Косинский Ю.И., «Вывод барометрической формулы с

Косинский Ю.И.
Вывод барометрической формулы с применением
принципа существования адиабатических процессов
при сжатии газа полем потенциальных сил
Широко известная барометрическая формула Больцмана:
 mgh 
p(h)  p 0 exp  
,
 kT 
T  Const
(1)
дает зависимость давления от высоты h в атмосфере для частиц газа какогото одного сорта. Соотношение для плотности частиц полностью совпадает с
барометрической формулой. Согласно соотношения (1) температура с
высотой не должна изменяться, плотность частиц и давление должны
изменяться по одному закону, а также должно наблюдаться резкое изменение
состава атмосферы с высотой. В действительности, однако, произведенные
ракетные измерения состава атмосферы, плотности, давления не
подтверждают этого вывода [1]. Общеизвестно также понижение
температуры с высотой, что также находится в полном противоречии с
требованием постоянства температуры в равновесном столбе газа. Эти, а
также ряд других фактов обычно объясняют тем, что в действительности
атмосфера Земли не является изотермической и не находится в состоянии
статистического равновесия. Причины при этом не указываются.
В данной работе представлен вывод, состоящий из простых
физических соображений, соотношений для плотности, давления,
температуры для газа, находящегося в поле потенциальных сил. Полученные
формулы практически полностью совпадают с экспериментальными
данными ракетных исследований атмосферы Земли [1].
В выводе используются следующие физические предположения:
1. Сжатие каждого элементарного слоя газа осуществляется всем весом газа,
находящегося над этим слоем.
2. Часть работы, затраченной на сжатие элементарного слоя газа, идет на
увеличение внутренней энергии газа данного слоя.
3. В статистическом равновесии при непосредственном контакте между
соседними слоями газа, каждый слой обменивается частицами с соседними
слоями. При этом количество частиц, а также избыточная внутренняя
энергия каждого слоя остаются неизменными.
Теперь установим, как ведет себя газ при сжатии, если часть работы,
затраченной на сжатие, идет на увеличение внутренней энергии. Для этого
воспользуемся уравнением состояния газа в виде:
p
2
nE ,
3
где p - давление,
n - удельная плотность частиц газа,
(2)
E - средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу,
(внутренняя энергия).
Запишем соотношение (2) для случая сжатия с частичным сохранением
энергии, затраченной на сжатие.
V


2
a
'
'

p(V )  n(V ) E (V0 )   p(V )dV ,
3
NV


0


(3)
где V0 - объем газа до сжатия,
V - объем газа после сжатия,
N - количество частиц сжимаемого газа,
a - коэффициент, указывающий какая часть затраченной энергии идет
на увеличение внутренней энергии.
Соотношение (3) представляет собой интегральное уравнение. Чтобы его
решить, превратим его в дифференциальное уравнение путем
дифференцирования его по объему и исключения выражения, находящегося
в квадратных скобках:


p(V ) n(V ) 2 n(V )
.

 a
p(V ) n(V ) 3
N
(4)
Принимая во внимание, что N  n(V ) V , после несложных преобразований
получим:
2
d ln p (V )  d ln n(V )  a  d ln V 
3
(5)
Решая дифференциальное уравнение (5), получаем соотношения для
внутренней энергии и давления, которые имеют вид:
2
a
V  3
E (V )  E (V0 ) 0  ,
V 
V 
p(V )  p(V0 ) 0 
V 
2
1 a
3
(6)
.
(7)
При a  0 формулы (6),(7) переходят в соотношения, выражающие закон
Бойля-Мариотта, при a  1 - в соотношения, получающиеся при расширении
газа с постоянной энтропией (адиабатический процесс). Коэффициент a
назовем коэффициентом адиабатичности, который указывает на степень
адиабатичности происходящего процесса сжатия.
Рассмотрим идеальный газ, находящийся в равновесии в однородном
гравитационном поле с ускорением силы тяжести g . Попытаемся найти
изменения параметров газа с высотой. Конкретная геометрия задачи показана
на рисунке 1. В тепло изолированном цилиндре с площадью S и
неограниченной длиной между верхней крышкой и поршнем находится
столб газа длиной L . При отсутствии гравитационных сил газ имеет
плотность n 0 , внутреннюю энергию E 0 и давление p 0 в любой точке объема.
На поршень действует внешняя постоянная сила, которая удерживает его от
движения. Весь объем газа условно разделен по высоте на слои высотой l 0 .
После включения гравитационных сил, направленных в сторону поршня,
поршень передвинется вниз и остановится. Высота столба газа при этом
будет h . Параметры слоя газа, находящегося непосредственно над поршнем
останутся начальными, т.к. со стороны поршня по прежнему действует сила,
обеспечивающая давление p 0 .
l0
L
g
p0
l
h
Для каждого элементарного слоя, согласно (7), можно записать
 l
pl  p(l 0 )
 l0



2
(1 a )
3
,
(8)
где l - высота слоя после сжатия (разряжения), или
3



3

2a


p
(
l
)


 1l 0  l ,
 p (l ) 
0 




(9)
где l  l  l 0 - величина деформации слоя.
В нашем случае все слои, кроме первого над поршнем, получают разряжение
и имеют давление:
pl  p 0  n0 mgL' ,
(10)
где L' - высота слоя над поршнем, до включения потенциальных сил.
Подставив давление слоя (10) в выражение (9), можно получить деформацию
каждого слоя, а также величину перемещения поршня:
3 


L
3

2a 
n0
' 
'


   l  h  L ,
 L 1  p 0 mgL 
0

 0


L
(11)
где L'  l 0 - переменная интегрирования по высоте столба.
Проинтегрировав выражение (11), получим:
2a
 n
 3 2 a
1  1  0 mgL 
p0


h
.
2a n 0
mg
3  2a p 0
(12)
Обратная зависимость:
3 2 a 

 2a 
n0
2a n 0
 
mgL  1  1 
mgh 
.
p0
3  2a p 0






(13)
Плотность газа в элементарном слое можно записать в виде:
1
l
 l

n(l )  n0 0  n0 
 1 , l  l  l 0 , L  l 0 .
l
 L 
l
Функцию
находим из соотношений (9),(10),(13):
L

l 
2a n 0
 1 
mgh 
L  3  2a p 0


3
2a
(14)
1 .
(15)
Из соотношений (14),(15) окончательно получим распределение плотности
газа по высоте столба в поле потенциальных сил:
3

 2a
2a n 0
n(h)  n0 1 
mgh  .
 3  2a p 0

(16)
Из уравнений (6),(7),(16) и соотношения
V 
n(V )  n(V0 ) 0 
V 
определяем распределение давления и внутренней
находящегося в однородном гравитационном поле:

2a
p(h)  p 0 1 
 3  2a

2a
E (h)  E 0 1 
 3  2a
энергии
газа,
3 2a
 2a
n0
,
mgh 
p0


n0
mgh  .
p0

(17)
(18)
Перепишем соотношения (16),(17),(18) в более компактной форме:
 1
 mgh 
 ,
n(h)  n0 1 
 kT0 
 mgh 
 ,
p(h)  p 0 1 

kT
0 

(19)
(20)
где
 
3  2a
2a
безразмерный
параметр
распределений,
связанный
с
коэффициентом адиабатичности, T0 - температура поршня (термостата).
Следует отметить, что в данной модели под поршнем следует понимать
термостат, который имеет температуру T0 и обеспечивает давление на газ p 0 .
После включения потенциальных сил, эти силы посредством газа, начинают
совершать работу, которая идет на уменьшение энергии термостата и газа,
если a не равно нулю. Если изменить направление потенциальных сил,
работа идет на увеличение энергии термостата и газа. При этом можно
получить аналогичные (19), (20), (21) формулы, отличающиеся
противоположным знаком перед g .
Проанализировав полученные формулы, можно прийти к
следующему выводу:
1. При a  0 или    формулы переходят в формулы Больцмана.
2. Получена линейная зависимость падения температуры с высотой.
3. Соотношения для давления и плотности не совпадают между собой.
4. В зависимости от величины параметра  найдено бесконечное
множество соотношений, характеризующих поведение газа в поле
потенциальных сил.
5. При условии, что  не зависит от плотности, давления и температуры,
может существовать такая высота h , где давление, плотность и
температура равны нулю.
6. Согласно сделанным в модели предположениям,  может изменяться в
пределах 2.5(a  1)   (a  0) .
7. Если в качестве термостата использовать поверхность Земли или
другой планеты, то полученные соотношения можно применять при
исследовании атмосферы этих планет.
Рассмотрим поведение газа в поле потенциальных сил, находящегося
в полностью замкнутом теплоизолированном цилиндре. При отсутствии
гравитационных сил газ имеет плотность n 0 , внутреннюю энергию E 0 и
давление p 0 . В поле потенциальных сил верхние слои объема газа
получают разряжение, а нижние – сжатие. Поэтому всегда можно найти
такой слой, параметры которого останутся неизменными после включения
сил гравитации. Этот слой в начальном состоянии делит весь объем на
две части с высотами L1 и L2 , а в конечном - h1 и h2 , перемещаясь на
расстояние h1  L1  L2  h2 при давлении p 0 . При этом верхняя часть газа
совершает работу над нижней. Соотношения для этих работ можно
получить из (12).
2a
 n
 3 2 a
1  1  0 mgL1 
p0


W1  Sp 0
 L1 Sp 0 ,
n0
2a
mg
p0
3  2a
(22)
2a
 n0
 3 2 a
1 
mgL2 
1
p0


W 2  Sp 0
 L2 Sp 0 .
n0
2a
mg
p0
3  2a
(23)
Для термоизолированной системы всего газа должно выполняться
условие:
(24)
W1  W2  0 ,
из которого можно получить соотношение для L1 и L2 :
1
1
 n
  n

1 n0
mgL  1  0 mgL2   1  0 mgL1  .
 p0
p0


 p0

(25)
Внутренняя энергия каждой части газа под действием гравитационных
сил изменяется, если    . Используя соотношение (13), внутреннюю
энергию можно выразить через начальные параметры:
 1 

  
Sp 0    n 0
U 1  S  n(h) E (h)dh  E 0
1  1  p mgL1 
,
mg


1
0


0






1


 
Sp 0   n 0

1 
U 2  E0
mgL2 
 1 .

mg   1 
p0





h1
L1
h1
L
g
L2
h2
(26)
(27)
Литература
1. Кучеренко Е.Т. Справочник по физическим основам вакуумной
техники. Киев, Вища школа, 1981 р.