Лекция 18 Свойства жидкостей

Лекция 18. Жидкости
[1]с128-133
План лекции
1. Элементы механики жидкостей.
1.1 Давление жидкости и газа.
1.2 Уравнение неразрывности.
1.3 Уравнение Бернулли.
2. Поверхностное натяжение жидкостей.
3. Давление под изогнутой поверхностью жидкости.
4. Смачивание и капиллярные явления.
1. Элементы механики жидкостей.
1.1 Давление жидкости и газа.
Молекулы газа, двигаясь хаотически, почти или вообще не связаны между
собой силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в
результате соударений стремятся во все стороны, заполняя весь
предоставленный им объем, т.е. объем газа определяется объемом того
сосуда, который газ занимает.
Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в котором находится,
но среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным,
поэтому объем жидкости практически не меняется.
Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде
механических явлений их поведение описывается одинаковыми параметрами
и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика - раздел
механики, в котором изучается движение жидкостей и газов, их
взаимодействие с обтекаемыми ими твердыми телами, - использует единый
подход к изучению жидкостей и газов.
Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую
пластинку (рис. 1), то части жидкости, находящиеся
F
F
F
S
по разные стороны от нее, действуют на пластинку с
силами F , равными по модулю и направленными
S
F
перпендикулярно площадке S независимо от ее
Рис. 1
ориентации, т.к. наличие касательных сил привело
бы частицы жидкости в движение.
Давление жидкости - это физическая величина, равная отношению
нормальной силы, действующей со стороны жидкости на некоторую
площадь, к этой площади.
p
F
H
, [ p ]  1 2  1Пa .
S
м
1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно
распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м2.
Давление при равновесии жидкостей подчиняется закону Паскаля:
давление, оказываемое внешними силами на жидкость (или газ), передается
по всем направлениям без изменений.
101
Гидростатическое давление – давление, оказываемое столбом жидкости
или газа (рис. 2)
P mg Vg h  S  g



 gh ,
S
S
S
S
p  gh - гидростатическое давление.
p
h
Согласно полученной формуле, сила давления на
нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние
(рис. 3), поэтому на тело, погруженное в жидкость,
действует выталкивающая сила, определяемая законом
P
Рис. 2
Архимеда.
F1
Fвыт˜ F2  F1  p2  S  p1  S  gh2 S  gh1 S  gS (h2  h1 )  gSh  gV ,
Fвыт   ж gVпогр ,
h1
h
h2
Fвыт   ж gV  mж g  Pж .
Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость
(или газ) действует выталкивающая сила, направленная
вертикально вверх и равная весу жидкости,
Рис. 3
вытесненной телом.
Подъемной силой называют разность между
выталкивающей силой и силой тяжести:
Fпод  Fвыт  mg .
F2
1.2 Уравнение неразрывности.
Идеальная жидкость - это абстрактная жидкость, не обладающая
вязкостью, теплопроводностью, способностью к электризации и
намагничиванию.
Такое приближение допустимо для маловязкой жидкости. Течение
жидкости называется стационарным, если вектор скорости в каждой точке
пространства остается постоянным.
Графически движение жидкостей
изображается с помощью линий тока.
1
2
Линии тока жидкости - это линии, в каждой
точке которых вектор скорости частиц
Рис. 4
жидкости направлен по касательной (рис. 4).
Линии тока проводят так, чтобы число
линий,
проведенных
через
некоторую
единичную
площадку,
перпендикулярную потоку, было численно равно или пропорционально
скорости жидкости в данном месте.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.
Т.к. скорость частиц жидкости направлена по касательной к стенкам
трубки тока, частицы жидкости не выходят из трубки тока, т.е. трубка может
рассматриваться как жесткая конструкция. Трубки тока могут сужаться или
расширяться в зависимости от скорости жидкости, хотя масса жидкости,
протекающей через любое сечение, перпендикулярное ее течению, за
определенный промежуток времени будет постоянной.
102
Т.к. жидкость несжимаема, через S1 и S2 пройдет за t одинаковая масса
жидкости (рис. 5):
1t
 2 t
m1  m2 .
2
S1
S2
Рис. 5
m   V   St ,
 S11 t   S 2 2 t ,
1S1  2 S 2 , S  const - уравнение
неразрывности струи или теорема Эйлера.
Произведение скорости течения несжимаемой жидкости и площади
поперечного сечения одной и той же трубки тока постоянно.
Теорема о неразрывности широко применяется при расчетах, связанных с
подачей жидкого топлива в двигатели по трубам переменного сечения.
1.3 Уравнение Бернулли.
Пусть жидкость движется в поле
l2
сил тяжести так, что в данной точке
1
пространства величина и направление
p2
p1
S1
скорости
жидкости
остаются
1 1'
постоянными.
Такое
течение
2 2' S 2  2
называется
стационарным.
В
h1
h2
стационарно текущей жидкости кроме
сил тяжести действуют еще и силы
давления. Выделим в стационарном
потоке
участок
трубки
тока,
ограниченный сечениями S1 и S2
Рис. 6
(рис.6)
За время t этот объем переместится вдоль трубки тока, причем
сечение S1 переместится в положение 1', пройдя путь l1 , а S2 - в положение 2',
пройдя путь l 2 . В силу неразрывности струи выделенные объемы (и их
массы) одинаковы:
V1  V2  V ,
m1  m2  V .
Энергия каждой частицы жидкости слагается из ее кинетической и
потенциальной энергий в поле сил земного тяготения. Вследствие
стационарности течения частица, находящаяся через t в любой из точек
незаштрихованной части рассматриваемого объема, имеет такую же
скорость, и, следовательно Wк, какую имела частица, находившаяся в той же
точке в начальный момент времени. Поэтому изменение энергии всего
рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий
заштрихованных объемов V1 и V2.
Возьмем сечение трубки тока и отрезки l1 , l 2 настолько малыми, чтобы
всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать
одно и то же значение скорости, давления и высоты. Тогда приращение
энергии равно
l1
W  (Wk 2  W p 2 )  (Wk1  W p1 )  (
V 22
2
 Vgh2 )  (
V12
2
 Vgh1 )
103
В идеальной жидкости трение отсутствует, поэтому W должно равняться
работе, совершенной над выделенным объемом силами давления:
A  F1l1  F2l2

( F2 отрицательна, т.к. направлена в сторону, противоположную
перемещению l 2 ).
F1  p1 S1 ,
F2  p2 S 2 ,
A  p1 S1l1  p2 S 2l2  p1V1  p2V2  p1V  p2V  V ( p1  p2 ) ,
W  A ,
V 22
2
 Vgh2 
V12
2
 Vgh1  V ( p1  p 2 ) .
Сократим на V и перегруппируем члены:
 22
2
 gh2  p 2 
12
2
 gh1  p1 .
Сечения S1 и S2 были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что
в любом сечении трубки тока
 2
2
 gh  p  сonst .
(1)
Выражение (1) представляет собой уравнение Бернулли. В
стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока
выполняется условие (1).
Для горизонтальной линии тока h1  h2 ,
 2
2
 p  const .
Уравнение Бернулли достаточно хорошо выполняется для реальных
жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико. Уменьшение
давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу
устройства водоструйного насоса.
Выводы этого уравнения учитываются при расчетах конструкций насосов
систем подачи жидкого топлива в двигатели.
2. Поверхностное натяжение жидкостей.
Вещество может существовать в газообразном, жидком и твердом
состояниях. Жидкое состояние является промежуточным между
газообразным и твердым, и имеет сходство с тем и другим. Подобно твердым
телам, жидкости обладают определенным объемом, а подобно газам
принимают форму сосуда, в котором находятся.
Жидкостями называют тела, которые, имея определенный объем, не имеют
собственной формы, и принимают форму сосуда, в котором они находятся.
Рентгеноструктурный анализ показал, что характер расположения частиц
жидкости промежуточен между газом и твердым телом. В газах молекулы
движутся хаотично, т.е. нет никакой закономерности в их расположении. Для
104
твердых тел характерен дальний порядок в расположении частиц, т.е.
упорядоченность в их расположении, повторяющаяся на больших
расстояниях.
Для жидкостей характерен ближний порядок, т.е. упорядоченность в
расположении частиц, повторяющаяся на расстояниях, сравниваемых с
межатомными.
Теория жидкости до настоящего времени полностью не разработана.
Согласно выдающемуся российскому ученому Я. Френкелю тепловое
движение в жидкостях имеет следующий характер. Каждая молекула в
течение некоторого времени колеблется около определенного положения
равновесия, после чего скачком переходит в новое положении, отстоящее от
исходного на расстоянии порядка межатомного. Таким образом, молекулы
довольно медленно перемещаются по всему объему жидкости.
При повышении температуры подвижность молекул сильно возрастает.
Поверхность жидкости, соприкасающейся с другой средой – паром, газом,
какой – либо другой жидкостью или твердым телом (в частотности, со
стенками сосуда, в котором она содержится), находится в особых условиях
по сравнению с остальной массой жидкости. Возникают эти особые условия
потому, что молекулы пограничного слоя жидкости, в отличие от молекул в
её глубине, окружены молекулами той же жидкости не со всех сторон. Такой
поверхностный слой отличается особыми свойствами, поэтому мы начинаем
ознакомление со свойствами жидкости с этих поверхностных явлений.
Все хорошо знают, что «куличики» и «башни» можно построить из
мокрого песка. Сухие песчинки не пристают друг к другу. Но так же не
пристают друг к другу песчинки, целиком погруженные в воду. Когда во
время купания человек окунается с головой в воду, его волосы расходятся в
воде во все стороны, но стоит только высунуть голову из воды, как волосы
тотчас лягут на голове слипшимися слоями.
Чем это объяснить? Слипание песчинок и волос мы должны объяснить
действием сил сцепления между молекулами воды, облекающие песчинки
или волосы.
Рассмотрим, почему, силы сцепления не проявляют своего действия, когда
песчинки или волосы находятся под водой. Сравним состояние молекулы
жидкости, находящейся вблизи границы жидкости и газа, с состоянием
молекулы, находящейся вдали от этой границы внутри жидкости.
На каждую молекулу жидкости со стороны окружающих молекул
действуют силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием;
следовательно, начиная с некоторого расстояния силами притяжения между
молекулами можно пренебречь. Это расстояние (r~10-9 м) называется
радиусом молекулярного действия r, а сфера радиуса r-сферой
молекулярного действия.
Притяжение, испытываемое молекулой со стороны соседних, в случае
«внутренних» молекул взаимно уравновешивается; для молекул,
расположенных у поверхности, сложение всех сил дает равнодействующую,
105
направленную внутрь жидкости (т.к. со стороны газа молекул почти нет)
(рис. 7).
Таким образом, внутри жидкости
силы
притяжения
между
молекулами
взаимно
Fp  0
компенсируются, а на молекулу,
находящуюся вблизи поверхности,
Fi
действует
неcкомпенсированная
Fp  0
2r
результирующая сила, направленная
внутрь жидкости. Поэтому, чтобы
Сфера
переместить молекулу из глубины
мол. действия
на поверхность жидкости, надо
совершить работу против этой
Fi – сила притяжения к соседней молекуле
результирующей силы.
Эта
работа
совершается
Рис. 7
молекулой за счет её кинетической
энергии и идет на увеличение потенциальной энергии молекулы (как у камня,
брошенного вверх). Следовательно, молекулы поверхностного слоя
жидкости обладают по сравнению с молекулами, находящимися в объеме
жидкости, избыточной потенциальной энергией.
Избыточная потенциальная энергия, равная работе по перемещению
молекул из объема жидкости на её поверхность, называется поверхностной
энергией.
Увеличить поверхность жидкости на величину S можно только
переместив некоторое количество молекул из объема на поверхность,
совершив при этом работу А. Такой процесс должен протекать медленно
(обратимо), чтобы температура пленки оставалась неизменной т.е. быть
изотермическим.
  S ,
 

,
S
   1 Дж2 .
м
Коэффициент поверхностного натяжения равен работе, необходимой для
изотермического образования единицы площади поверхности жидкости.
Поскольку эта работа переходит в избыточную потенциальную энергию
молекул поверхностного слоя, можно сказать, что  представляет собой
дополнительную потенциальную энергию, которой обладает единица
площади поверхностного слоя.
Известно, что всякая система при равновесии находится в том из
возможных её состояний, в котором её энергия минимальна. Применительно
к рассматриваемому случаю это означает, что жидкость в равновесии должна
иметь минимально возможную поверхность. Это, в свою очередь, означает,
что должны существовать силы, препятствующие увеличению поверхности
жидкости. Очевидно, что силы должны быть направлены вдоль самой
поверхности по касательной к ней. Жидкость ведет себя так, как будто по
касательной к её поверхности действуют силы, сокращающие (стягивающие)
106
эту поверхность. Эти силы называются силами поверхностного натяжения.
Силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности
и стремятся сократить площадь поверхности жидкости.
Нужно помнить, что первопричиной возникновения этих сил являются
силы, действующие на молекулы поверхностного слоя и направленные
внутрь жидкости, т.е. перпендикулярно поверхности.
Наличие поверхностной энергии обуславливает стремление жидкости
сократить свою поверхность, т.е. иметь минимальную энергию. Поэтому
жидкость при отсутствии внешних сил стремится принять форму, при
которой её поверхность минимальна (капля в невесомости приобретает
форму шара).
Опыт с мыльным раствором
Если уничтожить пленку по одну сторону
нитки, то мыльная пленка по другую сторону
уменьшит свою поверхность и натянет нитку
(рис. 8).
Рис. 8
Определим  другим способом. Рассмотрим мыльную пленку на
проволочной рамке с подвижной перекладиной. Если под действием внешней
силы Fв н перекладина перемещается на x , то при этом совершается работа
Fвн x , которая идет на увеличение площади поверхности пленки.


Fвн  Fн ,
  Fн x ,
где Fн - сила поверхностного натяжения.
  S , S  2  Lx ,
т.к. поверхность S двухсторонняя.
Fн х   2 Lx
Рис. 9

Fн
,
2L
   H .
м
Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения численно равен
силе, действующей по касательной к поверхности жидкости и приходящейся
на единицу длины линии раздела, т.е. контура, ограничивающего
поверхность жидкости.  зависит от химического состава жидкости и её
температуры. С увеличением температуры  уменьшается. При введении в
жидкости примесей поверхностно-активных веществ  также уменьшается.
Это связано с тем, что такие вещества абсорбируются в поверхностном слое
жидкости и уменьшают поверхностную энергию этого слоя.
Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают  благодаря
тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее,
чем молекулы жидкости между собой. Если посолить мыльный раствор, то в
поверхностный слой жидкости «вытаскивается» молекул мыла больше, чем в
107
пресной воде. В мыловаренной технике мыло «высаливается» таким
способом из раствора.
3. Давление под изогнутой поверхностью жидкости.
Рассмотрим плоскую поверхность жидкости, испытывающую давление р 0
со стороны атмосферы (рис. 10, а).
Если поверхность жидкости
не плоская, то стремление к
её сокращению приведет к
p0
p0  p
p0  p
возникновению
давления,
дополнительного к тому,
a)
б)
в)
которое
испытывает
жидкость
с
плоской
Рис. 10
поверхностью. В случае
выпуклой поверхности оно положительно (рис. 10, б), в случае вогнутой отрицательно (рис. 10, в). В последнем случае поверхностный слой, стремясь
сократиться, натягивает жидкость (тянет её вверх). Впервые на это
дополнительное давление, обусловленное искривлением поверхности,
обратил внимание Лаплас, поэтому оно получило название лапласового
давления.
Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости
(рис. 11). Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости
диаметральной плоскостью на два полушария. Из-за поверхностного
натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой
F       2R .
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S  R 2 и
обуславливает дополнительное давление р :
р 
S
R
Рис. 11
F   2R 2


.
S
R
R 2
Если искривленная
сферической, то
поверхность
отличается
от
 1
1 
 – формула Лапласа,
р    
R
R
1
2


где R1 и R2 –радиусы кривизны двух произвольных
взаимно перпендикулярных нормальных сечений.
Нормальным сечением поверхности в некоторой точке
называется линия пересечение этой поверхности с плоскостью, проходящей
через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке.
4. Смачивание и капиллярные явления.
Если молекулы жидкости взаимодействуют с молекулами твердого тела
сильнее, чем между собой, то жидкость стремится увеличить поверхность
соприкосновения с твердым телом и растечься по нему. Говорят, что
жидкость смачивает твердое тело.
Если взаимодействие молекул жидкости больше, чем молекул жидкости и
твердого тела, жидкость стремится сократить поверхность соприкосновения
108
с твердым телом и является несмачивающей. Например, вода смачивает
стекло, а ртуть не смачивает.
Если граничат друг с другом 3 вещества: твердое, жидкое газообразное, то
вся система принимает конфигурацию, соответствующую минимуму
суммарной энергии (поверхностной, в поле сил тяжести и т.п.). Контур, по
которому граничат все 3 вещества, располагается на поверхности твердого
тела таким образом, чтобы сумма проекций всех приложенных к каждому
элементу контура  сил поверхностного натяжения на направление, в
котором элемент контура может перемещаться (т.е. направление касательной
к поверхности твердого тела), была равна нулю (рис. 12).
F1 , F2 , F3 –приложены к элементу
F2   жг l
контура  .
газ
жидкость
F2 cos   F3  F1 ,
F3   тж l
F1   тг l
 жг  cos   тж    тг  ,
тв. тело
F2 cos
 жг cos   тг   тж ,
Рис. 12
cos  
 тг   тж
,
 жг
 –краевой угол.
Краевой угол – это отсчитываемый внутри жидкости угол между
касательными к поверхности твердого тела и жидкости.
Ели  т г   тж , cos  0 ,  –острый угол,  

2
, жидкость смачивает тело (рис.
13).

Частичное смачивание,
Полное (идеальное) смачивание,
  /2
Если  т г   т ж , cos  0 ,  
 0
Рис. 13

2
(рис. 14).

Частичное несмачивание,
Полное (идеальное) несмачивание,
  /2
Рис. 14
  /2
Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т.е.
жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую.
Вода смачивает стекло, но не смачивает парафин.
109
Явление смачивания и несмачивания имеют большое значение в технике.
В методе флотационного обогащения руды (отделение её от пустой породы)
её, мелко раздробленную, взбалтывают в воде, смачивающей пустую породу
и не смачивающей руду. Затем туда добавляют небольшое количество
специального масла, которое должно смачивать крупинки породы (так
называют ненужную часть руды). При перемешивании крупинки полезного
ископаемого обволакиваются маслянистой пленкой.
В черную кашу из руды, воды и масла вдувается воздух. Образуется
множество мелких пузырьков воздуха – пена. Пузырьки воздуха всплывают.
Процесс флотации (слово «флотация» означает «всплывание») основан на
том, что обвернутые маслом крупинки цепляются за воздушные пузырьки.
Крупный пузырек выносит крупинку вверх, как воздушный шар. Полезное
ископаемое переходит в пену на поверхности. Пустая порода остается на дне.
Пену снимают и направляют в дальнейшую обработку для получения так
называемого «концентрата», который содержит в десять раз меньшую долю
пустой породы.
При механической обработке металлов и бурении скважин их смачивают
спец. жидкостями, что облегчает и ускоряет обработку.
Свойство несмачивания используется насекомыми, быстро бегающими по
воде, не замочив лапок.
Существование краевого угла приходит к искривлению поверхности
жидкости вблизи стенок и капиллярным явлениям.
Свободная поверхность жидкости, искривленная около стенок сосуда,
называется мениском. Капиллярами называются узкие трубки (от лат.
сapillаris – волосной).
Капиллярностью называется явление изменения высоты уровня жидкости
в капиллярах.
Жидкость в капилляре поднимается или
опускается на высоту h , при которой
gh
гидростатическое
давление
h
2
p0
p0  gh 
уравновешивается дополнительным давлением
R
 p (рис. 8).
2
 p0 ,
R
2
r
gh 
, где R 
,
R
cos 
2 cos 
2 cos 
gh 
h
.
r
gr
p 0  gh 
R
r
Существует
множество
тел,
которые
представляют собой нечто вроде системы
тончайших трубок. В таких телах всегда
наблюдаются капиллярные явления.
Целая система длинных каналов и пор
Рис. 8
имеется у растений и деревьев. Диаметр этих
каналов меньше сотых долей миллиметра. Благодаря этому капиллярные

110
силы поднимают почвенную влагу на значительную высоту и разносят воду
по телу растения.
Такая же система длинных пор или каналов, образованных волокнами,
имеется в фитилях. По фитилю поднимается кверху керосин в лампах. В
технологии красильного производства тоже часто используют способность
тканей затягивать в себя жидкость тонкими каналами, образованными
нитями ткани.
Таким образом, в природе и технике часто встречается пористые тела,
пронизанные большим числом капилляров (почвы, стройматериалы – бетон,
известь, песок и т.д.). Влагообмен в почве и растениях осуществляется за
счет поднятия воды по капиллярам. Втягивание чернил промокательной
бумагой, вытирание воды тряпкой, подъем керосина по фитилю – всё это
капиллярные явления.