP, а затем ALT/SET.
5. На короткое время (до 1 – 2 с) откройте кран К3, повернув
рукоятку крана по часовой стрелке до упора, а затем закройте,
повернув назад. (Время открытого состояния крана автоматически
покажет таймер.) В этом случае газ адиабатическим путем из
состояния 1 переходит в состояние 2 (см. рис.2).
Таблица
№ измерения.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
h1 , мм
h2 , мм
h1  h2 , мм

12
6. Подождите 1 – 2 минуты, пока не установится комнатная
температура (изохорный процесс). Определите по манометру
избыточное давление h2 , установившееся в результате этого
процесса, и запишите его значение в таблицу.
7. Чтобы привести газ в начальное состояние, откройте кран К3,
соединяющий баллон с атмосферой, и подождите до опускания
жидкости в начальное положение.
8. Откройте кран К1, закройте кран К3. Убедитесь, что кран К2
закрыт.
9. Повторите пункты 2 – 7 еще девять раз, записывая полученные
данные в таблицу.
V. Обработка результатов измерений
1. Исходя из полученных данных, подсчитайте по формуле (22)
величину . Данные запишите в таблицу.
2. Оцените абсолютную погрешность величины . Вычисления
случайной погрешности серии измерений проводить, как для
  i2
прямых измерений:   t  (n)
, где t  (n) – коэффициент
n(n  1)
Стьюдента, n – число измерений. Необходимо, также, учесть
приборную погрешность = 0,02 , которую надо прибавить к
случайной.
3. .Окончательный результат представьте в виде
      ,
где       .
VI. Контрольные вопросы
1. Напишите уравнение состояния для идеального газа. Каков
физический смысл универсальной газовой постоянной R?
2. .Какой процесс называется изохорическим? изотермическим?
изобарическим? адиабатическим? Нарисуйте в координатах PV
графики этих процессов.
13
3. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его для
всех изопроцессов. Как меняется температура газа при
адиабатическом процессе?
4. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей газа.
Получите соотношение между теплоемкостями при постоянном
давлении и постоянном объеме.
5. Что называется числом степеней свободы молекулы? Получите
формулу для  через число степеней свободы молекулы. Каково
численное значение  для одно-, двух- и многоатомного газов?
6. Расскажите о методе определения  в данной работе?
7. Напишите уравнение состояния для реального газа. Поясните
физический смысл поправок в нем.
8. Как определяется погрешность серии измерений  в данной
работе?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1 - М. Наука, 1977.
2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М. Наука, 1978.