Контрольная работа № 3

Контрольная работа № 3.
Вариант 1.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
sin x
( x  2) 2
а) 
dx ; г)
dx ; б)  ( x 2  1) cos 2 xdx ; в) 
1  cos x
x
2. Вычислить определенный интеграл:
1
2
а)

0
arcsin 2 x
1 x
2

( x  4)dx
1  4x  x 2
.
0
dx ; б)
 (x

2
 3) sin( 2 x  1)dx .
1
2
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

6
dx
а) 
; б)  e  x dx .
2
3
(4  x)
2
0
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  x 2  1  0 , x  y  0 , x  2 x  0 .
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций xy  4, x  1, x  4.
6. Найти длину дуги кривой:
3


 x  2 cos t ,
0  t  ; б)   8 sin  , 0    .
а) 
3
4
4
 y  2 sin t ,
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
а) 3  y 2  1  x 2 yy   0 ; б) y   y cos x  sin 2 x, y (0)  1 ; в) y y 3  1  0 ;
г) y   2 y   5 y  10 cos x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 2.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
( x  3) 2
а) 
dx ; б)  ( x 2  3x) cos 2 xdx ; в)
x
2. Вычислить определенный интеграл:
1
2

x3  1
x  4x
4
dx ; г)
( x  2)dx
.
2
 4x  5
 2x
2
arctg 2 x
а) 
dx ; б)  ( x 2  4)e1 x dx .
2
1
0 1  4x
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
1

2
dx
а) 
; б)  xe x dx .
3
4
(1  x)
0
0
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1
y  x  1  0 , y  x  1 , x  1, x  4 .
2
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
1
, x  1.
графиками функций y 
1 x2
6. Найти длину дуги кривой:
 x  e t (cos t  sin t ), 


 t  ; б)   6 cos  , 0    .
а) 
t
4
3
 y  e (cos t  sin t ), 6
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
2
а) 5  y 2 dx  4( x 2 y  y )dy  0 ; б) y   ytgx   y 4 sin x, y (0)  1 ; в) x 4 y   x 3 y   4 ;
3
г) y   2 y   3 y   (8x  6)e x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 3
1. Вычислить неопределенный интеграл:
e 2 x  4e x
dx
а) 
; г)
dx ; б)  ( x 2  1)e 2 x 1 dx ; в) 
x
e
arcsin x  1  x 2
2. Вычислить определенный интеграл:
x
2
3x  7
dx .
 6x  8

2
а)
cos x
0 1  sin x dx ; б)
0
 (7 x  2) cos 7 xdx .

2
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
2

dx
xdx
а) 
; б) 
.
2
x4 1
0 (x  1)
2
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  x 2  4 x, y  x  4.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной
графиками функций y 2  4  x , x  0 .
6. Найти длину дуги кривой:
 x  4(cos t  cos 2t ),
2
  0.
а) 
0  t   ; б)   8(1  cos  ), 
3
 y  4(2 sin t  sin 2t ),
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
2y
1
 ( x  1) 3 , y (0)  ; в) y 3 y   y 4  16 ;
а) 2 xdx  ydy  x 2 ydy  xy 2 dx  0 ; б) y  
x 1
2
г) y   2 y   5 y   cos x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 4.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
xdx
sin 2 x  2
dx
а) 
; в) 
; г)
dx ; б) 
2
2
cos x
sin x
sin 2 3x ctg3x

( x  4)dx
x2  x  2
.
2. Вычислить определенный интеграл:
ln
а)
1
2

0
1
ex
1 e
2x
dx ; б)
 (x

2
 1)e 2 x 1 dx .
1
2
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

0
2
dx
а) 
; б)  x  2 3 x dx .
2
5
1
 2 (x  1)
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y 2  2 x  1, y  x  1.  0
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной
графиками функций y 2  ( x  4) 3 , x  0 .
6. Найти длину дуги кривой:
3
 x  2(t  sin t ),


0  t  ; б)   3e 4 , 0    .
а) 
2
3
 y  2(1  cos t ),
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
2x
y  2x ;
а) (1  e x ) yy   e x ; б) xy   y  y 2 ln x, y(1)  1 ; в) y   2
x 1
г) y   y  2 cos 7 x  3 sin 7 x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 5.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
1  cos 3 x
а) 
dx ; б)  (2 x 2  4 x)e 4 x 1 dx ; в)
2
cos x
 cos
dx
2
x 1  tgx
; г)

3 x
3  2x  x 2
dx .
2. Вычислить определенный интеграл:
0
0
5 x dx
а) 
; б)  (3x  1) sin 2 xdx .
x
1 2  5

3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
3

dx
а) 
;
б)
x 2 cos x 3 dx .
2

1 ( 4 x  8)

4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y 2  8x  16, y 2  24 x  48.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций y  e1 x , y  0, x  0 , x  1.
6. Найти длину дуги кривой:
 x  4 cos 3 t , 


 t  ; б)   6(1  sin  ),     0 .
а) 
3
4
2
 y  4 sin t , 6
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
y
ln x
, y (1)  1 ; в) y   32 sin y cos 3 y  0 ;
а) y (1  ln y )  xy   0 ; б) y    
x
x
x






г) y  3 y  2 y  (1  2 x)e .
Контрольная работа № 3.
Вариант 6.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
а)

x2 1  6
dx ; б)  ( x  1)arcctgxdx ; в)
x 1
2. Вычислить определенный интеграл:
2
 (1  4 x
2
dx
; г)
)arcctg 2 x
x
2
x3
dx .
 2x  6

а)
4 3

tgx  1
2
dx ; б)  (5 x  10)e 2 x dx .
cos 2 x
0
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
0

dx
ln 2 ( x  1)
а) 
;
б)
3
0 x  1 dx .
3 ( 2 x  6)
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
x  y  1, x  y  1  0, x  0.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной
графиками функций y  ln x, x  2, y  0.
6. Найти длину дуги кривой:
 x  e t (cos t  sin t ),



4
(
1

sin

),
0



а) 
;
б)
.
0

t

2

6
 y  e t (cos t  sin t ),
0
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
2
а) 2 x  2 xy 2  2  x 2 y   0 ; б) 3( xy   y)  y 2 ln x, y(1)  3 ; в)  xy   2 y   2 ;
x
x
г) y   y   4 y   4 y  (7  6 x)e .
Контрольная работа № 3.
Вариант 7.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
а)

5  x2  5
dx ; б)  49 x 2 sin( 7 x  1)dx ; в)
x 5
2. Вычислить определенный интеграл:
1
6
а)

2
arcsin 4 3x
1
dx ; б)
 (3x  6)e
 x 1

sin x
12  5 cos x
dx ; г)
x
2
2x  5
dx .
 4x  6
dx .
1  9x
2
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

0
dx
ln( 2 x  2)
а) 
; б) 
dx .
2
x 1
2 4  x
0
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  4  x 2 , y  x 2  2 x.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций y  1  x 2 , x  0, x  y  2 , x  1.
6. Найти длину дуги кривой:
 x  2,5(t  sin t ), 

 t   ; б)   2(1  cos  ),       .
а) 
2
 y  2,5(1  cos t ), 2
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
2 xy
 1  x 2 , y (1)  3 ; в) y y 3  25  0 ;
а) 3  y 2 dx  ydy  x 2 ydy ; б) y  
2
1 x
г) y   2 y   5 y   sin 2 x .
0
2
Контрольная работа № 3.
Вариант 8.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
3 1 x2  2
e5x
 1 x2
 1  e 5 x dx ; г)
2. Вычислить определенный интеграл:
а)
1
4
а)
dx ; б)
arctg 5 4 x
0 1  16 x 2 dx ; б)
x
 x3 dx ; в)

( x  1)dx
x 2  6x  1
.
0
 ( x  6) cos 4 xdx .

4
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
0

dx
dx
а) 
; б) 
.
2
x ln x
2 4  x
e
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
xy  1, x   y , y  4.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций x  3 y  2 , x  1, y  1.
6. Найти длину дуги кривой:
4
 x  (t 2  2) sin t  2t cos t ,


а) 
0  t  3 ; б)   2e 3 ,     .
2
2
2
 y  (2  t ) cos t  2t sin t ,
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
1
а) x 1  y 2  yy  1  x 2  0 ; б) 3xy   5 y  (4 x  5) y 4 , y(1)  1; в) xy   y  
;
x
г) y   4 y   3 y   4(1  x)e  x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 9.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
x
3x  2
dx
1 2 4  x2
2
 4  x 2 dx ; б)  (3x  6) sin 3 dx ; в)  sin 2 x 1  ctgx ; г)  x 2  5 x  8 dx .
2. Вычислить определенный интеграл:
0
1
ex
а) 
dx ; б)  x 2 4 x dx .
2x
1
0 1 e
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
1

dx
а)  2
; б)  ln( x  2)dx .
3 x  9
3
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  ln x, y  x 2  1, x  1, x  2.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций y  2 x  x 2 , y   x  2, x  0.
6. Найти длину дуги кривой:
 x  (t 2  2) sin t  2t cos t ,



5
(
1

cos

),

  0.
а) 
;
б)
0

t


3
 y  (2  t 2 ) cos t  2t sin t ,
а)
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
а) y   (2 y  1)ctgx ; б) y   y cos x  sin 2 x ; в) y   2 y( y ) 3  0 ;
г) y   2 y  xe x .
Контрольная работа № 3.
Вариант 10.
1. Вычислить неопределенный интеграл:
x
1 x2  4
2
 1  x 2 dx ; б)  ( x  1) cos 2 dx ; в)
2. Вычислить определенный интеграл:
а)
e 5
а)

1
(ln x  1) 4
dx ; б)
x
0
 (2 x

2

7 x dx
47
x
; г)
 2x
2
x2
dx .
 2x  4
 4 x)e 4 x 1 dx .
1
4
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
0
1
dx
3 x 2
xe
dx .
а) 
;
б)

4
(x

3
)

3
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  e  x  2, y  1, x  1, x  2.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной
графиками функций y  x  1, y  0, x  2, x  5.
6. Найти длину дуги кривой:
3


 x  10 cos t ,
0  t  ; б)   8 cos  , 0    .
а) 
3
2
4
 y  10 sin t ,
7. Найти общее и частное (если требуется) решение дифференциального уравнения:
1
а) 6 xdx  6 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx ; б) xy   y  2 y 2 ln x, y (1)  ;
2
2
3
в) (1  x ) y   2 xy   x ; г) y   y  2 cos 7 x3 sin 7 x .